弹性力学应力分析PPT课件

• 分量表示
t (ei )
j
ij
30.07.2020
23
21 12
32 31 13
11
33
x2
x3
x1
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土木工程专业：弹性力学
❖任意斜截面上的应力矢量
• 面积 dA，外法线单位矢量n
• 斜平面上应力矢量t(n)
四面体为 脱离体：
微元面积之 间的关系：
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d1AdA cosdAn1 d2 AdA cosdAn2
have
ij ji
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土木工程专业：弹性力学
三、应力张量分解
1
柯西应力张量还可以表示为 ij 13kkij sij
The first term in the right-hand is called spherical stress tensor and the second term called deviator stress tensor.
components ji are components of a second-
order Cartesian tensor. This tensor is called
Cauchy stress tensor.
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❖二阶应力张量的矩阵表示
11 12 13
pyxlyymyn z
pzzx lym z zn
xy zx
xy y yz
zx l yz m z n
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二、应力矢量的法切分量
❖总应力t（ total stress ）
t2 ti(n) ti(n) ( ijnj)(iknk)ijiknjnk ❖正应力（ normal stress ）
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❖正六面体上的应力矢量
• 矢量表示
e1、e2、e3为沿坐标的单位矢量
t(e1)1e1 11e 2 21e3 3 1je j
22
t(e2)2e1 12e 2 22e 3 3 2 je j
t(e3)3e1 13e 2 23e 3 33je j
that is
t(ei) ijej
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总体概述
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第三章 应力分析
第一节 柯西应力张量 第二节 斜截面上应力分量 第三节 应力张量坐标变换 第四节 主应力和主方向 第五节 八面体上的应力 第六节 平衡微分方程
dA 3dAcosdAn3
dAHale Waihona Puke Baidu dAni
6
dAi dAni
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在x1方向平衡：
t (n)
1
dA
11dA121dA2 31dA3
0
t 1 ( n ) d A 1 d 1 n 1 A 2 d 1 n 2 A 3 d 1 n 3 A 0
消去dA，得 t1 (n )1n 1 12n 1 23n 1 3 j1nj
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展 开
t σn (n)
t1 (n )1n 1 11n 2 21n 3 3 t2 (n )2n 1 12n 2 22n 3 3 t3 (n )3n 1 13n 2 23n 3 3
11 21 31
12 22 32
矩阵
1233nn12
33n3
世 俗
px xlxm y zn x x
ij 13kkij sij
• 矩阵形式
sij ij pij
11p 12
13 x p xy
zx
s 21 22p
2 3
xy
y p
yz
31
32 33p zx
yz z p
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第二节 斜截面上应力分量
一、应力矢量的坐标分量 ti(n) jinj ij nj
σ 21
22
23
31 32 33
Where 11, 22, 33 are normal stresses, and 12, 13, 21, 23, 31, 32 are shear stresses.
According to the theorem of conjugate
shear stresses in Strength of Materials, we
❖球形应力张量
• 平均正应力p
设 p 表示平均正应力 mean normal stress
p
1
3
kk
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展开 世俗
13(112233)
13(x y z)
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• 球形应力张量 13kkij pij
❖偏斜应力张量
• 分量形式
矩阵 形式
p 0 0
pI
0
p
0
0 0 p
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第一节 柯西应力张量
一、柯西应力矢量
dFj
❖应力矢量定义
• 符号说明
PdA ni
– 力矢量的分量 dFj , – 微元面积 dA ，外法线单位矢量的分量 ni • 柯西应力矢量
t (n) dF dA
or
t (n) j
dF j dA
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❖例题3.1
已知某点的应力张量（MPa）
50 50 80
50
0
75
80 75 30
试求法线方向余弦为（1/2、1/2、1/2） 斜面上的总应力、正应力和剪应力。
❖解
11 12 13n1
t(n) σ n 21
31
22 32
3233nn32
N ti(n) ni ijninj
展
开
n 1 2 1 n 1 2 22 n 2 3 2 3 2 3 ( n 1 n 2 1 n 2 2 n 3 2 n 3 3 n 1 3 )1
世
俗
l2x m 2y n 2z 2 lm x y 2 m y z 2 n nzl x
❖剪应力（ shear stress ） N t2 N2
同理；在x2、 x3方向平衡：
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t(n) 2
j2nj
t3(n) j3nj
t(n) i
jinj
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二、柯西应力张量
❖应力张量
t(n) i
jinj
Since ti(n) and ni denote vectors, it follows from the quotient rule of Chapter 2 that the