五年级下册数学思维训练讲义-第二单元第五讲流水问题人教版

第五讲 流水问题
第一部分：趣味数学
今有垣厚五尺，两鼠对穿。

大鼠日一尺，小鼠亦一尺。

大鼠日自倍，小鼠日自半。

问：何日相逢？各穿几何？
题意是：有垛厚五尺（旧制长度单位，1尺=10寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞。

大鼠第一天打进1尺，以后每天的进度为前一天的2倍；小鼠第一天也打进1尺，以后每天的进度是前一天的一半。

它们几天可以相遇？相遇时各打进了多少？
此题刊于我国著名的古典数学名著《九章算术》一书的“盈不足”一章中。

《九章算术》成书大约在公元一世纪，由于年代久远，它的作者以及准确的成书年代，至今尚未能考证出来。

该书是采用罗列一个个数学问题的形式编排的。

全书共收集了246道数学题，分成九大类，即九章，所以称为《九章算术》。

第二部分：奥数小练
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。

流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程） 的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速，（1）
逆水速度=船速-水速.（2）
这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水两鼠穿垣
在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。

根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：
水速=顺水速度-船速，
船速=顺水速度-水速。

由公式（2）可以得到：
水速=船速-逆水速度，
船速=逆水速度+水速。

这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。

另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。

【例题1】甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

【思路导航】根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。

顺水速度：208÷8=26（千米/小时）
逆水速度：208÷13=16（千米/小时）
船速：（26+16）÷2=21（千米/小时）
水速：（26—16）÷2=5（千米/小时）
答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。

练习一1.甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？
2.一艘每小时行25千米的客轮，在大运河中顺水航行140千米，水速是每小时3千米，需要行几个小时？
3.一只小船静水中速度为每小时30千米。

在176千米长河中逆水而行用了11个小时。

求返回原处需用几个小时。

【例题2】某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？
【思路导航】要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。

从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/小时），
甲乙两地路程：18×8=144（千米），
从乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小时），
返回时逆行用的时间：144÷12＝12（小时）。

答：从乙地返回甲地需要12小时。

练习二1.一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米.已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等.求船速和水速。

2.两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时.逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河水流速度。

3.A、B两码头间河流长为90千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时启航.如果相向而行3小时相遇，如果同向而行15小时甲船追上乙船，求两船在静水中的速度。

【例题3】甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？
【思路导航】要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间。

并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度。

在此基础上再用和差问题解法求出水速。

轮船逆流航行的时间：（35+5）÷2=20（小时），
顺流航行的时间：（35—5）÷2=15（小时），
轮船逆流速度：360÷20=18（千米/小时），
顺流速度：360÷15=24（千米/小时），
水速：（24—18）÷2=3（千米/小时），
帆船的顺流速度：12＋3＝15（千米/小时），
帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小时），
帆船往返两港所用时间：
360÷15＋360÷9＝24+40=64（小时）。

答：机帆船往返两港要64小时。

练习三1.乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船
顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时？
2. 一条大河，河中间的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米，
一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米，求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？
3.两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时，逆流而,上，行完全程周要16小时，求这条河水流速度。

4.
【例题4】小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？
【思路导航】此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速，所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度=（船速+水速）-水速=船速。

路程差÷船速=追及时间
2÷4=0.5（小时）
答：他们二人追回水壶需用0.5小时。

练习四1. 某河有相距45千米的上、下两码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行.一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，4分钟后，与甲船相距1千米.预计乙船出发后几小时可以与此物相遇？
2.船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上,需用15小时，由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只要9小时，那么逆水而行,需要几小时？
3. 甲乙两船分别从a港顺水而下至480千米外的b港，静水中甲船每小时行56千米，乙船每小时行40千米，水速为每小时8千米，乙船出发1.5小时，甲船才出发到b港返回迎面相遇，此处距a岗多少千米？
【例题5】甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？
【思路导航】①相遇时用的时间
336÷（24+32）
=336÷56
=6（小时）。

②追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：
336÷（32—24）＝42（小时）。

答：两船6小时相遇；乙船追上甲船需要42小时。

练习五1.一位少年短跑选手顺风跑90米，用了10秒，在同样的风速下，逆风跑70米也用了10秒，他在无风时跑100米要用多少秒？
2.轮船用同一速度往返于两码头之间，它顺流而下行了8小时，逆流而上行了10小时，如果水流速度是每小时3千米，两码头之间的距离是多少千米？
3.甲乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是每小时
4千米，求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时?由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？
元代数学家朱世杰
朱世杰是我国元代数学家，字汉卿,号松庭，著有《算学启蒙》《四元玉鉴》等书。

他和秦九韶、李冶、杨辉是我国宋元时期最著名的数学家。

关于朱世杰的生平，遗留下来的资料很少.在别人为他的著作所写的序言中有:“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣，四方之来学者日众”“汉卿名世杰，松庭其自号也，周流四方，复游广陵，踵门而学者云集”。

由此可知，朱世杰曾以数学教学和数学研究为业，游学四方。

他从事这些活动的时代，大约是在13世纪后期的20~30年和14世纪开头的10~20
年之间。

《算学启蒙》全书共三卷20门259个问题，从简单的四则运算入手，逐步深入，直至高次开方、天元术等较高深的内容，形成了比较完整的体系，在当时是一部较好的数学启蒙读本。

在全书开头，朱世杰列出了各种常用数据、基本运算法则、歌诀等共18条. 其中的归除歌诀与后世珠算所用歌诀完全相同；所给出的正负数乘除法法则，在中国数学史上也是首次出现。

《算学启蒙》继承了《九章算术》以来中国古代数学的传统,书中问题大都与当时的社会实际生活有关,对元代社会史、经济史的研究，有一定参考价值。

此书曾流传至朝鲜和日本。

中国现存的《算学启蒙》，就是根据1660年的朝鲜刻本于1839年翻刻的。

《四元玉鉴》全书三卷24门288问。

从书中所包含的数学内容来看，高次方程组的(最多可包括四个未知数)解法、高阶等差级数求和、高次内插法等都是书中的重要内容。

在宋代天元术和增乘开方法的基础上，13世纪中叶以后，天元术迅速发展成为四元术。

祖颐在为《四元玉鉴》所写的后序中说:“平阳(山西临汾)蒋周(13世纪)撰《益古》，博陆(河北蠡县)李文一撰《照胆》，鹿泉(河北获鹿)石道信撰《钤经》，平水(山西绛县)刘汝谐撰《如积释锁》，绛(山西新绛)人元裕细草之，后人始知有天元也。

平阳李德载因撰《两仪群英集臻》，兼有地元.霍山(山西临汾)邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》，末仅有人元二问。

吾友燕山朱汉卿先生演数有年，探三才之颐，索《九章》之稳，按天地人物立成四元，……”其中讲的正是这一段由天元术发展到四元术的历史。

虽然《四元玉鉴》还只是给出了包含有四次差的公式，但由于朱世杰已经知道公式各项系数正是前述一系列高阶等差级数(5)式的“积”,可以认为朱世杰已经通晓了任意高次的招差法公式。

这比西方要早四百余年。

综上所述，朱世杰不愧是宋元时代杰出的数学家。

清代《畴人传续编》评论他说“汉卿在宋元间,与秦道古(九韶)、李仁卿(李冶)可称鼎足而三。

道古正负开方、仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量,神而明之,尤超越乎秦李两家之上。

”美国著名的科学史家G・萨顿评论说:“朱世杰是他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家，而他所著的《四元玉鉴》则是中国数学著作中最重要的一部，同时也是整个中世纪最杰出的数学著作。

”
参考答案：
练习一
1.从甲到乙顺水速度：234÷9＝26（千米/小时）从乙到甲逆水速度：234÷13＝18（千米/小时）船速是：（26+18）÷2=22（千米/小时）
水速是：（26-18）÷2＝4（千米/小时）
2.顺水速度：25+3=28（千米/小时）
顺水行140千米所需时间：140÷28=5（小时）3.水速：30-（176÷ll）=14（千米/小时）
返回原处所需时间：176÷（14＋30）＝4（小时）练习二
1.逆水速度：18×2÷3=12（千米/小时）
船速：（18+12）÷2=15（千米/小时）
水流速度：（18-12）÷2=3（千米/小时）
2.（352÷11-352÷16）÷2=5（千米/小时）
3.90÷3＝30（千米/小时）
90÷15=6（千米/小时）
甲船速度：（30＋6）÷2=18（千米/小时）
乙船速度：（30-6）÷2＝12（千米/小时）
练习三
1.乙船顺水速度：120÷2=60（千米/小时）
乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小时）
水流速度：（60-30）÷2＝15（千米/小时）
甲船顺水速度：12O÷3＝4O（千米/小时）
甲船逆水速度：40-2×15=10（千米/小时）
甲船逆水航行时间：120÷10=12（小时）
甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）
2. 260÷(260÷6.5-8-6)=10(小时)
3. (352÷11-352÷16) ÷2=5 (千米/小时)
练习四
1. 船速：1000÷4=250（米/分）
相遇时间：45000÷250=180（分）=3（小时）
2.船在静水中的速度是：(180÷10+180÷15)÷2= 5(千米/时) 暴雨前水流的速度是：(180÷10-180÷15)÷2= 3(千米/时) 暴雨后水流的速度是180÷9-15=5(千米/时)
暴雨后船逆水而上用的时间为180÷（15-5）=18（小时）
3.甲船顺水行驶，全程需要，480÷(56+8)=7.5(小时)
乙船顺水行驶，全程需要，480÷(40-8)=10小时
甲船到达b港时，乙船行驶1.5+7.5=9小时，还有一小时的路程48千米，既乙船与甲船的相遇路程。

甲船逆水与乙船顺水速度相等，故相遇时再相遇路程的中点处，距离b港24千米处，此处距离a港480-24=456千米。

练习五
1.根据题意可知，这个短跑选手的顺风速度为90÷10=9（米/秒），逆风速度为70÷10=7（米/秒），那么他在无风时的速度(9+7) ÷2=8（米/秒）
2.由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相同，他们用的时间比为8:10，那么时间小的速度大，因此顺水速度和逆水速度比就是10：8。

设顺水速度为10份，逆水速度为8份，则水流速度为（10-8）÷2=1份，恰好是3千米/时，所以顺水速度是10×3=30千米/时，所以两码头间的距离为30×8=240千米。

3.顺水而行的时间是：144÷（20+40）=6（小时）
逆水而行的时间是：144÷（20-4）=9（小时）。