函数展开为泰勒级数

函数展开为泰勒级数
设函数00()()n
n n f x a x x ∞==−∑，0x x R −<，已知右端求左端，
这是幂级数求和，已知左端求右端，这是求函数的幂级数展开式，除按定义之外，它们的方法是相同的。

一、 泰勒级数与迈克劳林级数：
设函数
()f x 在点的某一临域内具有任意阶导数，则级
数： 0x ()000
20000()30000()()!()()()()()1!2!
()()()()3!!n n n n n f x x x n f x f x f x x x x x f x f x x x x x n ∞
=−′′′=+−+−′′′+−+⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅∑0 称为函数()f x 在点的泰勒（Taylor ）级数。

0x 特别的，如果，上式变成迈克劳林(Maclaurin)级数: 00x =2()3()0
(0)(0)(0)()()1!2!
(0)(0)()()3(!
0)()!!n n n n n f f f f x x f f x x n n x ∞=′′′=++′′′++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ 此时，这个级数的敛散性不明确。

二、 函数展开称幂级数的条件：
定理1：
设函数()f x 在点0x 的某一临域内具有各阶导数，则函数0()U x ()f x 在该邻域内能展开称泰勒级数的充分必要条件是函数()f x 的泰勒公式的余项()n x R 当n 时的极限为0.即： →∞
()0lim n n R x →∞=三、 直接法把函数展开成幂级数的步骤：
第一.步： 求出 ()f x 的各阶导数()f x ′，()f x ′′，……()()n f x …… 如果在X=0处导数不存在，就停止进行。

第二.步： 求出函数及其各阶导数在X=0处的值，即： (0)f ′，，…………
(0)f ′′()(0)n f 第三.步： 写出幂级数: 2()3(0)(0)(0)()()1!2!(0)(0)()()3!!
n n f f f x x f f x x n ′′′++′′′++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ 并求出 收敛半径R 。

第四.步： 考察当X 在区间（-R,+R ）内时，余项()n x R 的极限：
(1)1()()lim (1)!lim n n n n n f R x x n ξ++→∞→∞=+ ξ
在0与X 之间。

如果极限为0，则函数()f x 在区间（-R,+R ）内的幂级数展
开式为：2()3(0)(0)()(0)()()1!2!
(0)(0)()()3!!
n n f f f x f x x f f x x n ′′′=++′′′++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ 四、 间接法把函数展开称泰勒级数
例1：把cos x 展开成X 的幂级数 sin cos x x ′=
35211sin (1)3!5!(21)!
n n x x x x x n −−=−++⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅− 则
242cos 1(1)2!4!2!n
n x x x x n =−++⋅⋅⋅−
五、 补充知识
()sin
sin()2n x x n π=+⋅。