第2讲 数列专题

第2讲 数列专题

【知识梳理】

一、等差数列

1.相关概念

按一定次序排列的一列数称为数列。数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），…简记为｛a n ｝。 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。最后一个数叫末项。

通项公式：数列的第n 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

2．等差数列的定义：

如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，我们把这样的数列称之为等差数列。前后两项的差叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。

3．计算等差数列的相关公式：

通项公式：1

(1)n n d a a =+-（n 为正整数） 前项和公式:

1()2n n a a +（n 为正整数）

4.等差中项 如果在a 和b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项。如a 、b 、c 三项成等差数列，则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。

一、 求首项、末项

1、（1）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？

（2）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？

n

2、（1）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项大7，并且末项为125，那么首项是多少？

（2）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，那么首项是多少？

3、如图所示，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有3块砖，第3层有5块砖，……．按

照这个规律，第101层有多少块砖？

二、求公差

4、（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？

（2）一个等差数列第4项项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？

5、墨莫先在黑板上写了一个等差数列，刚写完小高就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下第四个数31和第十个数73．这个等差数列的公差是_________，首项是_________．

三、求项数

6、（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？

（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？

四、等差数列求和

1、计算：（1）36912151821242730

+++++++++；

（2）4137332925211713951

++++++++++．

2、计算：（1）511177783+++++L ；（2）193187181103++++L ．

【例题1】在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？

【练习1】在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？

【例题2】求自然数中被10除余1的所有两位数的和。

【练习2】求不超过500的所有被11整除的自然数的和。

【例题3】计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)

【例题4】墨莫读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：墨莫一共读了多少天？这本课外书共有多少页？

【练习3】小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子里．已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？

【练习4】墨莫为了减肥开始长跑，他第一天跑了600米，以后每天他都比前一天多跑40米，那么前30天里他一共跑了多少米？

第二部分：等比数列

等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，这个数列就叫做等比数列。前后两项的比值叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

【例题5】一个等比数列的第三项与第四项分别是9与27，求它的第一项？

【练习5】一个等比数列的第三项与第四项的和是24，第一项与第二项的和为6，求第五项？

第三部分特殊数列

1．可将一列数分成两列数，分别找出它们各自的变化规律。这样的数列我们一般称之为双数列，即相隔的数存在着一定的规律。比如：3、4、6、6、9、8、( )、( )。

2．一个数列中的数都等于自身项数与项数的乘积，即完全平方数列。如：1、4、9、16、( )、( )。

3．斐波那契数列，即三个数为一组，每组中前两个数相加的和等于第三个数。如：1、1、2、3、5、8、13、( )、( )。

4．相邻的两个数十位上的数字有一定的规律，个位上的数字也有一定的规律。如：12，23，34，( )、( )。

5．其它某种数的排列，如质数的排列：2，3，5，7，11，13，17，( )，( )。

6．运算数列。有些数列中的数是前面的数通过某种运算得到的。如2，2，3，5，14，69，（），（）。

【例题7】完成填空：

（1）2，3，5，9，17，（），（）

（2）1，3，4，7，11，（），（）

（3）1，3，7，13，21，（），（）

（4）3，5，3，10，3，15，（），（）

（5）8，3，9，4，10，5，（），（）

（6）2，5，10，17，26，（），（）

【例题8】观察下列由三个数组成的数组：第1组是（1，2，4），第2组是（2，4，8），第3组是（3，6，12），……那么，第2010组中的三个数之和是______.

【课后作业】

1、等差数列：1，5，9，13，……，那么第101项是________．

2、一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大2，末项为75，那么首项是________．