高二数学上学期期末考试试题理

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2022-2023学年四川省泸县第五中学高二上学期期末考数学(理)试卷带讲解

由S△ABF2＝ ·4a·r＝ ·2c·|y1】本题考查焦点三角形内切圆面积的求法和椭圆定义的运用，解题的关键一是采取“算两次”的方法，根据三角形面积的唯一性得到等式后求解，二是合理运用椭圆的定义进行计算．考查转化能力和计算能力，属于基础题．
12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
【详解】∵直线方程可整理为
∴定点为
∵点A在直线上
∴
∴ ，当且仅当时取等号
故答案为：
16.过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为_________．
16
【分析】设，写出以为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以为切点的切线方程，同理求出以为切点的切线方程，结合在两条切线上得直线的方程，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果．
【考点】圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
9.已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（）
A. 2B. 4
C. 6D. 8
第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数
相同，第六组的人数为4人．
（Ⅰ）求第七组的频率；
（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；

人教版高二上学期期末数学试卷(理)(有答案)

黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．32．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．104．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．大庆高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3【解答】解：∵向量，，∴=﹣4+4x﹣8=0，解得x=3．故选：D．2．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=x+lnx，∴f′（x）=1+∴f′（1）=1+=2故选B3．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．10【解答】解：设高一学生有x人，则高三有2x，高二有x+300，∵高一、高二、高三共有学生3500人，∴x+2x+x+300=3500，∴x=800，∵按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，∴应抽取高一学生数为=8故选A．4．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系【解答】解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：C．5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A．B．C． D．【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：，集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：．故选：B．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．【解答】解：对于A，函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）=0，则“函数f（x）为奇函数”是“f（0）=0”的非充分非必要条件，故A错误；对于B，已知A，B，C不共线，若=，可得+==2，（D为AB的中点），即有P在AB的中线上，同理P也在BC的中线上，在CA的中线上，则P是△ABC的重心，故B正确；对于C，命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”，由命题的否定形式，可得C 正确；对于D，由逆否命题的形式可得，命题“若α=，则cosα=”的逆否命题为“若cosα≠，则α≠”，故D正确．故选：A．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：设双曲线的右焦点F2（c，0），令x=﹣c，可得y=±，可得A（c，﹣），B（c，），又设D（0，b），△ABD为直角三角形，可得∠DBA=90°，即b=或∠BDA=90°，即=0，解：b=可得a=b，c=，所以e==；由=0，可得：（c，）（c，﹣）=0，可得c2+b2﹣=0，可得e4﹣4e2+2=0，e＞1，可得e=，综上，e=或．故选：D．9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，可得=2c=4，解可得m=﹣3，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x；故选：D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]【解答】解：∵f（x）=x2﹣9lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选A．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为x2+y2=．【解答】解：连接OP，AB，OA，OB，∵PA，PB是单位圆O的切线，∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OPA=∠OPB=∠APB=60°，又OA=OB=1，∴OP=，∴P点轨迹为以O为圆心，以为半径的圆，∴P点轨迹方程为x2+y2=．故答案为：x2+y2=．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+ (i)的值，由于sin，k∈Z的取值周期为6，且2017=336×6+1，所以S=sin+sin+…sin=336×（sin+sin+…+sin）+sin=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为（﹣1，3）．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x，有g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=e﹣x﹣e x=﹣g（x），则g（x）为奇函数，对于g（x）=e x﹣e﹣x，其导数g′（x）=e x+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，且g（0）=e0﹣e0=0，f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）＞﹣[f（4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），又由函数g（x）为增函数，则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0解可得：﹣1＜x＜3，即实数x的取值范围为（﹣1，3）；故答案为：（﹣1，3）．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2 （x﹣2），与y2=8x联立，消去y得x2﹣5x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=5．由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，（2）由x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），又y2=8x3，即[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），即（2λ﹣1）2=4λ+1，解得λ=0或λ=2．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为3×3=9个．满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1）共5个，所以所求概率．（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得．所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以所求概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．【解答】解：（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．A（0，1，0），，C（0，﹣1，0），，P（0，1，2），设，，，则=（）．设平面PEC的法向量为=（x，y，z），，，则，∴，取y=﹣1，得=（﹣，﹣1，1）．∵AF∥平面PEC，∴=﹣3λ+λ+2﹣2λ=0，解得，∴F为PD中点．（2）=（，，0），=（，﹣，0），设平面PEA的法向量=（x，y，z），则，取x=，得平面PEA的法向量=（，﹣3，0），设平面PED的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），cos＜＞===﹣，由二面角D﹣PE﹣A为锐二面角，因此，二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…（3分）∴椭圆的方程为．…（4分）（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．设，，则为定值．…（5分）②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…（6分）依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（7分）又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以=====．．…．…（13分）综上得k1+k2为常数2..…．…（14分）22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．【解答】解：（1）∵，且x＞0，∴．令，则．①当a≤0时，U'（x）＞0，U（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，∴x＞1时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．②当0＜a＜2时，时，U'（x）＞0，U（x）在上为单调递增函数，∴，U（x）＞U（1）=0，不合题意．③当a＞2时，，U'（x）＜0，U（x）在上为单调递减函数．∴时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．④当a=2时，x∈（0，1），U'（x）＞0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数．x∈（1，+∞），U'（x）＜0，U（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．∴U（x）≤0，符合题意．综上，a=2．（2），x∈[1，e2]．g'（x）=lnx﹣ax．令h（x）=g'（x），则由已知h（x）=0在（1，e2）上有两个不等的实根．（A）①当时，h'（x）≥0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意．②当a≥1时，h'（x）≤0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意．③当时，，h'（x）＞0，，h'（x）＜0，所以，h（1）＜0，，h（e2）＜0，解得．（B）证明：由已知lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2）．不妨设x1＜x2，则，则=．令，（0＜x＜1）．则，∴G（x）在（0，1）上为单调递增函数，∴即，∴，∴，∴，由（A），∴ae＜1，2ae＜2，∴．。

2022-2023学年四川省安岳县周礼中学高二年级上册学期期末测数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年四川省安岳县周礼中学高二上学期期末测数学（理）试题一、单选题1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．23B ．46+C ．43+D ．23+【答案】B【分析】由三视图判断该几何体是有三条棱两两垂直是三棱锥，结合三视图的数据可得结果.【详解】由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥-P ABC ，其中AB ，BC ，BP 两两垂直，且1,2AB BC BP ===，则ABC ∆和ABP ∆的面积都是1，PBC ∆的面积为2，在PAC ∆中，2,5PC AC AP === 则PAC ∆的面积为122362⨯所以该几何体的表面积为46 故选：B.【点睛】三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.2．已知圆221:1C x y +=和222:540C x y x +-+=，则两圆的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离【答案】C【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.【详解】由题意，知圆1C 的圆心1(0,0)C ，半径1r =.圆2C 的方程可化为225924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则其圆心25,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径32R =.因为两圆的圆心距12531+22C C R r ===+，故两圆外切. 故选：C.3．用斜二测画法画水平放置的ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''.已知点O '是斜边B C ''的中点，且1A O，则ABC 的边BC 边上的高为（）A ．1B ．2C 2D ．22【答案】D【分析】在直观图中A C ''∥y '轴，可知原图形中AC ∥y 轴，故AC BC ⊥,12C CA A ,求直观图中A C ''的长即可求解.【详解】∵直观图是等腰直角三角形A B C '''，90,1B A C A O，∴2A C，根据直观图中平行于y 轴的长度变为原来的一半, ∴△ABC 的边BC 上的高222ACA C.故选D.【点睛】本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题.4．已知方程221221x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．()1,2D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据已知条件可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围.【详解】因为方程221221x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则221210k k k ->-⎧⎨->⎩，解得112k <<.故选：D.5．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且60BOC ∠=︒，点M是SA 的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值是（）A ．13B ．74C ．34D ．32【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，分别得到,AB CM ，然后根据空间向量夹角公式计算即可. 【详解】以过点O 且垂直于平面SAC 的直线为x 轴，直线OC ，OS 分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2OC =，则根据题意可得()0,2,0A -，)3,1,0B ，()0,2,0C ，(0,3M -，所以()3,3,0AB =，(0,3CM =-，设异面直线AB 与CM 所成角为θ，则()3033033cos cos ,43993AB CM θ⨯+⨯-+⨯===+⋅+. 故选：C .6．鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（） A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π【答案】D【解析】将三棱锥A -BCD 可放在长方体中确定直径AD ，计算即得结果. 【详解】依题意，三棱锥A -BCD 可放在长方体中，如图所示易得三棱锥A-BCD的外接球的直径为AD，则2226327AD=++=，故三棱锥A-BCD的外接球的半径72R=，所以347343326A BCDVππ-⎛⎫==⎪⎝⎭．故选：D.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.7．如图，已知圆柱底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（）.A．2B．2C．3D．33【答案】B【分析】展开圆柱侧面，根据两点间直线距离最短求得正确结论.【详解】展开圆柱的侧面如图所示，由图可知小虫爬行路线的最短长度是222222 ACππ⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭故选：B8．若直线:20l kx y --=与曲线2:1(1)1C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（） A ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．4,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】确定曲线C 是半圆（右半圆），直线l 过定点(0,2)P -，求出直线l 过点(1,0)A 时的斜率，再求得直线l 与半圆相切时的斜率，由图形可得k 的范围．【详解】直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)P -，曲线2 :1(1)1C y x --=-表示以点(1,1)C 为圆心，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆（包括点(1,2)，(1,0)．如图，作出半圆C ，当直线 l 经过点(1,0)A 时， l 与曲线C 有两个不同的交点，此时2k =，直线记为1l ；当l 与半圆相切时，由2|3|11k k -=+，得43k =，切线记为2l ．由图形可知当423k <≤时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选：A ．9．若双曲线()222:104y x C a a -=>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为165，则双曲线C的离心率为（） A 13B 17C ．53D 39【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得a 的值，进而根据离心率e 可求得结果. 【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为2ay x =±；由圆的方程知：圆心为()2,0，半径2r =；2a y x =与2ay x =-图象关于x 轴对称，圆的图象关于x 轴对称，∴两条渐近线截圆所得弦长相等，不妨取2ay x =，即20ax y -=，则圆心到直线距离d =∴弦长为165=，解得：32a =，∴双曲线离心率53e =. 故选：C.10．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】A 【分析】解方程001544x x +=即得解. 【详解】解：由题得抛物线的准线方程为14x =-，则有014AF x =+，即有001544x x +=，解得01x =．故选：A11．设l 是直线，α，β是两个不同的平面（） A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【分析】结合空间中直线、平面的位置关系可逐一判断选项中空间中直线、平面的位置关系是否正确.【详解】若//l α，//l β，则α，β可能平行也可能相交，故A 错误；//l α，l β⊥，则存在m α⊂，//l m ，则m β⊥，故αβ⊥，故B 正确；若αβ⊥，l α⊥，则//l β或l β⊂，故C 错误；若αβ⊥，//l α，则l 与β相交、平行或l β⊂，故D 错误.12．已知三棱锥S ABC -中，1SA SB SC ===，且SA 、SB 、SC 两两垂直，P 是三棱锥S ABC -外接球面上一动点，则P 到平面ABC 的距离的最大值是 A ．33B ．3C ．233D ．433【答案】C【分析】,,SA SB SC 是棱长为1的正方体MNQB ADCS -上具有公共顶点S 的三条棱,以B 为原点,,,BM BQ BS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系,三棱锥S ABC -外接球就是正方体MNQB ADCS -的外接球，由正方体及球的几何性质可得点P 与N 重合时，点P 到平面ABC 的距离最大，求出平面ABC 的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.【详解】三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且,,1SA SB SC =，∴如图,,SA SB SC 是棱长为1的正方体MNQB ADCS -上具有公共顶点S 的三条棱,以B 为原点,,,BM BQ BS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系, 则()()()()()0,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,0B A C S N ，()()()1,0,1,0,1,1,1,1,0BA BC BN ===，设平面ABC 的法向量(),,n x y z =，则00n BA x z n BC y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得1,1,1n，三棱锥S ABC -外接球就是棱长为1的正方体MNQB ADCS -的外接球， P 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，∴由正方体与球的几何性质可得，点P 点与N 重合时，点P 到平面ABC 的距离最大，∴点P 到平面ABC 的距离的最大值为110233BN n d n⋅++===.故选C. 【点睛】求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.二、填空题13．若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】y =【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则ba=故此双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.14．过点，且与椭圆221259y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．【答案】221204y x +=【分析】由题设条件设出椭圆方程22221y x a b+=，再列出关于a 2与b 2的方程组即可作答.【详解】所求椭圆与椭圆221259y x +=的焦点相同，则其焦点在y 轴上，半焦距c 有c 2=25-9=16，设它的标准方程为22221y x a b+= (a ＞b ＞0)，于是得a 2-b 2=16，又点在所求椭圆上，即22531a b+=，联立两个方程得2253116b b+=+，即222()8480b b +-=，解得b 2=4，则a 2=20，所以所求椭圆的标准方程为221204y x +=.故答案为：221204y x +=15．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________. 【答案】2213627x y += 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解，【详解】圆22650x y x +++=的圆心为(3,0)A -，1=2r ，圆226910x y x +--=的圆心为(3,0)B ，210r =，设动圆的圆心为P ，半径为r ，由题意得||2PA r =+，||10PB r =-，则||+||=12>212PA PB AB a =｜｜，，3c =，由椭圆定义得P 的轨迹方程为2213627x y +=，故答案为：2213627x y +=16．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF△的面积等于_______．【答案】 2【详解】设过M 的直线方程为，由∴，，由题意，于是直线方程为，，∴，焦点F （1，0）到直线的距离∴ABF △的面积是2三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =.(1)求AP 与平面CMB 所成角的正弦； (2)求M 点到平面PBC 的距离.【答案】(1)45(2)2【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面CMB 的法向量，进而求出AP 与平面CMB 所成角的正弦；（2）先求出平面PBC 的法向量，再利用点到平面距离的向量求法即可求解. 【详解】（1）解：由题意，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD 可得：DA 、DC 、DP 两两垂直所以以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系4PD CD ==，2AD =，M 是PA 的中点()2,0,0A ∴，()0,0,4P ，()1,0,2M ，()0,4,0C ，()2,4,0B()2,0,4AP =-，()1,4,2MB =-，()2,0,0BC =-设平面CMB 的法向量()111,,n x y z = 则111142020MB n x y z BC n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11y =，即()0,1,2n =设AP 与平面CMB 所成角为θ，则4sin 540165AP n AP nθ⋅===++⋅⋅（2）解：由（1）知，()0,0,4P ，()1,0,2M ，()0,4,0C()0,4,4PC ∴=-，()1,4,2MC =--设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z =，则22244020PC m y z BC m x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令21y =，即()0,1,1m =设M 点到面PBC 的距离为d ，则222MC m d m⋅=== 18．如图，ABC 的外接圆O 的直径2,AB CE =垂直于圆O 所在的平面，,2,1BD CE CE BC BD ===∥.(1)求证：平面AEC ⊥平面BCED ；(2)若13DM DE =，求平面ACM 与平面ADM 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析； 6【分析】（1）先证明出BC ⊥平面ACE ，利用面面垂直的判定定理可以证明；（2）以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】（1）ABC 的外接圆O 的直径AB AC BC ∴⊥.又因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EC BC ⊥. 又,AC EC C AC ⋂=⊂平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，BC ∴⊥平面ACE ，又BC ⊂平面,BCDE ∴平面AEC ⊥平面BCED .（2）以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，则 )()()()3,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2AB D E .设()()()1124,,,,1,10,1,10,,3333M x y z DM DE x y z M ⎛⎫=⇒--=-⇒ ⎪⎝⎭设平面CAM 的法向量为()()11124,,,3,0,0,0,,33m x y z CA CM ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则11130024033x m CA y z m CM ⎧⎧=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，不妨令11z =，则()0,2,1m =-. 设平面AMD 的法向量为()222,,n x y z =，同理可求()23,3,3n =. 由图可知，平面ACM 与平面ADM 夹角不是钝角. 因为0636cos 100411299m n m n m n⋅-+⋅===++⨯++，所以平面ACM 与平面ADM 夹角的余弦值为610. 19．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，△P AB 为等边三角形，平面P AB ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.(1)求证：CE ⊥PD ；(2)在线段BD （不包括端点）上是否存在点F ，使直线AP 与平面PEF 5在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在，点F 为靠近点B 的三等分点，即13BF BD =；【分析】（1）取AB 的中点O ，连结PO ，取CD 的中点G ，连结OG ，利用面面垂直的性质定理证明OB ，OP ，OG 两两垂直，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，由向量垂直的坐标表示进行分析证明即可；（2）设(01)BF BD λλ=<<，则(2,2,0)BF λλ=-，即可得到EF 的坐标，表示出平面PEF 的法向量，利用空间向量方程得到方程，解得即可；【详解】（1）证明：取AB 的中点O ，连结PO ，因为PA PB =，所以PO AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥底面ABCD ，取CD 的中点G ，连结OG ，则OB ，OP ，OG 两两垂直，分别以OB ，OG ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设2AB =，则(1,2,0),(1,1,0),(1,2,0)C P E D --，所以(2,1,0),(1,2,CE PD =--=-，则220CE PD ⋅=-=，故CE PD ⊥，所以CE PD ⊥；（2）解：由（1）可知，(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(1,2,0)A B P E D ---，所以(1,1,3),PE AP =--=，(2,2,0),(2,1,0)BD BE =-=-，设(01)BF BD λλ=<<，则(2,2,0)BF λλ=-，所以(22,21,0)EF BF BE λλ=-=-+-，设平面PEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0(22)(21)0x y x y λλ⎧-+=⎪⎨-++-=⎪⎩，令1y =，则21,22x z λλ-==-故21223(22)n λλλ⎛-=⎪--⎝⎭，所以cos ,2AP n AP n AP nλ⋅===⎛，整理可得29610λλ-+=，解得13λ=，所以在BD 上存在点F ，使得直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为55，此时点F 为靠近点B 的三等分点，即13BF BD =．20．已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |=2l 的方程.【答案】(1)34a =-；(2)20x y -+=或7140x y -+=.【分析】（1）由题设可得圆心为()0,4C ，半径2r =，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a 的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a ，即可得直线方程. 【详解】（1）由圆C ：228120x y y +-+=，可得()2244x y +-=，其圆心为()0,4C ，半径2r =，若直线l 与圆C 相切，则圆心C 到直线l 距离24221ad r a +==+，即43a =-，可得：34a =-.（2）由（1）知：圆心到直线的距离2421a d a+=+因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即222222d +=⎝⎭，解得：2d = 所以24221a d a+=+2870a a ++=，解得：1a =-或7a =-，则直线l 为20x y -+=或7140x y -+=.21．已知抛物线()2:20C y px p =>，拋物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）过()1,0-的直线l 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线=1x -于点D ，是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程．【答案】（1）抛物线C 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）存在直线1)y x +或1)y x =+．【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（2）设出直线l 的方程(1)y k x =+(0)k ≠，联立直线的方程和抛物线的方程，消去y 后根据判别式大于零求得k 的取值范围，写出韦达定理.结合//DE AF 得到直线DE 与直线AF 的斜率相等，由此列方程，解方程求得k 的值，也即求得直线l 的方程. 【详解】（1）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以132p+=,解得4p =, 所以28y x =，即准线方程为2x =-.（2）显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(1)y k x =+(0)k ≠,1122(,),(,)A x y B x y .联立得28(1)y xy k x ⎧=⎨=+⎩，消去y 得2222(28)0k x k x k +-+=.由224(28)40k k ∆=-->,解得k <所以k <0k ≠.由韦达定理得212282k x x k-+=,121=x x . 直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--,又1D x =-,所以2232D y y x -=-,所以223(1,)2yD x ---, 因为//DE AF ,所以直线DE 与直线AF 的斜率相等又(4,3)E k --,所以221133232y k x y x -+-=--.整理得121222yy k x x =+--,即1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--,化简得121211122x x x x ++=+--,121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++,即12+7x x =.所以2282=7k k -,整理得289k =,解得k =. 经检验,k =符合题意. 所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x +或1)y x =+．22．已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．【答案】(1)2214x y +=(2)4k =-【分析】（1）依题意可得22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可；【详解】（1）解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；（2）解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -≤<≤，由()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=，所以()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>，解得0k <，所以212216814k kx x k ++=-+，2122161614k k x x k +⋅=+，直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M x x y =-，直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N xx y =-，所以212111N M x xMN x x y y =-=--- ()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++，所以()()122122x x k x x -=++， ()212124k x x x x +++⎡⎤⎣⎦22221616168241414k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+++-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()22221616216841414kk k k k k k⎡⎤=+-+++⎣⎦+ 整理得4k =，解得4k =-。

2022福建省高二上学期数学(理)期末教学质量检查试题

高二教学质量检查数学（理科）试题（考试时间：120分钟满分150分）注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的，把答案填写在答题卡的相应位置．） 1．已知命题000:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ⌝∨是真命题2．在ABC ∆中，060A =,075B =,10=a ,则边c 等于 A ．52B ．102C ．56D 1063．已知命题:p “12x <<”，:q “21x >”，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-0020y y x y x ，则y x z 32-=的最小值为 A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为23双曲线C 的焦距等于（第6题图）A ．2B ．22C ．4D ．426．在四面体O ABC -中，设OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =A ．111244a b c ++ B ．111222a b c ++C ．1144a b c ++D ．1122a b c ++ 7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏8．已知正数,a b 的等差中项是12，且11,M a N b a b=+=+，则M N +的最小值是A ．3B ．4C ．5D ．69．已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，且PA ⊥底面ABCD ，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒10．若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为 A ．12a <-或12aB ．12a 或0aC ．12aD ．1122a -<< 11．过抛物线22(0)y px p 的焦点F 作倾斜角为060的直线交抛物线于B A 、两点，若线段AB 的长为8，则p =（第9题图）（第16题图）A ．3-B ．1C ．3D ．412．如图，已知顶角A 为060的三角形ABC 满足4AB AC +=，点,D E 分别在线段AB 和AC 上，且满足2EC AD =，当ABC ∆的面积取得最大值时，DE 的最小值为A ．1B ．21C ．37D ．104第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置．） 13．已知关于x 的不等式2320ax x -+<的解集为{|1}x x b <<，则a b 的值______． 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369,36S S ==，则789a a a ++=__________． 15. 一艘轮船从港口A 处出发，以15海里/小时的速度沿着北偏西10的方向直线航行，在港口A 处测得灯塔M 在北偏东50方向，航行40分钟后，轮船与灯塔的距离是53海里，则灯塔M 与港口A 的距离为__________海里.16．如图，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上有一点A ,它关于原点的对称点为B ,点F 为双曲线的右焦点，且满足0FA FB ⋅=,6ABF π∠=,则双曲线的离心率e 的值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知命题:p 实数x 满足10(0)mx m ，命题:q 实数x 满足()()3120x x -+<．（Ⅰ）当1m且p q ∧为真命题时，求实数x 的取值范围；（第12题图）（Ⅱ）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a b c ,,，已知2,3c C π==.（Ⅰ）若ABC ∆3,a b 的值; （Ⅱ）若sin 2sin ,A B =求ABC ∆的面积．19. （本小题满分12分）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22nn n a b n n=+，求证：数列{}n b 的前n 项和1n T <．20．（本小题满分12分）某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为x 10)x ≤≤（0万元时，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为()f x 万元与()g x 万元，其中()2f x x ，2101(06)()145(610)x x g x x x ax x +⎧≤≤⎪=+⎨⎪-+-<≤⎩，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．（Ⅰ）求实数a 的值；（第21题图）（Ⅱ）若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．21．（本小题满分12分）如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，//,,AF DE EF BF ⊥22,3AB AF DE AD ====（Ⅰ）求证：EF ⊥平面ABF ；（Ⅱ）求二面角A BF D --的正弦值．22. （本小题满分12分）已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线22:42C y x =的焦点重合，且椭圆的离心率为63e =．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的动直线l 与椭圆1C 相交于,A B 两点，O 为原点，求OAB ∆面积的最大值．数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDADCABCBCCB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．45 15．5 1631三、解答题：本大题共6小题，第17小题10分，其它每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本题考查简易逻辑、解不等式及充要条件等基本知识，满分10分．解：（Ⅰ）当1m时，由p 得+10x ，∴ :p 1x >- ………………1分由q ：(31)(2)0x x 得123x -<< ∴:q 123x -<< ………………2分p q ∧为真命题，p ∴真q 真1123x x >-⎧⎪∴⎨-<<⎪⎩……………4分∴实数x 的取值范围为113x -<<………………5分（Ⅱ）当0m 时，由:p 10mx 得 1x m>- ………………7分设11={},{|2}3A x xB x x m >-=-<<p 是q 的必要不充分条件， B ∴是A 的真子集 ………………8分112,2m m ∴-≤-∴≤ ………………9分又0m > ∴102m <≤………………10分 ∴实数m 的取值范围为102m <≤18. 本题考查正弦、余弦定理与面积的基本知识，满分12分解：（Ⅰ）由余弦定理可得：2222cos ,c a b ab C =+-即224a b ab +-= ………………2分又1sin 32ab C =, 4ab ∴= 2,2a b ∴== ………………6分（Ⅱ）由正弦定理可得：2a b =，又224a b ab +-= 432333a b ∴==………………9分 114323323sin 223323ABC S ab C ∆∴==⋅⋅=………………12分 19. 本题考查数列通项公式的求解、裂项求和与证不等式.满分12分解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由12a =，324a a =+得2224q q =+， ………………2分即220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），∴2q =. ………………4分所以{}n a 的通项为1222n n n a -=⋅=（n N *∈） ………………6分（Ⅱ）由上知2nn a = ∵22nn n a b n n=+，∴21111(1)1n b n n n n n n ===-+++， ………………8分∴123n n T b b b b =+++⋯+1111111(1)()()()223341n n =-+-+-+⋯+-+ ………………9分111n =-+ ………………10分 ∴1101n T n -=-<+ ………………12分即数列{}n b 的前n 项和为1n T <．20. 本题考查基本不等式的应用，考查分类讨论思想和学生的应用意识等．满分12分解：（Ⅰ）依题意得2(10)101045=5g a =-+- 得=15a ………………3分（Ⅱ）设投入乙商品的资金为x 万元(010)x ≤≤，则投入甲商品的资金为(10)x -万元，设总收益为()L x 万元。

四川省成都市2022-2023学年高二上学期1月期末考试理科数学试题及答案

高二年级理科数学试题考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过点(0,2)-，且与已知直线0x y +=垂直的直线方程为 A ．20x y +-= B ．20x y --= C ．20x y ++=D ．20x y -+=2．若一个圆的标准方程为221)4x y +(-=，则此圆的圆心与半径分别是 A ．1,0)4(-； B ．1,0)2(； C ．0,1)4(-；D ．0,1)2(；3．将某选手的得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余分数的平均分为91，现场作的分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则x = A ．2 B ．3 C ．4D ．54．某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是 A ．简单随机抽样 B ．先用分层抽样，再用随机数表法 C ．分层抽样D ．先用抽签法，再用分层抽样 5．若x ∈R ，则“44x -<<”是“22x x <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题*1:2p x x x∀∈+R ，…，则p ⌝为 A ．*00012x x x ∃∈+R ，… B ．*00012x x x ∃∈+<R ， C ．*00012x x x ∃∉+<R ，D ．12x x x∀∈+<R ， 7．下列命题正确的是A ．若0a b <<，则11a b<B ．若ac bc >，则a b >C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若22ac bc >，则a b >8．已知双曲线的上、下焦点分别为120,5)0,5)F F ((-，，P 是双曲线上一点且满足126||PF ||PF ||-=，则双曲线的标准方程为A ．221169x y -=B ．221916x y -=C ．221169y x -=D ．221916y x -=9．已知O e 的圆心是坐标原点O 0y --=截得的弦长为6，则O e 的方程为A ．224x y +=B ．228x y +=C ．2212x y +=D ．22216x y +=10．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a b ，分别为39，27，则输出的a = A ．1 B ．3 C ．5D ．711．若两个正实数x y ，满足311x y+=，则3x y +的最小值为A ．6B ．9C ．12D ．1512．直线l 过抛物线220)y px p =(>的焦点F ，且交抛物线于P ，Q 两点，由P ，Q 分别向准线引垂线PR ，QS ，垂足分别为R ，S ，如果2|4|PF |QF |==，，M 为RS 的中点，则|MF |=A ．BC ．D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022年高二数学上学期期末试卷理(含解析)

2021-2022年高二数学上学期期末试卷理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）2．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b23．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）设{an }是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．156．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为11．（5分）已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．广东省揭阳一中xx高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．解答：解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3=1，再由S3=++1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得．解答：解：设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，∴S3=a1+a2+a3=++1=7，解得q=，或q=（舍去），∴a1==4，∴S5==故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的求值；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用平方法，可得sinθcosθ＜0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置．解答：解：θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则平方可得，1+2sinθcosθ=，则sinθcosθ=﹣＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，x2sinθ﹣y2cosθ=1即为=1，由于﹣=＜0，则＜，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题．7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合法．分析：将方程转化为函数y=k与y=|x|（x﹣1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题．解答：解：如图，作出函数y=|x|•（x﹣1）的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|（x﹣1）有3个不同的交点，即方程有3个实根．故选A．点评：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642考点：对数的运算性质．专题：压轴题；新定义．分析：利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6，再进行相加运算．解答：解：∵=0，到两个数都是1，到四个数都是2，到八个数都是3，到十六个数都是4，到三十二个数都是5，=6，∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264故选C．点评：正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5”求解即可．解答：解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时．x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5解得：x≤．∴﹣2≤x≤．②当x+2＜0即x＜﹣2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（﹣1）≤5∴﹣2≤5，∴x＜﹣2．综上x≤．故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对||•cos∠AOP 进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．解答：解：满足的可行域如图所示，又∵||•cos∠AOP=，∵=（2，1），=（x，y），∴||•cos∠AOP=．由图可知，平面区域内x值最大的点为（5，2）||•cos∠AOP的最大值为：故答案为：．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）则可知x1+x2+x3=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解答：解：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由得x1+x2+x3=0∵X A=x1+，同理X B=x2+，X C=x3+∴|FA|=x1++=x1+p，同理有|FB|=x2++=x2+p，|FC|=x3++=x3+p，又，∴x1+x2+x3+3p=6，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合．分析：（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．解答：解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1∴△PNM≌△PF1M∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）∴|OM|=|F2N|=（|F2P|+|PN|）=（|F2P|+|PF1|）∵点P在椭圆上∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）∵∴直线l1、l2的方程分别为：、（8分）设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，∴x2+y2＜16（9分）分别解与得与（11分）∵x，y∈Z∴x为偶数，在上x=﹣2，，0，2对应的y=1，2，3在上x=﹣2，0，2，对应的y=﹣3，﹣2，﹣1（13分）∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：（﹣2，1），（0，2），（2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣2），（2，﹣1）．（14分）点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．考点：反证法与放缩法；数列的函数特性；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，利用韦达定理可求得，代入f（x）=（b，c∈N），依题意可求得c=2，b=2，从而可得函数f（x）的解析式；（2）由4S n﹣=1，整理得2S n=a n﹣（*），于是有2S n﹣1=a n﹣1﹣（**），二式相减得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，讨论后即可求得数列通项a n；（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，取倒数得=﹣2+≤⇒a n+1＜0或a n+1≥2，分别讨论即可．解答：解：（1）依题意有=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，由韦达定理得：，解得，代入表达式f（x）=，由f（﹣2）=＜﹣，得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，故f（x）=，（x≠1）．（2）由题设得4S n•=1，整理得：2S n=a n﹣，（*）且a n≠1，以n﹣1代n得2S n﹣1=a n﹣1﹣，（**）由（*）与（**）两式相减得：2a n=（a n﹣a n﹣1）﹣（﹣），即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，以n=1代入（*）得：2a1=a1﹣，解得a1=0（舍去）或a1=﹣1，由a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1得a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，即{a n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列．（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，=﹣2+≤，∴a n+1＜0或a n+1≥2．若a n+1＜0，则a n+1＜0＜3成立；若a n+1≥2，此时n≥2，从而a n+1﹣a n=≤0，即数列{a n}在n≥2时单调递减，由a2=2知，a n≤a2=2＜3，在n≥2上成立．综上所述，当n≥2时，恒有a n＜3成立．点评：本题考查数列的函数特性，着重考查等差数列的判定，考查推理证明能力，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题． 36365 8E0D 踍37704 9348 鍈4 27966 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高二数学上学期期末考试基础试卷理含解析试题(共14页)

吴起高级中学(gāojízhōngxué)2021-2021学年第一学期期末考试高二理科数学根底卷第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1.设数列，，，，…，那么是这个数列的〔〕A. 第6项B. 第7项C. 第8项D. 第9项【答案】B【解析】试题分析：由数列前几项可知通项公式为时，为数列第七项考点：数列通项公式2.命题且是真命题，那么命题是〔〕A. 假命题B. 真命题C. 真命题或者假命题D. 不确定【答案】B【解析】【分析】命题且是真命题，那么命题p和命题q都为真命题.【详解】命题且是真命题，由复合命题真值表可知，命题p和命题q都为真命题.应选：B【点睛】此题考察含有逻辑连接词的复合命题的真假判断，属于根底题.3.的最小值是〔〕A. 2B.C. 4D. 8【答案(dá àn)】C【解析】【分析】直接利用根本不等式可求得表达式的最小值.【详解】由根本不等式得，当且仅当时，获得最小值.应选C.【点睛】本小题主要考察利用根本不等式求和式的最小值，属于根底题.根本不等式的HY 形式是，还可以变形为.前者，后者.要注意题目的适用范围.假如题目的表达式为，那么要对自变量的值进展讨论，不能直接用.4.为等差数列，假设，那么的值是〔〕.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得的值.【详解】由于数列为等差数列，故有，解得，应选B.【点睛】本小题主要考察利用根本元的思想求等差数列的根本量、通项公式和前个根本量，利用等差数列的通项公式或者前项和公式，结合条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.5.到两定点、的间隔之差的绝对值等于4的点的轨迹〔〕A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线【答案(dá àn)】C【解析】【分析】根据双曲线的定义，直接得出选项.【详解】到两个定点间隔之差的绝对值等于常数，并且这个常数小于这两个定点的间隔，根据双曲线的定义可知：动点的轨迹为双曲线.应选C.【点睛】本小题主要考察双曲线的定义，属于根底题.要注意双曲线的定义中，除了差这个关键字以外，还要注意有“绝对值〞这个关键词.6.在中，，那么等于〔〕A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用正弦定理列方程，解方程求得的值.【详解】由正弦定理得，即，解得.【点睛】本小题主要考察利用正弦定理解三角形，属于根底题.题目是两角以及其中一角的对边，常用的是利用正弦定理来解三角形.假如条件是两边以及它们的夹角，那么考虑用余弦定理来解三角形.假如条件是三边，那么考虑用余弦定理来解三角形.假如两边以及一边的对角，那么考虑用正弦定理来解三角形，此时要注意解的个数.7.抛物线的焦点坐标是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析(jiě xī)】试题分析：即，所以抛物线焦点为，应选C。

2023-2024学年四川省成都市高二上册期末调研考试数学(理)试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高二上册期末调研考试数学(理)试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线2214y x -=的渐近线方程为（）A.12y x =±B.14y x =±C.2y x=± D.4y x=±【正确答案】C【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为.2y x=±故选：C2.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(4,1,9)P 到点(2,4,3)Q 的距离为（）A.5B.6C.7D.8【正确答案】C【分析】根据空间两点的距离坐标公式即可.【详解】根据空间两点的距离坐标公式可得.7PQ ==故选：C3.在一次游戏中，获奖者可以获得5件不同的奖品，这些奖品要从编号为1-50号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为获奖者抽取奖品编号，则5件奖品的编号可以是（）A.3，13，23，33，43 B.11，21，31，41，50C.3，6，12，24，48 D.3，19，21，27，50【正确答案】A【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案.【详解】依题意，组距为50105=，所以A 选项符合，BCD 选项不符合.故选：A4.命题“0m ∀∈≤N ”的否定是（）A.00m ∃∉≥NB.00m ∃∈>NC.00m ∃∈≤ND.0m ∀∈>N 【正确答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题0m ∀∈≤N 是全程量词命题，所以其否定是存在量词命题，即00m ∃∈>N ，故选：B5.若,,a b c ∈R ，则“a b >”是“a c b c +>+”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据充要条件的定义即可判断.【详解】根据不等式的性质可得a b a c b c >⇔+>+，∴“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件.故选：C6.已知直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不同时为0），则下列说法中错误的是（）A.当0B =时，直线l 总与x 轴相交B.当0C =时，直线l 经过坐标原点O C.当0A C ==时，直线l 是x 轴所在直线D 当0AB ≠时，直线l 不可能与两坐标轴同时相交【正确答案】D【分析】根据直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）.A 选项，当0B =时，0A ≠，直线方程可化为Cx A=-，此时直线l 总与x 轴有交点，A 选项正确.B 选项，当0C =时，直线方程为0Ax By +=，此时直线l 经过原点O ，B 选项正确.C 选项，当0A C ==时，0B ≠，直线方程可化为0y =，此时直线l 是x 轴所在直线，C 选项正确.D 选项，当0AB ≠时，如10x y -+=，直线l 过点()()1,0,0,1-，即直线l 与两坐标轴同时相交，D 选项错误.故选：D.7.执行如图所示的程序语句，若输入5x =，则输出y 的值为（）INPUTx IF x<0THEN y=-x+1ELSE y=-x^2+3END IF PRINTy ENDA.4B.7C.22- D.28-【正确答案】C【分析】分析程序框图的运行过程知，本题的功能为计算并输出分段函数21,03,0x x y x x -+<⎧=⎨-+≥⎩的值，因为输入5x =，所以执行的是23y x =-+，进而可得解.【详解】由算法语句知，该程序的功能是计算并输出分段函数21,03,0x x y x x -+<⎧=⎨-+≥⎩的值，当5x =时，满足0x ≥，∴执行23y x =-+，∴输出的y 值为22-．故选：C8.已知F 是抛物线24y x =的焦点，M 是抛物线上一点，且满足120OFM ∠=︒（O 为坐标原点），则FM 的值为（）A.4B.3C. D.2【正确答案】A【分析】设FM t =，求得M 点坐标并代入抛物线方程，从而求得t ，也即求得FM .【详解】依题意，()1,0F ，设FM t =，由于120OFM ∠=︒，不妨设M 在第一象限，则()1cos60,sin 60M t t +︒︒，即131,22M t ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，将M 点坐标代入24y x =得2314142t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()()238160,4340t t t t --=-+=，由于0t >，所以4t =，即4FM =.故选：A9.已知圆221:(2)(1)9O x y -+-=和直线:10l x y -+=.若圆2O 与圆1O 关于直线l 对称，则圆2O 的方程为（）A.22(3)9x y -+= B.22(3)9x y +-=C.22(2)(3)9x y -+-= D.22(3)(2)9x y -+-=【正确答案】B【分析】求出圆1O 的圆心关于直线l 的对称点，即为圆2O 的圆心坐标，进而可得圆2O 的方程．【详解】圆2O 与圆1O 关于直线l 对称，则圆心()12,1O 与圆()2,O a b 关于:10l x y -+=对称可得211022112a bb a ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，化简得3030a b a b -+=⎧⎨+-=⎩，解得0,3a b ==又两圆半径相等，故圆2O 的方程为22(3)9x y +-=故选：B10.已知13,22m ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，命题2:2320p m m --≤，命题22:1623x y q m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆.则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧ B.p q∨ C.p q⌝∨ D.p q⌝∧【正确答案】B【分析】首先判断命题p 、q 的真假，再根据复合命题的真假性判断即可.【详解】解：由22320m m --≤，即()()2120m m +-≤，解得122m -≤≤，因为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以命题p 为真命题，则p ⌝为假命题，若方程221623x ym m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则60230623m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得332m <<，又13,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p q ⌝∨为假命题，p q ⌝∧为假命题.故选：B11.在平面直角坐标系xOy 内，对任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，定义A ，B 之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-，记到点O 的曼哈顿距离小于或等于1的所有点(,)x y 形成的平面区域为Ω.现向221x y +=的圆内随机扔入N 粒豆子，每粒豆子落在圆内任何一点是等可能的，若落在Ω内的豆子为M 粒，则下面各式的值最接近圆周率的是（）A.N MB.2N MC.3N MD.4N M【正确答案】B【分析】设(),P x y ，根据1OP ≤得1x y +≤，作出平面区域Ω，根据几何概型计算求解即可.【详解】设(),P x y ，则|1|P y O x =+≤，当0,0x y ≤≥时，1x y +≤；当0,0x y ≥<时，1x y -≤；当0,0x y <≥时，1x y -+≤；当0,0x y <<时，1x y --≤.则平面区域Ω为下图中的四边形ABCD及其内部，其面积为2S ==，根据几何概型公式可得：2πM N =，2πN M∴=.故选：B12.已知有相同焦点1F ，2F 的椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点为A ，若2AOF △（O 为坐标原点）是等边三角形，则abmn的值为（）A.2+B.2C.232D.223+【正确答案】A【分析】根据已知图形特征结合椭圆，双曲线中,a b c ，关系及公交点求解即可.【详解】2AOF △（O 为坐标原点）是等边三角形，260°AOF ∠=且21OA OF OF ==，则2190°F AF ∠=，且122F F c =，则21,AF c AF ==，))121221,21,a AF AF c m AF AF c =+==-=-)2222221322c b a c c c ⎛⎫+⎪=-=-= ⎪⎝⎭，)2222221322c n c m c c ⎛⎫- ⎪=-=-= ⎪⎝⎭所以22b n =，即得b n =，所以112423222cab a a mn m m++=====+故选：A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.椭圆22110036x y +=上一点P 与它的一个焦点的距离等于6，那么点P 与另一个焦点的距离等于______.【正确答案】14【分析】设左、右焦点为12,F F ,利用椭圆的定义即得解.【详解】设左、右焦点为12,F F ,设1||6PF =，由题得10,a =因为12||||2210=20PF PF a +==⨯，所以2||14PF =.所以点P 与另一个焦点的距离等于14.故1414.为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校100名高三学生的期中考试数学成绩，得到频率分布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为______.（结果保留到小数点后两位）【正确答案】71.67【分析】依据频率分布直方图，计算0.5p =时对应的数值，即为中位数.【详解】解：()0.0050.04100.450.5+⨯=< ，()0.0050.040.03100.750.5++⨯=> ，所以中位数在[)70,80之间，设中位数为m ，则有700.03100.50.4510m -⨯⨯=-，所以57071.673m =+≈故答案为.71.6715.甲，乙两人下棋，若两人下成和棋的概率是13，甲获胜的概率是14，则乙获胜的概率是______.【正确答案】512【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．【详解】解：甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是13，甲获胜的概率是14，∴乙获胜的概率11134512P =--=．故512．16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点1F ，2F ，经过1F 斜率为的直线l 与双曲线的左支相交于P ，Q 两点.记12PF F △的内切圆的半径为a ，则双曲线的离心率为______.1或212+【分析】分两种情况求解离心率，设内切圆圆心为T，分别与三边相切于,,M N H，连接1TF，计算得到212HF HF c+=，1HF c a=-，得到1tan aTF Hc a∠=-，根据二倍角公式得到212ee e-=-解得答案.【详解】当P点在第二象限时，设内切圆圆心为T，分别与三边相切于,,M N H，连接1TF，2121212PF PF NF MF HF HF a-=-=-=，又212HF HF c+=，1HF c a=-，则1tan aTF Hc a∠=-，直线1PF的斜率为221ac aac a-=⎛⎫- ⎪-⎝⎭，整理得到：212ee e-=-1e=+或212e=-（舍去）.当P点在第三象限时，同理设内切圆圆心为T，分别与三边相切于,,M N H，连接1TF，2121212PF PF NF MF HF HF a-=-=-=，又212HF HF c+=，1HF c a=-，则1tan aTF Hc a∠=-，直线1PF的斜率为221ac aac a--=⎛⎫- ⎪-⎝⎭，整理得到：212e e e -=-12e =+或1e =.1+或212+三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点(4,2)P -，直线:3450l x y --=.（1）求经过点P 且与直线l 平行的直线的方程；（2）求经过点P 且与直线l 垂直的直线的方程.【正确答案】（1）34200x y -+=（2）43100x y ++=【分析】（1）设出所求平行直线的方程，利用P 点坐标求得正确答案.（2）利用点斜式求得所求直线的方程.【小问1详解】设经过点P 且与直线l 平行的直线的方程为340x y C -+=，将()4,2P -代入得1280,20C C --+==，所以所求直线方程为34200x y -+=【小问2详解】直线:3450l x y --=的斜率为34，与直线l 垂直的直线的斜率为43-，所以经过点P 且与直线l 垂直的直线的方程为()4243y x -=-+，即43100x y ++=.18.甲，乙两台机床同时生产一种零件，统计5天中两台机床每天所出的次品件数，数据如下图：（1）判断哪台机床的性能更稳定，请说明理由；（2）从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，求至多有一天的次品数超过1件的概率.【正确答案】（1）乙机床更稳定，理由见解析；（2）910【分析】（1）计算甲、乙两种机床的生产次品的平均数和方差，说明稳定性；（2）分别计算从五天中任意抽取两天的方法种数和这两天中至多有一天次品数超过1的方法种数，利用古典概型公式计算概率即可.【小问1详解】甲机床的次品数为0,1,0,2,2，平均数为1，方差为()()()()()22222101110121210.85⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；乙机床的次品数为.1，平均数为1，方差为()()()()()22222111011121110.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；∴甲、乙两个机床生产的次品的平均数相等，甲机床次品数的方差大于乙机床次品数的方差，所以乙机床性能更稳定.【小问2详解】设从五天的数据中抽取两天，至多有一天的次品数超过1件为事件A ，则从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，抽取的方法有25C 10n ==种，至多有一天的次品数超过1件()211332C C C 9n A =+=，则()910P A =.19.已知圆22:60A x y x +-=与直线32x =相交于M ，N 两点.（1）求||MN 的长；（2）设圆C 经过点M ，N 及(2,2)B .若点P 在圆C 上，点Q 在圆A 上，求||PQ 的最大值.【正确答案】（1）（2）7+【分析】（1）根据圆的方程确定圆心与半径，求圆心到直线的距离，结合直线与圆相交弦长公式求解即可得||MN 的长；（2）根据圆C 经过点M ，N ，可得圆心在圆心C 在x 轴上，设(),0C a ，半径为1r ，即可求得圆C 的方程，再根据两圆上动点距离最值即可得||PQ 的最大值.【小问1详解】圆22:60A x y x +-=化成标准方程为()2239x y -+=，则圆心为()3,0A ，半径3r =，圆A 与直线32x =相交于M ，N 两点，则圆心A 到直线32x =的距离为33322d =-=，所以MN ===【小问2详解】由于圆A 与直线32x =相交于M ，N 两点，所以333333,2222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或333333,2222N M ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，又圆C 经过点M ，N ，则圆心C 在x 轴上，设(),0C a ，半径为1r ，则1CM CB r ==，1r ==，解得11,a r =-=则圆()22:113C x y ++=，若点P 在圆C 上，点Q 在圆A上，所以max 1||437PQ AC r r =++=++=+.20.某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：销售网点数x （单位：个）1719202123售卖出的产品件数y （单位：万件）2122252730假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，（1）求2022年售卖出的产品件数y （单位：万件）关于销售网点数x （单位：个）的线性回归方程；（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.参考公式：()()()112211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-.【正确答案】（1）167.ˆyx =-；（2）约57万件.【分析】（1）由参考公式可算出销售网点数x （单位：个）的线性回归方程；（2）将40x =代入由（1）算得的回归方程可得答案.【小问1详解】由题，可得1719202123205x ++++==，2122252730255y ++++==，51172119222025212723302532i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5222222117192021232020ii x==++++=∑.则22532520253216202020520ˆ.b-⨯⨯===-⨯，2520167.ˆa =-⨯=-.故回归方程为.167.ˆyx =-【小问2详解】将40x =代入回归方程，则64757ˆy=-=.故2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约57万件.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设经过右焦点2F 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E 相交于A ，B 两点和C ，D 两点.求四边形ACBD 的面积的最小值.【正确答案】（1）2214x y +=（2）3225【分析】（1）依题意得到关于a 、b 、c 的方程组，解得即可；（2）首先求出右焦点坐标，当直线AB 的斜率不存在或为0时直接求出四边形的面积，当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线(:AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出AB ，同理得到CD ，最后由面积公式及基本不等式计算可得.【小问1详解】依题意可得2222231142a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2214x y +=.【小问2详解】由（1）可知)2F ，当直线AB 的斜率不存在或为0时，1141222ACBDS AB CD =⋅=⨯⨯=，其中通径为221b a=，当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线(:AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线(1:CD y x k=-，由(2214y k x xy ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去y 得()2222141240k x x k +-+-=，()()()()222224141241610k kk ∆=--+⨯-=+>，所以212214x x k+=+，212212414k x x k -=+，所以AB =()224114k k +==+，同理可得()2222141414114k k CD k k ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，所以()()222281121414ACBDSk k k kAB CD =⋅+⨯⨯++=+，因为()()()()()222222214425114424k k k k k ⎡⎤++++⎢⎥++≤=⎢⎥⎣⎦，所以()()22221322525148ACBD S k k +≥=⨯+，当且仅当1k =±时等号成立，综上可得四边形ACBD 的面积的最小值为3225.22.已知点(1,0)F ，经过y 轴右侧一动点A 作y 轴的垂线，垂足为M ，且||||1AF AM -=.记动点A 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设经过点(1,0)B -的直线与曲线C 相交于P ，Q 两点，经过点(1,)((0,2)D t t ∈，且t 为常数）的直线PD 与曲线C 的另一个交点为N ，求证：直线QN 恒过定点.【正确答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析【分析】（1）设()(),0A x y x >，根据距离公式得到方程，整理即可；（2）设()11,P x y 、()22,Q x y 、()33,N x y ，表示出直线PQ 的方程，由点()1,0B -在直线PQ 上，代入可得124y y =，同理可得()13231y y ty y y ++=，再表示出直线QN ，代入可得()()()131441y y ty y x +-=-，即可得到直线QN 过定点坐标.【小问1详解】解：设()(),0A x y x >，则()0,M y ，因为||||1AF AM -=1x -=，又0x>1x =+，整理得()240y x x =>.【小问2详解】证明：设()11,P x y 、()22,Q x y 、()33,N x y ，所以121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-，所以直线PQ 的方程为()11124y y x x y y -=-+，因为点()1,0B -在直线PQ 上，所以()111241y x y y -=--+，即21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭，解得124y y =①，同理可得直线PN 的方程为()11134y y x x y y -=-+，又()1,D t 在直线PN 上，所以()111341t y x y y -=-+，易得1y t ≠，解得()13231y y ty y y ++=②，所以直线QN 的方程为()22234y y x x y y -=-+，即()23234y y y x y y +=+③，将②式代入③式化简得()1311234y y ty y x y y y +=+，又124y y =，即()131344y y ty y x y +=+，即()()()131441y y ty y x +-=-，所以直线QN 恒过定点41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2021-2022学年四川省成都市高二上学期期末考试(理科)数学试题

绝密★启用前2021-2022学年四川省成都市高二上学期期末考试（理科）数学试题一、选择题（（每小题5分,共60分））1. 命题“,”的否定是( )A. ,B. ,C. ,D. ,答案：D解：命题“,”为全称命题,该命题的否定为“,”. 故选:D.2. 抛物线的准线方程是( )A. B. C. D.答案：C解：抛物线中,,解得,即, 所以抛物线的准线方程是. 故选:C.3. 在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为( )A. B. C. D.答案：B解：不妨设点关于轴对称的点的坐标为, 则线段垂直于轴且的中点在轴, 从而点关于轴对称的点的坐标为. 故选:B.4. 设直线,.若,则的值为( )A. 或B. 或C.D.答案：A解：因为,则,解得或. 故选:A.5. 下列有关命题的表述中,正确的是( )A. 命题“若是偶数,则,都是偶数”的否命题是假命题B. 命题“若为正无理数,则也是无理数”的逆命题是真命题C. 命题“若,则”的逆否命题为“若,则”D. 若命题“”,“”均为假命题,则,均为假命题答案：C解：选项A:原命题的否命题为:若不是偶数,则,不都是偶数, 若,都是偶数,则一定是偶数,从而原命题的否命题为真命题,故A错误; 选项B:原命题的逆命题:若是无理数,则也为正无理数, 当,即为无理数,但是有理数,故B错误; 选项C:由逆否命题的概念可知,C正确; 选项D:由为假命题可知,,至少有一个为假命题, 由为假命题可知,和均为假命题,故为假命题,为真命题,故D错误. 故选:C.6. 执行如图所示的算法框图,则输出的结果是( )A. B. C. D.答案：B解：第一次循环,不成立,,; 第二次循环,不成立, ,; 第三次循环,不成立,,;以此类推,最后一次循环,不成立,,.成立,跳出循环体,输出. 故选:B.7. 方程表示椭圆的充分不必要条件可以是( )A. B. C. D.答案：D解：若方程表示椭圆,则,解得或. 故方程表示椭圆的充分不必要条件可以是. 故选:D.8. 如图,是对某位同学一学期次体育测试成绩(单位:分)进行统计得到的散点图,关于这位同学的成绩分析,下列结论错误的是( )A. 该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高,且次测试成绩的极差超过分B. 该同学次测试成绩的众数是分C. 该同学次测试成绩的中位数是分D. 该同学次测试成绩与测试次数具有相关性,且呈正相关答案：C解：对于A,由散点图知,次测试成绩总体是依次增大,极差为,A正确; 对于B,散点图中个数据的众数是,B正确; 对于C,散点图中的个数由小到大排列,最中间两个数都是,则次测试成绩的中位数是分,C不正确; 对于D,散点图中个点落在某条斜向上的直线附近,则次测试成绩与测试次数具有相关性,且呈正相关,D正确. 故选:C.9. 若椭圆的弦恰好被点平分,则所在的直线方程为( )A. B. C. D.答案：D解：显然点在椭圆内,设点, 依题意,,两式相减得:, 而弦恰好被点平分,即, 则直线的斜率,直线,即, 所以所在的直线方程为. 故选:D.10. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形,一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中随机地取一点,则该点恰好取自白色部分的概率为( )A. B. C. D.答案：A解：设七巧板正方形边长为,则大阴影等腰三角形底边长为,底边上的高为, 可得小正方形对角线长为,小正方形边长为,小阴影等腰直角三角形腰长为, 小白色等腰直角三角形底边长为,则左上角阴影等腰直角三角形腰长为, 因此,图中阴影部分面积, 而七巧板正方形面积, 于是得七巧板中白色部分面积为, 所以在此正方形中随机地取一点,则该点恰好取自白色部分的概率为. 故选:A.11. 已知双曲线的左,右焦点分别为,.若双曲线右支上存在点,使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点,且,则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.答案：B解：如图,因为与渐近线垂直所以的斜率为,方程为解的的坐标为设点坐标为则,因为, 所以,得点坐标为, 代入得:所以,即所以渐近线方程故选:B.12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念,公式符号,推理论证,思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论: ①曲线围成的图形的面积是; ②曲线上的任意两点间的距离不超过; ③若是曲线上任意一点,则的最小值是. 其中正确结论的个数为( )A. B. C. D.答案：C解：当且时,曲线的方程可化为:; 当且时,曲线的方程可化为:; 当且时,曲线的方程可化为:; 当且时,曲线的方程可化为:, 曲线的图像如下图所示:由上图可知,曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和, 从而曲线所围成的面积,故①正确; 由曲线的图像可知,曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和,即,故②错误; 因为到直线的距离为, 所以, 当最小时,易知在曲线的第一象限内的图像上, 因为曲线的第一象限内的图像是圆心为,半径为的半圆, 所以圆心到的距离, 从而,即,故③正确, 故选:C.二、填空题（（每小题5分,共20分））13. 椭圆的长轴长为__________. 答案：解：椭圆方程化为:,令椭圆长半轴长为,则,解得, 所以椭圆的长轴长为. 故答案为:.14. 某班有位同学,将他们从至编号,现用系统抽样的方法从中选取人参加文艺演出,抽出的编号从小到大依次排列,若排在第一位的编号是,那么第四位的编号是__________.答案：解：因系统抽样是等距离抽样,依题意,相邻两个编号相距, 所以第四位的编号是. 故答案为:.15. 根据某市有关统计公报显示,随着“一带一路”经贸合作持续深化,该市对外贸易近几年持续繁荣,年至年每年进口总额(单位:千亿元)和出口总额(单位:千亿元)之间的一组数据如下:若每年的进出口总额,满足线性相关关系,则__________;若计划年出口总额达到千亿元,预计该年进口总额为__________亿元.答案：,千解：由数表得:,, 因此,回归直线过点,由,解得, 此时,,当时,即,解得, 所以,预计该年进口总额为千亿元. 故答案为:;千16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点和,设椭圆和双曲线的离心率分别为,,为两曲线的一个公共点,且(为坐标原点).若,则的取值范围是__________.答案：解：设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,它们的半焦距为,于是得,, 由椭圆及双曲线的对称性知,不妨令焦点和在轴上,点在轴右侧, 由椭圆及双曲线定义得:,解得,, 因,即,而是线段的中点,因此有, 则有,即,整理得: , 从而有,即有,又,则有,即,解得, 所以的取值范围是. 故答案为:.三、解答题（（,共70分））17. 已知的三个顶点是,,. (1)求边所在的直线方程; (2)求经过边的中点,且与边平行的直线的方程.答案：见解析;解：(1)因为,, 所以边所在的直线方程为, 即; (2)因为,, 所以的中点为:, 又, 所以直线方程为:, 即.18. 某班主任对全班名学生进行了作业量多少与手机网游的调查,数据如下表:(1)若随机地抽问这个班的一名学生,分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率; (2)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生.现要从这名学生中任取名学生了解情况,求其中恰有名“不喜欢手机网游”的学生的概率.答案：见解析;解：(1) 由题意可知,全班名学生中,“认为作业不多”的学生人数为人, “喜欢手机网游且认为作业多”的学生人数为人, 因此,随机地抽问这个班的一名学生,事件“认为作业不多”的概率为, 事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率为. (2) 在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了名学生, 这名学生中“不喜欢手机网游”的学生人数为,记为,名学生中“喜欢手机网游”的学生人数为,分别记为、、、, 从这名学生中任取名学生,所有的基本事件有:、、、、、、、、、,共种, 其中,事件“恰有名“不喜欢手机网游”的学生”包含的基本事件有:、、、,共种, 故所求概率为.19. 已知圆的圆心为,且圆经过点. (1)求圆的标准方程; (2)若圆:与圆恰有两条公切线,求实数的取值范围.答案：见解析;解：(1)依题意,圆的半径, 所以圆的标准方程是: . (2)圆的圆心,半径为, 因圆与圆恰有两条公切线,则有圆与圆相交,即,而, 因此有,解得, 所以实数的取值范围是.20. 为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进学生对中国共产党的热爱,某学校举办了一场党史竞赛活动,共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩,从中抽取了名学生的得分(得分均为整数,满分为分)进行统计,所有学生的得分都不低于分,将这名学生的得分进行分组,第一组,第二组,第三组,第四组(单位:分),得到如下的频率分布直方图.(1)求图中的值,估计此次竞赛活动学生得分的中位数; (2)根据频率分布直方图,估计此次竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励,请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖.答案：见解析;解：(1)由频率分布直方图知:,解得, 设此次竞赛活动学生得分的中位数为,因数据落在内的频率为,落在内的频率为, 从而可得,由得:, 所以,估计此次竞赛活动学生得分的中位数为. (2)由频率分布直方图及(1)知:数据落在,,,的频率分别为,, 此次竞赛活动学生得分不低于的频率为, 则, 所以估计此次竞赛活动得分的平均值为,在参赛的名学生中估计有名学生获奖.21. 已知抛物线的焦点为,直线与抛物线在第一象限的交点为,且.(1)求抛物线的方程; (2)经过焦点作互相垂直的两条直线,,与抛物线相交于,两点,与抛物线相交于,两点.若,分别是线段,的中点,求的最小值.答案：见解析;解：(1)抛物线的准线方程为:, 由抛物线定义得:,解得, 所以抛物线方程为:. (2)由(1)知,点,显然直线,的斜率都存在且不为,设直线斜率为,则的斜率为, 直线的方程为:,由消去并整理得, 设,则,于是得线段中点,同理得, 则, 当且仅当,即时取“”, 所以的最小值是.22. 已知点是圆上任意一点,是圆内一点,线段的垂直平分线与半径相交于点. (1)当点在圆上运动时,求点的轨迹的方程; (2)设不经过坐标原点,且斜率为的直线与曲线相交于,两点,记,的斜率分别是,.当,都存在且不为时,试探究是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.答案：见解析;解：(1)圆的圆心,半径, 因线段的垂直平分线与半径相交于点,则,而, 于是得, 因此,点的轨迹是以,为左右焦点,长轴长为的椭圆,短半轴长有, 所以轨迹的方程为. (2)依题意,设直线的方程为:,, 由消去并整理得:,,则且, 设,则有, , 因直线,的斜率,都存在且不为,因此,且,,, 所以直线,的斜率,都存在且不为时,是定值,这个定值是.。

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案

N MD 1C 1B 1A 1DCA学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）考生须知： 1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D)330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝（4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD ===a b c 则MN =CA 1俯视图侧（左）视图正（主）视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =± （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+ ( B)2( C)4+ ( D)4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C 上且满足1223MF MF += 则12MF F ∆的面积为(A)3(B) 2(C ) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅=，则1BC 与BM 的夹角的最大值为 (A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BAD 1C 1B 1A 1D第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ． (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11B C A P 与所成角的大小为____________， 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+．其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．（18）(本小题满分14分)在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，ACBD O =，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；N MDCBAP(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且经过点(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN ∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，底面ABCD 为直角梯形，//,90,AD BC BAD ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ）求p 的值；（II ）线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准（理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R（12） 6 （13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2.…2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为所以点C 到直线l 的距离为11d ==. ……10分即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O =，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形，所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. ……5分因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. ……6分因为1111AA AC A =，所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分因为1111B D AB D ⊂平面， ……8分所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =，所以1b =. ……1分由c e a ===，解得2a =. ……3分所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形，所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分因为,BC PBC PBCADNM MN ⊂=平面平面平面，所以//MN BC . ……4分（II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……5分因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PAAB A =，所以DA PAB ⊥平面. 所以PB DA ⊥. ……7分因为AMDA A =，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n 因为(2,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-, 所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩.令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,622BP BP BP⋅〈〉===n n n .所以二面角P DN A --的余弦值为6. ……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分（II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC =………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=，所以5m =，所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分（III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-.………11分又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <.…12分即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分所以1k的取值范围为((0,3).………14分法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分所以2231k -<.所以213k >.即21113k >.所以2103k <<.…12分因为12x x ≠，则10k ≠. …13分所以1k的取值范围为((0,3).………14分。

2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题理

2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．双曲线2228x y -=的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．423．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．16B ．13C ．23D ．14．已知函数xxe x f =)(的导函数为)(x f '，则0)(>'x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞ B ．),0(+∞ C ．),1(+∞-D ．)0,(-∞5．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是( )6．直线01=-+y ax 平分圆0134222=-+-+y x y x 的面积，则a =（）A ．1B ．3C ．3D ．27．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=8．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在)1(∞+-，上是减函数，则b 的取值范围是（） A ．[)+∞-,1 B ．()+∞-,1C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-9．如图，已知直线与抛物线)0(22>=p px y 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB,OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标（4，2），则p=( )。

A ．3 B ．45C ．52D ．410．函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．163->a B ．16356-≤≤-a C ．56->aD ．16356-<<-a 11．已知椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与椭圆交于Q 。

2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4，则该直线的斜率为3πtan14k ==-，又因为(4,21)A y +，(2,3)B -，所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误；讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行，得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（） A ．12B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示，则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =．故选：B9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //n B ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β C ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥m D ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确；根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确；对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确．故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边，所以其欧拉线方程为斜边上的中线，设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -，所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线l ：x ＋y －7＝0上任意一点，过点P 作两条直线与圆C ：()2214x y ++=相切，切点分别为A ，B .则｜AB ｜的最小值为（）A ．14B ．142C ．23D ．3【答案】A【分析】根据直线与圆相切的几何性质可知，当||PC 取得最小值时，cos ACP ∠最大，||AB 的值最小，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，进而可求此时||14AB =【详解】圆C 是以(1,0)C -为圆心，2为半径的圆，由题可知，当ACP ∠最小时，||AB 的值最小. ||2cos ||||AC ACP PC PC ∠==，当||PC 取得最小值时，cos ACP ∠最大，ACP ∠最小，点C 到直线l 的距离|8|422d -==，故当||42PC =时，cos ACP ∠最大，且最大值为24，此时||||14sin 2||44AB AB ACP AC ∠===，则||14AB =.故选：A12．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ，下列命题错误的是（）A ．四棱锥11B BED F -的体积恒为定值 B ．存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD EC ．存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值D ．对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG ∥平面1EBD 【答案】D【分析】由111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+结合线面平行的定义，即可判断选项A ，由线面垂直的判定定理即可判断选项B ，由面面平行的性质和对称性，即可判断选项C ，由特殊位置即可判断选项D.【详解】对A ，111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+，又11//CC BB ，1CC ⊄平面11BB D ，1BB ⊂平面11BB D ，所以1//CC 平面11BB D ，同理1//AA 平面11BB D ，所以点E ，F 到平面11BB D 的距离为定值，则四棱锥11B BED F -的体积为定值，故选项A 正确；对于B ，因为111BB B D =，可得对角面11BB D D 为正方形，所以11B D BD ⊥，由DC ⊥平面11BCC B ，BE ⊂平面11BCC B ，所以DC BE ⊥，若1BE B C ⊥，则1B CDC C =，1,B C DC ⊂平面1B DC ，所以BE ⊥平面1B DC ，由1B D ⊂平面1B DC ，所以1B D BE ⊥，又11,,BD BE B BD BE ⋂=⊂平面1BD E ，所以1B D ⊥平面1BD E ，故B 正确；对于C ，由面面平行的性质定理可得，四边形1BED F 为平行四边形，由对称性可得，当四边形为菱形时，周长取得最小值，即存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值，故选项C 正确.对于D ，当E 点在C 处时，对于AD 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交，故选项D 错误. 故选：D二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线，当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值，显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=.故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若AB l 的斜率为_________．【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ，当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ，因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||AB =所以圆心到直线的距离为d ===,=1k =±，故答案为：1±.15．已知E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，过A 、C 、E 三点作平面α与平面1111D C B A 相交，交线为l ，则直线l 与1BC 所成角的余弦值为______. 【答案】12【分析】由面面平行的性质与异面直线所成的角的求法求解即可【详解】因为过,,A C E 三点的平面α与平面1111D C B A 相交于l ，平面α与平面ABCD 相交于AC ，平面1111D C B A 与平面ABCD 平行，所以//l AC ,又11//A C AC ，故11//AC l所以直线l 与1BC 所成的角就是直线11A C 与1BC 所成的角，也即是11AC B ∠（或补角）又易知11A C B △为等边三角形，所以直线l 与1BC 所成角的余弦值为1cos602︒=，故答案为：1216．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PAB 面积的最大值是_________．【答案】52【详解】试题分析：易知A （0，0），B （1，3）两直线互相垂直，故222221510222PA PB PA PB AB S PA PB ++==∴=≤=为所求．【解析】基本不等式．三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料. 日期第一年第二年第三年第四年优惠金额x （千元） 10 11 13 12 销售量y （辆） 22243127(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn iii i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程；（2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =- （2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上． (1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为34-的直线l 过点B 且与圆C 相交于,E F 两点，求||EF ．【答案】(1)60x y -=或+7=0x y -； (2)22(5)(1)5x y -++=； (3)2.【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答. （2）设出圆心坐标，由已知求出圆心及半径作答. （3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算作答.【详解】（1）经过点A ，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时，直线的方程为60x y -=，当直线不过原点时，设直线的方程为=x y a +，将点(6,1)A 代入解得=7a ，即直线的方程为+7=0x y -，所以所求直线的方程为60x y -=或+7=0x y -．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -，又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径||||r AC BC ==，1b =-，圆心(5,1)C -，圆C的半径r = 所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=．（3）依题意，直线l 的方程为32(3)4y x +=--，即3410x y +-=，圆心(5,1)C -到直线的距离为|1541|25d --==，所以22||22542EF r d =-=-=．19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ： (2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析2【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点，所以ME DC ∥且12ME DC =，底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =，所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形，所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===，由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=，因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==，由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===，可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=．21．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =，1AF =，M 是线段EF 的中点．(1)求证：平面ACEF ⊥平面BDF ；(2)求证：DM ⊥平面BEF ；(3)求二面角A DF B --的大小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)60【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用0AM BD =，0AM DF =，可得AM ⊥平面BDF ，进而可得面面垂直.（2）由2AB 1AF =，得3==DF DE DM EF ⊥，连BM ，得DM BM ⊥，由此能证明DM ⊥平面BEF ．（3）由（1）得，(0AM =，1-，1)是平面BDF 的一个法向量．(1,1,0)DC =--是平面ADF 的一个法向量，cos AM <，1222DC >==⨯即可．【详解】（1）四边形ACEF 是矩形，FA AC ∴⊥，平面ACEF ABCD ⊥，平面ACEF 平面ABCD AC =，AF ⊂平面ACEFAF ∴⊥平面ABCD ．设AC DB O ⋂=，则OM ⊥平面ABCD建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：(0O ，0，0)，(0A ，1，0)，(1B -，0，0)，(0C ，1-，0)，(1D ，0，0)，(0E ，1-，1)，(0F ，1，1)，(0M ，0，1)．(2BD =，0，0)，(1DF =-，1，1)，(0AM =，1-，1)，∴0AM BD =，0110AM DF =-+=， AM BD ∴⊥，AM DF ⊥，BD DF D =，,BD DF ⊂平面BDF ，AM ∴⊥平面BDF ,AM ⊂平面ACEF ，所以平面ACEF ⊥平面BDF（2）由2AB =，1AF =，得3==DF DE ，M 是线段EF 的中点，DM EF ，连接BM ，由于2222,,DM OM OD MB OM OB OB OD =+=+=,得2BM DM ==,又2BD =，222DM BM BD += DM BM ∴⊥，又BM EF M =，,MB EF ⊂平面BEF , DM ∴⊥平面BEF ．（3）由（1）得，(0AM =，1-，1)是平面BDF 的一个法向量．又AF ⊥平面ABCD 得AF CD ⊥,又CD DA ⊥ ,故(1,1,0)DC =--是平面ADF 的一个法向量，故cos AM <，11222DC >==⨯ 二面角A DF B --为锐角，∴二面角A DF B --为60．22．已知圆22:(3)9M x y -+=．设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于P 、Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)17；(2)点N 在定直线6x =-上.【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l的距离为：1d =所以PQ == 由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=，则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号，所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17.（2）点N 在定直线6x =-上.证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ，则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++，所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+，由111100OP y y k x x -==-，所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--，所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--，因为直线OP 与直线BQ 交于点N ，所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++，所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。

高二上学期期末考试数学(理)试题及答案 (11)

学年度高二第一学期期末学分认定考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题和解答题）两部分。

满分150分；考试时间120分钟.考试结束后，监考教师将答题纸和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（共50分）注意事项：本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ｉ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )A ．2214y x -= B ．2214x y -=C ．2212y x -= D ．2212x y -= 2．设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的（）条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要 3．在ABC ∆中，如果=cos cos a bB A，则该三角形是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．以上答案均不正确4．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，那么4a 的值为A ．1B ．2C ．4D ．85．在平面直角坐标系中，不等式组0400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）A . 2B . 4C . 8D . 16 6．若不等式08322≥-+kx kx的解集为空集，则实数k 的取值范围是（） A . )0,3(- B .)3,(--∞ C . (]0,3- D .),0[]3,(+∞--∞ 7．下列命题中，说法正确的是（）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B.“102x <<”是“(12)0x x ->”的必要不充分条件 C ．命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++>”D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题为真命题 8．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且231n n S nT n =+，则55b a A ．32 B ． 149 C ． 3120 D ． 979．在ABC ∆中，，，4530,2===C A a 则ABC S ∆=（） A ．2 B ．22 C ．13+ D ．()1321+10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ． 3(0,]4B ．3(0,]2 C ．3[,1)2 D ．3[,1)4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸中横线上。

高二上学期期末教学质量检测数学理科试题

高二上学期期末教学质量检测数学理科试题注意：1、全卷满分150分，考试时间120分钟.编辑人：丁济亮2、考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校等填写在答题卡指定位置；交卷时只交答题卡.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置. 1．命题“,||1x R x ∃∈<使得”的否定是（）A ．,||1x R x ∀∈<都有B ．,11x R x x ∀∈≤-≥都有或C ．,||1x R x ∃∈≥都有D ．,||1x R x ∃∈>都有2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2-=x ，则抛物线方程是（）A ．x y 82-=，B ．x y 42-=C ．x y 82=D ．x y 42=3．设随机变量X ~N （0，1），已知( 1.96)0.025P X <-=，则( 1.96)P X <= （）A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9754．不等式01>-xx 成立的充分不必要条件是（） A ．1>x B ．1->xC ．1-<x 或10<<xD ．01<<-x 或1>x5．某程序框图如右图所示，则程序运行后输出的S 值为（）A ．6-B ．10-C ．15-D ．106．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（） A ．929B ．1029C ．1929D ．20297．从编号为1~60的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法抽取5枚导弹的编号可能是（） A ．1，3，4，7，9，5， B ．10，15，25，35，45 C ．5，17，29，41，53D ．3，13，23，33，438．已知圆22:4C x y +=，直线:1l x y +=，则圆C的概率为（） A ．14 B ．34C ．314ππ- D ．24ππ+ 9．“中国农谷杯”2012全国航模锦标赛于10月12日在荆门开幕，文艺表演结束后，在7所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演．如果M 、N 为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先M 后N 的次序（M 、N 两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有（） A ．120种 B ．240种 C ．480种 D ．600种10．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点1F 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A 、B ，若F =1，则双曲线的渐近线方程为（） A ．03=±y xB ．03=±y xC ．032=±y xD ．023=±y x二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分,把答案填在题中横线上） 11．把二进制数110 011)2(化为十进制数为 ▲ ； 12．正二十边形的对角线的条数是 ▲ ；13．NBA 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右图所示：则中位数与众数分别为 ▲ 和 ▲ ．14．已知F 是抛物线24y x =的焦点， A 、B 是抛物线上两点，若AFB ∆是正三角形，则AFB ∆ 的边长为 ▲ ； 15．下列四个命题：① 命题P ：03222≤-+-x x x ；则P ⌝命题是；03222>-+-x x x ；②102)1(kx +（k 为正整数）的展开式中，16x 的系数小于90，则k 的值为1； ③从总体中抽取的样本错误！未找到引用源。

河南省信阳市第二实验中学高二数学理上学期期末试题含解析

河南省信阳市第二实验中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f(x)＝的定义域为()A. (0，＋∞)B. (1，＋∞)C. (0,1)D. (0,1)∪(1，＋∞)参考答案：D2. 抛物线 x2=y的准线方程是（）A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=0参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以： =，∴准线方程 y=﹣，即4y+1=0．故选：B3. 在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A． B． C． D．参考答案：B 略4. 不等式x2﹣|x|﹣2＜0（x∈R）的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|x＜﹣2或x＞2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|﹣2＜x＜2}参考答案：D【考点】其他不等式的解法．【分析】把原不等式中的x2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x 的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x的解集．【解答】解：原不等式化为|x|2﹣|x|﹣2＜0因式分解得（|x|﹣2）（|x|+1）＜0因为|x|+1＞0，所以|x|﹣2＜0即|x|＜2解得：﹣2＜x＜2．故选D．5. 10．已知函数,若,则实数的取值范围是（）A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞,－1) ∪(1,+∞)C. (－1,0)∪(1,+∞)D. (－∞,－1) ∪(0,1)参考答案：A6. 在下图中，直到型循环结构为（ )）参考答案：A7. 下边为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）A．i>20 B．i<20 C．i>=20 D．i<=20参考答案：A8. 已知实数满足，则目标函数的最大值为（）A．－3 B．3 C．2 D．－2参考答案：C9. 抛物线的焦点坐标为A. (1,0)B. (0,1)C.D.参考答案：B10. 的值为（）...1 ..参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则的展开式中的常数项为.参考答案：12. 设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α，其中所有正确的命题的序号是__________．参考答案：①③①若，，①正确；（两平行线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面）②若，，则，，②错误；③若，，则，③正确；（垂直于同一直线的两平面平行）故答案：①③．13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。

高二数学上学期期末考试题理含解析试题

泉港一中2021-2021学年上学期期末考单位：乙州丁厂七市润芝学校时间：2022年4月12日创编者：阳芡明高二理科数学试题一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分)，总有，那么为〔〕A. ，使得B. ，使得C. ，总有D. ，总有【答案】B【解析】【分析】根据全称命题“〞的否认为特称命题“〞即可得结果.【详解】因为全称命题的否认是特称命题，否认全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，所以，命题，总有的否认为：，使得，应选B. 【点睛】此题主要考察全称命题的否认，属于简单题.全称命题与特称命题的否认与命题的否认有一定的区别，否认全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否认结论，而一般命题的否认只需直接否认结论即可.上点到其焦点的间隔为6，那么该抛物线的准线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由抛物线的HY方程求出其准线方程，利用抛物线的定义可得|4﹣〔〕|＝6，解可得2，即可得抛物线的准线方程．【详解】根据题意，抛物线的方程为y2＝2px，那么其准线为x，又由抛物线上点M〔4，m〕到其焦点的间隔为6，那么M到准线的间隔为6，那么有|4﹣〔〕|＝6，解可得2，即抛物线的准线方程为x＝﹣2；应选：C．【点睛】此题考察抛物线准线方程，关键是利用定义分析得到点M到准线的间隔为6，是根底题3.假设“〞是“〞的必要不充分条件 ,那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解不等式，利用必要不充分条件的定义即可求出a的取值范围．【详解】由题那么x>1, ∵“〞是“〞的必要不充分条件,所以a<1应选：A【点睛】此题主要考察必要不充分条件的应用，利用必要不充分条件的定义建立不等关系是解决此题的关键．比拟根底．与曲线相切于点，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把切点P的坐标代入y＝ax2+2-lnx求出a，再求函数导数求出k，再把P〔1，4〕代入y＝kx+b 求b．【详解】∵点P〔1，4〕在曲线y＝ax2+2-lnx上，∴a+2＝4，解得a＝2，由题意得，，∴在点P〔1，4〕处的切线斜率k＝3，把P〔1，4〕代入y＝kx+b，得b＝1，应选：D．【点睛】此题考察了导数的几何意义，熟记某点处的切线的斜率是该点处的导数值，纯熟运用切点在曲线上和切线上是关键,是根底题的离心率等于2，那么双曲线的渐近线与圆的位置关系是〔〕A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定【答案】A【解析】【分析】运用离心率公式，得b a，求得渐近线方程，圆心到直线的间隔与半径比拟即可得到所求关系．【详解】由题意可得e2，化为b a，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x，圆〔x﹣2〕2+y2＝1的圆心为〔2，0〕，半径为，圆心到直线的间隔为>1，那么渐近线与圆相离．应选：A．【点睛】此题考察双曲线几何性质性质，离心率和渐近线，考察直线和圆的位置关系，以及运算求解才能，属于根底题．6.某要对两千多名出租车司机的年龄进展调查，现从中随机抽出100名司机，抽到的司机年龄都在[20，45〕岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况频率分布直方图如下图，利用频率分布直方图估计该出租车司机年龄的中位数大约是〔〕【答案】C【解析】由直方图可知，25~30岁的频率为1-0.05-0.35-0.3-0.1=0.2，那么整个直方图的面积一半的位置大约在30~35之间且比拟靠近35的位置，应选C7.执行如下图的程序框图，假设输出的结果为5，那么输入的实数的范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，n的值，由题意判断退出循环的条件即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得n＝1，x＝1不满足条件x＞a，执行循环体，x＝1，n＝2不满足条件x＞a，执行循环体，x＝2，n＝3不满足条件x＞a，执行循环体，x＝6，n＝4不满足条件x＞a，执行循环体，x＝24，n＝5此时，由题意应该满足条件x＞a，退出循环，输出n的值是5．可得：6≤a＜24．应选：A．【点睛】此题考察的知识点是循环构造的程序框图的应用，当循环的次数不多，或者有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于根底题．(,那么 ( )A. B. C. D.大小关系不能确定【答案】C【解析】【分析】对函数求导得到函数的导函数，进而得到原函数的单调性，从而得到结果.【详解】函数 (,对函数求导得到当x>1时，导函数大于0，函数单调增，当x<1时，导函数小于0，函数单调递减，因为，故得到. 故答案为：C.【点睛】这个题目考察了导函数对于研究函数单调性的应用，函数的单调性可以通过常见函数的性质得到，也可以通过定义法证明得到函数的单调性，或者者通过求导得到函数的单调性。

山东省德州市某重点中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案

高二上学期期末考试数学试题（理）留意事项：1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

3．非选择题答案必需写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。

4．考生必需保持答题卡的洁净，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。

第I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式a n可以等于()A. (－1)n＋12 B. cosnπ2 C. cosn＋12π D. cosn＋22π2. 设a<b<0，则下列不等式中不成立的是()A. 1a>1b B.1a－b>1a C. |a|>－b D. －a>－b3. 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1 B．2sin 10°C．2cos 10°D．cos 20°4. 等差数列{a n}前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于()A. 6B. 7C. 8D. 95. 一个等比数列的前三项的积为3，最终三项的积为9，且全部项的积为729，则该数列的项数是()A. 13B. 12C. 11D. 106. 双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A. x280－y220＝1 B.x220－y280＝1 C.x220－y25＝1 D.x25－y220＝17. 若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是()A.14 B. 1 C. 4 D. 88. 如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是 ()A.－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋cC.－12a－12b＋c D.12a－12b＋c9. 数列}{na的前n项和为nS，511=a，且对任意正整数m，n，都有nmnmaaa⋅=+，若tSn<恒成立，则实数t的最小值为()A.4B.34C.43D.4110．过双曲线2222100x y(a,b)a b-=>>的左焦点0F(c,)-作圆222x y a+=的切线，切点为E，延长FE交抛物线24y cx=于点P，O为原点，若12OE(OF OP)=+，则双曲线离心率为()A.152+B.333+C.52D.132+第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，则点P的轨迹方程是_________.12．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝________________.13. 已知△ABC的面积为32，AC＝3，∠ABC＝π3，则△ABC的周长等于_________________．14. 若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_______．15. 已知变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是_____________________. 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16. （本小题满分12分）设p ：关于x 的不等式 a x >1的解集是 {x |x <0} ；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R . 若 p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．17. （本小题满分12分）已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1) 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2) 若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试推断△ABC 的外形．18．（本小题满分12分）已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且 S n ＝a n (a n ＋1)2， n ∈N *.(1) 求证：数列{a n }是等差数列；(2) 设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .19.（本小题满分12分）某市近郊有一块大约500500m m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府预备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地外形相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米.(1) 分别用x 表示y 和S 的函数关系式，并给出定义域；(2) 怎样设计能使S 取得最大值，并求出最大值.20. （本小题满分13分）已知四边形ABCD 是菱形,060BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形 ,平面BDEF ⊥平面ABCD ,G H 、分别是CE CF 、的中点. (1) 求证 : 平面//AEF 平面BDGH ； (2) 若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060,求直线CF 与平面BDGH 所成的角的正弦值.21．(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短轴长为3. (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 直线x =2与椭圆C 交于P 、Q 两点,A 、B 是椭圆O 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB的斜率为12。

2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二年级上册学期期末考试数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为 A ．3 B ．5 C ．2 D ．1【答案】A【分析】先由题意确定抽样比，进而可求出结果. 【详解】由题意该单位共有职工305020100++=人，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，抽样比为10110010=，所以应抽查的老年人的人数为130310⨯=. 故选A【点睛】本题主要考查分层抽样，会由题意求抽样比即可，属于基础题型. 2．已知,a b R ，则“220a b +=”是“0ab =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若220a b +=，则0a b ，则0ab =成立．而当0a =且1b =时，满足0ab =，但220a b +=不成立； ∴“220a b +=”是“0ab =”的充分不必要条件．故选：A ．3．下列说法中错误的是（）A ．对于命题p ：存在0x ∈R ，使得20010x x ++<，则p ⌝：任意R x ∈，均有210x x ++≥B ．两个变量线性相关性越强，则相关系数r 就越接近1C ．在线性回归方程20.5y x =-中，当变量x 每增加一个单位时，y 平均减少0.5个单位D ．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变【答案】D【分析】A 选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定； B 选项，相关系数r 就越接近1，则两个变量线性相关性越强； C 选项，根据线性回归方程的解析式中x 的系数得到结论； D 选项，计算出添加新数据4后的方程，作出判断.【详解】存在0x ∈R ，使得20010x x ++<，的否定是：任意R x ∈，均有210x x ++≥，A 正确；两个变量线性相关性越强，则相关系数r 就越接近1，B 正确；在线性回归方程20.5y x =-中x 的系数为0.5-，当变量x 每增加一个单位时，y 平均减少0.5个单位，C 正确；某7个数1234567,,,,,,x x x x x x x 的平均数为4，方差为2，则()72142714i i x =-=⨯=∑，现加入一个新数据4，则平均数不变，仍为4，此时这8个数的方差变为()21444784+-=，故D 错误. 故选：D4．如图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入1813,333m n ==，则输出m 的值为（）A ．4B ．37C ．148D ．333【答案】B【分析】利用辗转相除法求1813和333的最大公约数.【详解】题中程序框图为辗转相除法求1813和333的最大公约数.因为181********=⨯+，333148237=⨯+，1483740=⨯+，所以1813和333的最大公约数为37. 故选：B.5．圆x 2+y 2-2x -3=0与圆x 2+y 2-4x +2y +3=0的位置关系是（） A ．相离 B ．内含 C ．相切 D ．相交【答案】D【分析】求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距与半径之差和半径和的关系，可得两个圆相交．【详解】由于圆x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0的圆心为（1，0），半径等于2，而圆x 2+y 2﹣4x +2y +3＝0即（x ﹣2）2+（y +1）2＝2，表示以（2，﹣1的圆．22 故两个圆相交，故选D ．【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题． 6．已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.7．已知1F ，2F 为双曲线2214xy -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，那么点P 到x 轴的距离为（）A B C D 【答案】D【解析】设12||,||()PF x PF y x y ==>，由双曲线的性质可得x y -的值，再由1290F PF ∠=︒，根据勾股定理可得22xy +的值，进而求得xy ，最后利用等面积法，即可求解【详解】设12||,||()PF x PF y x y ==>，1F ，2F 为双曲线的两个焦点，设焦距为2c ，c ∴=P 在双曲线上，4x y ∴-=，1290F PF ∠=︒，2220x y ∴+=，2222()4xy x y x y ∴=+--=，2xy ∴=，12F PF ∴的面积为112xy =，利用等面积法，设12F PF △的高为h ，则h 为点P 到x 轴的距离，则12512h c h ⋅⋅==，55h ∴=故选：D【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.8．椭圆221925x y +=上的点A 到一个焦点F 的距离为2，B 是AF 的中点，则点B 到椭圆中心O 的距离为． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【分析】由三角形的中位线的性质得12OB AF ='，再由椭圆的定义得108AF AF =-='，由此可求得答案.【详解】∵椭圆方程为221925x y +=，∴225a =，得5a =， ∵AFF '中，B 、O 分别为AF 和FF '的中点，∴12OB AF ='，∵点A 在椭圆上，得210AF AF a +=='， ∴108AF AF =-='，由此得118422OB AF =⨯'==，故选：B ．9．已知直线y=x+m 和圆x2+y2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若3AO AB 2⋅=，则实数m=（）A ．1±B ．C ．D ．12±【答案】C【分析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩，得2x 2+2mx +m 2﹣1＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求出m ．【详解】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx+m 2-1=0， ∵直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m 或m ＜设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-m ，21212m x x -= ， y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1）， ∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m= 故选C ．【点睛】本题考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题． 10．已知0a >，0b >，直线1l ：(1)10a x y -+-=，2l ：210x by ++=，且12l l ⊥，则21a b+的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．9【答案】C【分析】由12l l ⊥，可求得21a b +=，再由()2121424b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为12l l ⊥，所以()11120a b -⨯+⨯=，即21a b +=，因为0a >，0b >，所以()2121422248b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即11,24a b ==时等号成立，所以21a b+的最小值为8.故选：C.【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.11．已知O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，双曲线C 上一点P 满足12PF PF ⊥，且2122PF PF a ⋅=，则双曲线C 的离心率为AB ．2CD 【答案】D【详解】设P 为双曲线右支上一点,1PF =m ,2 PF =n ,|F 1F 2|=2c ，由双曲线的定义可得m −n =2a ，点P 满足12PF PF ⊥,可得m 2+n 2=4c 2，即有(m −n )2+2mn =4c 2，又mn =2a 2，可得4a 2+4a 2=4c 2，即有c ，则离心率e 故选D .12．已知圆224410M x y x y +---=：，直线:34110l x y P ++=，为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA PB ，，切点为A B ，，当四边形PAMB 面积最小时，直线AB 的方程为（） A ．3450x y +-= B ．3450x y --= C ．3450x y ++= D ．3450x y -+=【答案】A【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 46PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】解：圆的方程可化为()()22229x y -+-=，点M 到直线l 的距离为52d ==>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14462PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而 PA =当直线MP l ⊥时，min 5MP =， min 4PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()4:223MP y x -=-，即 4233y x =-，由423334110y x x y ⎧=-⎪⎨⎪++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()()21220x x y y -+++-=，即2260x x y -+-=，两圆的方程相减可得：3450x y +-=，即为直线AB 的方程．故选：A .【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．二、填空题13．某校调查了200名学生每周的自习时间（单位:小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____．【答案】140【分析】求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，即可求得答案. 【详解】由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为: (0.020.10) 2.50.71+⨯-=,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：2000.7140⨯=，故答案为：140.14．从800名同学中，用系统抽样的方法抽取一个20人的样本，将这800名同学按1800进行随机编号，若第一组抽取的号码为3，则第五组抽取的号码为__________. 【答案】163【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案. 【详解】组距为8004020=，所以第五组抽取的号码是()35140163+-⨯=. 故答案为：16315．抛物线2:12C y x =-的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点(5,2)A -，则PA PF +的最小值为___________. 【答案】8【分析】根据抛物线的定义，将||PF 转化为P 到准线的距离，再结合图形可求出结果. 【详解】由212y x =-，得(3,0)F -，准线方程为：3x =，过P 作准线3x =的垂线，垂足为M ，则PA PF +||||PA PM =+||3(5)8AM ≥=--=，当且仅当,,A P M 三点共线时，等号成立. 故答案为：816．数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.如曲线22:C x y x y +=+，（如图所示），给出下列三个结论①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 2；③曲线C 围成的图形的面积是2π+. 其中，正确结论的序号是_________. 【答案】①③【分析】根据点的对称性可判断①，由曲线方程知曲线关于原点，x ，y 轴对称，当0x ≥，0y ≥时，可得220x y x y +--=，可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以可得曲线为11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，22r为半径的半圆，由此可作出曲线C 的图象，从而通过运算可判断命题②③的真假．【详解】设点(),A x y 在曲线C 上，则22x y x y +=+，(),A x y 关于直线y x =对称的点(),A y x '，将(),A y x '代入曲线C 中得22y x y x +=+，因此(),A y x '在曲线C 上，故①正确，曲线22:||||C x y x y +=+可知曲线C 关于原点，x ，y 轴对称，当0x ≥，0y ≥时，可得220x y x y +--=，可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以可得曲线为11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，22r为半径的半圆，曲线上任意点到原点的距离的最大值为OC r +=C，故命题②错误；根据对称性可知曲线C 围成的图形的面积为4的正方形的面积，即214π2π2⨯⨯⨯=+⎝⎭，故命题③正确；故答案为：①③三、解答题17．已知直线:(1)20()l a x y a a R ++--=∈.（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）当()0,0O 点到直线l 距离最大时，求直线l 的方程. 【答案】（1）0x y -+=或20x y +-=（2）20x y +-=【解析】（1）先求出直线l 在两坐标轴上的截距，根据题意，列出方程，解方程即可；（2）根据直线的点斜式方程可以确定直线恒过的定点，然后根据直线l 与AO 垂直时，()0,0O 点到直线l 距离最大，最后求出a 的值，进而求出直线的方程. 【详解】（1）直线:(1)20l a x y a ++--=，取0x =，2y a =+ 取0y =，21a x a +=+即221a a a ++=+，解得2a =-或0a =，故直线方程为0x y -+=或20x y +-=（2）:(1)20l a x y a ++--=变换得到(1)20a x x y -++-=，故过定点()1,1A当直线l 与AO 垂直时，距离最大. 1OA k =，故1k =-，解得0a =，故所求直线方程为20x y +-=【点睛】本题考查了直线的截距的定义，考查了直线过定点的判断，考查了已知点到直线的距离的最大值求参数问题，考查了数学运算能力. 18．已知命题[]:0,2p x ∈；命题:23q m x m <≤+. (1)若p 是q 的充分条件，求m 的取值范围；(2)当1m =时，已知p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求x 的取值范围. 【答案】(1)102m -≤<；(2)[](]0,12,5⋃.【分析】（1）解不等式组0232m m <⎧⎨+≥⎩即得解；（2）由题得p 、q 一真一假，分两种情况讨论得解.【详解】（1）解：由题意知p 是q 的充分条件，即p 集合包含于q 集合，有[](]010,2,2302322m m m m m <⎧⊆+⇒⇒-≤<⎨+≥⎩；（2）解：当1m =时，有(]:1,5q x ∈，由题意知，p 、q 一真一假，当p 真q 假时，020115x x x x ≤≤⎧⇒≤≤⎨≤>⎩或，当p 假q 真时，022515x x x x ⎧⇒<≤⎨<≤⎩或，综上，x 的取值范围为[](]0,12,5⋃19．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数y （颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：(1)由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于x 的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数. 参考数据：24y =，()()7170i i i x xy y =--=∑，()721176i i y y=-=∑778.77.参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】(1)答案见解析； (2)44.【分析】（1）直接套公式求出系数r ，即可判断；（2）套公式求出回归方程，把19x =代入，即可求解.【详解】（1）由题意可知：()1891011121314117x =++++++=. ()()()()()()()()27222222218119111011111112111311141128ii x x =-=-+-+-+-+-+-+-=∑.又()721176i i y y=-=∑，所以相关系数()()()()122110.99717628niii nni i i i x x y y r x xy y===--==≈⨯--∑∑∑.因为相关系数0.998r ≈，所以y 与x 的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）由（1）知11x =，24y =，()27128i i x x=-=∑，()()7170i i i x x y y =--=∑.所以()()()121702.528niii ni i x x y y b x x==--===-∑∑, 所以24 2.511 3.5a y bx =-=-⨯=-. 所以y 与x 的回归直线为 2.5 3.5y x =-.当19x =时， 2.519 3.544y =⨯-=.即在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44.20．圆心在()300x y x -=>上的圆C 与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为 (1)求圆C 的方程；(2)求过点()2,3P --且与该圆相切的直线方程．【答案】(1)()()22139x y -+-= (2)2x =-和3460x y --=【分析】（1）设圆心()(),30C a a a >，求出圆心到直线的距离d ，由勾股定理计算弦长求得参数，得圆标准方程；（2）分类讨论，斜率不存在的直线直接验证，斜率存在的直线设出直线方程（用点斜式），由圆心到切线距离等于半径求得参数值，得直线方程．【详解】（1）设圆心()(),30C a a a >，则3ra =C 到直线0x y -=的距离为d ==22227r d d =+=+⎝⎭22927a a =+∴21a =∴1a =∴圆C 的方程为()()22139x y -+-=（2）①当切线l 斜率不存在时，l ：2x =-满足题意 ②设l ：()32y k x +=+，即230kx y k -+-= 圆心到直线l 的距离为3d '=，∴34k =综上得过P 与圆C 相切的直线方程为2x =-和3460x y --=21．已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，而焦点是双曲线2241x y -=的右顶点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线:2l y x =-与抛物线相交于A 、B 两点，则直线OA 与OB 的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)22y x = (2)是定值，1-【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；（2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求得弦长及两点连线的斜率公式即可求解.【详解】（1）双曲线2241x y -=化为标准形式：22114x y -=，211,42a a ==，右顶点A 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，设抛物线的方程为22y px =，焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以1p =，所以抛物线C 的方程22y x =；（2）联立222y xy x ⎧=⎨=-⎩，整理得2240y y --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,2,y y y y =-+=， ()()()121212121121224122242442OA OB y y y y y y k k x x y y y y y y -∴⋅=⋅==+++++++==--⨯，综上，抛物线C 的方程22y x =，OA ，OB 斜率的乘积为-1.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右两个焦点1F ，2F，离心率e =2．(1)求椭圆的方程；(2)如图，点A 为椭圆上一动点(非长轴端点)，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）椭圆的标准方程为2212x y += （2）ABC ∆2【详解】试题分析：（1）由题意得1b =，再由22222c e a b c a a ===+=1c = ⇒标准方程为2212x y +=；（2）①当AB 的斜率不存在时，不妨取222,1,,1,A B C ⎛⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭12222ABC S ∆=⨯ ②当AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，联立方程组()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ⇒ ()222222121222422214220,2121k k k x k x k x x x x k k -+-+-=+=⋅=++ ⇒ 2212221k AB k +=+又直线0kx y k --=的距离2211k k d k k -=++⇒点C 到直线AB 的距离为2221k d k =+ ⇒ ()22222211111222222222141421ABCk k S AB d ABC k k k ∆⎛⎫+=⋅=⋅=-∆ ⎪++⎝⎭+面2试题解析：（1）由题意得22b =，解得1b =， ∵2222c e a b c a ===+，∴2a =1c =，故椭圆的标准方程为2212x y +=（2）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取 222,1,,1,A B C ⎛⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故12222ABC S ∆=⨯②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 ()1y k x =-，联立方程组()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222214220k x k x k +-+-=，设()()221122121222422,,,,,2121k k A x y B x y x x x x k k -+=⋅=++AB==点O 到直线0kx y k --=的距离d ==因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d∴2211122221ABCk S AB d k ∆⎛⎫+=⋅=⋅ ⎪+⎝⎭==综上，ABC ∆【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为22x y 12+=；（2）利用分类与整合思想分当AB 的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得2121224k x x ,x x 2k 1+=⋅=⇒+ AB =，再求得点C到直线AB 的距离为2d⇒2ΔABC211k 1S AB 2d ABC 222k 1⎛⎫+=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭面。

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沁县中学2014～2015学年第一学期模块结业考试试题高二数学（理科）分值：150分时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1．双曲线221102x y -=的焦距为( ) A ．23 B ．24 C ．32 D ．34 2. 设a R ∈，则1a >是11a< 的（） A ．充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件3．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量1,,AB AD AA 来表示向量1AC ，则（）A. 11AC AB AD AA =-+B. 11AC AB AD AA =++C. 11AC AB AD AA =+-D. 11AC AB AD AA =--4．双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A ． 23y x =±B.49y x =±C. 32y x =±D. 94y x =±5. 以下四组向量： ①(1,2,1)a =-,(1,2,1)b =--； ②(8,4,0)a =,(2,1,0)b =；③(1,0,1)a =-,(3,0,3)b =-； ④4(,1,1)3a =--,(4,3,3)b =- 其中互相平行的是.（）A ．②③B ．①④C ．①②④D ．①②③④6.直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)7．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（） ACDD 11B 1A 1Ａ．2211510x y +=Ｂ．221225100x y +=Ｃ．2211015x y +=Ｄ．221100225x y +=8.已知△ABC 的周长为20，且顶点 B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（）A.1203622=+y x （x ≠0）B.1362022=+y x （x ≠0）C.120622=+y x （x ≠0）D.162022=+y x （x ≠0）9.在空间直角坐标系中，点P (1,2,3)，过点P 作平面xoy 的垂线PQ ,则垂足Q 的坐标为（）A ．(0,2,0)B ．(0,2,3)C ．(1,0,3) D. (1,2,0)10．已知F 是抛物线x y 82=的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，12=+BF AF ,则线段AB 中点到y 轴的距离为（）A.16B.6C.8D. 411. 若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（）A.（315,315-） B.（315,0） C.（0,315-） D.（1,315--） 12．已知12F F ，为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，2MF 垂直于x轴，且1260F MF ∠=，则椭圆的离心率为（）Ａ．1223 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13、设2,1F F 是椭圆C:192522=+y x 的焦点，P 为椭圆上一点，则21F PF ∆的周长为__________ .14、命题“对任意的x R ∈，都有2240x x -+≤”的否定为______ . 15．抛物线的的方程为22x y =，则抛物线的焦点坐标为______________16．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与C 相交于,A B 两点，若3AF FB =，则k =______．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设p ：方程210x mx ++=有两个不等的负根，q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．18.（12分）已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2|－|PF 1|＝2的点P 的轨迹是曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）设过点（0，-1）的直线与曲线E 交于A ，B 两点．如果|AB |＝63，求直线AB 的方程．19、（12分）已知椭圆C 的两焦点分别为()()12F F 、，长轴长为6， ⑴求椭圆C 的标准方程;⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度。

.20. （本题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点。

（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；（2）求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值。

21、 (本题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，其中,BA AD CD AD ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）求证：BE //平面PAD ；（2）若BE ⊥平面PCD ，求二面角E BD C --的余弦值．22．（本题满分12分）已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点。

（1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF ⋅=-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。

沁县中学2014～2015学年第一学期模块结业考试试题高二数学（理科）答题卡二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13、__________ 14、______ .15． ________16．_______．17．（10分）18.（12分）（1）（2）20、（12分）（1）（2）21.（本题满分12分）（1）高二数学（理科）答案1、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DABCDCABDDDC2.填空题13.18 14. 存在x R ∈,使2240x x -+> 15．1(,0)816.2 17. 解：若方程210x mx ++=有两个不等的负根，则21240m x x m ⎧∆=->⎨+=-<⎩， ……2分所以2m >，即:2p m >． …………3分若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则216(2)160m ∆=--<， ………5分即13m <<，所以:13p m <<． …………………………………………………6分因为p q ∨为真，则,p q 至少一个为真，又p q ∧为假，则,p q 至少一个为假．所以,p q 一真一假，即“p 真q 假”或“p 假q 真”． ……………………8分所以213m m m >⎧⎨≤≥⎩或或213m m ≤⎧⎨<<⎩ …………………………………10分所以3m ≥或12m <≤．故实数m 的取值范围为(1,2][3,)+∞． …………………………12分18. .（1）解：由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，易知b ＝1，故曲线E 的方程为x 2－y 2＝1(x <0)．（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，又已知直线与双曲线左支交于两点A ，B ，有⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝2k 2＋81－k 2>0，x 1＋x 2＝－2k 1－k2<0，x 1x 2＝－21－k 2>0，解得－2<k <－1.又∵|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22－4×－21－k 2＝21＋k 22－k21－k22，依题意得21＋k22－k21－k22＝63，整理后得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又－2<k <－1，∴k ＝－52，故直线AB 的方程为52x ＋y ＋1＝0.19、解：⑴由()()12,0,0F F -22、22，长轴长为6 得：2,3ca ==所以1b =∴椭圆方程为22191x y += ………………5分 ⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22191x y +=①,∵直线AB 的方程为2y x =+②…………………7分把②代入①得化简并整理得21036270x x ++=∴12121827,510x x x x +=-= …………10分又222182763(11)(4)510AB +-⨯=…………12分 20、（1）以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……………………3分(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-=-COS<,EB AC >2,555==-⋅ …………………5分所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为52…………………6分（2）设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n =， …8分则303065012,cos 1=+->=<n ，…………………10分故BE 和平面ABC 的所成角的正弦值为3030…………12分 21. (12分) 解：(1)法1：取PD 中点F ，连AF ，FE ，因为E 是PC 的中点，∴FE ∥DC ，且FE=12DC.又AB ∥DC 且AB=12DC ；∴FE ∥AB,且FE=AB,∴四边形ABEF 为平行四边形，∴AF ∥BE ,BE ⊄平面PAD ,AF ⊂平面PAD ,∴BE //平面PAD …5分法2：设,AB a PA b ==，建立如图的空间坐标系，(0,0,0),(,0,0)A B a ，(0,0,)P b ,((2,2,0),(0,2,0)C a a D a ，(,,)2bE a a .（1）(0,,)2b BE a =，(0,2,0),(0,0,)AD a AP b ==，所以1122BE AD AP =+,BE ⊄平面PAD ，//BE ∴平面PAD . …5分（2）BE ⊥平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ⋅=(2,2,)PC a a b =-，22202b BE PC a ∴⋅=-=，即2b a =. ……6分在平面BDE 和平面BDC 中，(0,,),(,2,0)BE a a BD a a ==-(,2,0)BC a a =，设面BDE 的一个法向量为n 1→=(x,y,z),由n 1→BE →=0，且n 1→BD →=0；得⎩⎨⎧ay+az=0-ax+2ay=0取y=1,得z=-1,x=2,∴1(2,1,1)n =-……8分又平面BDC 的一个法向量为2(0,0,1)n =；……9分 cos<n 1→,n 2→>=||||2121n n n n ⋅⋅=1 6=6……11分所以二面角E BD C --的余弦值为6． ……12分22．（本题满分12分）解（I ）因为椭圆方程为2214x y +=，知2,1,3a b c ===，12(3,0),(3,0)F F ∴-，设(,)(0,0)P x y x y >>，则22125(3,)(3,)34PF PF x y x y x y =-----=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，解得2211334x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，3(1,)P ∴……6分（II ）显然0x =不满足题意，所直线的斜率存在，可设l 的方程为2y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩1212221216,1414kx x x x k k∴=+=-++，-------------------8分且△2223(16)4(14)120,4k k k =-+⋅>∴>---------------------------10分xzy又AOB ∠为锐角，0OA OB ∴⋅>，12120x x y y ∴+>，1212(2)(2)0x x kx kx ∴+++>，222121222212164(4)(1)2()4(1)2()40141414k k k x x k x x k k k k k -∴++++=++-+=>+++24,k ∴<又234k >，2344k ∴<<， 3(2,)(,2)22k ∴∈-- -------------12分。

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