从几个案例谈高中数学复习课教学设计的创新
高中数学新课程创新教学设计案例50篇__40-43平面向量
40 平面向量的数量积教材分析两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习．这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用．教学目标1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示，会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．2. 通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯．任务分析两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”．通过实例理解a·b＝b·c与a＝c的关系，a·b＝0与a＝0或b＝0的关系，以及（a·b）c＝a（b·c）与（ab）c＝a（bc）的不同．教学设计一、问题情景如图40-1所示，一个力f作用于一个物体，使该物体发生了位移s，如何计算这个力所做的功．由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功．即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算．W＝｜s｜｜f｜cosθ．其中｜f｜cosθ就是f在物体前进方向上的分量，也就是力f在物体前进方向上正射影的数量．问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定．我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？二、建立模型1. 引导学生从“功”的模型中得到如下概念：已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b ＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a 方向上）的投影．规定0与任一向量的数量积为０．由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数．说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起见，a与b的夹角记作〈a，b〉．2. 引导学生思考讨论根据向量数量积的定义，可以得出（1）设e是单位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）设a·b是非零向量，则a⊥b a·b＝0．（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（这与实数｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解释应用［例题］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b．解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10．［练习］1. 已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影为－2，求：（1）a·ｂ．（2）a在b上的投影．2. 已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求·．四、建立向量数量积的运算律1. 出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义．回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？2. 运算律及其推导已知：向量a，b，c和λ∈R，则（1）a·b＝b·a（交换律）．证明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（数乘结合律）．证明：设a，b夹角为θ，当λ＞0时，λa与b的夹角为θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＜0时，λa与b的夹角为（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；当λ＝0时，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）．总之，（λa）·b＝λ（a·b）；同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法对加法的分配律）．证明：如图40-2，任取一点O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（a·b）c＝a（b·c）吗？（2）向量的数量积满足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c吗？五、应用与深化［例题］1. 对实数a，b，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2．类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？解：类比完全平方和公式与平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2．其证明是：（a＋b）2＝（a＋b）·（a＋b）＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2．∴有类似结论．2. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）．解：（a＋2b）·（a－3b）＝a2－3a·b＋2b·a－6b2＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜2＝－72．3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b不共线．当k为何值时，（a＋kb）⊥（a－kb）？解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±．因此，当k＝±时，有（a＋kb）⊥（a－kb）．4. 已知：正方形ABCD的边长为1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1××＋2×1××＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．［练习］1. ｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a与b的夹角θ．2. 在边长为2的正三角形ABC中，求·＋·＋·．六、拓展延伸1. 当向量a，b的夹角为锐角时，你能说明a·b的几何意义吗？如图40-3，a·b，即以b在a上射影的长和ａ的长为两邻边的矩形面积（OA＝OA1）．2. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图40-4，＝＋，＝－．试说明平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系．3. 三个单位向量a，b，c有相同终点且a＋b＋c＝0，问：它们的起点连成怎样的三角形？解法1：如图40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）2＝（－c）2，∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°．同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即该△ABC为等边三角形．解法2：如图40-6，＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋．∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB为菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…4. 在△ABC中，·＝·＝·，问：O点在△ABC的什么位置？解：由·＝·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，同理⊥，⊥．故O是△ABC的垂心．41 两角和与差的余弦教材分析这节内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．这些内容在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面有着广泛的应用，因此要求学生切实学好，并能熟练的应用，以便为今后的学习打下良好的基础．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性．这节课的重点是两角差的余弦公式的推导，难点是把公式中的α，β角推广到任意角．教学目标1. 通过对两角差的余弦公式的探究过程，培养学生通过交流，探索，发现和获得新知识的能力．2. 通过两角差的余弦公式的推导，体会知识的发生、发展的过程和初步的应用过程，培养学生科学的思维方法和勇于探索的科学精神．3. 能正确运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明．任务分析这节内容以问题情景中的问题作为教学的出发点，利用单位圆中的三角函数线和平面向量的数量积的概念推导出结论，并不断补充推导过程中的不严谨之处．推导过程采用了从特殊到一般逐层递进的思维方法，学生易于接受．整个过程始终结合单位圆，以强调其直观性．对于公式中的α和β角要强调其任意性．数学中要注意运用启发式，切忌把结果直接告诉学生，尽量让学生通过观察、思考和探索，自己发现公式，使学生充分体会到成功的喜悦，进一步激发学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性，从而使其自觉主动地学习．教学过程一、问题情景我们已经学过诱导公式，如可以这样来认识以上公式：把角α转动，则所得角α＋的正弦、余弦分别等于cosα和－sinα．把角α转动π，则所得角α＋π的正弦、余弦分别等于－sinα和－cosα．由此，使我们想到一个一般性的问题：如果把角α的终边转动β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦来表示呢？出示一个实际问题：右图41-1是架在小河边的一座吊桥的示意图．吊桥长AB＝ａ（m），A是支点，在河的左岸．点C在河的右岸，地势比A点高．AD表示水平线，∠DAC＝α，α为定值．∠CAB ＝β，β随吊桥的起降而变化．在吊桥起降的过程中，如何确定点B离开水平线AD的高度BE？由图可知BE＝asin（α＋β）．我们的问题是：如何用α和β的三角函数来表示sin（α＋β）．如果α＋β为锐角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）吗？引导学生分析：事实上，我们在研究三角函数的变形或计算时，经常提出这样的问题：能否用α，β的三角函数去表示α±β的三角函数？为了解决这类问题，本节首先来探索α－β的余弦与α，β的函数关系式．更一般地说，对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把α＋β或α－β的三角函数值表示出来呢？二、建立模型1. 探究（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引导学生通过特例否定这一猜想．例如，α＝60°，β＝30°，可以发现，左边＝cos（60°－30°）＝cos30°＝，右边＝cos60°－cos30°＝－．显然，对任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．（3）再引导学生从道理上否定这一猜想．不妨设α，β，α－β均为锐角，则α－β＜α，则cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ．2. 分析讨论（1）如何把α，β，α－β角的三角函数值之间建立起关系？要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？（2）由三角函数线的定义可知，这些角的三角函数值都与单位圆中的某些有向线段有关系，那么，这些有向线段之间是否有关系呢？3. 教师明晰通过学生的讨论，教师引导学生作出以下推理：设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么，OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．4. 提出问题，组织学生讨论（1）当α，β，α－β为任意角时，上述推导过程还能成立吗？若要说明此结果是否对任意角α，β都成立，还要做不少推广工作，可引导学生独立思考．事实上，根据诱导公式，总可以把α，β的三角函数化为（0，）内的三角函数，再根据cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化为锐角的余弦．因此，三、解释应用［例题］1. 求cos15°及cos105°的值．分析：本题关键是将15°角分成45°与30°的差或者分解成60°与45°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解．对于cos105°，可进行类似地处理，cos105°＝cos（60°＋45°）．2. 已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）的值．与本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，分析：观察公式Cα＋βcosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．［练习］1. （1）求sin75°的值．（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．（3）化简cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215°－sin215°的值．分析：对于（1），可先用诱导公式化sin75°为cos15°，再用例题1中的结果即可．对于（2），逆向使用公式Cα-β，即可将原式化为cos30°．对于（3），可以把A＋B角看成一个整体，去替换Cα-β中的α角，用B角替换β角．2. （1）求证：cos（－α）＝sinα．（2）已知sinθ＝，且θ为第二象限角，求cos（θ－）的值．（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．分析：（1）和（差）公式可看成诱导公式的推广，诱导公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函数求值问题中，变角是一种常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，这样可充分利用题中已知的三角函数值．3. 化简cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．分析：这里可以把角36°＋α与α－54°均看成单角，进而直接运用公式Cα-β，不必将各式展开后再计算．分析：本题是一道综合题，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只须将已知两式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．四、拓展延伸1. 由任意角三角函数定义，可知角α，β的终边与单位圆交点的坐标均可用α，β的三角函数表示，即α－β角与，两向量的夹角有关，那么能否用向量的有关知识来推导公式Cα-β呢？教师引导学生分析：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．由向量数量积的概念，有·＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．由向量的数量积的坐标表示，有·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．于是，有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．依据向量数量积的概念，角α－β必须符合０≤α－β≤π，即在此条件下，以上推导才是正确的．由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，须研究α－β为任意角时，以上推导是否正确．当α－β为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．若θ∈［0，π］，则·＝cosθ＝cos（α－β）；若θ∈［π，2π］，则2π－θ∈［0，π］，且·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．于是，对于任意角α，β都有2. 教师提出进一步拓展性问题：本节问题情景中，涉及如何用s inα，sinβ，cosα，cosβ来表示sin（α＋β）的问题，试探索与研究sin（α＋β）的表达式．42 两角和与差的正弦教材分析在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为学生学习的一种负担．针对这个特点，应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用条件，在公式体系中掌握相关的公式．同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式．当然，这些公式的基础是两角和差的余弦公式．通过诱导公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α ）＝cosα（α为任意角），可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为sin（α＋β）＝ｃｏｓ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推导出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦，右边均为单角α，β的正、余弦形式．不同点为公式Sα+β，Sα-β两边的运算符号相同，Cα+β与Cα-β两边的运算符号相反．Sα+β与Sα-β中右边是两单角异名三角函数的乘积，而Cα-β与Cα+β的右边是两单角同名三角函数的乘积．任务分析这节课计划采用启发引导和讲练结合的教学方式，对三角函数中的每一个公式要求学生会推导，会使用，要求不但掌握公式的原形，还应掌握它们的变形公式，会把“asinｘ＋bcos ｘ”类型的三角函数化成一个角的三角函数．在课堂教学中，将采用循序渐进的原则，设计有一定梯度的题目，以利于培养学生通过观察、类比的方法去分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的思维习惯．在教学中，及时提醒学生分析、探索、化归、换元、类比等常用的基本方法在三角变换中的作用．这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明，难点是公式的变形使用和逆向使用．教学目标1. 能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，两角和差的正弦公式，并了解各个公式之间的内在联系．2. 能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明．3. 通过公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力，同时渗透数学中常用的换元、整体代换等思想方法．教学过程一、问题情景如图42-1，为了保持在道路拐弯处的电线杆OB的稳固性，要加一根固定钢丝绳，要求钢丝绳与地面成75°角．已知电线杆的高度为5m，问：至少要准备多长的钢丝绳？设电线杆与地面接触点为B，顶端为O，钢丝绳与地面接触点为A．在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出钢丝绳的长度．75°角可表示成两个特殊角45°与30°的和，那么sin75°的值能否用这两特殊角的三角函数值来表示呢？二、建立模型1. 探究已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，则sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函数名与cos（α＋β）和cos（α－β）有何关系？通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即sin（α＋β）＝推导以上公式的方法并不是唯一的，其他推导方法由学生课后自己探索．3. 分析公式的结构特征Sα+β与Sα-β中两边的加减运算符号相同，右边为α与β角的异名三角函数的乘积．应特别注意公式两边符号的差异．三、解释应用［例题一］已知sinα＝－，且α为第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．分析：本题主要训练公式Sα-β与Sα+β的使用．由sinα＝－及α为第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．［练习一］分析：1. （1）强调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知条件求出cos（30°＋α）．2. 应注意三角形的内角之间的关系，C＝π－（A＋B），再由诱导公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即转化为求－cos（A＋B）．3. 应注意分析角之间的关系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β还应求出sin （α－β）和cos（α＋β）．解此题时，先把α＋β与α－β看成单角，然后把2β用这两个单角来表示．4. 该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：（1）求出α＋β角的某个三角函数值．（2）确定角的范围．（3）确定角的值．其中，求α＋β的某个三角函数值时，应分清是求cos（α－β）还是求sin（α－β）．已知向量＝（3，4），若将其绕原点旋转45°到′→的位置，求点P′（x′，y′）的坐标．解：设∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．已知向量＝（4，3），若将其绕原点旋转60°，－135°到1，2的位置，求点P1，P2的坐标．［例题三］求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosｘ－sinx．（2）y＝3sinx＋4cosx．（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）．注：（1），（2）为一般性问题，是为（3）作铺垫，推导时，要关注解题过程，以便让学生充分理解辅助角φ满足的条件．（3）解：考查以（ａ，ｂ）为坐标的点P（ａ，ｂ），设以OP为终边的一个角为φ，则［练习三］求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．（2）y＝sinx－sin（x＋）（3）已知两个电流瞬时值函数式分别是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函数式．四、拓展延伸出示两道延伸性问题，引导学生独立思考，然后师生共同解决．1. 已知三个电流瞬时值的函数式分别为I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt ＋60°），求它们合成后的电流瞬时值的函数式I＝I1＋I2＋I3，并指出这个函数的振幅、初相和周期．2. 已知点P（x，y），与原点的距离保持不变绕原点旋转θ角到点P′（x′，y′）（如图42-2），求证：43 三角形边和角关系的探索教材分析初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论．余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来．对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法．教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便理解其实质．当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量．这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题．任务分析这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系．对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法．应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件．将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题．教学目标1. 理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理．2. 能运用正、余弦定理解斜三角形．3. 理解并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题．教学设计一、问题情景1. A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图43-1），问：飞机离两探照灯的距离分别是多少？2. 如图43-2，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长．（精确到0.01m）问题：（1）图中涉及怎样的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型1. 教师引导学生分析讨论在问题情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的长．组织学生讨论如何利用已知条件求出AC，BC的长度．（让学生思考，允许有不同的解法）结论：如图40-3，作AD⊥BC，垂足为D．由三角函数的定义，知AD＝AC·sinC，AD ＝AB·sinB．由此可得AC·sinC＝AB·sinB．又由∠A，∠B的度数可求∠C的度数，代入上式即可求出AC的长度，同理可求BC 的长度．教师明晰：（1）当△ABC为直角三角形时，由正弦函数的定义，得（2）当△ABC为锐角三角形时，设AB边上的高为CD，根据三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理.（3）当△ABC为钝角三角形时，结论是否仍然成立？引导学生自己推出．（详细给出解答过程）事实上，当∠A为钝角时，由（2）易知.设BC边上的高为CD，则由三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsin（180°－A）．根据诱导公式，知sin（180°－A）＝sinA，∴asinB＝bsinA，即.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系．思考：正弦定理可以解决有关三角形的哪些问题？2. 组织学生讨论问题情景（2）这一实际问题可化归为：已知△ABC的边AB＝1.95，AC＝1.4，夹角为6°20′，求BC 的长．组织学生讨论：能用什么方法求出BC？（学生有可能有多种不同的解法）教师明晰：如果已知三角形的两边和夹角，这个三角形为确定的三角形，那么怎样去计算它的第三边呢？由于涉及边长及夹角的问题，故可以考虑用平面向量的数量积．（也可用两点间的距离公式）如图，设＝a，＝b，＝c，则c＝a－b．∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c2＝ａ2＋b2－2abcosC．同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB．于是得到以下定理：余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．思考：余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？3. 进一步的问题勾股定理指出了直角三角形中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了一般三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在怎样的关系？如何利用余弦定理来判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？三、解释应用［例题］1. （1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）分析：（1）本题为给出三角形的两角和一边解三角形问题，可由三角形内角和定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边．（2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，于是可用正弦定理求出b边的对角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有两个值（如图43-8），从而C角与c边的取值也有两种可能．学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解．2. （1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精确到1′）．分析：本例中的（1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角．3. AB是底部B不可到达的建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法．分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高．由解直角三角形的知识，只要能知道一点C到建筑物顶部A的距离CA，并能测出由点C观察A 的仰角，就可以计算出建筑物的高．为了求出CA的长，可选择一条水平基线HG（如图43-9），使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，设CD＝ａ，测角仪器的高为ｈ，则在△ACD中，由正弦定理，得，sin（α－β），从而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝＋h．［练习］1. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．2. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到0.1°，边长精确到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．四、拓展延伸1. 在△ABC中，有正弦定理这涉及比值的连等式．请探索并研究是一个什么样的量，并加以证明．2. 在△ABC中，已知三边的长为ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形状？3. 已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精确到1°）分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，但当B≈149°时，A＋B＝187°，这与A，B为三角形内角矛盾，故B角只能取31°．由此题与例1中的（2）题的分析可以发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或两解的情形，那么会不会出现无解的情形呢？（1）当A为钝角或直角，必须满足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ无解），并且由sinB＝计算B时，只能取锐角，因此，只有一解，如图43-10．（2）当A为锐角时，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，则由sinB＝计算B时，只能取锐角的值，因此，只有一解，如图40-11．②若ａ＜ｂsinA，则由sinB＝，得sinB＞1，因此，无解．如图43-12．③若ａ＝bsinA，则由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ为直角，故只有一解，如图43-13．④若ｂ＞ａ＞bsinA，则sinB＜1，故B可取一个锐角和一个钝角的值，如图43-14．。
高中数学教学课例《等差数列复习课》课程思政核心素养教学设计及总结反思
【评析：这题比上一题略难，但方法是一样的。通
过刚才知识的整理，大多数学生很快解出，此时课堂气
氛融融，师生关系和谐】
六、小结：
师：今天，大家学得不错。下面我们再来回顾一下
本堂课的内容？
生：总结
（1）概念的复习和利用方程思想进行计算；
（2）利用等差数列通项公式求前 n 项和的最值；
(3)借助函数思想，利用等差数列前 n 项和公式求
解:由题知 a1=33＞0,d=-3＜ 0,an=33-3(n-1)=36-3n，等差数列单调递减，且易得 a11＞0，
a12=0,a13＜0,因此，前 11 或 12 项和最大。所以， Smax=S11=33×11+=165。
师：是否有其它方法？可否利用二次函数求最值？ 生：思考，探究... 师：巡视，并提示 生：讨论，动笔 最后，师生形成解法如下（投影仪展示）： 解：充分利用二次函数求最值（投影仪展示：函数 S（x）=-1.5x2+34.5x 的图像如下） S(x)=33x+=-1.5x2+34.5x,对称轴是 x=-=11.5， （Sn,n）为其上的散点。所以由图像知，当 n=11 或 12 时 Smax=S11=S12。 生：补充修正，心情很愉快，学习积极性高涨 【评析：这道题是与上题对比而设计的一题，它们 一个是 a1＜0,d＞0，一个是 a1＞0,d＜0，通过合作探 究问题，激发了学生学习的兴趣和欲望，树立了学生钻 研的精神，增强学生学好数学的信念，产生热爱数学的 情感,体验在学习中获得成功】 师：启发学生以后碰到这样的题怎么办？
高中数学论文：浅谈数学复习课教学设计与创新
浅谈数学复习课教学设计与创新复习就是再现学习过程，将已学知识加以梳理，纳入整体知识系统之中。
复习课是教学教学诸环节中必不可少的一种课型。
然而，复习课在教学中并不讨人喜欢，师生都不钟情它，老师吃力不讨好，学生苦不堪言；相对于新课，复习课确实更难上些，因为新课是在学生未知的情况下进行教学，学生有种天然的渴求与向往(神秘感)，此时学生犹如一张白纸，你怎书写，他就怎显示。
学生处于被动而又积极的状态。
而复习课是在学生有点懂，但又是懂非懂的情况进行教学，学生是半壶水心态，纯粹的老调重弹，学生不感兴趣；要上出新意来，那就更要用心。
也就是在复习课的教学设计上要有所创新。
目前，复习课的教学有两种偏向：一种是不进行知识技能的整理，以题海代复习。
把市场上各种铺天盖地的现成试卷，老师每天撕一张印一下，让学生做，做完，再撕一张印一下，学生再做………就这样，周而复始的对知识进行狂轰滥炸。
另一种是复习整理干巴巴，例题练习呆板板。
教师讲得累，学生听得苦。
我曾经听过一节不等式的复习课，执教老师花了25分钟复习不等式的性质、重要不等式(延展)及不等式的解法，然后用10分钟练习了两道题，又花了5分钟点评，明显的，前25分钟学生的积极性不高. 课后我找这位老师交换意见，她对前25分钟的知识整理，也觉得很矛盾、纠结，不整理，怕学生忘了；整理，又怕学生不愿听。
我认为，知识整理是复习课的任务，但是，形式上可以多样化，可以活泼些，以数学题带知识复习，是一个好办法。
具体做法是：精选例题，解题前，将涉及的知识点特别指出，并将它们一一板书。
做题时，这些知识立竿见影，学生尝到甜头，这样，我们的复习效果就会倍增。
华罗庚先生提出了“厚薄说”，指出读书应该有两个阶段，先是由薄到厚，再是由厚到薄；后面的“薄”，就是知识整理。
对于数学解题，要不要整理？张景中院士有个“中巧说”，他说：“练武功的上乘境界是无招胜有招。
但武功仍要从一招一式入门，解题也是如此。
”张院士又说：“这种”无招胜有招的境界，就是大巧吧，小巧固不可取，大巧又确实太难，对于大多数学生来说，还是要重视有章可循的招式。
高中数学教学实践创新(3篇)
第1篇摘要：随着新课程改革的深入推进，高中数学教学面临着前所未有的挑战和机遇。
本文从创新教学方法、创新教学内容、创新教学评价三个方面探讨高中数学教学实践的创新，旨在提高高中数学教学质量，培养学生的创新思维和实践能力。
一、引言数学作为一门基础学科，在培养学生的逻辑思维、抽象思维和创新能力等方面具有重要意义。
然而，传统的教学模式往往以教师讲授为主，学生被动接受知识，导致学生缺乏主动性和创新精神。
为了适应新课程改革的要求，提高高中数学教学质量，我们需要在实践教学中不断创新。
二、创新教学方法1. 项目式学习项目式学习是一种以学生为中心、以问题为导向的教学方法。
在高中数学教学中，教师可以设计一些与实际生活紧密相关的项目，让学生在解决问题的过程中学习数学知识。
例如，在“函数与方程”这一章节，教师可以让学生设计一个关于“商品定价策略”的项目，让学生通过研究不同函数的特点，找到最优的定价策略。
2. 案例教学法案例教学法是指以案例为载体，引导学生分析、讨论和解决问题的教学方法。
在高中数学教学中，教师可以收集一些典型的数学案例，让学生通过分析案例，提高解决问题的能力。
例如，在“概率统计”这一章节，教师可以让学生分析一些关于彩票中奖概率的案例，让学生了解概率在生活中的应用。
3. 合作学习合作学习是指学生在小组中共同完成学习任务的教学方法。
在高中数学教学中，教师可以将学生分成若干小组，让每个小组完成一个特定的学习任务。
通过合作学习，学生可以互相学习、互相启发，提高学习效果。
例如，在“立体几何”这一章节，教师可以让学生分组研究空间几何体的性质，共同完成一个关于“空间几何体切割”的项目。
三、创新教学内容1. 优化课程结构在教学内容上，教师应优化课程结构，增加与实际生活相关的数学内容。
例如，在“概率统计”这一章节，可以增加关于人口统计、经济统计等方面的内容，让学生了解数学在各个领域的应用。
2. 引入新知识随着数学的发展，一些新的知识不断涌现。
高三数学复习课教学模式探究案例及其反思.doc
高三数学复习课教学模式探究案例及其反思摘要：《普通高中？笛3纬瘫曜肌分兄赋鮮?教师应激发学生的学习积极性和主动性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程屮真正理解和掌握数学知识和技能。
在高三复习课教学结构上，教师需更新教育观念，始终坚持以学生为主体，改变以往从头讲到尾和演示解题的复习模式，做到真正讣学生成为学习的主人，讣他们在积极主动的探索活动屮实现创新、有所突破，使数学素养和悟性得到进一步提高。
关键词：高三数学；复习课教学模式；探究与反思数学教学不应只强调教师的教，更多的是要关注学生的学习过程，随着高三数学复习课习题量大幅度增加，且都是各知识点的综合复习，难度也大幅度提升，这无疑给学生的复习造成了巨大的压力。
因此，如何上好高三数学复习课成为广大高中数学教师关注的焦点问题。
一、合理安排与运用教学方法合理的教学方法能够提高学生的学习兴趣和热情，使其积极主动地参与到课堂学习中。
教师应充分尊重学生在学习过程中的主体地位，并发挥自身的主导作用对学生加以引导。
对于高三数学的总复习，教师需要格外重视教学方法的合理安排与运用，因此，可以在总复习过程中安排以下两轮复习。
1•章节复习课章节复习课是帮助学生巩固基础知识的重要环节，在此过程中，教师可以根据复习内容将学生分为小组或讨论组，以此提高学习效率。
而在分组过程中，教师综合根据学生的学习特点和学习层次，避免将差距较大的学生分到同一个小组，以免学习成绩和能力较差的学生跟不上学习进度。
当然也不能将同等学习层次的学生分到一个小组，因为一般而言，有学习差异的小组比同等学习层次的小组更富有学习热情，这主要是由于存在差异的小组中，学习能力较差的学生会经常提出疑问，而成绩较好的学生就能够为其分析和解决问题，以此在讨论屮共同巩固和进步。
除了组建学习小组进行章节复习之外，教师还应该鼓励学生勇于提出问题和疑问，并帮助小组解决他们无法解决及存在争议的问题。
[高考数学]高中数学新课程创新教学设计案例50篇_29_古典概型
![[高考数学]高中数学新课程创新教学设计案例50篇_29_古典概型](https://img.taocdn.com/s3/m/ee81f7b8336c1eb91b375de9.png)
29 古典概型教材分析古典概型是概率中最基本、最常见而又最重要的类型之一．这节内容是在一般随机事件的概率的基础上，进一步研究等可能性事件的概率．教材首先通过一些熟悉的例子，归纳出古典概型的特征，进而给出古典概型的定义，这里渗透了从特殊到一般的思想．这节课的重点内容是古典概型的概念，难点是利用古典概型的概念求古典概率．教学目标1. 通过实例对古典概型概念的归纳和总结，使学生体验知识产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力．2. 理解古典概型的概念，能运用所学概念求一些简单的古典概率，并通过实例归纳和总结出概率的一般加法公式．3. 通过对古典概型的学习，使学生进一步体会随机事件概率的实际意义．任务分析这节内容在学生已理解随机事件概率的基础上，由具体的例子抽象出古典概型的概念．在这里，一个试验是否为古典概型是难点，故要通过具体例子总结古典概型的两个共同特征，特别要注意反例的列举．教学设计一、问题情境1. 掷一颗骰子，观察出现的点数．这个试验的基本事件空间Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝．它有6个基本事件．由于骰子的构造是均匀的，因而出现这６种结果的机会是均等的，均为．2. 一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况．这个试验的基本事件空间Ω＝｛〔正，正〕，〔正，反〕，〔反，正〕，〔反，反〕｝．它有4个基本事件．因为每一枚硬币“出现正面〞与“出现反面〞的机会是均等的，所以可以近似地认为出现这4种结果的机会是均等的，均为．3. 在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽〞．这个试验的基本事件空间为Ω＝｛发芽，不发芽｝，而这两种结果出现的机会一般是不均等的．二、建立模型1. 讨论以上三个问题的特征在这里，教师可引导学生从试验可能出现的结果上以与每个结果出现的可能性上讨论．结论：〔1〕问题1，2与问题3不相同．〔2〕问题1，2有两个共同特征：①有限性．在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．②等可能性．每个基本事件发生的可能性是均等的．2. 古典概型的定义通过学生的讨论，归纳出古典概型的定义．如果一个随机试验有上述〔2〕中的两个共同特征，我们就称这样的试验为古典概型，上述前2个例子均为古典概型．一个试验是否为古典概型在于这个试验是否具有古典概型的两个特征———有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．例如，第3个例子就不属于古典概型．3. 讨论古典概型的求法充分利用问题1，2抽象概括出古典概型的求法．一般地，对于古典概型，如果试验的n个事件为A1，A2，…，A n，由于基本事件是两两互斥的，则由互斥事件的概率加法公式，得P〔A1〕＋P〔A2〕＋…＋P〔A n〕＝P〔A1∪A2∪…∪A n〕＝P〔Ω〕＝1．又∵P〔A1〕＝P〔A2〕＝…＝P〔A n〕，∴代入上式，得nP〔A1〕＝1，即P〔A1〕＝．∴在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为．如果随机事件Ａ包含的基本事件数为m，同样地，由互斥事件的概率加法公式可得P 〔A〕＝mn，即.三、解释应用［例题一］1. 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．注：规范格式，熟悉求法．2. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．［练习一］在例2中，把“每次取出后不放回〞换成“每次取出后放回〞，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．注意：放回抽样与不放回抽样的区别．［例题二］甲、乙两人做出拳游戏〔锤子、剪刀、布〕．求：〔1〕平局的概率．〔2〕甲赢的概率．〔3〕乙赢的概率．解：把甲、乙出的“锤子〞、“剪刀〞、“布〞分别标在坐标轴上．其中△为平局，⊙为甲赢，※为乙赢，一次出拳共有3×3＝9种，结果如图29-1．设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C．由古典概率的计算公式，得思考：例3这类概率问题的解法有何特点？［练习二］抛掷两颗骰子，求：〔1〕点数之和出现7点的概率．〔2〕出现两个4点的概率．［例题三］掷红、蓝两颗骰子，事件A＝｛红骰子的点数大于3｝，事件B＝｛蓝骰子的点数大于3｝，求事件A∪B＝｛至少有一颗骰子点数大于3｝发生的概率．教师明晰：古典概型的情况下概率的一般加法公式．设A，B是Ω中的两个事件．P〔A∪B〕＝P〔A〕＋P〔B〕－P〔A∩B〕，特别地，当A∩B＝时，P〔A∪B〕＝P〔A〕＋P〔B〕．［练习三］一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63．问：至少有一根熔断的概率是多少？四、拓展延伸每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲．同样地，他的父亲和母样的基因也有两份．在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代．以褐色的眼睛为例，每个人都有一份基因显示他眼睛的颜色：〔1〕眼睛为褐色．〔2〕眼睛不为褐色．如果孩子得到父母的基因都为“眼睛为褐色〞，则孩子的眼睛也为褐色．如果孩子得到父母的基因都为“眼睛不为褐色〞，则孩子眼睛不为褐色〔是什么颜色取决于其他的基因〕．如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色〞，另一份为“眼睛不为褐色〞，则孩子的眼睛不会出现两种可能，而只会出现眼睛颜色为褐色的情况．生物学家把“眼睛为褐色〞的基因叫作显性基因．为方便起见，我们用字母B代表“眼睛为褐色〞这个显性基因，用b代表“眼睛不为褐色〞这个基因．每个人都有两份基因，控制一个人眼睛颜色的基因有BB，Bb〔表示父亲提供基因B，母亲提供基因b〕，bB，bb．注意在BB，Bb，bB和bb这4种基因中只有bb 基因显示为眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色．假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，则孩子眼睛不为褐色的概率有多大？点评这篇案例设计思路清晰，重点突出，目标明确，为分散难点案例采用了从具体到抽象的方法，充分展示了知识的形成过程，使学生感到自然，没有突兀感，符合学生的认知规律．例题的设计有梯度，跟踪练习有针对性，教学过程充分发挥了学生自主学习和合作学习的学习方式，对学生后继学习能力的培养有积极的作用．。
高三数学复习课的结构化教学设计——以“基本不等式及其应用”为例
学生是课堂教学的主体!教师作为课堂教学的引 领者"组织者!应当充分了解学生的学习情况"认知发 展规律!利 用 学 生 的 最 近 发 展 区 组 织 教 学 活 动!激 发
根据教学内容及班级学生的认知发展规律!制定 教学目标!确立教学重难点!以国庆大阅兵中的数学问 题引入课堂!渗透爱国主义教育!树立民族自豪感!理 解并形成基本不等式的知识结构!学会用配凑法"换元 法"常值代入法等解决简单的最值问题!在学校多媒体 教室进行课堂教学!多屏和同屏有助于学生记忆的保 持"对比和归纳*运用投影展示学生的成果!有利于辨 析和总结经验!讲授法"合作学习法"问题串教学法相结 合!激发学生的学习兴趣!启发学生深度思维!培养数学 建模思想!提高学生分析问题"解决问题的能力!
复习 备考 复习指引!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"!(年#月
高三数学复习课的结构化教学设计)
$$$ 以%基本不等式及其应用&为例
" 上海师范大学附属中学 ! 张嘉玲
如何上好高三第一轮复习课!是高中数学教师最 为关 心 之 事!高 三 学 生 已 具 备 高 中 数 学 的 初 步 认 知! 但存在部分知识遗忘及掌握不全面的情况!任何学科 都有一个 基 本 结 构!即 内 在 规 律!为 了 帮 助 学 生 形 成 适合自己的知识结构!教师经常在高三一轮复习时进 行系统梳 理!深 挖 数 学 知 识 之 间 的 内 在 联 系!从 内 在 结构和外 在 关 联 进 行 剖 析!制 定 教 学 设 计!组 织 教 学 活动!帮助学生完善认知结构!提高数学思维!笔者以 一节高三复习课#基本不等式及其应用%为例!谈谈用 结构化的观点!从联系的角度"发展的眼光!进行高三 数学复习课的教学设计!
高中数学教学论文-高三数学复习课教学模式探究案例及其反思
高三数学复习课教学模式探究案例及其反思【创设情境】随着“345”教学模式的不断深入，在教学中我们要始终坚持“以学生为主体，老师为指导”的思想，尤其是高三复习课不能由教师包讲，更不能成为教师展示自己解题“高难动作”的“绝活表演”，而要让学生成为学习的主人，让他们在主动积极地探索活动中实现创新、有所突破，展示自己的才华、智慧，提高数学素养和悟性。
作为教学活动的组织者，教师的任务是点拨、启发、诱导、调控，而这些都应以学生为中心。
【提出问题】进入高三阶段，由于各学科知识量大幅增加、知识难度大幅提升，导致学生的学习难度加大。
尤其是数学课，习题量的大幅增加会使学生明显感到学习压力骤然增大，觉得数学科的学习是一件枯燥无味的苦差事，进而放弃繁重的学习任务。
因此，如何上好高三数学复习课就成为众多数学教师和家长关注的问题。
【解决问题】高三数学复习课一般采用对复习内容进行知识点的罗列整理、例题讲解、变式训练、归纳小结、课后巩固的课堂模式。
这种模式建立在教师对课程标准和考纲的深刻理解和丰富经验基础之上，优势在于知识系统性强、能突出复习的重点和便于操作，但也存在学生自主复习、主动探究不够的问题。
特别是对于那些数学基础比较薄弱的学生，他们本身就缺乏对数学知识的系统了解，更不可能主动去整理每章节的知识要点和重点，只能依靠教师去总结罗列知识点，形成知识网络，让学生被动的接受数学知识的纵向和横向联系。
为了让绝大多数同学体会到学习数学的兴趣，让数学复习不在苦恼、无味，我们觉得新课标理念下高三数学复习课模式应该体现在：第一层次是学生在头脑中对知识点和解题方法的简单再现；第二层次是通过一系列的学习活动融入了学生积极的思考，使得学生达到对知识理解的加深和应用能力的提高；第三层次解决相应问题中“容易出错和被忽略的问题”，加深印象，尽量在今后的学习中减少和避免类似的错误。
我们可以借鉴这样的模式：教师有意设法让学生在活动中展现易犯的错案→学生自己评价判断、发现问题→师生共同分析、纠正错误、解决问题。
例谈高中数学复习课的创新
１
在学 习数 列这 一 章 时 ，笔 者 发 现 学 生 总 是 害 怕 类 新 定 义数 列 问题 。这 一 类 问题 通 常 以 等 差 等 比
’ ２
角的更精确 的范围。（ ３ ） 在 三 角 形 中 因为 ｃ ｏ ｓ Ａ＞ ０ ， 则角Ａ为锐角 ， ｓ ｉ ｎ Ｂ ＞ ０ ， 则角 为锐 角或钝角 ， 需要 关注日 为钝 角时和角 的和是否小于 １ ８ ０ 度 ，这是用 来判断几解 的条件。 （ ４ ） 根据题 目中 的范 围是［ ０ ， 叮 ｒ ］ ， 选用求解 的余弦值来避免判断几解 问题 。 学 生 整 理 出来 的这 两组 错 题 ，分 析 其 错 误 的原 因都涉及 角度的范 围问题 ， 所 以建立起“ 范 围意识 ” 在 三 角 这 部 分 学 习 中尤 为 重要 。 这 种 范 围又 有 两 类 ： 第 一 类 定 义 域 中角 的 范 围 ， 这 比较 显 而 易 见 ， 但是对 于求解 奇偶性 、 反函数 、 周期等都有 决定 性 的意义 ； 另一类角的范围是隐含 的 ，通过 观察 和运算可 以把 题 目中给 出的 角 的 范 围 缩小 ， 避免出现增根。 这 样 的教 学设 计 ，不再 是 面 面俱 到地 呈 现 知 识 点， 而 是通 过 共 通 的错 误 “ 忽 视定 义域 ” “ 忽 视 隐含 条 件 的挖 掘 ” 引导 学 生 关 注 角 的范 围对 解 题 的 影 响 ， 进 而建立这一部分必不可少的范围意识 。这些错误贯 穿在学 习这一章 的始终 ， 散落在学 习各个部分 当中， 通过 知识点 的串联可 以更清楚地看到做这类题 “ 会 而不 对 ” 的本质。
展 示 的 两 组 问题 ：
题组一 ：
（ １ ） 判断函数 ） ＝ ： 的奇偶性。
从几个案例谈高中数学复习课教学设计的创新
Ａ＝ｂ２—４凸ｃ
高中数学复习课多是在高三这一阶段开始，在高三 以前的时间，就将高中所有的知识点讲授完了，然后在 高三这一时间段，就是全面地复习以前所讲授的从高一 到高三的知识点．但是在这一过程中，很多教师的复习 没有全面、具体、准确的目标，简单的为了复习而复习， 为了完成任务而复习，这就造成了学生复习效果不理 想．所以，制定一个全面的、具体的、准确的复习目标是 很重要的． 例如在复习集合与函数概念这一知识点时，教师首 先就得明确，在这一章节里面，函数是很重要的知识点， 在后面的知识点中占有很大的比例，并且，在考试过程 中，所占分值也很高，所以，对于函数就得重点进行讲 解，进一步巩固学生的知识，使其能够更好地掌握这一 知识点． 在讲授新课的时候，我们多是按照课本的线索，一 步一步地对知识进行讲解，这样一来，前后的知识就不 能进行有效的链接，很多知识就会比较分散，不容易形 成连贯的知识．在复习课时，就要针对上新课时这一点 的不足进行一定的改进和完善．一元二次函数在高中数
０）的解集
（ｘｌｘ＜ｘｌ或ｘ＞ｘ２｝
似≠一丢）
⑦
Ｒ、
０）的解集
｛ｘｌｘｌ＜ｘ＜ｘ２１
ｆ２ｊ
求函数的单调性时，则要求学生掌握以下的知识
—■—一十’？歆．？高中版 万方数据
２０１４年４月 函数 的性 质 如果对于属于定 义域，内某个区 间上的任意两个 （１）利用定义 （２）利用已知函 数的单调性
，
案例点评
题４如图２，在四面体Ａ曰ＣＤ中，ＣＢ＝ＣＤ，ＡＤ上肋，
是该使用哪种公式来快速地解题
且Ｅ、盼别是４Ｂ、肋的中点．（－Ｆ转ｇｔ
１８页）
万方数据
高中版十。？擞呼■—Ｉ
教材 教法
案例点评
２０１４年４月
高中数学教学的创新方法与案例研究
高中数学教学的创新方法与案例研究高中数学教学一直是教育界关注的热点之一，如何实现高中数学教学的创新是一个广泛讨论的话题。
创新方法和案例研究在提高教学效果和培养学生数学思维能力方面起着重要作用。
本文将探讨一些创新方法并给出一些成功的案例，以供教师和学者们借鉴和参考。
创新方法一：情景模拟教学法情景模拟教学法是一种基于真实情境的教学方法，通过将抽象的数学知识与实际问题相结合，让学生在情景中主动探索和应用数学知识。
在高中数学教学中，教师可以利用各种情景，如购物、旅行、体育比赛等，设计有趣的案例，引发学生的学习兴趣，并培养学生的数学思维能力。
通过情景模拟，学生能够将抽象的数学知识与实际问题相连接，加深对数学概念和应用的理解，提高解决问题的能力。
例如，在教授平面几何的同时，教师可以借助数学软件或实物模型，让学生观察、推断、实践，解决生活中的实际问题，如设计一个公园的布局、一个操场的面积等。
通过情景模拟，学生可以更好地理解平行线，垂直线等概念，同时也锻炼了他们的观察力、推理能力和解决问题的能力。
创新方法二：合作学习法合作学习是指学生在小组内进行学习和交流，通过合作解决问题和分享思考，增进彼此之间的理解和学习成果。
合作学习有助于培养学生的合作意识、沟通能力和团队精神，对于提高学生的数学成绩和学习兴趣具有积极的影响。
在高中数学课堂上，教师可以利用团队竞赛、小组讨论等方式，让学生们分工合作，共同解决数学问题。
例如，在解决复杂的几何问题时，教师可以将学生分成若干小组，每个小组负责解决其中一个关键步骤。
通过合作协作，学生们可以相互补充和纠正错误，不仅提高了解决问题的效率，也加深了对数学概念的理解。
同时，合作学习还能培养学生的领导才能和团队合作精神，为他们今后的发展打下坚实的基础。
创新方法三：项目驱动学习法项目驱动学习是一种以项目为导向的学习方式，通过让学生参与实际项目的设计和实施，培养学生的综合素养和解决问题的能力。
在高中数学课堂中，通过设计一些有挑战性的数学项目，如数学建模、实际测量等，可以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习动力和主动性。
基于案例分析的高中数学复习课的教学探讨
课例研究引言：复习课教学也可以说就是将之前的学习过程再现，其主要的目的就是对之前所学过的知识进行一个梳理，以此来对学生之前所学过的知识进行巩固，促进学生对知识的掌握。
告终数学复习课教学属于整个数学教学过程中较为重要的一个环节，同样的也是教学中的一个难点。
在这一过程中，教师如果还是采用以往传统的复习方式对学生进行数学复习课教学，就很难实现复习教学的效果，为此，笔者也提出了以下几点建议。
1.使用新的知识将之前所学过的知识点串联起来高中属于九年义务教育的最后阶段，学生在高中学习之后就要经过高考，而高中数学复习课教学的重要性就越发的重要，而要想更好地实现复习课教学的价值，教师在教学过程中，就可以使用新的知识，以此来作为导线，让学生对之前所学过的知识点进行思考，以这种穿针引线的方式对学生进行复习课教学[1]。
例如，在“有关正弦三角函数y=sinx（x ∈R）”相关性质复习课教学的时候，为了让学生更好地掌握正弦函数的定义域、最大值、最小值、值域、单调性等知识点，教师就可以在教学过程中，让学生使用新的“五点法”来对正弦函数图像进行绘制（图像如图1），然后引导学生按照所绘制的图像来思考函数的定义域、最大值、最小值、值域、单调性，以此来对之前的函数知识进行回顾分析。
在学生掌握相关函数知识点概念之后，教师就可以举出例题（如例1），让学生对其进行解答，以此来巩固学生对正弦函数相关性质的掌握，同时还能让学生在解题过程中掌握要怎样去求定义域。
例1：求函数y=的定义域。
解：-3sinx ≧0，所以sinx 也就≦0，解得2kπ+π≦x ≦2（k+1）π，k ∈Z，因此，函数y=的定义域为｛x|2kπ+π≦x ≦2（k+1）π，k ∈Z｝。
图1教师在教学过程中，引导学生采用“五点法”来对正弦函数图像进行绘制，学生在绘制出图像之后，就可以在图上直观的发现，正弦函数y=sinx 其定义域为R，而这一正弦函数的值域则是[-1，1]，除此之外，我们还可以在图上发现，当x=2k 2+ππ（k ∈Z）的时候，y max =1；而当x=32k 2+ππ（k ∈Z）的时候，y min =-1。
从几个案例谈高中数学复习课教学设计的创新
从几个案例谈高中数学复习课教学设计的创新复习就是再现学习过程，将已学知识加以梳理，纳入整体系统之中。
复习课是教学诸环节中必不可少的一种课型。
然而，复习课在教学中并不讨人喜欢。
复习课，目前有两种偏向，一种是不进行知识技能的整理，以题海代复习。
另一种是复习整理干巴巴，学生不爱听。
与新授课相比，师生都不钟情复习课，教师讲得累，学生听得累。
复习课比新课更难上，因为新课是在学生不懂的情况下进行教学，而复习课是在学生有点懂，但还似懂非懂的情况下进行教学，要上出新意来，那就要用心，复习课应该整理知识技能，但形式上可以多样化，可以活泼些，包括让学生参与，最好还要有点拨，有新东西，也就是在复习课的教学设计上要有所创新，笔者认为关键是找另一条线索把旧东西贯穿起来，这样的温习方法容易发现哪些主要环节没有弄懂。
在省级课题《新课程下高中数学复习课课例分析的实践研究》的研究过程中，课题组积累了一些教学案例，从这些案例出发，笔者试图寻找把知识贯穿起来的几类不同的线索，请同行指正。
一、以新的知识内容为线索把旧知识贯穿案例1 《函数的基本性质》复习课。
在学习了函数的基本性质后，有必要对这些内容进行复习与整理，函数恰好提供了一个生动的例子，它的基本性质及其拓展是进行探究性教学的良好素材，它与后续要学习的基本不等式有着密切的关系。
下面呈现的是一节关于函数的基本性质的探究型复习课的教学设计的主要流程。
问题1 关于函数f(x)=x+的基本性质，我们知道了什么？未知的有哪些？如何探索？关键在作图，在讲评学生所画的图形的基础上，教师展示用几何画板所作的函数图像。
师生共同口述，写出函数的单调性、值域，如表1所示。
二、以新的逻辑顺序、思想方法为线索把旧知识进行归纳、整理案例2 《等差、等比数列》复习课。
1)设置情境理解类比推理的概念。
2)复习回顾等差数列与等比数列。
可以先一起复习等差数列，让学生利用类比的思想自行得出等比的相关概念。
通过这一回顾，使学生体会到等差数列和等比数列在概念形式上的相似之处。
注重应用,力图创新 ——如何做好高三数学复习教学中的应用创新
注重应用，力图创新——如何做好高三数学复习教学中的应用创新摘要：高三数学复习课教学具有很强的综合性，主要促进学生认识数学知识之间的联系，优化知识体系构建，掌握数学基本方法系统，提高问题解决能力。
新课标改革的实施，对学生应用能力能力、创新意识的要求逐步提高。
高考中也开始出现一些具有一定深度和导向性的创新题，题目背景更加明晰。
为此，本文重点围绕高三数学复习教学，以应用和创新为出发点，分析具体教学策略。
关键词：高三数学；复习；应用；创新《普通高中数学课程标准》的推行，提出了基本理念，制定了新的数学课程目标，强调采用新的教学方法，从教与学的形式和方法上实现突破。
高三主要以复习教学为主，学习基础知识的同时，提升基本能力，建立完整的知识体系。
高三数学复习课教学对学生终身发展有着重要作用，是直面高考的最终环节，在新高考背景下，试卷题目更加强调对学生应用能力和创新能力的考查，充分体现了数学工具在解决问题中的作用。
面对这一要求，需要教师引导学生学会灵活的运用所学知识、思想和方法，创造性的解决问题，摆脱思维局限，提高综合问题的解答能力。
一、现阶段高三数学复习教学中存在的问题（一）学情关注度不够数学教育的终极目标是提高学生的数学素养、促进学生终身发展。
因此，高中数学复习教学中首先要关注学生学习情况和发展需求，在此基础上进行针对性设计，才能提高教学有效性，促进知识的应用创新。
但实际教学中，很多教师忽视了教学课堂对于学生能够接受的程度，以及应该采取哪种方式满足学生学习需求等，致使已经掌握知识的学生提不起探究兴趣，学习效率低下，与理想差距比较大。
（二）忽视了学法指导“教育，首先是人学”，让学生充分掌握学习方法。
在从实际教学上来看，大多数教师将自己作为课堂的主体，忽视了学生对教学知识接受能力，学生完全是被动状态，从而导致数学复习课堂教学过程中进入到误区，成效小。
从辩证角度来看，“教”提供了“学”的途径，而“学”与“教”相互促进。
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从几个案例谈高中数学复习课教学设计的创新
朱彤
【专题名称】中学数学教与学（高中读本）
【专题号】G35
【复印期号】2009年12期
【原文出处】《数学教学研究》(兰州)2009年7期第23～26页
【作者简介】朱彤，浙江省温州市瓯海区教师发展中心(325005)。
复习就是再现学习过程，将已学知识加以梳理，纳入整体系统之中。
复习课是教学诸环节中必不可少的一种课型。
然而，复习课在教学中并不讨人喜欢。
复习课，目前有两种偏向，一种是不进行知识技能的整理，以题海代复习。
另一种是复习整理干巴巴，学生不爱听。
与新授课相比，师生都不钟情复习课，教师讲得累，学生听得累。
复习课比新课更难上，因为新课是在学生不懂的情况下进行教学，而复习课是在学生有点懂，但还似懂非懂的情况下进行教学，要上出新意来，那就要用心，复习课应该整理知识技能，但形式上可以多样化，可以活泼些，包括让学生参与，最好还要有点拨，有新东西，也就是在复习课的教学设计上要有所创新，笔者认为关键是找另一条线索把旧东西贯穿起来，这样的温习方法容易发现哪些主要环节没有弄懂。
在省级课题《新课程下高中数学复习课课例分析的实践研究》的研究过程中，课题组积累了一些教学案例，从这些案例出发，笔者试图寻找把知识贯穿起来的几类不同的线索，请同行指正。
一、以新的知识内容为线索把旧知识贯穿
案例1 《函数的基本性质》复习课。
在学习了函数的基本性质后，有必要对这些
内容进行复习与整理，函数恰好提供了一个生动的例子，它的基本性
质及其拓展是进行探究性教学的良好素材，它与后续要学习的基本不等式有着密切的关系。
下面呈现的是一节关于函数的基本性质的探究型复习课的教学设计的主要流程。
问题1 关于函数f(x)=x+的基本性质，我们知道了什么？未知的有哪些？如何探索？关键在作图，在讲评学生所画的图形的基础上，教师展示用几何画板所作的函数图像。
师生共同口述，写出函数的单调性、值域，如表1所示。
二、以新的逻辑顺序、思想方法为线索把旧知识进行归纳、整理
案例2 《等差、等比数列》复习课。
1)设置情境理解类比推理的概念。
2)复习回顾等差数列与等比数列。
可以先一起复习等差数列，让学生利用类比的思想自行得出等比的相关概念。
通过这一回顾，使学生体会到等差数列和等比数列在概念形式上的相似之处。
3)运用类比推理进行探究。
在认识了运用类比推理进行探究的方法之后，教师设置了如下若干性质探究的问题供学生思考。
类比推理的方法对学生来说是比较难的，很多学生不知道从何处去类比，数列是一个比较好的题材，通过有关问题的解决，既加深了对等差数列与等比数列的认识，又让学生对类比的方法、实质有所体验，还可让学生体验“大胆猜想——小心论证”的严谨的数学发现历程。
这样的教学设计，使得类比的思想始终贯穿在等差、等比数列的复习中，知识重现的逻辑顺序发生了变化，不再是以前的先等差数列的通项、求和，再等比数列的通项、求和。
这样就从另一个角度把知识内容进行了整理，课中始终贯穿类比推理这一条新的线索，学生在思维上经过反复的类比、验证，自我领悟并掌握类比的思想方法，这样的处理方式使得这节课整体感很强，不是东敲西打，也不是面面俱到，克服了平常复习课比较容易犯的毛病，体现了教学过程中教师站在比较高的角度处理问题。
三、以新的问题角度为线索把旧知识进行串联
1.以开放性问题为引领
案例3 《直线与圆锥曲线的位置关系》的复习课。
本课围绕这样一个问题展开：
“已知a+b=1，直线l：y=ax+b和椭圆C：交于A、B两点，______（请你添加条件），求直线l的方程。
”
在这个问题的讨论中，师生也得到了很多条件，如过焦点的弦，弦的中点，弦的长度、交点与原点所连的三角形的面积等等。
在讨论中教师插话指出所提或所得到的结论相应的知识点。
这样的教学设计更多地让学生参与，这是新课程改革所提倡的，而且这种参与不仅仅是回答教师提出的问题，而是与老师一起编制题目。
让学生回答问题，和要求学生编制题目，是水平不同的两种参与。
让学生回答问题，答案是封闭的，学生的思考是很有限的和被动的。
而编制问题时，学生必须回忆思考这单元的结构，对照过去的问题，可以提出五花八门的问题，是一种主动参与，思维是开放的。
通过这个问题多种方案的解决，一方面可以复习相关知识，另一方面可培养学生提出问题、发现问题的能力。
2.从另一个角度提出问题
案例4 《直线与抛物线》复习课。
1)问题认知情境创设。
复习回顾抛物线的定义，提出如下引例：
变式判断它的逆命题的真假，并说明理由。
问题3 弦AB的中点为M，MN垂直直线x=-1于点N，线段MN的中点为H，如图1。
图1
①判断点H是否在抛物线上；
②过H与NO垂直的直线为m，当a变化时，直线m是否有可能是抛物线切线？
问题1是在引例的基础上进行引申，以探索的提问方式，更加激发求知欲望，并通过与引例的关系，突显判断直线与抛物线位置关系的方法与思想本质。
问题2是进一步体会韦达定理的整体思想在相交问题中的作用，并让学生感悟“消元”中简化计算的方法，及与其他二次曲线的区别。
通过问题3进一步感受“解析法”中用代数方法解决几何问题的思想本质，通过抛物线中的优美结论，感悟抛物线中的美。
事实上，这一课题有两个维度：从知识点来说，《直线与抛物线》中有直线与抛物线的交点个数（位置关系）问题、焦点弦、一般弦问题，还有弦的中点等问题，一般是先联立方程组，消元，然后是判别式，再是根与系数的关系等；另一个维度就是从提问题的角度考虑，有正面（直线、抛物线方程已知，研究有关性质）的和反面（方程里含参数的，因此方程不完全确定，反过来由位置关系的某些特点来确定参数）的。
可以从第一个维度出发，以知识点为线索进行复习，穿插正反方面的问题，也可以以提问题的正反角度组织复习，穿插知识点。
后者的教学符合华罗庚提出的“从另外一个角度进行复习”的经验，因为后一种方式一会给学生带来新鲜感，二会让学生学会多角度思考问题，第三，就这一单元而言，如果说知识点——直线与抛物线的位置关系本身比较复杂的话，那么更复杂的、更难的是怎样运用这几个知识点，这样的复习抓住了运用，因此可能更击中要害。
问题的正反两方面的提法，往往是数学问题的基本构思，解析几何的两个基本问题就是：已知方程研究曲线及其性质；已知曲线的性质求方程，这样的复习有深远的意义。
总之，复习课应该整理知识、技能，但形式上、方法上可以多样化，以数学题带知识复习是一个好办法，但是怎样选题，以什么为线索选题却大有学问，否则容易上成习题课。
以另一线索组织教学内容，要求让学生参与；最好还要有点拨与总结，有新东西，像华老所说的“生书熟讲，熟书生讲，”似乎在复习，但把新东西讲进去了。
要做到这样，还需要广大教师研究新课程，积极探索复习课的创新设计。
【参考文献】[1]邓勤.运用新课程的理念提高教学复习课的课堂效率[J].数学通报，2008.5.
[2]姚荣，连四清.复习课中利用开放性问题的实践与探索[J].数学通报，
2008.8.
[3]陈永明.陈永明评议数学课[M].上海：上海科技教育出版社，2008.^。