高中数学完整讲义——空间几何量的计算1.点到平面的距离问题
高中数学课件 点到平面的距离
归纳总结
⑴、直接法： 一作、二证、三计算
⑵、间接法: 向量法：利用法向量与点到面的距 离关系，把几何问题转化为代数问 题。还有等体积法，转移法待续。
例1：如图9-75，已知 正三角形ABC的边长为 6㎝，点D到三角形ABC 各顶点的距离都是4㎝， 求点D到这三角形所在 平面的距离。
H E
小结:求距离的三步:一作,二证,三计算 找垂足的方法：
练习
如 图 9-76 在 四 棱 锥
P-ABCD中底面ＡＢＣ
H
Ｄ是边长为１的菱形，
∠ＡＢＣ＝６００，
Ｐ A⊥ 平 面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ，
ＰA＝１．求 Ｏ 到 面 Ｐ AD 的 距
离．
例2 : 如图,在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中, 点E是棱AD的中点, 求A1到平面BD1E的距离.
D1
C1
A1
B1
ED A
C B
练习:
z S
A
D
y
B
C
x
2. 直线到它平行平面的距离
定义：直线上任一点到与它平行的平面的 距离，叫做这条直线到平面的距离。 由定义可知，求直线到它平行平面的距离 的问题可由点到平面距离的知识来解决。
3. 两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个 平面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长 小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段 长。 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平 行平面的距离。 求两平行平面的距离，只要求一个平面上一 点到另一个平面的距离，也就是求点到平面 的距离。
例3 : 如图,已知四边形ABCD是边长1的正方形, 四边形AA' B' B是矩形, 平面AA' B' B ABCD, 若AA' 1,求直线AB面DA'C的距离.
《点到平面的距离》 讲义
《点到平面的距离》讲义在空间几何中，点到平面的距离是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论研究中有着关键的地位，还在实际的工程、物理等领域有着广泛的应用。
我们先来理解一下什么是点到平面的距离。
想象有一个平面，就好像是一张无限延展的平坦的纸，然后有一个点，这个点在空间中独立存在。
点到平面的距离，简单来说，就是这个点到平面的最短长度。
那如何去求得这个距离呢？这就需要用到一些数学知识和方法。
一种常见的方法是利用向量。
假设平面的方程为 Ax ＋ By ＋ Cz ＋D ＝ 0 ，点的坐标为（x₀, y₀, z₀) 。
首先，我们要找到平面的一个法向量 n ＝（A, B, C) 。
然后，从这个点到平面上任意一点（x, y, z) 构成一个向量 m ＝（x x₀, y y₀, z z₀) 。
点到平面的距离 d 就可以通过向量的点积和法向量的模长来计算。
具体公式为：d ＝｜（Ax₀＋ By₀＋ Cz₀＋ D) ／√（A²＋ B²＋ C²)｜为了更好地理解这个公式，我们来举个例子。
假设有平面 2x ＋ 3y z ＋ 1 ＝ 0 ，点的坐标为（1, 2, 3) 。
首先，平面的法向量 n ＝（2, 3, －1) 。
然后，将点的坐标代入 Ax₀＋ By₀＋ Cz₀＋ D 中，得到 2×1 ＋3×2 3 ＋ 1 ＝ 6 。
法向量的模长√（2²＋ 3²＋（－1)²) ＝√14 。
所以，点到平面的距离 d ＝｜6 ／√14| ＝ 6 ／√14 。
除了利用向量，我们还可以通过体积的方法来求点到平面的距离。
假设有一个四面体，其中一个顶点就是我们要研究的点，另外三个顶点是平面上的三个不共线的点。
通过这个四面体的体积以及平面上三个顶点所构成的三角形的面积，就可以求出点到平面的距离。
具体来说，四面体的体积 V 可以通过海伦公式或者其他方法求出。
三角形的面积 S 也有相应的计算公式。
空间几何量的计算板块一点到平面的距离问题学生版
空间几何量的计算板块一点到平面的距离问题学生版一、问题简要说明本篇文章主要讨论空间几何量的计算板块中的一点到平面的距离问题。
一点到平面的距离是几何中的常见问题，它可以用来计算平面上特定点到该平面的垂直距离，也可以用来计算线段或者线到平面的距离。
二、一点到平面的距离定义在空间中，设有平面P，过平面P上一点A引直线L，垂直于平面P的直线与线L的交点为B。
则点A到平面P的距离定义为线段AB的长度。
三、一点到平面的距离计算方法1.平面P的一般方程：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量的坐标，D为平面的常数项。
设点A的坐标为（x0,y0,z0）。
2.点A到平面P的距离计算公式：d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)这个公式的推导过程可以利用向量的性质来进行。
点A到平面P的距离可以看作是向量AB在平面法向量上的投影，再求向量AB的模长得到。
所以计算点A到平面P的距离可以通过以下步骤进行：a.计算平面法向量N=(A,B,C)的模长。
b.计算向量AB=(x0-x,y0-y,z0-z)。
c.根据内积的定义得到向量AB在平面法向量上的投影LENGTH=，N·AB。
d.最后通过LENGTH/N的模长得到点A到平面P的距离。
四、例题与解析例题一：已知平面2x-y+3z+6=0，点(1,-2,3)到该平面的距离是多少？解析：根据上述公式，先计算平面的法向量N的模长：N，=√(2^2+(-1)^2+3^2)=√(4+1+9)=√1然后计算点A到平面P的距离d：d=，(2)(1)+(-1)(-2)+(3)(3)+(6)，/√14=，2+2+9+6，/√14=，19，/√14=19/√14所以点(1,-2,3)到平面2x-y+3z+6=0的距离是19/√14例题二：已知点A(1,-2,3)和点B(2,1,-1)，求点A到线段AB所在直线的距离。
解析：点A到线段AB所在直线的距离可以利用点A到平面的距离计算公式来求解。
空间距离高三数学知识点
空间距离高三数学知识点在高三数学中，空间距离是一个重要的知识点，它涉及到三维空间中点、直线、平面之间的距离计算。
掌握了空间距离的概念和计算方法，可以帮助我们解决实际问题，进一步理解几何关系。
一、点到点的距离计算在三维空间中，我们通过坐标来表示点的位置。
假设有点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，我们可以用勾股定理来计算点A到点B的距离。
距离公式如下：AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]通过这个公式，我们可以计算两个任意点之间的距离，进而帮助解决空间几何中的问题。
二、点到直线的距离计算在三维空间中，直线的方程可以以参数形式给出。
如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和直线L的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中a、b、c为实数，t为参数。
我们可以通过点P到直线L 的距离公式来计算：d = |(x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁) · (a, b, c)| / √(a² + b² + c²)这里的|·|表示向量的模，·表示向量的内积。
通过这个公式，我们可以计算出点到直线的距离。
三、点到平面的距离计算在三维空间中，平面的方程可以以一般式给出。
如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C、D为常数。
我们可以通过点P到平面的距离公式计算：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)这里的|·|表示绝对值。
通过这个公式，我们可以计算出点到平面的距离。
四、直线与直线的距离计算在三维空间中，我们可以通过两直线的方向向量来计算它们之间的距离。
高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算2.6.1
题型一
题型二
题型三
反思计算空间中两点间的距离一般有三种方法: (1)构造三角形,通过解三角形求解; (2)建立适当的空间直角坐标系,求出两点的坐标,利用公式求解; (3)把线段用向量表示,转化为求向量的模,利用|a|2=a· a求解.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】
如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,线段 DD'⊥α于D',如果∠DBD'=30°,AB=a,AC=BD=b,求CD的长. 分析:求CD的长就是求 |������������|,把������������ 用已知的有向线段表示出来再 求.
=|������������|2+|������������ |2+| ������������ |2+2(������������ ·������������ + ������������ ·������������ + ������������ ·������������ ) =b2+a2+b2+2(0+b2cos 60° + 0)=a2+3b2,
2.6.1
点到直线的距离、点到平面的距离
1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念. 2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式. 3.体会用向量法求点到直线的距离、点到平面的距离的解题思 想.
1.点到直线的距离 (1)因为直线和直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距 a 2
)
������ D. 2
B.a
C. 2a
答案 :A
2.点到平面的距离 (1)如图所示,设 π 是过点 P 垂直于向量 n 的平面 ,A 是平面 π 外 一定点.作 AA'⊥π,垂足为 A',则点 A 到平面 π 的距离 d 等于线段 AA' 的长度.而向量������������在 n 上的投影的大小| ������������· n0|等于线段 AA'的长度, 所以点 A 到平面 π 的距离 d=| ������������· n0|.
人教版高中数学选修一空间向量的点到面的距离
人教版高中数学选修一空间向量的点到面的距离摘要：一、空间向量的点到面的距离的概念和计算方法1.空间向量的基本概念2.点到面的距离的概念3.计算点到面的距离的公式和方法二、空间向量的点到面的距离的应用实例1.利用空间向量的点到面距离解决实际问题2.空间向量的点到面距离在数学建模中的应用三、空间向量的点到面的距离与其他几何概念的联系1.空间向量的点到面距离与向量投影的关系2.空间向量的点到面距离与平面几何中其他概念的联系正文：空间向量是高中数学中的重要内容，它不仅具有丰富的理论内涵，而且具有广泛的应用价值。
在空间向量中，点到面的距离是一个重要的概念，它描述了空间中一点到面的距离，对于解决空间几何问题具有重要作用。
空间向量的点到面的距离是指空间中一点到平面的垂线段长度。
计算空间向量的点到面的距离需要知道该点到平面的距离公式。
根据点到平面的距离公式，我们可以知道，空间向量的点到面的距离可以通过以下公式计算：d = |A x + By + Cz + D| / √(A + B + C)其中，Ax + By + Cz + D 为点到平面的距离，|·|表示向量的模长，√(A +B + C) 为平面法向量的模长。
在实际问题中，空间向量的点到面的距离有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以通过计算空间向量的点到面的距离，来判断一个点是否在平面上；在数学建模中，我们可以通过空间向量的点到面距离，来解决一些复杂的空间几何问题。
空间向量的点到面的距离与其他几何概念有着密切的联系。
例如，空间向量的点到面距离与向量投影的概念密切相关，它们都是描述了空间向量在某一方向上的长度。
同时，空间向量的点到面距离也与平面几何中的其他概念有着密切的联系，例如，点到面的距离可以看作是平面上的点到原点的距离在z 轴上的投影。
总的来说，空间向量的点到面的距离是一个重要的几何概念，它不仅具有丰富的理论内涵，而且具有广泛的应用价值。
点到平面的距离的几种求法 高中数学 高考 立体几何
点到平面的距离的几种求法求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离'的几种基本方法．例:已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面,且ＧＣ＝２,求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N,则有BN∥CG,BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P,易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝,由BQ·PN＝PB·BN,得BQ＝．图1 图2２．不直接作出所求之距离,间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点,它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ—Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ,ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ, 则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3,过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ—Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝４,ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３,ＧＨ＝,ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．（２)利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线,Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ,ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交,交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ,连结ＯＢ得θ．解法3．如图5,设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ,Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ，易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝，ＥＢ＝２，所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5 图6（３)利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ,则三棱锥Ｂ—ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３）Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝（１/３）Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ,可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２,Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ,所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知,取ＢＤ中点Ｏ，求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ,作ＯＫ⊥ＨＧ，Ｋ为垂足,ＯＫ＝为所求之距离．图7 图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面,可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ，交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置,哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ—ＰＤＢ的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３,ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝,ＢＤ＝,Ｓ△ＰＤＢ＝，Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２/３，得ｄ＝为所求之距离．。
空间几何向量法之点到平面的距离.doc
V = S.hV=-S.h34 .V=-TT R 3 3 要求平面。
外一点P 到平面。
的距离,| PA |PA •川\PAi\n\ |PA •川hl 空间几何向量法之点到平面的距离1. 要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：⑴找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量；⑵求出该平面的法向量；⑶求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这 就是该店到平面的距离。
AB •n -例子：点A 到而Q 的距离d = ―Z —（注：AB 为点A 的斜向量，〃是Q 面的法向量， 点B 是面a 内任意一点。
）2. 求立体几何体积（向量法） 体积公式：1、 柱体体积公式:2、 椎体体积公式:3、 球体体积公式: 课后练习题例题：在三棱锥B —ACD 中，平面ABD±平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且ZBAD=30°, 求点D 到平面ABC 的距离。
以在平面。
内任取一点A,则点P 到平面Q 的距离即为d=建立如图空I 可直角坐标系，则A （—*,0,0）, B （、*），C （0,孕,0）, D （*,0,0）・，. AC = （+,卓,0）,曲=（申,0,+）, £）（? = （—；,乎,0）「・ y — — 工,z = —V3x可取 n = (-73,1,3)-2x 一 2y + z = 0 2x + 2y + 5z = 0 49 49V17 而一 17 2.已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GCJ_平面ABCD,且GC=2,求点B 到平面EFG 的距离.解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz,则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0), A GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2), BE =(2,0,0).设平面EFG 的一个法向量为〃 = (x,y,z),则由nJ3E =。
数学必修二点到面的距离
【模块标题】点到面的距离<模块综述>求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．下面介绍两种常见的求解空间“点到面的距离问题”的方法：直接法，等体积法.知识回顾：1． 点面距离的概念 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如图，$AA'\bot \alpha $，$A'$为垂足，则$AA'$的长度为$A$到$\alpha $的距离．2．等体积法求点面距离如果点到平面的垂线段容易作出，我们可以直接求出点面距离．当垂线段不易作出，我们可以通过等体积法来求出点面距离．设四面体A BCD -中点A 到面BCD 的距离为d ，点B 到面ACD 的距离为1d ，则此时若BCD S ，ACD S ，1d 容易求出，则可根据上式求得点A 到面BCD 的距离为d ．【教材内容1】会用直接法求空间点到面的距离（3星)例1. 如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 互相垂直，且,=2AC BC AC BC ⊥=，则点A 与平面BCE 距离的大小为<承接>点到面的距离是过点做平面的垂线，点到垂足的距离就是点到平面的距离，所以可以根据定义找到垂线段，进而求得点到面的距离.也就是用“直接法”求点到面的距离.<板书演示>过点A 作OA EC ⊥，O 为垂足，因为平面ACDE ABC ⊥平面，AC BC ⊥，所以BC AO ⊥，所以AO EBC ⊥平面，则AO 就是点A 到面EBC 的距离．练1. 已知棱长为a 的空间四面体ABCD ，则点A 到底面BCD 的距离为_________．本题是正四面体，所以顶点在底面的投影为底面的几何中心，即正三角形的中心点．运用勾股定理即可求解．<承接>将点等效转移例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ）AB CDEA ．12 B． C． D．本题直接找点O 在平面11ABC D 的投影，不易找，可以把点O 等效的转移，再求解点面的距离．<板书演示>第一步：取11C B 的中点为M ，连接OM ，因为OM 平行于平面11ABC D ，所以O 到平面11ABC D 的距离等于M 到平面11ABC D 的距离;第二步：找M 点在面11ABC D 的投影，结合练习1的方法可知，即过M 点作1C B 的垂线，交于点N ，则N练2. 如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,AA BB 的中点，G 为棱11A B 上一点，且()101A G λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为____．因为,E F 分别为棱11,AA BB 的中点，所以11EF A B ∥．所以11A B ∥平面1D EF ， 1D A所以点G 到平面1D EF 的距离等于点1A 到平面1D EF 的距离，过点1A 作11A M D E ⊥于点M ，则1A M ⊥平面1D EF ，所以1A M 即为所求，<承接> 上面我们用直接法可以求解点到平面的距离，此种方法可直接解决好找垂线段的题目，但对于不太好直接找出点到面的距离的题目用此种方法相对比较复杂和困难一些.所以，接下来我们介绍另一种方法.【教材内容2】会用等体积法求空间点到面的距离(3星)例3. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，则点B 到平面AMN 的距离为________．分析可知：B AMN N ABM V V --=，后者点面距很容易求，故考虑等体积法.<板书演示>练3.已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,2ABC AC AA AB ∠==== ，M 为1BB 的中点，则1B 与平面ACM 的距离为_____．答案：1练4.如图，在直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方体，AEB 是等腰直角三角形，且90AEB ∠= ，则点D 到平面ACE 的距离为______．<承接>将点等效转移，再用等体积法例4. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点；（1）求证：BD AE ⊥；（2）求证：//AC平面1B DE ；（3）求A 到平面1BDE 的距离.<板书演示>（1）连接AC ，又1CC BD ⊥，所以BD ACE ⊥平面，所以BDAE ⊥.（2）连接1AC 交1B D 于点G ，连接EG ，可证明EG AC ∥，进而可得1AC B DE 平面∥.（3）在四面体中，进行顶点转移，观察何点为顶点时，其高易求；分析可知：1,,,A B D E 四个点，无论那个点作顶点时，高都不易求出，因此，在运用顶点转移求体积时，需要进行一定的处理，结合（2）可知，AC ∥平面1B DE ，点A 到平面1B DE 的距离等于点C 到平面1B DE 的距离，再用等体积法，即11C B DE D B EC V V --=；练 5.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，Q 为线段AP 的中点，若2,4AB AP BC ===，求点P 到平面BQD 的距离．<板书演示>因为Q 为线段PA 的中点，所以P 点到平面QBD 的距离等于A 点到平面QBD 的距离．如图，在平面ABCD 内过A 作BD 的垂线AE ，交BD 于E ，连接QE ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又PA AE A ⋂=，所以BD ⊥平面QAE ．在平面QAE 内过A 作AH QE ⊥于H ．所以BD AH ⊥．又QE BD E ⋂=，所以AH ⊥平面BQD ．所以A 点到平面BQD 的距离为AH 的长．练6.如图，四棱锥P ABCD -中，90,2ABC BAD BC AD ∠=∠== ，PAB 与PAD 都是边长为2的等边三角形．1．证明：PB CD ⊥；2．求点A 到平面PCD 的距离．<板书演示>1.取BC 的中点E ，连接DE ，则四边形ABED 为正方形．过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连接,,,OA OB OD OE ．由PAB 和PAD 都是等边三角形，知PA PB PD ==，所以OA OB OD ==，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥．因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE CD ∥．因此PB CD ⊥．2.取PD 的中点F ，连接OF ，则OFPB ∥． 由（1）知，PB CD ⊥，故OF CD ⊥．又 故POD 为等腰三角形，因此OF PD ⊥．又PD CD D ⋂=，所以OF ⊥平面PCD ．因为,AE CD CD ⊂∥平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以AE ∥平面PCD ．因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，而所以点A到平面PCD的距离为1．【模块小结】本节课学习了两种求空间点到平面距离的方法：定义法，等体积法，其中等体积法用的更多，需要同学们重点掌握.。
[精品]点到平面的距离 高中数学 高考 立体几何
![[精品]点到平面的距离 高中数学 高考 立体几何](https://img.taocdn.com/s3/m/a33fec7cf11dc281e53a580216fc700aba685242.png)
[精品]点到平面的距离高中数学高考立体几何点到平面的距离是指特定的点到指定的平面之间的距离。
它在高中数学、高考、立体几何中有非常重要的知识点。
在几何中，点到平面的距离的理解是：从平面到点的法向量的模，即为点到平面的距离。
所谓法向量，是一个与该平面法方向一致，并且与平面全相切的向量，因此，求点到平面的距离，就是求法向量的模。
根据向量的性质，可以把点到平面的距离表示为点到平面法向量点积的绝对值。
设A(x1, y1,z1)是给定点，表示该点在三维坐标系中的位置，n=(a,b,c)是平面Ax+By+Cz-D=0的法向量，那么，点A到平面Ax+By+Cz-D=0的距离就是|Ax1+By1+Cz1-D|/√(a2+b2+c2)另外，从立体几何的角度来看，点到平面的距离是有关立体角度定理的。
给定一个平面∏，并设P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)两点坐标，其实际距离就是|PQ|=√[(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2]。
如果将点P和点Q的坐标分别投影到平面∏上，形成两个投影点P′(x1,y1)和Q′(x2,y2)，点P到平面∏的距离就是将点P投影到平面∏上的距离，即|P′P|=√[(x1-x1′)2+(y1-y1′)2]；点Q到平面∏的距离就是将点Q投影到平面∏上的距离，即|Q′Q|=√[(x2-x2′)2+(y2-y2′)2]。
同时，根据立体角度定理可以得出：|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2=[(x1-x1′)2+(y1-y1′)2]+[(x2-x2′)2+(y2-y2′)2]。
利用上面的结果可以求出点到平面的距离，即|P′P|和|Q′Q|。
由点到平面的距离这一概念，可以进一步解决众多实际问题，如：求空间两点最短连线是什么；空间直线和平面的位置关系；求直线和平面的最短距离等。
总而言之，点到平面的距离是高中数学、高考、立体几何等领域中非常重要且常见的概念，它熟悉掌握可以为很多问题的解决提供有力的理论支撑。
高中数学第3章空间向量与立体几何3.7点到平面的距离讲义含解析湘教版选修2_104163109.doc
3．7点到平面的距离[读教材·填要点]1．点到平面的距离(1)定义：从空间中一点P 到平面α作垂线PD 交平面α于D ，则线段PD 的长度d 称为点P 到平面α的距离．(2)求法：平面α的法向量n 以及平面上任一点A ，则AP ―→在法向量n 所在方向上的投影长度d 就等于点P 到平面α的距离，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP ―→·n |n |. 2．直线与平面的距离设直线l 平行于平面α，则l 上所有的点到α的距离相等，称为l 与α的距离，显然，只要在l 上任取一点P ，求出P 到α的距离，就得到l 与α的距离．3．平面与平面的距离设两个平面α与β平行，则β上所有的点到α的距离d 相等，d 称为两个平行平面α，β之间的距离．显然，只要在β上任取一点P ，求出P 到α的距离，就得到了这两个平面的距离．[小问题·大思维]1．求直线与平面的距离、平面与平面的距离时，直线与平面、平面与平面之间有什么关系？提示：直线与平面平行，平面与平面平行．2．点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，三者之间有什么关系？ 提示：求直线与平面的距离，平面与平面的距离，其实质是求点到平面的距离．四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E分别为AD ，PC 的中点．(1)求证：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．[自主解答] (1)证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)．FP ―→＝(－1,0,2)，FB ―→＝(1,2,0)， DE ―→＝(0,1,1)， ∴DE ―→＝12FP ―→＋12FB ―→，∴DE ―→∥平面PFB . 又∵DE ⊄平面PFB ， ∴DE ∥平面PFB . (2)∵DE ∥平面PFB ，∴点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FB ―→＝0，n ·FP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.∴n ＝(2，－1,1)，又∵FD ―→＝(－1,0,0)， ∴点D 到平面PFB 的距离 d ＝|FD ―→·n ||n |＝26＝63.∴点E 到平面PFB 的距离为63.利用空间向量求点到平面的距离的四步骤1．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP |＝2.求点M 到平面AB 1P 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4,0,0)，B 1(0,0,4)，P (0,4,0)，M (2,3,4)设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1P 的一个法向量，则n ⊥AB 1―→，n ⊥AP ―→， ∵AB 1―→＝(－4,0,4)，AP ―→＝(－4,4,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋4z ＝0，－4x ＋4y ＝0，因此可取n ＝(1,1,1)，由于MA ―→＝(2，－3，－4)， 所以点M 到平面AB 1P 的距离为 d ＝|MA ―→·n ||n |＝|2×1＋－＋－3＝533，故M 到平面AB 1P 的距离为533 .棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，DG ＝13DD 1，过E ，F ，G 的平面交AA 1于点H ，求直线A 1D 1到平面EFGH 的距离．[自主解答] 以D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，13，D 1(0,0,1)，∴EF ―→＝(－1,0,0)， FG ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，－16.设平面EFGH 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·EF ―→＝0，且n ·FG ―→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，y ＋16z ＝0，令z ＝6，可得n ＝(0，－1,6)．又D 1F ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－12，∴d ＝|D 1F ―→·n ||n |＝43737.(1)求直线到平面的距离和平面到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离． (2)用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后求出平面的法向量，正确运用公式求解．2．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离． 解：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， A 1B ―→＝(0,1，－1)，A 1D ―→＝(－1,0，－1)， A 1D 1―→＝(－1,0,0)．设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B ―→＝0，n ·A 1D ―→＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，－x －z ＝0，令z ＝1，得y ＝1，x ＝－1， ∴n ＝(－1,1,1)．∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|A 1D 1―→·n ||n |＝13＝33.∵平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离等于点D 1到平面A 1BD 的距离，∴平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为33.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试如图，已知正方体ABCD A1B 1C 1D 1的棱长为a ，求直线BD 与B 1C 的距离． [解] 法一：连接AC ，交BD 于点O ，则O 为AC ，BD 的中点，取CC 1的中点M ，连接BM 交B 1C 于E ，连接OM ，AC 1，则OM ∥AC 1，过E 作EF ∥OM 交OB 于F ，则EF ∥AC 1，又斜线AC 1的射影为AC ，BD ⊥AC ， ∴BD ⊥AC 1，∴EF ⊥BD .同理AC 1⊥B 1C ，EF ⊥B 1C . ∴EF 为BD 与B 1C 的公垂线．∵M 为CC 1的中点，∴△MEC ∽△BEB 1， ∴MC BB 1＝ME BE ＝12. ∵BM ＝52a ，∴BE ＝23MB ＝53a ， ∵EF ∥OM ，∴BF BO ＝BE BM ＝23，故BF ＝23OB ＝23a ，∴EF ＝BE 2－BF 2＝33a . 法二：(转化为直线到平面的距离)BD ∥平面B 1D 1C ，B 1C ⊂平面B 1D 1C ，故BD 与B 1C 的距离就是BD 到平面B 1D 1C 的距离为h ，由VB B 1D 1C ＝VD 1B 1BC ，即13·34(2a )2h ＝13·12a 2·a ，解得h ＝33a . 法三：(转化为两平行平面间的距离)易证：平面B 1D 1C ∥平面A 1BD ，AC 1⊥平面A 1BD ，用等体积法易证A 到平面A 1BD 的距离为33a .同理可知C 1到平面B 1D 1C 的距离为33a ，而AC 1＝3a ，故两平面间的距离为33a .即BD 与B 1C 的距离为33a . 法四：(垂面法)如图，∵BD ∥平面B 1CD 1，B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥OO 1， ∴B 1D 1⊥平面OO 1C 1C .∵平面OO 1C 1C ∩平面B 1D 1C ＝O 1C ，O 1∈B 1D 1，故O 到平面D 1B 1C 的距离为Rt △O 1OC 斜边上的高，h ＝OC ·OO 1O 1C＝22a ·a 32·a ＝33a . 法五：(极值法)如图，在B 1C 上取一点M ，作ME ⊥BC 交BC 于E ，过E 作EN ⊥BD 交BD 于N ，易知MN 为BD 与B 1C 的公垂线时，MN 最小．设BE ＝x ，则CE ＝ME ＝a －x ，EN ＝22x ， ∴MN ＝12x 2＋a －x 2＝32x 2－2ax ＋a 2＝ 32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a 2＋a 23， ∴当x ＝23a 时，MN min ＝33a .1．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，则点P 到BC 的距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．4 5解析：在平面ABC 内作AH ⊥BC ，垂足为H ，连接PH ， 则PH 即为点P 到BC 的距离．PH ＝82＋42＝64＋16＝4 5.答案：D2．△ABC 中，∠C ＝90°，点P 在△ABC 所在平面外，PC ＝17，点P 到AC ，BC 的距离PE ＝PF ＝13，则点P 到平面ABC 的距离等于( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：点P 在平面ABC 内的射影在∠C 的平分线上，易求d ＝7. 答案：A3．已知夹在两平行平面α，β内的两条斜线段，AB ＝8 cm ，CD ＝12 cm ，AB 和CD 在α内的射影的比为3∶5，则α，β间的距离为( )A. 5 cmB.17 cmC.19 cmD.21 cm解析：设α，β间距离为d ，AB ，CD 在α内的射影长分别为3x,5x ，由⎩⎪⎨⎪⎧d 2＋9x 2＝64，d 2＋25x 2＝144，解得d ＝19.答案：C4.如图，在三棱锥A BCD 中，AC ⊥底面BCD ，BD ⊥DC ，BD ＝DC ，AC ＝a ，∠ABC ＝30°，则C 点到平面ABD 的距离是________．解析：设C 到平面ABD 的距离为h ，则由V C ABD ＝V A BCD 得，13S △ABD ·h ＝13S△BCD·AC ，即13×12×BD ·CD ·AC ＝13×12BD ·AD ·h ， 解得h ＝155a . 答案：155a5.如图，等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 中点，沿AD 把△ADC 折叠到△ADC ′处，使二面角B AD C ′为60°，则折叠后点A 到直线BC ′的距离为________．解析：取BC ′中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥BC ′，DE ⊥BC ′， ∵BD ⊥AD ，CD ⊥AD ， ∴BD ⊥AD ，C ′D ⊥AD ，∴∠BDC ′即为二面角B AD C ′的平面角， ∴△BDC ′为正三角形， 即|AE |为A 到BC ′的距离，Rt △AEB 中，|AE |＝|AB |2－|BE |2＝15. 答案：156．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，求D 到平面ABC 的距离．解：设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵n ·AB ―→＝0，n ·AC ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ，－2，＝0，x ，y ，z，0，＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z ，y ＝－z .令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)． ∴cos 〈n ·AD ―→〉＝－＋－－2×732＋22＋－2·－2＋－2＋72，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝|AD ―→|·|cos〈n ·AD ―→〉|＝4917＝491717.一、选择题1．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离之比是1∶2∶3，PO ＝214，则点P 到这三个平面的距离分别是( )A ．2,4,6B ．4,8,12C ．3,6,9D ．5,10,15解析：将P 点到三个平面的距离k,2k,3k 看作是一个长方体的长、宽、高，而PO 为其对角线，则PO 2＝k 2＋(2k )2＋(3k )2，解得k ＝2， ∴P 点到这三个面的距离分别是2,4,6. 答案：A2．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，设点C 到平面ABC 1D 1的距离为d 1，D 到平面ACD 1的距离为d 2，BC 到平面ADD 1A 1的距离为d 3，则有( )A ．d 3<d 1<d 2B ．d 1<d 2<d 3C ．d 1<d 3<d 2D ．d 2<d 1<d 3解析：易求d 1＝22a ，d 2＝33a ，d 3＝a . 答案：D3．已知直二面角αl β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( )A.23B.33C.63D ．1解析：设点D 到平面ABC 的距离等于h . 依题意得，AC ⊥β，AC ⊥BC ，BC ＝AB 2－AC 2＝3，CD ＝BC 2－BD 2＝ 2.由V D ABC ＝V A DBC 得， 13S △ABC ×h ＝13S △DBC ×AC ， 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×3×h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1， 由此解得h ＝63，即点D 到平面ABC 的距离等于63. 答案：C4.如图，正方体的棱长为1，C ，D ，M 分别为三条棱的中点，A ，B 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是( )A.23B.63C.13D.66解析：设点M 到ABCD 的距离为h ，连接AC ，AM ，作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接CM ， 则V C ABM ＝V M ABC ，V C ABM ＝13S △ABM ×CM ＝13×14×1＝112，又V M ABC ＝13×12×AB ×CF ×h ＝13×12×2×322×h ＝h4，则由h 4＝112，得h ＝13.答案：C 二、填空题5．∠BAC 在平面α内，PA 是α的斜线，若∠PAB ＝∠PAC ＝∠BAC ＝60°，PA ＝a ，则点P 到α的距离为________．解析：作PO ⊥α于O .由∠PAB ＝∠PAC ，可知AO 平分∠BAC ， 作OC ⊥AC 于C ，连接PC ， 则PC ⊥AC ，PA ＝a ，AC ＝12a ，于是AO ＝ACcos 30°＝33a ，∴PO ＝PA 2－AO 2＝63a . 答案：63a 6．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为________．解析：如图所示，设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1， ∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1， ∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1，故平面AA 1O 1⊥平面AB 1D 1，其交线为AO 1，在平面AA 1O 1内过点A 1作A 1H ⊥AO 1于H ，则易知A 1H 的长即是点A 1到平面AB 1D 1的距离． 在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1＝2，AO 1＝A 1O 21＋AA 21＝32，由A 1O 1·A 1A ＝A 1H ·AO 1，可得A 1H ＝43.答案：437.如图，正方体ABCD A1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为________．解析：连接A 1D 交AD 1于E . 则A 1D ⊥AD 1，A 1D ⊥AB ， ∴A 1D ⊥平面ABC 1D 1，∴A 1E 为A 1到平面ABC 1D 1的距离，A 1E ＝12A 1D ＝22， ∵O 为A 1C 1的中点，∴O 到平面ABC 1D 1的距离等于A 1E 的12，∴d ＝12A 1E ＝24. 答案：248．已知平面α∥β，且它们之间的距离为d ，给出以下命题：①若直线a ⊂α，则a 到β的距离也为d ；②若直线b ∥β，且b 到β的距离为d ，则b ⊂α；③若平面γ∩α＝l 1，γ∩β＝l 2，则l 1与l 2间的距离的取值范围为[d ，＋∞)； ④若平面γ∥α，γ∥β，且α与γ的距离为d 1，β与γ的距离为d 2，则d 1＋d 2＝d .其中假命题有________．(填写序号)．解析：∵a ⊂α，∴α上任意一点即为α内的一点，它到平面β的距离就是α与β间的距离，故命题①为真命题；当平面α与直线b 在平面β的两侧时，也可以有b ∥β且b 与β的距离为d ，这时b ⊄α，故命题②为假命题；当γ⊥α与β相交时，l 1与l 2间的距离为d ，而当γ与α，β相交且不垂直时，l 1与l 2间的距离大于d ，由此可知命题③是真命题；当γ平面夹在α与β之间时，有d 1＋d 2＝d ，但当γ不夹在α与β之间时，d 1＋d 2≠d ，故命题④为假命题．综上所述，假命题为②④.答案：②④三、解答题9．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解：如图，建立空间直角坐标系D 1xyz ，则A (2,0,2)，E (0,2,1)，F (1,0,0)，G (2,1,2)，所以EF ―→＝(1，－2，－1)，EG ―→＝(2，－1,1)，GA ―→＝(0，－1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，则由n ⊥EF ―→，n ⊥EG ―→，得x －2y －z ＝0,2x －y ＋z ＝0，从而x ＝y ，所以可取n ＝(1,1，－1)，所以GA ―→在n 上射影的长度为|GA ―→·n ||n |＝|－1|3＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33. 10．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M ，N ，E ，F 分别为A 1D 1，A 1B 1，C 1D 1，B 1C 1的中点，求平面AMN 与平面EFBD 间的距离．解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则A (4,0,0)，M (2,0,4)，B (4,4,0)，E (0,2,4)，F (2,4,4)，N (4,2,4)，从而EF ―→＝(2,2,0)，MN ―→＝(2,2,0)，AM ―→＝(－2,0,4)，BF ―→＝(－2,0,4)，∴EF ―→＝MN ―→，AM ―→＝BF ―→，∴EF ∥MN ，AM ∥BF ，∴平面AMN ∥平面EFBD .设n ＝(x ，y ，z )是平面EFBD 的法向量，从而⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EF ―→＝0，n ·BF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＝0，－2x ＋4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2z ，y ＝－2z .取z ＝1，得n ＝(2，－2,1)，由于AB ―→＝(0,4,0)，所以AB ―→在n 上的投影长度为|n ·AB ―→||n |＝83. 即平面AMN 与平面EFBD 间的距离为83.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
[精品]点到平面的距离 高中数学 高考 立体几何
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[精品]点到平面的距离高中数学高考立体几何点到平面的距离就是：该点与平面内任意一点连成的线段，在平面的法向量上的射影长。
点到平面的距离公式：Ax+By+Cz+D=0。
平面，是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。
是由显示生活中(例如镜面、平静的水面等)的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性(也就是说平面没有边界)，又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。
在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。
点和平面的位置关系点与平面几种位置关系：属于和不属于直线和直线几种位置关系：平行,相交,异面,重合直线和平面几种位置关系：属于,平行,相交平面和平面几种位置关系：平行,相交,重合点和平面的离差是什么1、点到平面的离差是什么意思。
2、点与平面的离差是什么。
3、点到平面的离差怎么算。
4、点到平面的离差的计算公式。
1.点到平面的离差的绝对值就是点到平面的距离。
2.绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示。
3.|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
4.在数学中，绝对值或模数|x|的非负值，而不考虑其符号，即|x|=x表示正x，|x|=-x表示负x(在这种情况下-x为正)，|0|=0。
5.例如，3的绝对值为3，-3的绝对值也为3。
6.数字的绝对值可以被认为是和零的距离。
立体几何必考知识汇总一空间几何体结构1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。
必修2辅导—4—空间的几何量计算(同步教师版ok)
空间的几何量计算课标要求1.掌握点、直线到平面的距离，平行平面间的距离的求法2.掌握异面直线所成角；直线和平面所成的角；二面角的求法知识要点空间的角1.异面直线所成角：（1）定义：对于异面直线a 、b ，在空间中任取一点O ，过点O 分别引a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′，b ′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．范围：θ∈（0，900 ].※a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； （2）求异面直线所成角的方法—定义法步骤1：（找平行线）平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
余弦定理：ab c b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)2.线面角（1）定义：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角称直线与平面所成的角。
范围：θ∈[0，900 ]. （2）求线面角的方法—定义法步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
3.二面角（1）二面角的平面角定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。
范围：θ∈[0，1800 ]. （2）求二面角的方法—①定义法、②面积射影法步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
空间的距离 1.点到平面的距离（1）定义：点到平面的垂线段的长度 （2）点面距的求法 ①定义法：步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。
步骤2：计算线段PO 的长度。
(直接解三角形) ②等积法：转换顶点，通过三棱锥体积相等求距离。
2.直线到平面的距离：通过线面平行转化为点到平面的距离解决。
题例方法例1. 如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．(1)求直线B 1C 与DE 所成的角的余弦值； (2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ； (3)求二面角E －B 1C －D 的余弦值．解证：(1)连结A 1D ，则由A 1D ∥B 1C 知，B 1C 与DE 所成的角即为A 1D 与DE 所成的角．连结A 1E ，由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为a ，则A 1D ＝2a ，A 1E ＝DE ＝52a ，1 (2)证明取B 1C 的中点F ，B 1D 的中点G ，连结BF ，EG ，GF.∵CD ⊥平面BCC 1B 1，且BF ⊂平面BCC 1B 1，∴DC ⊥BF. 又∵BF ⊥B 1C ，CD ∩B 1C ＝C ，∴BF ⊥平面B 1CD.又∵GF// 12CD ，BE//12CD ，∴GF//BE ，∴四边形BFGE 是平行四边形，∴BF ∥GE ，∴GE ⊥平面B 1CD.∵GE ⊂平面EB 1D ，∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD.(3)连结EF.∵CD ⊥B 1C ，GF ∥CD ，∴GF ⊥B 1C.又∵GE ⊥平面B 1CD ，∴EF ⊥B 1C ，∴∠EFG 是二面角E －B 1C －D 的平面角． 设正方体的棱长为a ，则在△EFG 中，GF ＝12a ，EF ＝32a ，∴cos ∠EFG ＝FG EF ＝33，∴二面角E －B 1C －D 的余弦值为33. 例2．如图所示，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，PA ＝AD＝DC ＝2，AB ＝4.(1)求证：BC ⊥PC ；(2)求PB 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)求点A 到平面PBC 的距离．解证：(1)证明：如图，在直角梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2，∴∠ADC ＝90°，且AC ＝2 2.取AB 的中点E ，连结CE ，由题意可知，四边形ABCD 为正方形，∴AE ＝CE ＝2.又∵BE ＝12AB ＝2.∴CE ＝12AB ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AC ⊥BC.又∵PA ⊥平面ABCD ，且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影，BC ⊂平面ABCD ，由三垂线定理得，BC ⊥PC.(2)由(1)可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面PAC.PC 是PB 在平面PAC 内的射影， ∴∠CPB 是PB 与平面PAC 所成的角．又CB ＝22，PB 2＝PA 2＋AB 2＝20，PB ＝25， ∴sin ∠CPB ＝BC PB ＝105，即PB 与平面PAC 所成角的正弦值为105. (3)由(2)可知，BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC.过A 点在平面PAC 内作AF ⊥PC 于F ，∴AF ⊥平面PBC ， ∴AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离．在直角三角形PAC 中， PA ＝2，AC ＝22，PC ＝23，∴AF ＝263. 即点A 到平面PBC 的距离为263. 例3．如图所示，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直．已知AB ＝2，EF ＝1.(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；(3)当AD 的长为何值时，二面角D －FE －B 的大小为60°？解证：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，∴CB ⊥平面ABEF.∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ，又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面CBF. ∵AF ⊂平面DAF ，∴平面DAF ⊥平面CBF. (2)解：根据(1)的证明，有AF ⊥平面CBF ，∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影， 因此，∠ABF 为直线AB 与平面CBF 所成的角． ∵AB ∥EF ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作FH ⊥AB ，交AB 于H.AB ＝2，EF ＝1，则AH ＝AB －EF 2＝12.在Rt △AFB 中，根据射影定理AF 2＝AH 〃AB ，得AF ＝1，sin ∠ABF ＝AF AB ＝12，∴∠ABF ＝30°，∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°.(3)解：过点A 作AM ⊥EF ，交EF 的延长线于点M ，连结DM.根据(1)的证明，DA ⊥平面ABEF ，则DM ⊥EF ，∴∠DMA 为二面角D －FE －B 的平面角，∠DMA ＝60°. 在Rt △AFH 中，∵AH ＝12，AF ＝1，∴FH ＝32.又∵四边形AMFH 为矩形，∴MA ＝FH ＝32.∵AD ＝MA 〃tan ∠DMA ＝32〃3＝32.因此，当AD 的长为32时，二面角D －FE －B 的大小为60°. 例4．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形，侧面ABB 1A 1是菱形且垂直于底面，∠A 1AB ＝60°，M 是A 1B 1的中点．(1)求证：BM ⊥AC ；(2)求二面角B －B 1C 1－A 1的正切值； (3)求三棱锥M －A 1CB 的体积．解证：(1)证明：∵ABB 1A 1是菱形，∠A 1AB ＝60°⇒△A 1B 1B 是正三角形，⎭⎪⎬⎪⎫∵M 是A 1B 1的中点，∴BM ⊥A 1B 又∵平面AA 1B 1B ⊥平面A 1B 1C 1⇒BM ⊥平面A 1B 1C 1.⎭⎪⎬⎪⎫∴BM ⊥A 1C 1又∵AC ∥A 1C 1⇒BM ⊥AC.⎭⎪⎬⎪⎫(2)过M 作ME ⊥B 1C 1且交于点E ，∵BM ⊥平面A 1B 1C 1，⇒BE ⊥B 1C 1，∴∠BEM 为所求二面角的平面角，△A 1B 1C 1中，ME ＝MB 1〃sin60°＝34a ，Rt △BMB 1中，MB ＝MB 1〃tan60°＝32a ， ∴tan ∠BEM ＝MBME＝2，∴所求二面角的正切值是2. (3)V M －A1CB ＝12V B1－A1CB ＝12VA －A 1CB ＝12VA 1－ABC ＝12×13×34a 2〃32a ＝116a 3.例5．(09天津19)如图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为CE 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD.(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)求证：平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解证：(1)解：由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED(或其补角)为异面直线BF 与DE 所成的角． 设P 为AD 的中点，连结EP ，PC.因为FE//AP ，所以FA//EP.同理，AB//PC.又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD.而PC ，AD 都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，EP ⊥AD.(2)证明：因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE.连结MP ， 则MP ⊥CE.又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD.而CE ⊂平面CDE ， 所以平面AMD ⊥平面CDE.(3)设Q 为CD 的中点，连结PQ ，EQ.因为CE ＝DE ，所以EQ ⊥CD.因为PC ＝PD ，所以PQ ⊥CD ， 故∠EQP 为二面角A －CD －E 的平面角．由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝62a ，PQ ＝22a. 于是在Rt △EPQ 中，cos ∠EQP ＝PQ EQ ＝33. 所以二面角A －CD －E 的余弦值为33. 巩固练习1. （12上海文）如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥底面ABC,D 是PC 的中点.已知∠BAC=2π,AB=2,AC=23,PA=2.求:(1)三棱锥P-ABC 的体积; (2)异面直线BC 与AD 所成的角的余弦值解：(1)3232231=⨯⨯=∆A B C S , 三棱锥P-ABC 的体积为：3342323131=⨯⨯=⨯=∆PA S V A B C (2)取PB 的中点E,连接DE 、AE,则ED ∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角 在三角形ADE 中,DE=2,AE=2,AD=2, 43cos =∠ADE 因此,异面直线BC 与AD 所成的角的余弦值是432.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB ⊥DM ；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.解证：（1）证明 ∵N 是PB 的中点，PA=PB ，∴AN ⊥PB.∵∠BAD=90°，∴AD ⊥AB. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD. ∵PA ∩AB=A ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PB. 又∵AD ∩AN=A ，∴PB ⊥平面ADMN.∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB ⊥DM.（2）解 连接DN ，∵PB ⊥平面ADMN ，∴∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角在Rt △BDN 中，sin ∠BDN=212221=⋅=ABABBD BN ，∴∠BDN=30°,即BD 与平面ADMN 所成的角为30°. 3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝2AB.(1)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(2)求二面角B －PC －D 的余弦值． 解证：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD.∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD.∴BD ⊥平面PAC ，又BD 在平面BPD 内，∴平面PAC ⊥平面BPD.PAC DEPA C D(2)在平面BCP 内作BN ⊥PC ，垂足为N ，连结DN ， ∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ；∴∠BND 为二面角B －PC －D 的平面角，在△BND 中，BN ＝DN ＝56a ，BD ＝2a ， ∴cos ∠BND ＝56a 2＋56a 2－2a 253a 2＝－15.4.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ，CB=3，AB=4，∠A 1AB=60°. （1）求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1；（2）求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值； （3）求点C 1到平面A1CB 的距离.解证：（1）∵四边形BCC 1B 1是矩形，∴BC ⊥BB 1.又∵AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1.∵BC ⊂平面CA 1B ，∴平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1. （2） 过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ，连接DC ，∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D. ∵BC ∩BB 1=B ，∴A 1D ⊥平面BCC 1B 1，故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角. 在矩形BCC 1B 1中，DC=13.∵四边形A 1ABB 1是菱形，∠A 1AB=60°, AB=4，∴A 1D=23，∴tan ∠A 1CD=133921=CD D A （3） ∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BC ，∴C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离.连接AB 1，AB 1与A 1B 交于点O ，∵四边形A 1ABB 1是菱形，∴B 1O ⊥A 1B.∵平面CA 1B ⊥平面A 1BB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC.∴B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离. ∵B 1O=23，∴C 1到平面A 1BC 的距离为23.5.四棱锥P －ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是面积为23的菱形，∠ADC 为菱形的锐角．(1)求证：PA ⊥CD ；(2)求二面角P －AB －D 的大小； (3)求棱锥P －ABCD 的侧面积；解证：(1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，由PE ⊥CD ，得PE ⊥平面ABCD ， 连结AC 、AE.∵AD 〃CD 〃sin ∠ADC ＝23，AD ＝CD ＝2， ∴sin ∠ADC ＝32，即∠ADC ＝60°，∴△ADC 为正三角形，∴CD ⊥AE.∴CD ⊥PA(三垂线定理)． (2)解：∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PA ，AB ⊥AE ，∴∠PAE 为二面角P －AB －D 的平面角． 在Rt △PEA 中，PE ＝AE ，∴∠PAE ＝45°.即二面角P －AB －D 的大小为45°. (3)分别计算各侧面的面积：∵PD ＝DA ＝2，PA ＝6，∴cos ∠PDA ＝14，sin ∠PDA ＝154.S △PCD ＝3，S △PAB ＝12AB 〃PA ＝12〃2〃2〃3＝6，S △PAD ＝S △PBC ＝12PD 〃DA 〃sin ∠PDA ＝152.∴S P －ABCD 侧＝3＋6＋15.目标测试一、选择题1．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面 答案：D2．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：C3．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．异面 答案：C4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案：D5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( )A ．a ⊂α，b ⊂αB ．a ⊂α，b ∥αC ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊂α，b ⊥α 答案：B6．下面四个命题：①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面； ②若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交； ③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等；④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c. 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：A7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1；②EF ∥AC ；③EF 与AC 异面；④EF ∥平面ABCD.其中一定正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④ 答案：D8．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( ) A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥b B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b C ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 答案：D9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β 答案：C 10．(12大纲文)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A ．－45 B. .35 C.34 D ．－35答案：B11．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为( ) A.3 B.1 C ．0 D ．－1 答案：C12．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 答案：B二、填空题13．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是________解析：这些直角三角形是：△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1－AB －C 的平面角等于________． 答案：45015．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________. 答案：916．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ； ②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角； ④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的序号是________．解析：如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE∩CE＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确． ②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a.由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角， 且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确． ④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连接ME ，NE ，MN.则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ， ∴NE ＝12AC ＝12a.∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确．答案：①②④三、解答题17．(10分)如下图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ；(2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.证明：(1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F. 又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F∩BF＝F ，∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF. (2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1， ∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1， ∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.18．(12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面PAE ；(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．解证：(1)如图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5. 又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE.∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD.而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. (2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF.由(1)CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE.于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AE. 由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝PA ，sin ∠BPF ＝BF，所以PA ＝BF.由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是PA ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S×PA＝13×16×855＝128515.19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点． (1)证明：AM ⊥PM ；(2)求二面角P －AM －D 的大小．解证：(1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PDsin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM. ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM. 又PE∩EM＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM. (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ，∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20．(12分)如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B.(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1； (2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ：DC 1的值．解证：(1)因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1，又已知B 1C ⊥A 1B ，且A 1B∩BC 1＝B ，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1，又B 1C ⊂平面AB 1C 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 . (2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．因为A 1B ∥平面B 1CD ，A 1B ⊂平面A 1BC 1，平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ，所以A 1B ∥DE. 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点．即A 1D ：DC 1＝1.BD 的中点．(1)求证：GF ∥底面ABC ； (2)求证：AC ⊥平面EBC ； (3)求几何体ADEBC 的体积V.解证：(1)证明：连接AE ，如图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE∩BD＝F ，且F 是AE 的中点，又G 是EC 的中点， ∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，∴GF ∥平面ABC. (2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC.又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC. 又∵BC∩BE＝B ，∴AC ⊥平面BCE. (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1；(2)求证：AC 1∥平面CDB 1；(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．解证：(1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC.又∵C 1C ⊥AC.∴AC ⊥平面BCC 1B 1.∵BC 1⊂平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1. (2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形． ∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1. (3)解：∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．在△CED 中，ED ＝12AC 1＝52，CD ＝12AB ＝52，CE ＝12CB 1＝22，∴cos ∠CED ＝252＝225.∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225.。
高中数学立体几何中点到平面距离的求法
例谈点到平面距离的求法某某省洪泽中学 花鹤波邮编 223100立体几何的空间距离是历年高考考查的重点和热点。
由于线面距离、面面距离以及两异面直线间的距离都可以转化为点到平面的距离来解决，因此点到平面的距离更值得我们关注。
点到平面的距离的求法可分为三大类：一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。
1、 用定义直接构造法例1、如图，三棱锥S-ABC 中，ABC ∆是等腰三角形，2AB BC a ==，0120ABC ∠=,且SA ⊥面ABC ，SA=3a 。
求点A 到平面SBC 的距离。
解：作AD BC ⊥交BC 于D,连结SD.SA ⊥平面ABC,根据三垂线定理有SD BC ⊥又SD AD D ⋂=,BC ∴⊥平面SAD 。
又BC ⊂平面SBC ， ∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC ⋂平面ADS=SD∴过点A 作AH SD ⊥于H ，那么AH ⊥平面SBC 。
在Rt SAD ∆中，SA=3a,0sin 60AD AB ==，2232SA AD a AH AD ∴==+ 故点A 到平面SBC 的距离为32a 。
[点评]利用构造法关键是定位点在面内的射影。
常常要寻找过点且与所给面垂直的面，再过点作两垂面交线的垂线。
2、转移构造法〔1〕利用平行线转换点例2、在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC ⊥,1,AB CC a BC b ===〔b >a 〕 〔1〕求证：11A C AB ⊥ (2)求点1B 到平面1ABC 的距离.解：(1)连结1A B ,那么11AB A B ⊥，又11AB BC ⊥，故111AB A BC ⊥面。
知111AC AB ⊥，得1111A C ABB A ⊥面,知11A C AB ⊥。
〔2〕由〔1〕得111ABC AAC ⊥面面.11111,A B AB A B ABC ∴平面CC1111A ABC ABC ∴到平面的距离等于B 到平面的距离过1A 作11A G AC ⊥于G ,11AB ACC A ⊥平面, 1AB A G ∴⊥从而11AG ABC ⊥平面. 故1A G即为所求的距离。
原创1：1.2.5 第二课时 点到平面、直线到平面、平面到平面的距离
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标( AP ，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝
| n PA |
n
.
新知探索
思考
怎样利用向量方法求直线到平面的距离、平面到平面的距离？
答案
一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一
2
∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
则 ൜ ∙ = 0
∙ = 0
，
2 − 2 = 0
即 ቄ
，
=0
取a＝1，得n＝(1 ， 0 ， 1)，又 = ＝(2 ， 0 ， 0)，
所以d＝
∙
＝ 2.
课堂小结
1．知识清单：
EF (2, 2,0), EG ( 2, ,2),
x
设平面EFG的一个法向量为 n ( x , y , z ) ,
2 x 2 y 0
2 x 4 y 2 z 0
| n BE |
n
答:点B到平面EFG的距离为
A
2 11
.
11
2 11
.
11
C
F
1 1
(1)点到平面的距离．
(2)直线到平面的距离与平面到平面的距离．
2．方法归纳：数形结合、转化法．
3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的
理解是应用的基础．
本
课
结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
束
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高中数学完整讲义——空间几何量的计算1.点到平面的距离问题
【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为（ ） A ．1B ．2C ．1或2D ．0或1【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．OEA 1D C 1B 1DCA典例分析板块一.点到平面的距离问题【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，求点C 到面1ABC 的距离.【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体12PD AB =中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCD【例7】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） HACBDP EDC 1B 1A 1CBA AA 1ABCD【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．【例10】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心； ⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．【例11】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，ABCDEAOCBAP⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．【例12】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．AA 1HOACDA 1B 1C 1D 1。
空间几何量计算.板块一.点到平面距离问题普通高中数学复习讲义Word版
板块一.点到平面的距离问题典例剖析【例1】已知线段AB在平面外，A、B两点到平面的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面的距离为（）A．1 B．2 C．1或2 D．0或1【难度】4【分析】C；分线段AB两头点在平面同侧和异侧两种状况解决．【例2】ABC的三个极点A，B，C到平面的距离分别为2，3，4，且它们在平面的同一侧，则ABC的重心到平面的距离为___________．【难度】6【分析】3;【例3】如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点．求 E到平面ABC1D1的距离．D11A1EB1ODCA B【难度】6【分析】∵A1B1∥C1D1，且C1D1面ABC1D1∴A1B1∥面ABC1D1，且点E在A1B1上，点E到平面ABC1D1的距离即为点A1到平面连接A1D交AD1于Q，则依据正方体性质可知，ABC1D1的距离A1O⊥面ABC1D1∴点A到平面ABC1D1的距离为A1O的长，即2 1AO2【例4】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，DAB 90，AD a，PD⊥面ABCD，PD a，求点D到平面PAB的距离．PH D CA B【难度】6【分析】作DH⊥PA交PA于H∵PD⊥面ABCD，且AB面ABCD∴⊥AB，又AD⊥AB，且PD AD DAB⊥面PAD∵DH面PAD∴⊥AB，又DH⊥PA，且AB PA ADH⊥面PAB，点D到平面PAB的距离即为DH长在RtPAD中，ADPD a，∴DH2a2∴点D到平面PAB的距离为2a 2此题可用体积法，在此不在给出详细过程．【例5】如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，AB1，若二面角C AB C1的大小为60，求点C到面ABC1的距离.C1A1B1EA CDB【难度】6【分析】答案：34过C作CD⊥AB，D为垂足，连接C1D，则C1D⊥AB，C1DC 60空间几何量计算.板块一.点到平面距离问题普通高中数学复习讲义Word 版∴CD3，则C 1D3，CC 1322在CC 1D 中，过C 作CE ⊥C 1D3 33则CE 为点C 到平面ABC 1的距离，CM223 4∴点C 到平面ABC 1的距离为341【例6】（2007湖北文5）在棱长为1的正方体PD AB 中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的2中点，G 为棱AB上的一点，且 AG0≤≤1，则点G到平面D E F 的距离1111为（ ）A ．3B ．2 2 5C ．3D ．25D 1C 1GA1B1EFDCAB【难度】6【分析】D ；由于A 1B 1∥EF ，G 在A 1B 1上，所以G 到平面D 1EF 的距离即是A 1到面D 1EF 的距离，1515 即是A 1到D 1E 的距离，D 1E，由三角形面积可得所求距离为 225 ，故52选D ．【例7】（2007 湖北文5）在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为 棱 A 1B 1 上的一点，且 AG 0 ≤ ≤1，则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ）1A ．3 2 C ． 2 5B ． 3 D ．2 5AC BED【难度】6【分析】D由于A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，5115即是A1到D1E的距离，，由三角形面积可得所求距离为2D1E5，故252选D．【例8】（2007江苏14）正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是．【难度】6【分析】设P在底面ABC上的射影为O，则PO2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a，则23a2，∴a23．设侧棱为b则b22，斜高h'5．由32332265面积法求A到侧面PBC的距离h255【例9】四棱锥P ABCD的底面是边长为a的菱形，且BCD 60，PD⊥平面ABCD，PD a，E是PA中点．求点E到平面PCD的距离．PED GA O CB【难度】6【分析】连接AC，BD交于点O，连接EO，则EO∥PD又PD面PCD，∴EO∥面PCD，点E到面∵PD⊥平面ABCD，PCD的距离可转变为点O到面PCD的距离∴面PCD⊥平面ABCD过点O作OG⊥CD交CD于点G，由面PCD平面ABCDCD知OG⊥面PCD，则OG的长为点E到面PCD的距离在正BCD中，BDC1a, 60,DOBD22∴OG DOsin603a4此题可将点E到平面PCD的距离转变为，点B到平面PCD的距离的一半，则BCD的过点B的中线为点B到平面PCD的距离．【例10】如图，已知P为ABC外一点，PO平面ABC，垂足为O，⑴若PA、PB、PC两两垂直，求证：O为ABC的垂心；⑵若PA PB PC，求证：O为ABC的外心．⑶若PA、PB、PC两两垂直，且PA PB PC a，求P点到平面ABC的距离．PACOB【难度】8【分析】⑴∵PAPB,PA PC，PA平面PBC，PABC．又∵PO平面ABC，POBC，BC平面POA，BCAO，同理有ABCO，O为ABC的垂心．⑵∵PO平面ABC，∴PO AO，PO BO，PO CO，PAPBPC，PAO≌PBO≌PCO，OAOBOC，O为ABC的外心．⑶（法一）∵PA、PB、PC两两垂直，且PA PBPC a，∴AB BC CA2a，ABC为正三角形，∴AO3AB6a，33∴PO223a．PA AO3所以点P到平面ABC的距离3 a．3（法二）∵PA PB,PA PC，∴PA平面PBC，∴V P1S ABC PO1S PBC AP，ABC3V APBC3又AB BC CA2a，ABC为正三角形，∴S ABC13(2a)23a2，2221a2a3∴PO23a2a，即为所求．32【例11】如右图，是一个边长为a的正方体ABCD A1B1C1D1，⑴求证：AC1平面A1BD；⑵求A点到平面A1BD的距离．D1C1A1B 1CD A B【难度】8【分析】⑴连接AC，∴CC1平面ABCD，∴CC1∴又∵四边形ABCD为正方形，∴BD平面ACC1A1，又AC1∴BDAC1，BD．ACBD．平面ACC1A1，同理有，A1D平面ABC1D1，∴A1D AC1，∴AC1平面A1BD；⑵法一：要求点到平面的距离，能够用体积法，记A点到平面A1BD的距离为d，D1C1 A1B1M D CA NBV A1ABD1S ABD AA1V AA1BD1d，3S A1BD3A1B A1D BD2a，S ABD13(2a)23a2，12221a2a3∴d2a，即为所求．3a232法二：记AC1平面ABDM，连接AM交BD于N，连接AN,AC，1111∵AC1平面A1BD，∴AM的长即为所求的距离，且AM A1N，∵平面ABCD//平面A1B1C1D1，∴AC11//AN，故有AN1AC2a，22在Rt A1AN中，AM A1N，a2AA1AN a3∴AM2．A1N12aa23a2【例12】已知长方体ABCD A1B1C1D1中，棱AB AD1，棱AA12．⑴求点A1到平面AB1D1的距离．⑵连接A1B，过点A作A1B的垂线交BB1于E，交A1B于F．D1O C1A1B1HDCA B①求证：BD1⊥平面EAC；②求点D到平面A1BD1的距离．【难度】8【分析】⑴（法一：等积法）设点A1到平面AB1D1的距离为h∵V A 1 AB 1D 1V AA 1B 1D 1，∴1hS ABD1AA 1S ABD31 131 11在AB 1D 1 中，由已知条件有 AB 1 AD 15，B 1D 12∴S AB 1D 11 2(5)2 ( 2)2 322 2 而AA 12，S ABD1 12 111 1221AA 1 S ABD22∴h21 1 13SAB 1D 132（法二：直接法）连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，则A 1C 1⊥B 1D 1， AA 1⊥上底面A 1B 1C 1D 1，进而有AA 1⊥B 1D 1∵AC 11 AA 1 A 1∴BD⊥面AAO ，又BD 1 面ABD ，1 1111 1∴面 AAO 1 ⊥面 AB 1D 1，且面AAO 1面AB 1D 1AO过A 1作A 1H ⊥AO 交AO 于H ，则A 1H ⊥面AB 1D 1∴点A 1到平面AB 1D 1的距离即为A 1H 长，在AO(5)22 ) 23 22RtA 1AO 中，由已知可得(，1，而AA22AO2 1222 22∴A 1H2332⑵①∵长方体中棱ABAD1，∴BD ⊥AC又DD 1⊥底面ABCD ，且AC底面ABCD ，AC ⊥DD 1，进而AC ⊥面BDD 1AC ⊥BD 1∵A 1D 1⊥面A 1ABB 1，且AE A 1ABB 1，AE ⊥A 1D 1，且AE ⊥A 1B∴AE ⊥面A 1BD 1，且BD 1 面A 1BD 1，D 1 C 1 A 1 B 1ED FCABAE ⊥BD 1又∵AEACA ，∴BD 1⊥面EAC②∵AD∥A1D1，且A1D1面A1BD1∴AD∥面A1BD1∴点D到平面A1BD1的距离能够转变为点A到面A1BD1的距离又∵AE⊥面A1BD1∴AF即为所求距离AF21252215。
(上海)数学高三上册-14.4 空间点到平面的距离 课件
P1
B
A
B1
A1
二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 (与顶点在棱上的选取位置无关) 3）角的两边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角作法：
定义法
点P在棱上
l
P
A
B
D1
A1
O1
C1 B1
D A
C B
二面角的度量：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
平面与平面的位置关系
（一）
问题一：空间中两个平面的位置关系？
平行相交
问题二：如何研究两个相交平面的位置关系？
二面角
α l
α
l
β
二面角的范围
α
l
β
β
问题三：如何度量二面角的大小？
二面角的平面角
定义：以二面角的棱上任意一点为端点, 在
l
P
两个面内分别作垂直于棱的两条射线,
这两条射线所成的角叫做二面角的平 面角
一“作”二“证”三“计算”
S
A
C
B
小结
1.二面角的定义 2.二面角的度量
发奋忘食，乐以忘忧，不知老之将至云尔。——《论语·述而》 相逢的故事多似流星，唯你与我，以眼认眼，以身还身。 崇高的理想就象生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。 如果放弃太早，你永远都不知道自己会错过什么。 人生道路上既有坦道，又有泥泞；既有美景，又有陷阱，只有坚定信念又勇往直前的人才能到达胜利的终点。
人生是愈取愈少，愈舍愈多，该当如何？少年时取其丰，壮年时取其实，老年时取其精。少年时舍其不能有，壮年时舍其不当有，老年时舍其 不必有。 当你达到你的`梦想之前，他人对你的亵渎都是作为梦想所付出的代价，你必须接受它，不然，你的梦想都是单薄的。 教育者应当深刻了解正在成长的人的心灵……只有在自己整个教育生涯中不断地研究学生的心理，加深自己的心理学知识，才能够成为教育工 作的真正的能手。——苏霍姆林斯基 不要太在乎自己的长相，因为能力不会写在脸上。
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【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平
面α的距离为（ ） A ．1 B ．2
C ．1或2
D ．0或1
【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则
ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．
【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．
【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求
点D 到平面PAB 的距离．
O
E
A 1
D 1
C 1
B 1
D
C
B
A
H
A
C
B
D
P 典例分析
板块一.点到平面的距离问题
【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，求点C 到面
1ABC 的距离.
【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1
2
PD AB =
中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A
B
C
D
【例7】 （2007湖北文5）
在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上
的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A
B
C
D
【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的
E
D
C 1
B 1A 1
C
B
A A
A 1
A
B
C
D
E
距离是 ．
【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E
是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．
【例10】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，
⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心； ⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．
⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．
【例11】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，
⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．
【例12】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．
⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．
⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．
A
O
C
B
A
P
A
A 1
①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．
H
O
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1。