潘省初 中级计量经济学 第八章 时间序列分析概论

2、随机游走（Random walk）
如果一个序列由如下随机过程生成：
xt= xt-1+εt 其中εt是白噪声，则该列序被称为随机游走。容易证 得E(xt)= E(xt-1)，Var(xt)= t2，xt的方差与时间t有
关而非常数，因此随机游走序列是非平稳序列。
随机游走序列可以通过差分变换使其变为平稳序 列。若将上式写成一阶差分形式：
在非线性时间序列分析方向上，Tong（1983）提 出 了 利 用 分 段 线 性 化 构 造 的 TAR 模 型 （ threshold autoregressive model），该模型是目前分析非线性 时间序列的经典模型。
第一节 时间序列分析的基本概念
一、随机过程
由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，
第八章 时间序列分析
(Time Series Analysis)
在计量经济学的内容体系中时间序列分析是非常重 要的一个分支，其产生最早可以追溯到1927年英国统 计学家Yule提出的AR模型（autoregressive model）。
随后不久英国数学家Walker在分析印度大气规律时 使用了MA模型（moving average model）和ARMA模型 （autoregressive moving average model）。
差代替之。一个时间序列是“弱平稳的”，如果：
通常情况下，我们所说的平稳性指的就是弱平稳 性。一般来说，如果一个时间序列的均值和方差在 任何时间保持恒定，并且两个时期t和t+k之间的协 方差仅依赖于两时期之间的距离（间隔或滞后）k， 而与计算这些协方差的实际时期t无关，则该时间序 列是平稳的。
只要这三个条件不全满足，则该时间序列是非 平稳的。事实上，大多数经济时间序列是非平稳的。
为了放宽ARCH模型的约束条件，Bollerslov（1986） 提 出 了 GARCH 模 型 （ generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model）；
随后，Engle等（1987）提出了ARCH-M模型（ARCHin-mean model），GARCH-M模型；Nelson(1991)提出 了 EGARCH 模 型 （ exponential GARCH model ） ； Glosten 等 （ 1993 ） 提 出 了 TARCH 模 型 （ Threshold ARCH model）等，这些异方差模型是对经典的ARIMA模 型的很好补充，能够更为准确的刻画金融市场风险的 变化过程，特别适用于金融时间序列的分析。
1976年美国统计学家Box和英国统计学家Jenkins合 作 写 了 <Time Series Analysis Forecasting and Control> 一 书 ， 该 书 系 统 阐 述 了 ARIMA 模 型 （ autoregressive integrated moving average model）的识别、估计、 检验及预测的原理和方法，ARIMA模型通常也称为BoxJenkins模型（BJ模型）。BJ模型是适用于单变量、同 方差场合的常用线性模型。
二、平稳性（Stationarity）
1、严平稳
如果一个时间序列xt的联合概率分布不随时 间而变，即对于任何n和k，x1,x2,…，xn的联合 概率分布与x1+k,x2+k,…xn+k 的联合分布相同，则
称该时间序列是严格平稳的。
2、弱平稳
由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我
们用随机变量xt（t=1,2,…）的均值、方差和协方
在 多 变 量 方 向 上 ， Granger(1987) 提 出 了 协 整 （cointegration）理论，为多变量时间序列的建模 拓展了空间；
另 一 方 面 ， Sims(1980) 提 出 VAR 模 型 （ vector autoregressive model），将单变量自回归模型推广 到多变量时间序列组成的向量自回归模型，推动了经 济系统动态性分析的应用。
Δxt=εt 这个一阶差分新变量ΔXt是平稳的，因为它就等于白燥 声εt，而后者是平稳时间序列。
3、带漂移项的随机漫步 (Random walk with
drift)
首先考虑如下随机过程：
xt =Βιβλιοθήκη Baidu+t+ xt-1+εt 其中：εt是白噪声，t为时间趋势。如果=1，=0，
则上式为一带漂移项的随机游走过程：
记为{x (s, t) , sS , tT }，简记为 {xt} 或xt。 其中S表示样本空间，T表示序数集。对于每一个 t, tT, x (·, t ) 是样本空间S中的一个随机变量。 对于每一个 s, sS , x (s, ·) 是随机过程在序 数集T中的一次实现。
时间序列
随机过程的一次实现称为时间序列，可用{xt}或 xt表示。随机过程与时间序列的关系图示如下：
三、五种经典的时间序列类型
1、白噪声（ White noise）
最简单的随机平稳时间序列是一具有零均值同方 差的独立分布序列：
xt=εt ，εt ～N (0,2 )
该序列通常被称为白噪声。 白噪声可用符号表示为：
εt～IID(0, σ2) 注 ： 这 里 IID 为 Independently Identically Distributed（独立同分布)的缩写。
随着对时间序列研究的深入，统计学家和计量经济 学家们对时间序列的分析方法分别从多变量、异方差 和非线性三个方向进行了拓展，取得了一系列的成果。
在异方差方向上，美国计量经济学家Engle (1982) 提 出 ARCH 模 型 （ autoregressive conditional heteroscedasticity model），用来研究英国通货膨 胀率的建模问题；
xt = +xt-1+εt
（1）
根据的正负，xt表现出明显的上升或下降趋势，这
种趋势称为随机性趋势（stochastic trend）。对于
（1）式我们同样可通过差分的方法使其变为平稳的
序列，因此（1）式也被称为差分平稳过程