高中数学完整讲义——空间几何量的计算1.点到平面的距离问题

【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平

面α的距离为（ ） A ．1 B ．2

C ．1或2

D ．0或1

【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则

ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．

【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．

【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求

点D 到平面PAB 的距离．

O

E

A 1

D 1

C 1

B 1

D

C

B

A

H

A

C

B

D

P 典例分析

板块一.点到平面的距离问题

【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，求点C 到面

1ABC 的距离.

【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1

2

PD AB =

中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A

B

C

D

【例7】 （2007湖北文5）

在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上

的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A

B

C

D

【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的

E

D

C 1

B 1A 1

C

B

A A

A 1

A

B

C

D

E

距离是 ．

【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E

是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．

【例10】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，

⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心； ⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．

⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．

【例11】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，

⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．

【例12】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．

⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．

⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．

A

O

C

B

A

P

A

A 1

①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．

H

O

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1