历年自主招生考试数学试题大全2018年上海复旦大学自主招生数学试题Word版

2018年复旦大学自主招生考试

数学试题

选择题（每题5分，共150分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个． A ．20

B ．26

C ．30

D ．36

2．若a>1，b>1且lg （a+b ）=lga+lgb ，则lg （a −1）+lg （b −1）= ． A ．lg2

B ．1

C ．不是与a 、b 无关的常数

D ．0

3．已知z ∈C ，若∣z ∣＝2－4i ，则

z

1

的值是 ． A ．3＋4i B ．i 5453+ C ．i 154153+ D ．i 254

253-

4．已知函数f （x ）=cos （x k 2316++π）+cos （x k 2316--）=23sin （x 23

+π

）

，其中x 为实数且k 为整数．则f （x ）的最小正周期为 ．

A ．

3

π

B ．

2

π C ．π

D ．2π

5．已知A ＝｛（x ，y ）∣y ≥x 2

｝，B={（x ，y ）∣x 2

+（y −a ）2

≤1}．则使A∩B＝B 成立的充分必要条件为 ．

A ．a=

4

5

B ．a≥

4

5 C ．0

6．已知平面上三角形ABC 为等边三角形且每边边长为a ，在AB 和BC 上分别取D ，E 两点使得AD ＝BE ＝

3a

，连接A ，E 两点以及C ，D 两点．则AE 和CD 之间的最小夹角为 ． A ．9πa B ．3πa C ．3

π D ．以上均不对

7．已知数列｛a n ｝满足3a n+1+a n =4，（n≥1），且a 1=9， 其前n 项之和为S n ，则满足不等

式∣S n −n −6∣<

1251的最小整数是4

5

． A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

8．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为 ．

A ．120

B ．260

C ．340

D ．420

9．设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球，且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3．已知从甲袋中摸到红球的概率为

3

1

，而将甲乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概

率为

32

．则从乙袋中摸到红球率为 ． A ．97 B ． 45

19

C ．

30

13

D ．

45

22 10．方程f （x ）=5

4342332221

23

21

---------x x x x x x x x x =0 的实根的个数是 ．

A ．1个

B ． 2个

C ．3个

D ．无实根

11．已知a ，b 为实数，满足（a+b ）59

=−1，（a −b ）60

=1，则∑=-60

1

)(n n n

b a

＝ ．

A ．0121

B ．−49

C ．0

D ．23

12．a=

2

1

是“直线（a+2）x +3a y +1=0与直线（a −2）x +（a+2）y −3=0相互垂直”的 ． A ．充分必要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

13．设函数y =f （x ）对一切实数x 均满足f （2+x ）=f （2−x ），且方程f （x ）=0恰好有7个不同的实根，则这7个不同实根的和为 ．

A ．0

B ．10

C ．12

D ．14

14．已知α，β，γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan 2

β

α+=sinγ，则下列四

个表达式:

（1）tanαtanβ=1 （2）0

α+sin 2

β=1 （4）

cos 2α+cos 2β=sin 2

γ中，恒成立的是 ．

A ．（1）（3）

B ．（10（4）

C ．（2）（3）

D ．（2）（4）

15．设S n =1+2+…+n，n ∈N ．则∞

→n lim

1

)32(2++n n

S n nS ＝ ．

A ．2

B ．

321

C ．

16

1 D ．64

16．复数z =

i

i

a 212+-（a ∈R ，i=1-）在复平面上对应的点不可能位于 ． A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

17．已知f （x ）=asin x +b 3x ＋4（a ，b 为实数）且f [lg （lg 310）]=5，则f [lg （lg3）]= ．

A ．−5

B ．−3

C ．3

D ．随a ，b 取不同

值而取不同值

18．已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝

3

π

，PD ⊥平面ABCD ，线段PD ＝AD ，点E 是AB 的中点，点F 是PD 的中点，则二面角P －AB －F 的平面角的余弦值＝ ．

A ．

21 B ．

5

5

2 C ．

14

7

5

D ．

14

7

3 19．在（32-）50

的展开式中有 项为有理数．

A ．10

B ．11

C ．12

D ．13

20．棱长为a 的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切．则两球半径之和为为 ．

A ．无法确定

B ．a

C ．

a 2

3

3-

D ．

a 2

5

5- 21．在集合{1，2，…11}中任选两个作为椭圆方程122

22=+b

y a x 中的a 和b ，则能组成落

在矩形区域{（x ，y ）||x |<11，|y |<9}内的椭圆个数是 ．

A ．70

B ．72

C ．80

D ．88

22．设a ，b ，c 为非负实数，且满足方程02562

684495495=+⨯-++++c

b a c

b a ，则a+b+c

的最大值和最小值 ．

A ．互为倒数

B ．其和为13

C ．其乘积为4

D ．均不存

在

23．给定正整数n 和正常数a ，对于满足不等式a 12+a n+12

≤a 的所有等差数列a 1，a 2，a 3，…，

和式

∑++=1

21

1

n n i a

的最大值＝ ．

A ．

)1(2

10+n a

B ．

n a

2

10 C ．

)1(2

5+n a

D ．

n a 2

5