容斥原理讲解

容斥原理

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

例、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人

语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班

至少有一门得满分的同学有多少人？

结论：（公式一）

如果被计数的事物有A、B两类，那么：

（A类和B类）事物个数＝ A个数＋ B个数—既是A类又是B类的事物个数。

A∪B=A+B－A∩B

例题1、某班学生每人家里至少有空调和

电脑两种电器中的一种，已知家中有空调

的有41人，有电脑的有34人，二者都有

的有27人，这个班有学生多少人？

例题2、一个班有45名学生，订阅《小学生数学报》

的有15人，订阅《今日少年报》的有10人，

两种报纸都订阅的有6人。

（1）订阅报纸的总人数是多少？

（2）两种报纸都没订阅的有多少人？

例题3、在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？

例、某校5（1）班，每人在暑假里都参加体育训练队，

其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，

参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，

足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加

的有14人，三项都参加的有8人，这个班有多少人？

那么根据题意，我们有以下七条等式：

(1)A+D+E+G =25； (2) B+D+F+G =34； (3) C+E+F+G = 22； (4) D+G =18；

(5) E+G =12； (6) F+G =14； (7) G = 8。

现在我们要求的是A+B+C+D+E+F+G=？

把头三条等式加起来，我们得到：

A+B+C+2D+2E+2F+3G = 81

结果包含了多余的D、E、F和G，必须设法把多余的部分减去。

由于等式(4) (5) (6)各有一个D、E和F，

减去这三条等式，便可以把多余的D、E和 F减去，

得A+B+C+D+E+F = 37。可是这么一来，

本来重复重现的G却变被完全减去了，所以最后还得把等式(7)加上去，

得最终结果为A+B+C+D+E+F+G = 45，即该班共有45名学生。

结论（公式二）

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类事物个数= A类事物个数+ B类事物个数+C类事物个数—既是A类又是B类的事物个数—既是A类又是C类的事物个数—既是B类又是C类的事物个数+既是A类又是B类而且是C类的事物个数。

A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C＋ A∩ B∩C

例题4、设某班每名学生都要选修至少一种外语，其中选修英语的学生人数为25，选修法语的学生人数为18，选修德语的学生人数为20，同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名学生？

例题5、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水， 4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？