现代控制理论_东北大学_第八章_状态估计(卡尔曼滤波)
卡尔曼滤波_卡尔曼算法
卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。
在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。
卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。
通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。
在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。
此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。
尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。
通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。
希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。
首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。
状态估计的基本原理
状态估计的基本原理状态估计是指通过测量和观测数据，对系统的状态进行估计和预测的过程。
它是控制系统中的一个重要环节，可以提高系统的鲁棒性和可靠性，使得系统能够更好地适应外部环境的变化。
在状态估计中，最常用的方法是卡尔曼滤波器。
卡尔曼滤波器是一种基于贝叶斯理论的线性最优滤波器，它能够根据已知信息和测量数据来估计未知变量的状态，并且具有递归更新、低复杂度等优点。
卡尔曼滤波器主要包括两个步骤：预测和更新。
在预测步骤中，根据上一时刻的状态估计和控制输入（如果有），预测当前时刻的状态值以及其误差协方差矩阵。
在更新步骤中，根据当前时刻的观测数据和预测值之间的误差，修正当前时刻的状态估计值以及其误差协方差矩阵。
卡尔曼滤波器需要确定两个关键矩阵：状态转移矩阵和观测矩阵。
状态转移矩阵描述了系统状态的演化规律，它是一个n×n 的矩阵，其中n 表示状态变量的个数。
观测矩阵描述了测量数据与状态变量之间的关系，它是一个m×n 的矩阵，其中 m 表示观测变量的个数。
卡尔曼滤波器还需要确定两个关键参数：过程噪声协方差和观测噪声协方差。
过程噪声协方差描述了系统在演化过程中的不确定性，它是一个n×n 的对称正定矩阵。
观测噪声协方差描述了测量数据的不确定性，它是一个m×m 的对称正定矩阵。
卡尔曼滤波器可以应用于各种控制系统中，如导航、机器人、飞行控制等领域。
在实际应用中，为了提高滤波器的鲁棒性和可靠性，还需要进行模型校正、异常检测等处理。
总之，状态估计是一种重要的控制技术，在实际应用中具有广泛的应用前景。
通过采用合适的算法和参数设置，可以实现对系统状态的准确估计和预测，从而提高系统的性能和稳定性。
状态估计的常用算法
状态估计的常用算法状态估计的常用算法状态估计是现代控制理论中重要的一环，其主要作用是通过测量数据对被控系统当前状态进行估计，便于进行后续控制处理。
实际上，在现代自动控制系统中，状态估计算法的应用范围非常广泛，包括物流自动化、车辆防控、机器人控制、航空航天系统等许多领域。
本文将针对状态估计的常用算法进行详细的介绍。
1.卡尔曼滤波卡尔曼滤波是状态估计的基本算法之一，其主要思想是基于时间序列的分析和预测。
卡尔曼滤波算法主要分为预测和更新两个过程，其中预测过程通过系统模型对下一个时间段的状态进行预测，而更新过程则通过测量量和预测量之间的差异进行状态估计的更新。
常见的卡尔曼滤波包括线性卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波、粒子滤波等。
2.无迹卡尔曼滤波无迹卡尔曼滤波是卡尔曼滤波的一种改进算法，主要在卡尔曼滤波的过程中对协方差矩阵进行变换，避免出现协方差矩阵为负等问题。
与卡尔曼滤波相比，无迹卡尔曼滤波更加稳定，具有更好的适用性和精度。
3.扩展卡尔曼滤波扩展卡尔曼滤波是针对非线性系统而提出的一种卡尔曼滤波改进算法，它通过对非线性系统进行线性化，进而应用卡尔曼滤波的方法进行状态估计处理，其优点是能够在非线性系统中实现高精度的状态估计。
4.粒子滤波粒子滤波是一种全局搜索算法，它通过粒子集合对系统状态进行估计。
粒子滤波的主要特点是可以处理非线性、非高斯等复杂的状态估计问题。
与传统的基于概率密度的算法不同，粒子滤波是基于样本的方法，因此能够更好地适应复杂的状态估计。
5.互模糊滤波互模糊滤波是一种基于模糊集合理论的滤波算法，它通过融合多个传感器的信息，对系统的状态进行估计。
与传统的滤波算法相比，互模糊滤波在处理不确定性和噪声时更加有效，能够实现高精度的状态估计。
总的来说，状态估计算法在自动控制系统中发挥着重要的作用，实现高精度的状态估计将有助于提高自动化系统的控制性能和运行效率。
因此，在实际应用中，需要根据具体的应用场景来选择适合的状态估计算法，以实现最优的控制效果。
卡尔曼滤波器的状态方程和测量方程
卡尔曼滤波器的状态方程和测量方程
卡尔曼滤波器的状态方程和测量方程如下：
状态方程：X(k)=AX(k-1)+Bu(k-1)+W(k-1)。
其中，X(k)表示k时刻的状态向量，A是状态转移矩阵，u(k-1)是k-1时刻的控制输入向量，B是控制输入矩阵，W(k-1)是k-1时刻的噪声向量。
测量方程：Z(k)=HX(k)+V(k)。
其中，Z(k)表示k时刻的测量向量，H是测量矩阵，V(k)是k时刻的测量噪声向量。
卡尔曼滤波器的目的是通过综合测量值和预测值得到一个最优值，它采用分配权重的方式来综合结果。
具体来说，它通过状态方程来预测下一个结果，然后通过测量方程来矫正预测结果，从而得到最优值。
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于状态估计的强大工具，它在许多现代科
学和工程领域中都得到了广泛的应用。
这种滤波器能够从一系列不
完全、噪声干扰的测量中，估计出系统的真实状态。
它的应用范围
包括但不限于航空航天、导航、无人机、自动控制系统和金融领域。
卡尔曼滤波的核心思想是通过将先验信息（系统的动态模型）
和测量信息（传感器测量）进行融合，来估计系统的真实状态。
它
能够有效地处理测量噪声和模型不确定性，并且能够提供对系统状
态的最优估计。
卡尔曼滤波的工作原理是通过不断地更新系统状态的估计值，
以使其与实际状态尽可能接近。
它通过两个主要步骤实现这一目标，预测和更新。
在预测步骤中，根据系统的动态模型和先验信息，估
计系统的下一个状态。
在更新步骤中，根据测量信息，修正先前的
状态估计，以获得最优的系统状态估计。
卡尔曼滤波的优势在于它能够在计算复杂度相对较低的情况下，提供对系统状态的最优估计。
它还能够有效地处理非线性系统，并
且能够适应不同类型的测量噪声。
总的来说，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计工具，它在许多现代应用中都发挥着重要作用。
通过将先验信息和测量信息进行融合，它能够提供对系统状态的最优估计，为科学和工程领域的研究和应用提供了重要的支持。
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的五个公式如下：
1. 预测状态：
x̂_k = F_k * x̂_k-1 + B_k * u_k
其中，x̂_k为当前时刻k的状态估计值，F_k为状态转移矩阵，x̂_k-1为上一时刻k-1的状态估计值，B_k为外部输入矩阵，u_k为外部输入。
2. 预测误差协方差：
P_k = F_k * P_k-1 * F_k^T + Q_k
其中，P_k为当前时刻k的状态估计误差协方差矩阵，P_k-1为上一时刻k-1的状态估计误差协方差矩阵，Q_k为系统过程噪声的协方差矩阵。
3. 计算卡尔曼增益：
K_k = P_k * H_k^T * (H_k * P_k * H_k^T + R_k)^-1
其中，K_k为当前时刻k的卡尔曼增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的协方差矩阵。
4. 更新状态估计值：
x̂_k = x̂_k + K_k * (z_k - H_k * x̂_k)
其中，z_k为当前时刻k的观测值。
5. 更新状态估计误差协方差：
P_k = (I - K_k * H_k) * P_k
其中，I为单位矩阵。
控制系统状态估计
控制系统状态估计控制系统状态估计在现代工程和科学领域中扮演着至关重要的角色。
状态估计是指在缺乏完整信息的情况下，通过利用系统的测量和模型，对系统的状态进行预测和估计。
本文将介绍控制系统状态估计的基本原理和常用方法。
一、状态估计的基本原理在控制系统中，状态通常表示系统在某一时刻的内部特性或状态量。
然而，由于系统内部状态无法直接测量，我们需要通过测量系统的输出和利用系统动力学模型来进行状态估计。
状态估计的基本原理可以概括为以下几点：1. 状态空间模型：控制系统的状态通常由一组状态变量和输入变量构成的状态空间模型描述。
通过建立系统的状态方程和输出方程，可以描述系统的动态行为和状态演化规律。
2. 观测方程：观测方程用来描述系统的输出与状态之间的关系。
通过观测方程，我们可以利用系统的输出来估计系统的状态。
3. 测量噪声：在实际应用中，测量结果常常受到噪声的影响，因此我们需要考虑测量噪声对状态估计的影响。
常用的方法包括卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波等。
二、常用的状态估计方法根据系统的特点和需求不同，我们可以选择不同的状态估计方法。
下面将介绍两种常用的状态估计方法：卡尔曼滤波和粒子滤波。
1. 卡尔曼滤波卡尔曼滤波是一种线性高斯滤波方法，广泛应用于估计连续状态变量的问题。
卡尔曼滤波器通过将先验估计与测量融合，生成最优估计。
它的主要步骤包括：预测、更新、修正。
卡尔曼滤波器能够在有噪声和不确定性的情况下，准确地估计系统的状态。
2. 粒子滤波粒子滤波是一种非线性非高斯滤波方法，适用于非线性系统和非高斯噪声的情况。
粒子滤波通过利用一组粒子来表示系统的概率分布，通过重采样和权重更新来实现状态估计。
粒子滤波器能够灵活地适应各种非线性系统和不确定性情况，但计算复杂度较高。
三、应用领域和挑战控制系统状态估计广泛应用于自动驾驶、航空航天、机器人、通信等领域。
通过对系统状态的准确估计，我们能够设计出更优秀的控制算法，并提高系统的性能和可靠性。
经典卡尔曼滤波算法公式
经典卡尔曼滤波算法公式
卡尔曼滤波算法是一种基于状态估计的控制算法，经常应用于机器人控制、航空导航、车辆导航等领域。
下面是经典的卡尔曼滤波算法公式：
1. 状态预测方程：
x(k|k-1) = Fx(k-1|k-1) + Bu(k)
其中，x(k|k-1)表示第k步的状态预测值，F表示状态转移矩阵，B表示输入矩阵，u(k)表示第k步的控制输入。
2. 误差预测方程：
P(k|k-1) = FP(k-1|k-1)F' + Q
其中，P(k|k-1)表示第k步的估计误差，Q表示系统噪声协方差矩阵。
3. 状态更新方程：
K(k) = P(k|k-1)H'/(HP(k|k-1)H' + R)
x(k|k) = x(k|k-1) + K(k)(z(k) - Hx(k|k-1))
P(k|k) = (I - K(k)H)P(k|k-1)
其中，K(k)表示卡尔曼增益，z(k)表示测量值，H表示测量矩阵，R表示测量噪声协方差矩阵。
以上就是经典的卡尔曼滤波算法公式，可以在实际应用中根据具体情况进行调整和优化。
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卡尔曼 笔记 详解
卡尔曼滤波（Kalman Filtering）是一种最优滤波算法，用于从一系列测量值中估计出系统的状态。
它由卡尔曼于1960年提出，并被广泛应用于控制、信号处理、导航等领域。
卡尔曼滤波的基本原理是结合系统模型和测量数据，通过递归的方式进行状态估计。
它假设系统的状态遵循高斯分布，并通过更新步骤来不断修正状态的估计值。
卡尔曼滤波的核心思想是融合先验信息（系统模型）和后验信息（测量数据），以达到对状态的最优估计。
具体来说，卡尔曼滤波包括两个步骤：预测步骤和更新步骤。
预测步骤：1. 根据系统的动态模型，用状态转移矩阵和控制输入来预测系统的状态。
2. 通过状态转移矩阵和系统噪声协方差矩阵，预测系统状态的协方差。
更新步骤：1. 根据测量模型，将系统的状态映射到测量空间，并计算预测的测量值。
2. 根据测量模型的协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵，计算测量噪声。
3. 通过卡尔曼增益矩阵，将预测的状态和测量的信息进行融合，得到最优的状态估计。
4. 更新状态估计的协方差矩阵。
卡尔曼滤波的优点在于它能够在存在噪声和不确定性的情况下，通过动态地融合先验信息和后验信息，得到对系统状态的最优估计。
它还具有低计算复杂度和较好的实时性能。
然而，卡尔曼滤波的应用需要满足线性系统和高斯分布的假设，因此在非线性和非高斯系统中的应用需要进行适当的扩展，如扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter）和无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter）。
总之，卡尔曼滤波是一种重要的状态估计算法，它通过融合系统模型和测量数据，提供对系统状态的最优估计。
它在控制、信号处理和导航等领域具有广泛的应用，并为众多实时系统提供了有效的解决方案。
卡尔曼滤波基础知识
卡尔曼滤波基础知识卡尔曼滤波(Kalman filtering)是一种常用于估计被测量的物理系统状态的算法。
它最初在20世纪60年代由Rudolf Kalman发明，并被广泛应用于自动控制、导航、机器人、计算机视觉、信号处理等领域。
卡尔曼滤波的基本原理是通过测量系统中的输入和输出信号，得出最优的状态估计。
它利用数学模型来描述系统的动态行为，并从中预测未来状态。
此外，它还使用实际测量的数据来校正预测结果，从而提高估计的准确性。
卡尔曼滤波主要分为两个阶段：预测阶段和更新阶段。
预测阶段通过数学模型预测系统的状态，并计算出其协方差矩阵。
更新阶段则使用实际测量的数据进行校正，进一步提高估计的准确性。
卡尔曼滤波的数学模型通常以状态空间形式表示。
状态空间是一个向量空间，可以将系统的状态表示为该空间中的一个向量。
在状态空间中，系统状态和测量数据可以表示为向量和矩阵的形式，从而简化了卡尔曼滤波的计算。
卡尔曼滤波的估计过程涉及多个概率分布的计算，包括状态先验分布、状态后验分布、观测先验分布和观测后验分布等。
这些分布都可以通过贝叶斯公式进行计算，从而得出最优的状态估计。
卡尔曼滤波具有许多优点，最主要的是它可以通过测量数据自适应地调整估计的精度，因此可以很好地应用于动态和噪声环境下的系统。
此外，它还可以处理多个输入和输出，以及随时间变化的系统参数。
然而，卡尔曼滤波也有一些局限性。
例如，在高噪声环境下，其精度可能会受到限制。
此外，它对测量数据的特性和系统参数的行为做了一些假设，因此可能不适用于某些特殊情况。
在实际应用中，卡尔曼滤波通常需要与其他算法一起使用。
例如，它可以与模糊逻辑、神经网络等算法相结合，以提高估计的精度和鲁棒性。
此外，它还可以与传感器融合技术一起使用，以利用多个传感器的信息，进一步提高估计的准确性。
总之，卡尔曼滤波是一种强大的估计算法，可以应用于各种物理系统，并在自动控制、导航、机器人、计算机视觉、信号处理等领域取得了广泛应用。
卡尔曼滤波的状态方程和观测方程
文章标题：深入理解卡尔曼滤波的状态方程和观测方程一、引言1.卡尔曼滤波的定义和作用在现代控制理论和信号处理领域，卡尔曼滤波被广泛应用于估计系统状态和去除噪声。
作为一种最优滤波方法，卡尔曼滤波能够通过利用系统的动力学方程和观测方程，对系统的状态进行精确估计，对于实时系统状态的估计和预测起到了关键作用。
二、深入理解卡尔曼滤波的状态方程和观测方程1.状态方程的含义和作用在卡尔曼滤波中，状态方程描述了系统的状态如何随时间演变，通常用线性动力学方程表示。
状态方程可以帮助我们了解系统内部的运动规律，从而更准确地预测系统的未来状态。
以状态方程为基础进行状态估计，是卡尔曼滤波的核心步骤之一。
2.观测方程的含义和作用观测方程描述了系统状态的观测如何与系统的实际状态相关联，通常用线性观测方程表示。
观测方程帮助我们理解系统状态的测量过程，从而根据测量结果对系统状态进行修正和更新。
观测方程是卡尔曼滤波中实时状态更新的关键工具。
3.状态方程和观测方程的关系状态方程描述了系统内部的动态变化规律，观测方程描述了系统状态的外部观测过程，二者共同构成了卡尔曼滤波的基本数学模型。
在实际应用中，通过不断更新状态估计和观测结果，卡尔曼滤波能够有效地提高对系统状态的估计精度。
三、总结和回顾1.卡尔曼滤波的核心思想卡尔曼滤波通过将系统的动态方程和观测方程相结合，不断更新状态估计，从而实现对系统状态的最优估计。
这一核心思想在实际应用中展现出了巨大的优势，成为许多领域中不可或缺的工具。
2.状态方程和观测方程的重要性在卡尔曼滤波中，正确建立系统的状态方程和观测方程是保证滤波效果的关键因素。
只有深刻理解系统的动态特性和外部观测特性，才能准确估计系统的状态，并实现对系统行为的准确预测。
四、个人观点和理解1.对卡尔曼滤波的认识在实际工程和科研中，卡尔曼滤波作为一种最优化估计方法，对于处理具有随机噪声的系统状态估计问题具有很高的实用价值。
通过不断优化状态估计和观测结果，卡尔曼滤波能够提高系统状态估计的精度和稳定性。
卡尔曼滤波器公式
卡尔曼滤波器公式卡尔曼滤波器是一种用于状态估计、滤波和控制的数学算法。
它是一种递归滤波器，可以从不准确或带噪声的传感器和控制信号中准确地估计系统状态，并通过有效的控制策略来控制系统。
卡尔曼滤波器的核心思想是利用已知的信息（系统模型和传感器测量值），通过贝叶斯公式不断更新对系统状态的估计，得到更加准确的估计结果。
具体来说，卡尔曼滤波器中有两个主要方程：预测方程和更新方程。
预测方程可以描述系统状态随时间的演化，根据系统的动态模型，通过对当前系统状态的预测，得到下一时刻系统状态的预测值，并同时估计出预测误差协方差矩阵。
更新方程是通过将预测的系统状态和实际测量值进行比较，从而修改先前的状态估计。
根据贝叶斯定理，通过计算预测和测量之间的协方差矩阵，可以得到一个融合了预测和测量信息的信息矩阵，根据这个信息矩阵，可以得到新的状态估计和误差协方差矩阵。
卡尔曼滤波器公式包括预测方程和更新方程两部分，具体的数学公式如下：预测方程：x_{k+1k} = F_k x_{kk} + B_k u_kP_{k+1k} = F_k P_{kk} F_k^T + Q_k更新方程：K_k = P_{kk-1} H_k^T (H_k P_{kk-1} H_k^T + R_k)^{-1}x_{kk} = x_{kk-1} + K_k (z_k - H_k x_{kk-1})P_{kk} = (I - K_k H_k) P_{kk-1}其中，x_{kk} 表示在k 时刻，基于先前的观测信息以及模型预测得到的状态向量；P_{kk} 表示在k 时刻，基于先前的观测信息以及模型预测得到的状态估计误差协方差矩阵；F_k 表示系统动态方程，B_k 表示控制矩阵，u_k 表示控制信号；Q_k 表示过程噪声；z_k 表示传感器观测值；H_k 表示传感器的观测矩阵；R_k 表示传感器的观测噪声协方差矩阵；K_k 表示在k 时刻，通过比较预测和观测值，得到的卡尔曼增益。
(完整)卡尔曼滤波介绍
卡尔曼滤波一、卡尔曼滤波的起源谈到信号的分析与处理，就离不开滤波两个字。
通常，信号的频谱处于有限的频率范围内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内，为了消除噪声，可以把FIR滤波器或者IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤波。
但在许多应用场合，需要直接进行时域滤波,从带噪声的信号中提取有用信号。
虽然这样的过程其实也算是对信号的滤波，但其所依据的理论，即针对随机信号的估计理论,是自成体系的.人们对于随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”.为了“估计"，要事先确定某种准则以评定估计的好坏程度.最小均方误差是一种常用的比较简单的经典准则。
对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先给出的.当时美国的一个战争研究团体发表了一个秘密文件，其中就包括维纳关于滤波问题的研究工作，这项研究是用于防空火力控制系统的.维纳滤波器是基于最小均方误差准则的估计器。
为了寻求维纳滤波器的冲激响应,需要求解著名的维纳–霍夫方程。
这种滤波理论所求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。
从维纳–霍夫方程来看，维纳滤波算法是十分低效的。
这种算法要求设置大量的存储器来保存过去的测量数据,一个新的数据到来后，要进行刷新，重新计算自相关和互相关序列。
再者，求解这个方程需要耗费大量时间对高阶矩阵求逆。
因此,维纳滤波算法难以运用于实时处理中，尤其是无法用于军事、航空航天等领域。
为此,许多科技工作者进行了多方探索，但在解决非平稳过程的滤波问题时,能给出的方法很少。
到20世纪50年代中期，随着空间技术的发展，要求对卫星轨道进行精确地测量，这种方法越来越不能满足实际应用的需要。
为此，人们将滤波问题以微分方程表示,提出了一系列适应空间技术应用的精炼算法。
1960年和1961年，卡尔曼（R. E. Kalman）和布西（R. S。
Bucy)提出了递推滤波算法，成功的将状态变量引入到滤波理论中来，用消息与干扰的状态空间模型代替了通常用来描述它们的协方差函数，将状态空间描述与离散数间刷新联系起来，适于计算机直接进行计算，而不是去寻求滤波器冲激响应的明确公式。
卡尔曼滤波p和测量值方差_概述及解释说明
卡尔曼滤波p和测量值方差概述及解释说明1. 引言1.1 概述在现代科学和工程领域中，卡尔曼滤波是一种重要的估计和预测技术。
它通过对系统状态进行连续观测和更新，使得能够更准确地估计系统的实际状态并预测未来状态。
而在卡尔曼滤波中，p值和测量值方差扮演着重要的角色。
1.2 文章结构本文将首先介绍卡尔曼滤波的概念以及p值和测量值方差的基本概述。
然后，详细解释p值在卡尔曼滤波中的作用与含义，并分析测量值方差在滤波过程中的作用。
接下来，我们将讨论p值和测量值方差之间的关系，并说明其相互影响以及如何优化它们。
此外，我们还将通过示例分析和实际应用案例介绍来进一步说明这些概念。
最后，在结论与展望部分，我们将对整篇文章进行总结，并提出改进建议与未来研究方向。
1.3 目的本文旨在帮助读者更好地理解卡尔曼滤波中p值和测量值方差的概念和作用，并探讨它们的关系。
通过深入解释和实际应用案例介绍，读者将能够更好地理解这些概念在估计和预测问题中的重要性。
同时，本文还旨在为未来的研究提供启示和参考，促进卡尔曼滤波技术的发展和应用。
2. 卡尔曼滤波p和测量值方差概述2.1 卡尔曼滤波简介卡尔曼滤波是一种常用的状态估计算法，主要用于根据系统的动态模型和观测数据来对未知变量进行估计。
它最早由卡尔曼在1960年提出，并被广泛应用于航空航天、导航、自动控制等领域。
卡尔曼滤波的核心思想是通过融合系统模型预测和实际观测值，得到更加准确可靠的状态估计结果。
其中，p和测量值方差是卡尔曼滤波中两个重要参数。
2.2 p和测量值方差的概念解释在卡尔曼滤波算法中，p代表状态估计误差的协方差矩阵。
该矩阵描述了当前状态估计与真实状态之间的误差关系。
通常情况下，p越小代表估计结果越准确，反之则表示不确定性更大。
而测量值方差则指的是传感器或观测系统提供的观测数据的不确定性程度。
具体而言，它反映了传感器测量过程中的随机误差或噪声。
测量值方差越小，说明观测数据越准确可靠，反之则表示观测数据受噪声干扰较大。
8 状态估计(卡尔曼滤波)
8 状态估计(卡尔曼滤波)内容提要本章将介绍状态估计方法。
一般来讲，观测向量的维数总是小于系统状态向量的维数。
其原因主要基于以下两点：首先，在很多情况下系统的状态变量没有明确的物理意义，根本无法直接通过仪器设备获得；其次，为了减少系统的投资，在可能的条件下，观察量应尽量减少。
本章就讨论如何通过观察向量去估计系统的状态向量，主要内容为：离散随机系统的数学描述，最小方差估计，线性最小方差估计，最小二乘估计和投影定理以及离散系统的卡尔曼滤波。
最小方差估计是一种理想的估计，但需要了解被估计量的概率分布或密度，这就限制了应用，线性最小方差估计只需要了解被估计量的一阶矩和二阶矩，这在实际中容易实现，因此应用的比较广泛，卡尔曼滤波是一种递推的线性最小方差估计。
最小二乘估计不需要知道关于被估计量概率分布和矩的任何先验信息，只要采集足够多地的相互独立的样本就可以实现最小二乘估计。
最小二乘估计也是实际中最常用的估计方法之一。
习题与解答8.1试求常数a , 使()()()22E X a x a p x dx ∞-∞⎡⎤-=-⎣⎦⎰取最小值，其中X 是随机变量。
解 注意22()()()2()()2[()()]2()d E x a x a p x dx da a x a p x dxxp x dx a p x dx Ex a ∞-∞∞-∞∞∞-∞-∞∂-=-∂=--=--=--⎰⎰⎰⎰令此导数等于零，可得a Ex = □8.2. 根据两次观测1311201110x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；[]2512x e =+ 求x 的最小二乘估计。
解 ()Y X XX x T T 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-51232011110121011011201111011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2115963331□8.3 如公式()1T T LS X H H H Z ∧-=中的()TH H 没有逆存在，那代表什么情况？解 如()T H H 无逆，则ˆLS X 公式推导过程中只能得到()T T H H X H Z =，由于||0T H H =，可知方程有无穷多组解，即Z HX =的解不唯一，估计值不确定。
现代控制理论CA08状态方程-文档资料
向量形式的状态方程和输出方程
1 0 ... 0 0 x1 0 x 0 0 1 ... 0 0 2 : : : : : : x : u : : : : : : : x a a a ... a b 1 2 n1 n 0 0
x1 y 0 1 x2
例2
（1）微分方程
dy d y m b k yu d t d t
（2）状态变量
2
x1 y
x2 y
（3）状态方程与输出方程
x1 x 2 k b 1 x x x u 2 1 2 m m m
y x1
标准形式
0u 1u 2u
u n 1
系数可通过下式得到
0 bn b a 1 n 1 n 1 0 2 b n 2 a n 1 1 a n 2 0 : n b 0 a n 1 n 1 a1 0 a 0 0
b u b u n n 1
( n 1 )
选择状态变量,使导出的一阶微分方程组 的等式右边不出现u的导数项。通常把状态 变量取为y和u的各阶导数的组合。
x1 y x x 2 1 x3 x2 : x n x n1
• 状态变量组的不唯一性 任意两个状态变量组之间的关系
x Px
x Qx个状态x和x’之间为线性非 奇异变换关系
8.2 状态方程
状态方程：反映系统状态变量组x和输 入变量组u之间的动态因果关系
xf (xut , ,)
输出方程：表征系统变量组x与输入变 量组u和输出变量组y之间的转换关系
卡尔曼滤波(Kalman Filter)原理与公式推导
一、背景---卡尔曼滤波的意义随着传感技术、机器人、自动驾驶以及航空航天等技术的不断发展，对控制系统的精度及稳定性的要求也越来越高。
卡尔曼滤波作为一种状态最优估计的方法，其应用也越来越普遍，如在无人机、机器人等领域均得到了广泛应用。
对于Kalman Filter的理解，用过的都知道“黄金五条”公式，且通过“预测”与“更新”两个过程来对系统的状态进行最优估计，但完整的推导过程却不一定能写出来，希望通过此文能对卡尔曼滤波的原理及状态估计算法有更一步的理解。
二、卡尔曼滤波的基本模型假设一离散线性动态系统的模型如下所示：x_{k} = A*x_{k-1} + B*u_{k} + w_{k-1}-------(1)z_{k} = H*x_{k} + v_{k} --------------------(2)其中，各变量表征的意义为：———————————————————————————x_{k}\Rightarrow 系统状态矩阵，-------， z_{k}\Rightarrow 状态阵的观测量（实测）A\Rightarrow 状态转移矩阵，-------， B\Rightarrow 控制输入矩阵H\Rightarrow 状态观测矩阵w_{k-1}\Rightarrow 过程噪声，-------，v_{k}\Rightarrow 测量噪声———————————————————————————如果大家学过《现代控制理论》的话，对上述模型的描述形式一定不会陌生，只是多了变量 w_{k-1} 与 v_{k} 。
其中，随机变量w_{k-1} 代表过程噪声（process noise）， v_{k} 代表测量噪声（measurement noise），且为高斯白噪声，协方差分别为 Q 和 R ，即 p(w) \in N(0,Q) ， p(v) \in N(0,R) 。
为什么要引入这两个变量呢？对于大多数实际的控制系统（如倒立摆系统）而言，它并不是一个严格的线性时变系统(Linear Time System)，亦或系统结构参数的不确定性，导致估计的状态值x_{k} 存在偏差，而这个偏差值由过程噪声 w_{k} 来表征。
状态估计卡尔曼滤波
分别对a(k)和b(k)求导，并令其等于0，求其最佳估计，得出 a(k)与b(k)的关系：
a(k)=a［1-cb(k)］
最后有递归估值器：
Xˆ (k) aXˆ (k 1) b(k)[ z(k) acXˆ (k 1)]
34
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b(k)为滤波器增益
其中,
b(k
)
n jni
1 m2
j
n2 ji
i
当i=j时δij=1，当i≠j时δij=0，有
ij m
最后得：
P
2 n
m
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结论
^
①估计值 是X用m个采样值的平均值作为被
估参量x的近似值；
②估值器的均方误差随着m的增加而减少；
③该估值器是一个无偏估值器。
E(Xˆ )
E
1 m
i 1
当h1=h2=…=hm=1/m时，
Xˆ
1 m
m i 1
zi
该式表明，估计Xˆ 是用m个采样值的平均值作为被估参量x的
近似值的，故称其为采样平均估值器。
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估计的均方误差以Pε表示，有
P
E( 2 ) E ( Xˆ x)2
E
1 m2
m j1
m i1
yk zk
ayk1 x nk
zk
式中，zk与非递归情况相同；a是一个小于1的滤波器加权系数，
如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。
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k时刻的输出： yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
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随机差分方程模型
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n)
b0u (k ) b1u(k 1) bmu(k m) (k ) c1 (k 1) c p (k p)
2005-11-5
第八章 状态估计
2005-11-5
% % EXX
第八章 状态估计
ˆ (Z ) 等于 X 的条件 定理8.2.1X 的最小方差估计 X ˆ (Z ) E( X / Z ) 条件均值为 X
证:
% % 使 EXX 最小，等价于使
ˆ ( z)) p( x / z)dx ˆ ( z)) ( X X (X X
第八章 状态估计
第八章 状态估计（卡尔曼滤波）
8.1 系统的描述 8.2 最小方差估计 8.3 线性最小方差估计
8.4 最小二乘估计
8.5 投影定理 8.6 卡尔曼滤波-状态估计
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第八章 状态估计
8.1 系统的描述
8.1.1状态空间模型
随机状态空间模型描述：
X k k ,k 1 X k 1 Bk 1Uk 1 k 1Wk 1
估计误差的方差为
ˆ )2 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 5 E( X X V 10 3 10 3 10 4 10 4 10 3 10 3 24
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第八章 状态估计 表8-2
z x -1 -1 0 0 1 1 2
1/10 2/10
0
1
ˆ E( X / Z ) 解: X V
1/10 3/10
1/10 2/10
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第八章 状态估计
1 3 , z 1 3 , z0 4 5 3, z 1
1 1
DX cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X )
在右边加减 cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X ) 后配方，得
E X a BZ X a BZ bb B cov( X , Z )(DZ ) DZ B cov( X , Z )(DZ )
2 2 2 2 2 2
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第八章 状态估计
例8.2.3 设Z HX V，其中 V R m 为测量噪声，
V : N (0, R) ；X Rn，X : N ( , P) ； X 、 V 互相独
立， H R mn 。试求 X 的最小方差估计. 解: 由已知可求出
cov( X , Z ) PH cov (Z , X )
合概率密度或条件概率密度 P( X / Z ) ，在工程上 常常难以实现。
ˆ ( Z ) a BZ 称为 x 的线性估计，其中 8.3.1 X 为 n m 常阵，Z 为m维观测向量。 为常量，
定义8.3.2 使误差方差阵
% X X ˆ (Z ) X X ˆ (Z ) DX
% % 阵 EXX 最小
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第八章 状态估计
ˆ (Z ) ˆ (Z ) X X E X X MV MV
例8.2.1 设被估计量 x 和观测量 z 的联合分布 如表8-1所示， 试求 x 的最小方差估计。 表8-1 x z -1 1 -3 1/4 0 -2 1/4 0 2 0 1/4 3 0 1/4
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第八章 状态估计
ˆ ( Z ) a BZ 称为线性最小方差 最小的线性估计 X ˆ (Z ) 估计 ，记为 X L
令 则 于是有
b aEx BEZ
a b EX BEZ
ˆ ˆ E X X (Z ) X X (Z ) E X a BZ X a BZ ＝ E X EX b B[Z EZ ] X EX b B[Z EZ ]
1 1
DX cov( X , Z )( DZ )1 cov(Z , X )
最小,必须令 b 0 ，B cov( X , Z )( DZ )1 要方差 DX 由此推得：
ˆ (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ ) X L
L
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第八章 状态估计 例8.3.1 设被估计量 X和 Z观测量的联合分布如表 8-1，试求 X 的线性最小方估计
解: 根据表中数据可以求出：
1 1 EX (2 3 2 3) 0 EZ (1 1 1 1) 0 4 4 1 13 DX [22 32 (2) 2 (3) 2 ] 4 2 1 2 2 DZ [1 1 (1) 2 (1) 2 ] 1 4 5 cov( X , Z ) [1 2 1 3 (1)(2) (1)(3)] Z 2
(1)线性
ˆ a BZ X L
ˆ E[ EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ )] EX (2)无偏性 EX L
(3)正交性
ˆ )Z Biblioteka 0 E( X X Lˆ )( BZ ) 0 由于 E ( X X L ˆ )(Z EZ ) 所以 E( X X
D( X
z )g ( z )dz
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第八章 状态估计
ˆ E( X / Z ) 解 X V
5 , 当 z -1 时 2 5 , 当 z 1时 2
例8.2.2
已知被估计量 x 和观测量 z 的联合分布
如表8-2所示,试求 x的最小方差估计和线性最小 方差估计。
2 2 3 1 2 2 1 DZ (1) 1 5 10 10 10 10
1 17 2 7 1 3 2 13 3 cov( X , Z ) (1) (1) 10 10 10 10 10 10 10 10 5
10 10 10 10 10 1 2 1 2 EZ (1) 1 0 10 10 10 10
2 2 2 2 2 2
1 17 2 7 1 7 3 3 1 3 2 173 81 DX 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 100
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第八章 状态估计
X 的线性最小方差估计为
ˆ (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ ) X L
3 10 , z 1 7 7 Z , z0 10 10 17 10 , z 1
估计误差为方差
进而求得
ˆ (Z ) EX cov( X , Z )( DZ )1 (Z EZ ) 0 5 1 Z 5 Z X L 2 2
2005-11-5
第八章 状态估计
ˆ (Z ) 例8.3.2 已知 X 和 Z的联合分布如表8-2,试求 X L
解： EX 1 (1) 3 1 1 1 2 2 7
＝ DX bb BD(Z ) B cov( X , Z ) B B cov(Z , X )
2005-11-5
第八章 状态估计
E X a BZ X a BZ bb B cov( X , Z )(DZ ) DZ B cov( X , Z )(DZ )
81 3 21 1 ˆ D[ X X L ( Z )] DX cov( X , Z )( DZ ) cov( Z , X ) 100 5 100
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第八章 状态估计 小于前面最小方差估计时的误差方差
5 ˆ D( X X V ) 24
线性最小方差估计的统计性质为：
% % ˆ (Z )) ( X X ˆ (Z )) EXX E( X X
ˆ ( z)) ( x, z)dxdz ˆ ( z ))( X X (X X
[
ˆ ( z)) p( x / z)dx] g ( z)dz ˆ ( z )) ( X X (X X
ˆ ˆ [ X ( z ) E ( X z )] [ X ( z ) E ( X z )]
[ X E( X
z)][ X E ( X z )] p( X z )dx D( X z )
ˆ ( z) E( X z) X ˆ (Z ) 时，方差 可知，当且仅当 X MV
8.2 最小方差估计
% % 最小的估计 定义8.2.1 使误差方差阵 EXX
ˆ (Z ) X v
ˆ (Z ) 是一个随机向量。 X 叫 X 最小方差估计，
设 X 的概率密度为 f ( x)，Z的概率密度为 g ( z)，
二者的联合概率密度为 ( x, z ),则在Z=z 条件
X 的条件概率密度为 p x z ( x, z ) / g ( z ) 下， ˆ (Z )的误差方阵为 X
最小。注意到
ˆ ( z ))( X X ˆ ( z)) p( x / z)dx ( X X
ˆ ( z )] p( x / z )dx ˆ ( z )] [ X E ( X z ) E ( X z ) X [ X E ( X z ) E ( X z ) X