考研只定积分复习必备部分
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题目1【P266 华中工学院——复旦P294九题】
函数()f x 在[0,1]上有定义，且单调不减，证明：对于任何(0,1)a ∈有
1
()()a
f x dx a f x dx ≥⎰
⎰.
方法 1 用函定积分换元法+数单调性
证明： 由(0,1)a ∈，对∀0t >，有0at t <<，又()f x 在[0,1]上单调不增，有
()()f at f t ≥.从而，1
11
()()()()x at a
f x dx af ax dx af t dt a f x dx =≥==⎰⎰⎰⎰.
于是，问题得证.
1
()()a
f x dx a f x dx ≥⎰
⎰成立.
方法 2 用函数单调性积分中值定理+比较原理
解析：作为一个有心的学者应记住结论一些基本结论，虽然不是一个定理，但是却是我们学习知识应具备的一些基本素能.
()f x 在[0,1]单调，对任意的(0,1)a ∈，总有结论：
10
11()()()1a
a f x dx f a f x dx a a ≤≤-⎰⎰.
注意：积分第一中值定理
10
()()1()1(),(0,)a
a
f x dx f x dx f dx af a εεε=∙==∈⎰
⎰⎰，
1
11
()()1()1(1)(),(0,)a
a
a
f x dx f x dx f dx a f a ηηη=∙==-∈⎰
⎰⎰
于是1
011()(),()(),1a a
f f x dx f f x dx a a εη=
=-⎰⎰ ()f x 单调不增，有()()()f f a f εη≥≥，即有结论
10
11()()()1a
a f x dx f a f x dx a a ≤≤-⎰⎰. 证明：因为 ()f x 在[0,1]单调，对任意的(0,1)a ∈，总有结论：
1011()()()1a
a f x dx f a f x dx a a
≤≤-⎰⎰. 于是 1
()(1)()()(),a a a
a
a
f x dx a f x dx f x dx a f x dx ≥-=-⎰
⎰⎰⎰
()(()())a
a a
a
f x dx f x dx a f x dx ≤+-⎰
⎰⎰
()a
f x dx =⎰
得证
1
()()a
f x dx a f x dx ≥⎰
⎰.
方法三 积分中值定理
推广：对于此题目，易知对于01a =或，不等式1
()()a
f x dx a f x dx ≥⎰⎰总成立.
解析：函数()f x 在[0,1]上有定义，且单调不减，即是说()f x 在[0,1]连续.
由积分中值定理得
1
()()()(),(0,),(0,1)a
f x dx a f x dx af af a εηεη-=-∈∈⎰
⎰其中.
如何能证到()()f f εη>，如果(0,),(,1)a a εη∈∈则此题就得证.
证明：对任意(0,1)a ∈，由
1
1
()()()a a
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰，
得
1
1
()()(1)()()a
a
a
f x dx a f x dx a f x dx a f x dx -=--⎰
⎰⎰⎰
函数()f x 在[0,1]上有定义，且单调不减，即是说()f x 在[0,1]连续. 由积分中值定理得
10
()()a
f x dx a f x dx -⎰
⎰1
(1)()()a a
a f x dx a f x dx =--⎰⎰
1
(1)()1()1(0,),(,1)a
a
a f dx af dx a a εηεη=--∈∈⎰⎰，其中
(1)()(1)()a a f a a f εη=---
(1)(()())a a f f εη=--
再()f x 在[0,1]上有定义，且单调不减，而(0,),(,1)a a εη∈∈， 于是()()f f εη>，即是
1
()()0a
f x dx a f x dx ->⎰
⎰.
方法四 构造辅助函数法 令1
()()(),(0,1)x
g x f t dt x f t dt x =
-∈⎰
⎰.
由于函数()f t 在[0,1]上有定义，且单调不减，所以()g x 在(0,1)x ∈内可导，
两边求导得
1
111
()()()()()[()()]g x f x f t dt f x dt f t dt f t f x dt '=-
=-=-⎰
⎰⎰⎰，
由于()f x 单调不减，且0,()()0x t f x f t ≤≤-≥所以，
从而 ()0,()g x g x '≥是单调不减函数，所以当[0,1]x ∈时，有()(0)0g x g ≥=， 即1
()()()0x
g x f t dt x f t dt =
-≥⎰
⎰成立.
对任意1
[0,1],()()()0x
x g x f t dt x f t dt ∈=-≥⎰
⎰恒成立.
所以
1
()()0x
f t dt x f t dt -≥⎰
⎰成立，对任意(0,1)((0,1)[0,1])a ∈⊆.