直线的参数方程ppt课件
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直线的参数方程(用)ppt课件
x x0 t cos , y y0 t sin
即，x x0 t cos , y y0 t sin
e (cos,sin )
x
3
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
即，x x0 t cos , y y0 t sin
y
所： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
M(x,y)
y
e (cos ,sin )
因为M 0M // e,所以存在实数t R,
M0(x0,y0)
使M 0M te,即
(x x0, y y0 ) t(cos,sin ) O
直线的参数方程
1
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
斜截式： y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
截距式： x y 1
ab
一般式: Ax By C 0
2
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
O
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
3
(t为参数）
B
x
17
即
x
1
2t 2 (t为参数）
A
y
2
2t 2
把它代入抛物线y=x2的方程,得
t2 2t 2 0
t1 t2 2, t1t2 2
由参数t的几何意义得
AB t1 t2 10 MA MB t1 t2 t1t2 2
高中数学课件-人教A版4-4直线的参数方程 (共26张PPT)
x＝－4＋
23t，
y＝12t，
得 A 点坐标(12，323)，B 点坐标(－52， 23)．
4．求经过点(1,1)，倾斜角为 120°的直线截椭圆x42＋y2＝1 所 得的弦长．
解：由直线经过点(1,1)，倾斜角为 120°，可得直线的
参数方程为x＝1－12t，
y＝1＋
3 2t
(t 为参数)，代入椭圆的方
[解] (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为π6，
∴直线的参数方程为x＝1＋tcosπ6， y＝1＋tsinπ6，
x＝1＋ 即
23t，
y＝1＋12t
为所求．
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参
数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为
A(1＋ 23t1,1＋12t1)，B(1＋ 23t2,1＋12t2)，
以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2
＋( 3＋1)t－2＝0，
①
因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝π4，求此直线与直线 3x＋
2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
解：设直线的参数方程为x＝3＋ 22t， y＝4＋ 22t，
将它代入已知直线 3x＋2y－6＝0，
得 3(3＋ 22t)＋2(4＋ 22t)＝6.
解得 t＝－115 2，
∴|MP0|＝|t|＝115
2 .
2．已知直线 l 的参数方程为xy＝＝2－－1t＋， 3t， 求直线 l 的倾 斜角．
x＝－1＋ 解：若化成另一种形式
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
三、例题讲解 例1 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于 例1.
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
x y 1 0 解：由 y x2 得：2 x 1 0 x
C. 45
0
D.135
0
130 27 和8 x 15 y 85 0, 切点为（ ， ） 17 17
练习： 1、直线{ x 2 2t y 3 2t (t为参数)上与点P(2,3)
(
距离等于 2的点的坐标是
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
C
)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
则 MA MB ( 1 1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
3 5 3 5 4 2
（）如何写出直线的参数方程？ 1 l
①
（）如何求出交点 ，B所对应的参数1，t 2 ? 2 A t
(*)
由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
2.3直线的参数方程课件人教新课标1
＝54(t＋2)2＋20. 当 t＝－2 时，|PM|2 取最小值，此时|PM|等于点 P 与直线
的距离，则|PM|＝ 20＝2 5. 解法二：由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如图所示，
它对应参数 t＝－2.代入直线的参数方程，可得点 P0 的坐标： x＝2，y＝1，即垂足 P0(2,1)，显然有|PP0|＝ 2＋22＋1＋12 ＝2 5.
2,6)的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为34，即直线的倾 斜角(设为 α)的正切值 tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为 点 P 在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定 点，到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意 义或者两点之间的距离公式来求．
k＝ .
解析：(1)由题意可知直线的点斜式方程为 y－3＝－24(x－1)．
设 y－3＝－24(x－1)＝t，则xy＝＝13－＋2tt.，
∴该直线的参数方程为x＝1－2t ， y＝3＋t.
(2)解法一：如图所示，在直线上任取一点 M(x，y)，则 |PM|2＝(x＋2)2＋(y＋1)2
＝1－2t ＋22＋(3＋t＋1)2 ＝54t2＋5t＋25
线l的参数方程是 x＝ 22t， (t为参数)，
y＝－4＋
2 2t
点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最
小值．
解析：曲线C的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其 直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.
直线l的方程为x－y－4＝0. 所以，圆心到直线l的距离d＝|－2－2 4|＝3 2. 所以，|PQ|的最小值为3 2－2.
5．直线 y＝－1－t (t为参数)与曲线 的交点个数为________．
的距离，则|PM|＝ 20＝2 5. 解法二：由点 P 向直线作垂线，垂足记为 P0，如图所示，
它对应参数 t＝－2.代入直线的参数方程，可得点 P0 的坐标： x＝2，y＝1，即垂足 P0(2,1)，显然有|PP0|＝ 2＋22＋1＋12 ＝2 5.
2,6)的距离．
分析：由直线的方程可知，直线的斜率为34，即直线的倾 斜角(设为 α)的正切值 tan α＝34，则 sin α＝35，cos α＝45.因为 点 P 在直线 l 上，为了方便运算，选择点 P 作为直线上的定 点，到点 M 和点 N 的距离可以根据参数方程的特点及几何意 义或者两点之间的距离公式来求．
k＝ .
解析：(1)由题意可知直线的点斜式方程为 y－3＝－24(x－1)．
设 y－3＝－24(x－1)＝t，则xy＝＝13－＋2tt.，
∴该直线的参数方程为x＝1－2t ， y＝3＋t.
(2)解法一：如图所示，在直线上任取一点 M(x，y)，则 |PM|2＝(x＋2)2＋(y＋1)2
＝1－2t ＋22＋(3＋t＋1)2 ＝54t2＋5t＋25
线l的参数方程是 x＝ 22t， (t为参数)，
y＝－4＋
2 2t
点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求|PQ|的最
小值．
解析：曲线C的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其 直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.
直线l的方程为x－y－4＝0. 所以，圆心到直线l的距离d＝|－2－2 4|＝3 2. 所以，|PQ|的最小值为3 2－2.
5．直线 y＝－1－t (t为参数)与曲线 的交点个数为________．
赛课直线的参数方程ppt课件
线的弦M1M2的长是多少?
M1M2 t1t2 (t1t2)24t1t2
;
练习:
设直线l经过点M0(1,5),倾斜角为 .
(1)求直线l的参数方程;
x 1 13 t
2 （t为参数）
y 5 3 t
2
l (2)求直线l和直线x-y-2 3 =0的交点到点
M0的距离; t (106 3)
(3)求直线l和圆x2+y2=16的两个交点到 点M0的距离的和与积.
两 点 的 距 离 之 积 。
解:因为把点M的坐标代入直线方
程后,符合直线方程,所以点M A 在直线上. 易知直线的倾斜角为 3 所以直线的参数方程可以4写成
3
x 1t cos
34（t为参数）
y 2t sin
;
4
y
M(-1,2)
B
O
x
x 1 2 t
2 （t为参数）
y2 2 t
A
2
y M(-1,2)
y
A
M(-1,2)
B
O
x
;
例 1.已 知 直 线 l:xy10与 抛 物 线 yx2交 于
A,B两 点 ， 求 线 段 AB的 长 度 和 点 M(-1,2)到 A,B
两 点 的 距 离 之 积 。
y
解 ： 由 x y y x 21 0 得 ： x 2 x 1 0 (* ) 由 韦 达 定 理 得 ： x 1 x 2 1 ， x 1 x 2 1
两个交点到点 M
的距离的和为
0
;
1
5
3 积为10
三：小结
1.直线参数方程
x y
x0 y0
t t
cos sin
直线的参数方程PPT精品课件人教版1
所以,直线参数这方就程是中t参的几何 数t的绝对值等于意直义线,要上牢记 动点M到定点M0的距离.
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|t|=|M0M|
M0
e
O
x
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直线的参数方程(标准式）
直线的参 x y x y数 0 0 ttcs方 io n(st程 为参 ) 数
O
x
x=-1+tcos
3
4
y
2
t
sin
3
(t为参数）
直线的参数方程PPT精品课件人教版1 （精品 课件）
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即
x
1
2t 2 (t为参数）
y
2
2t 2
y
A
M(-1,2)
把它代入抛物线y=x2的方程,得
t2 2t 2 0
B
O
x
t1 t2 2, t1t2 2
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| M1M2 | a2 b2 | t1 t2 |
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直线参数方程的应用
1. 求（线段）弦长 2. 线段的中点问题 3. 求轨迹问题
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l2 ： 4 x 3 y 1 2 0 所 得 两 交 点 间 的 距 离 。 9 17
4.如直线
x y
4 bt
at
(t为参数）与曲线x
2
1 0相切，则这条直线的倾斜角等于
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2
为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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π 解：∵直线 l 通过 P0(－4,0)，倾斜角 α＝ ， 6 3 x＝－4＋ 2 t， ∴可设直线 l 的参数方程为 y＝ t . 2 3 2 1 2 代入圆方程，得(－4＋ t)t＋9＝0. 设 A、B 对应的参数分别 t1 和 t2， 由韦达定理得 t1＋t2＝4 3，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝2 3. 解得 t1＝3 3，t2＝ 3，代入直线参数方程 3 x＝－4＋ 2 t， y＝1t， 2 1 3 3 5 3 得 A 点坐标( ， )，B 点坐标(－ ， )． 2 2 2 2
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2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
M M （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) 0 y 设e是直线l的单位方向向量，则 M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x 所以 x0 t cos , y y0 t sin 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
一、课题引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 a b
一般式: Ax By C 0
y2 y1 k x2 x1
tan
程中参数t的几何意义吗？
y M M0
又 e是单位向量， e 1 这就是t的几何 M 0M t e t 意义,要牢记
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
e
O
x
我们是否可以根据t的值来确定向量 M 0 M
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
M M （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) 0 y 设e是直线l的单位方向向量，则 M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x 所以 x0 t cos , y y0 t sin 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
一、课题引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 a b
一般式: Ax By C 0
y2 y1 k x2 x1
tan
程中参数t的几何意义吗？
y M M0
又 e是单位向量， e 1 这就是t的几何 M 0M t e t 意义,要牢记
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
e
O
x
我们是否可以根据t的值来确定向量 M 0 M
直线的参数方程35页PPT
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
直线的参数方程
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17பைடு நூலகம்一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
公开课直线的参数方程 ppt课件
) 被双曲线
y
3t 2
x2-y2=1截得的弦长|AB|.
15
x2 y2
例3.经过点M(2,1)作直线l ,交椭圆16 4 1 于A，B两点，如果点M恰好为线段AB的 中点，求直线l的方程.
弦的中点对应的参数为 t 1 t 2 2
4
练习：已知经过点P(2,0)，斜率为 3 的直线 和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB 的中点为M，求点M的坐标 .
lB y
O Ax
21
解：设M 过 (2,1点 )的直l的 线参数方程为
{xy21ttcsions(t为参)数 代入椭圆方程得
( 3 s2 i n 1 ) t2 4 (c 2 o ss i ) tn 8 0
由 t 的 几 何 意 义 知 M A t 1 ,M B t 2 , 因 为 点
是 （ C）
பைடு நூலகம்
A 、t1
B 、2 t1
C 、 2 t1
D、 2 2
t1
12
例1.设直线l过点A(2,-4),倾斜角为 (1)求l的参数方程；
5
6
(2)设直线l与直线x-y+1=0交于点B，求
线段yAB的x长y.10
y
l
l
O
B| t |
x
A
| t | M(x, y)
M0(x0, y0)
0
x
直线上的点M与参数t的值是一一对应的13
重合
0
e
M0(x0, y0)
0
x
6
3.弦长公式 ：
（ 1 ） M 1M 2t1t2
（2）t t1 t2
2
7
x
1
1 2
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4
（1）
直
线
x y
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B
）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x
y
1
x
0的 一 个 参 数 方 程 是 y
1 2
2
2 2
t
t （t为参数）
。
5
思考: 由M0M te,你能得到直线l的参数方
程中参数t的几何意义吗？
解: M 0M te M0M te
又 e是单位向量， e 1
y M
t 这意就义是,要tM的牢0几M记何 t e
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
M0
e
O
x
6
p
M1
M
M2
M1
M2
M
7
三、例题讲解
【例1】
π 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为 3 ，且交直线 x－y
（3） AB、MA MB 与t1，t2有什么关系？
11
【练2】
π 已知直线 l 经过点 P(1，1)，倾斜角 α＝ 6 ，
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点
的距离之积．
解
x＝1＋ (1)直线的参数方程是
23t， (t
是参数)
y＝1＋12t
t cos t sin
(t是参数）
3
问题：已知一条直线过点M
求这条直线的方程.
0(x0
,y0
)，倾斜角，
解: 在直线上任取一点M(x,y),则
M 0M （ x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则 y
e (cos ,sin )
M(x,y)
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1
和
(2) 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 t2 ，整则理点得到At，2＋B( 的3＋坐1)标t－分2＝别0.为 A
x12＋＋y223＝t1，4，1＋12t1
，
①
B1＋
2因 所3t为 以2，|Pt11A＋和|·12|Ptt22B是.|＝方|t程1t2① |＝的|－解2|，＝从2. 而
at bt
(t为参数）
当a2
b
2
1时，
t才具有此几何意义
其它情况不能用。15
直线非标准参数方程的标准化
x y
x0 y0
at bt
(t为பைடு நூலகம்数）
x 1t
y
3
3t
x
x0
y
y0
a ( a2 b2t) a2 b2
b ( a2 b2t) a2 b2
x
1
1 12 (
( 12 ( 3)2 t) 3)2
1
一、引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
两点式:
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
k
y2 x2
y1 x1
tan
2
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
y 3
3
( 12 ( 3)2 t)
12 ( 3)2
x
x0
y
y0
a t a2 b2
b t a2 b2
x 1
y
3
1 t 2 3 t 2
16
x=5+3t
(1)把
化成标准方程的形式。
y=10-4t
(2) 已知直线参数方程是
x=1+2t (t为参数）
y=2+t
则该直线被圆x2+y2=9截得的弦长是多少？
例例21.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
9
三、例题讲解
例2
解
：
由
x y
y x2
1
0
得：x2 x 1 0
t1t2＝－2.
12
参数t的几何意义的几个应用；
1.用参数t表示点的坐标、 2.直线上两点间的距离、 3.直线被曲线所截得的弦的长， 4.中点对应的参数t.
13
练3
14
1.直线参数方程标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
2.直线参数方程一般式
x y
x0 y0
求这条直线的方程.
解: 直线的普通方程为y y0 tan (x x0 )
把进它一x变步0数,y成要整,0 ty都注理才数，是意是y0得常:参：csysoinisny0(
令该比例式的比值为t,即
x x0 )
x x0
cos y y0
sin
x x0
cos
t
整理，得到
x=x0
y
y0
因为M 0M // e,所以存在实数t R,
使
(x
M
0M
x0 ,
te,即
y y0 )
t
(cos
,
sin
)
M0(x0,y0)
e
即所，以xxxx00
t
t
cos ,
cos ,
y
y
y0
y0
t sin
t sin
(cos,sin )
所以，该直线的参数方程为 O
x
x y
x0 y0
t t
cos（t为参数） sin
－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________．
解析
由题意可得直线 l 的参数方程为x＝1＋12t， y＝5＋ 23t
(t 为参数)，
代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解得
t＝－6( 3＋1)．
根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
8
三、例题讲解
(*)
由韦达定理得： x1 x2 1，x1 x2 1
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )
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课堂练习
已知直线参数方程是
x=1+2t (t为参数）
y=2+t
则该直线被圆x2+y2=9截得的弦长是多少？
x=1+2t
解：将参数方程
化成参数方程的标
y=2+t
x=1+ t/
准形式
1
y=2+ 5 t/
圆的方程，得
(t/为参数），并代入
18
（1+
1
t/ ）2+（2+ 5 t/ ）2=9
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
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例2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
由韦达定理得： t1 t2 2，t1 t2 2