单摆 习题课
4 单摆 习题 高中物理人教版选择性必修第一册
第二章机械振动4单摆1．把单摆的振动看作是简谐运动，需要满足的条件是()A．摆球体积要大B．摆线要粗而结实C．最大摆角不超过5°D．摆球的重心必须在球心上2．关于单摆，下列说法正确的是()A．摆球受到的回复力是它所受的合力B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零C．摆球的回复力等于重力和摆线拉力的合力D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力3．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是()A．单摆的摆长约为2.0 mB．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8cos(πt) cmC．从t＝0.5 s到t＝1.0 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大D．从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大考点二单摆的周期4．(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟．摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制．旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，下列说法正确的是()A ．当摆钟不准时需要调整圆盘位置B ．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移C ．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移D ．把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移5．有一摆长为L 的单摆悬点正下方某处有一小钉，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M 至左边最高点N 运动过程中的闪光照片如图所示(悬点与小钉未被摄入).P 为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与P 点的距离为( )A ．L 4B ．L 2C ．3L 4D ．无法确定6．如图所示，小球在光滑的圆槽内做简谐振动，小球的半径很小，可将小球视为质点，为了使小球的振动周期变为原来的2倍，可采取的方法是( )A ．使小球的质量减小为原来的一半B ．使小球的振幅增大为原来的2倍C ．使小球通过平衡位置的速度增大为原来的2倍D ．将圆槽半径变为原来的4倍7．(2024年中山期末)如图所示，轻绳的一端系一质量为m 的金属球，另一端悬于O 点，悬点O 到球上端的绳长为L ，球的直径为d .将球拉到A 点后由静止释放(摆角小于 5°)，经过最低点C 后，摆到B 点速度减为零．在摆动过程中，设绳子与竖直方向夹角为θ，不计空气阻力．下列说法正确的是( )A．球摆动时的回复力大小为F＝mg sin θB．球摆动的周期为T＝2πL gC．球摆到最高点时速度为零，绳子拉力也为零D．增大球的摆角(不超过5°)，球摆动的周期也变大8．(多选)如图所示，房顶上固定一根长2.5 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球(可视为质点).打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅度摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球从最左端运动到最右端的时间可能为()A．0.2π s B．0.4π sC．0.6π s D．1.2π s9．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间．t＝0时刻在A点释放摆球，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置．图乙为细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线．已知摆长为1.6 m，A、B之间的最大摆角为θ＝5°.(取sin 5°＝0.087，cos 5°＝0.996)求：(1)当地的重力加速度大小；(2)摆球在A点时回复力的大小；(3)摆球运动过程中的最大动能．答案解析1、【答案】C 【解析】摆球要选用体积较小密度大的金属球，减小空气阻力，故A 错误．摆线应细一些并且结实些，以减小空气阻力，故B 错误．重力沿弧线的分力提供回复力，最大摆角不超过5°，故C 正确．摆球选用体积较小密度大的金属球，减小空气阻力，摆球的重心是否在球心没有定性要求，故D 错误．2.【答案】B 【解析】摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，故A 错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，故B 正确；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力；在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C 、D 错误．3、【答案】D 【解析】由图乙知，单摆周期为2 s ，由单摆周期公式T ＝2πL g，可解得单摆的摆长为L ≈1.0 m ，A 错误；单摆的位移x 随时间t 变化的关系式为x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2πT t ＝8sin(πt ) cm ，B 错误；从t ＝0.5 s 到t ＝1.0 s 的过程中，摆球从最高点回到平衡位置，摆球的重力势能逐渐减小，C 错误；从t ＝1.0 s 到t ＝1.5 s 的过程中，摆球从平衡位置回到最高点，位移逐渐增大，回复力与位移成正比，故摆球所受回复力逐渐增大，D 正确．4.【答案】 AC 【解析】调整圆盘位置可改变摆长，从而达到调整周期的作用．若摆钟变快，是因为周期变小，应增大摆长即下移圆盘；由冬季变为夏季，摆杆应变长，应上移圆盘；从广州到北京，g 值变大，周期变小，应增加摆长．A 、C 正确，B 、D 错误．5.【答案】C 【解析】设每相邻两次闪光的时间间隔为t ，则摆球在右侧摆动的周期T 1＝8t ，在左侧摆动的周期T 2＝4t ，T 1∶T 2＝2∶1，则T 1＝2πL 1g ，T 2＝2πL 2g；两式两边相除得L 2＝14L 1，所以小钉与悬点的距离s ＝L 1－L 2＝34L ，故C 正确． 6.【答案】D 【解析】小球在光滑的圆槽内做简谐振动，可看作单摆，可得小球在光滑的圆槽内做简谐振动时的周期为T ＝2πR g，则小球的质量、振幅和通过平衡位置的速度均与周期无关，A 、B 、C 错误；将圆槽半径变为原来的4倍，周期变为原来的2倍，故D 正确．7.【答案】A 【解析】由受力分析可得，球摆动时的回复力大小为F ＝mg sin θ，故A正确；球摆动的周期为T ＝2πL ＋12d g，故B 错误；球摆到最高点时速度为零，向心力等于零，绳子拉力不等于零，故C 错误；由单摆周期公式可得，周期与角度无关，故D 错误．8.【答案】BD 【解析】小球的摆动可视为单摆运动，摆长为线长时对应的周期T 1＝2πl 1g ＝π s ，摆长为线长减去墙体长时对应的周期T 2＝2πl 1－l 2g＝0.6π s ，故小球从最左端到最右端所用的最短时间为t ＝T 1＋T 24＝0.4π s ，则小球从最左端到最右端所用时间为T ＝(2n －1)t (n ＝1，2，3…)，故B 、D 正确．9.解：(1)摆球在一个周期内两次经过最低点，对应两次细线拉力达到最大值，由图乙可知单摆的周期为T ＝0.8π s ＝2πL g， 解得当地的重力加速度大小为g ＝10 m/s 2.(2)摆球在A 点时，细线拉力大小为F min ＝mg cos θ＝0.498 N ，解得mg ＝0.5 N.摆球在A 点时回复力的大小为F 回＝mg sin θ＝0.043 5 N.(3)设摆球在B 点时速度为v ，根据牛顿第二定律有F max －mg ＝m v 2L， 摆球运动过程中的最大动能为E km ＝12m v 2＝12(F max －mg )L ＝0.003 2 J ．。
11.4 单摆习题课任务单
11.4《单摆习题课》学习任务单．3．实验步骤．4．数据处理(1)公式法：．(2)图象法：．5．注意事项．【典例1】(对单摆回复力的理解)(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法正确的是()A．t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零B．t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大【典例2】(单摆的周期公式)如图所示，摆长为l的单摆放在倾角为θ的光滑固定斜面上，则摆球在斜面所在的平面内做小摆角振动时的周期为()图9A．T＝2πlg B．T＝2πlg cosθC．T＝2πlg sinθD．以上答案都不对【典例3】(单摆的周期公式)(多选)图为甲、乙两单摆的振动图象，则()A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1C．若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1D．若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4【典例4】(用单摆测定重力加速度)某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50cm，摆球直径为2.00cm，然后用秒表记录了单摆全振动50次所用的时间，如图所示，则：(1)该摆摆长为________cm，秒表所示读数为________s.(2)如果测得的g值偏小，可能的原因是()A．测摆线长时摆线拉得过紧B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了C．开始计时时，秒表过迟按下D．实验中误将49次全振动记为50次(3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出对应的l 与T的数据，再以l为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成直线如图12所示，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝________(用k表示)．【变式训练1】如图所示是处于同一地点的两个单摆的振动图象。
单摆习题课
课堂训练
1、单摆作简谐运动时的回复力是： 单摆作简谐运动时的回复力是： B A.摆球的重力 A.摆球的重力 B.摆球重力沿圆弧切线的分力 B.摆球重力沿圆弧切线的分力 C.摆线的拉力 C.摆线的拉力 D.摆球重力与摆线拉力的合力 D.摆球重力与摆线拉力的合力
2、 如图所示，小球在光滑的圆槽内做简谐 、 如图所示， 运动，为使振动周期变为原来的2倍 运动，为使振动周期变为原来的 倍，可采 用的方法 A. 小球的质量减为原来的一半 B. 振幅变为原来的 倍 振幅变为原来的2倍 C. 圆槽半径变为原来的 倍 圆槽半径变为原来的4倍 D. 将小球重力势能减为原来的一半
4.一摆长为L的单摆, 4.一摆长为L的单摆,在悬点正下方 一摆长为 5L/9处有一钉子 处有一钉子, 5L/9处有一钉子,则这个单摆的周期 是多少？ 是多少？
5 L T= π 3 g
思考:小明家从广州搬到北京去, 思考:小明家从广州搬到北京去,搬家
时把家中的大摆钟也带到北京去了. 时把家中的大摆钟也带到北京去了. :1.这个摆钟到 北京后是否还准时? 问:1.这个摆钟到 北京后是否还准时? 2.若不准 是偏慢还是偏快? 若不准, 2.若不准,是偏慢还是偏快? 3.如须调整应该怎样调节 如须调整应该怎样调节? 3.如须调整应该怎样调节?
5.光滑斜面倾角为θ 5.光滑斜面倾角为θ，斜面上有一辆挂有单 光滑斜面倾角为 摆的小车，如图所示， 摆的小车，如图所示，在小车下滑的过程 中单摆同时摆动，已知摆长为L 中单摆同时摆动，已知摆长为L，求单摆的 振动周期。 振动周期。
在一升降机中有一摆长为的单摆， 6. 在一升降机中有一摆长为的单摆，求： 当升降机以加速度a （1）当升降机以加速度a竖直向上匀加速运 动时，单摆的周期为多大？ 动时，单摆的周期为多大？ 当升降机在水平方向上以加速度a （2）当升降机在水平方向上以加速度a做匀加 速直线运动时，单摆的周期为多大？ 速直线运动时，单摆的周期为多大？
11.4单摆习题课
11.4-111.4 单摆习题课1.单摆振动的简谐性和周期性（1）在偏角很小的情况下（通常摆角θ<5°）回复力为摆球重力沿切线方向的分量mgsinθ，在摆角很小时，sinθ≈x/L ，所以单摆的回复力F=-mgx/L=-kx ，单摆做简谐运动.需要强调的是，在摆角较大的情况下，摆的回复力并不与位移成正比，所做的摆动不是简谐运动. （2）θ<5°的单摆的振动的是简谐振动。
如图设θ角很小，（θ<5°），此时圆弧OD 近似可以看成直线x ，分力G1可以近似看作沿这条直线作用，在θ角很小时，有sinθ=tanθ=θ(弧度制)= ，所以：=G 1=mg·sinθ=mg·=·x因为：m 、g 、l 为定值，所以，设 =k ，则 =kx若OD 为摆球偏离平衡位置的位移x ，方向O→D ，则(1)式可写为=-kx 。
所以，在摆角很小的情况下，单摆的振动是简谐振动。
附表：θ（度） sinθ tanθ θ(弧度) 0° 0 0 0 1° 0.017452 0.017455 0.017444 2° 0.034899 0.034921 0.034889 3° 0.052336 0.052408 0.052333 4° 0.069756 0.069927 0.069778 5°0.0871560.0874890.087222（3）单摆周期公式T=2πgl是荷兰物理学家惠更斯在伽利略等时性基础上提出的，周期T 与振幅、摆球质量无关，只与摆长l 和所处地点重力加速度g 有关，摆长l 是指悬点到摆球球心间的距离. 2.单摆运动中的等效问题剖析：（1）等效摆长，在图11-4-1中，三根等长的绳L1、L2、L3共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d ，L1、L2与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O 1处，故等效摆长为L 3+d/2，周期T=2πgdL 23 ；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为L 3+L 2sinα+d/2，周期T 2=2πgdL L 2sin 23++α.（2）等效重力加速度，公式中的g 由单摆所在的空间位置决定. 由2R MG=g 知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g 代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s 2. 【典型例题】例题一、关于单摆，下列说法中正确的是( ) A ．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置 B ．摆球受到的回复力是它的合力 C ．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零D ．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 解析：选A.由回复力的定义可知A 正确；单摆的回复力除指明在最高点外都不是摆球所受的合力，但不管在哪个位置均可以认为是重力沿轨迹圆弧切线方向的分力，故选项B 错误；经过平衡位置时回复力为零，但合力不为零，因悬线方向上要受到向心力，选项C 错误，综上所述选项D 也错误．故选A.例题二、做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的( )A ．频率、振幅都不变B ．频率、振幅都改变C ．频率不变，振幅改变D ．频率改变，振幅不变解析：选C.由单摆周期公式T ＝2πlg 知周期只与l 、g 有关，与m 和v 无关，周期不变频率不变．又因为没改变质量前，设单摆最低点与最高点高度差为h ，最低点速度为v, mgh ＝12m v 2.质量改变后：4mgh ′＝12·4m ·⎝⎛⎭⎫v 22，可知h ′≠h ，振幅改变． 例题三、试确定下列几个摆球在平衡位置附近来回振动的周期.（1）如图甲所示.悬挂在水平横梁上的双线摆球.摆线长为l ，摆线与水平横梁夹角θ； （2）如图乙所示.光滑斜面上的摆球.斜面倾角为θ，摆线长为l ；（3）如图丙所示.悬挂在升降机中的单摆，摆长为l ，升降机以加速度a 竖直向上做匀加速运动.方法归纳： 当实际摆不是理想单摆时，可以通过等效变换将其转换为理想单摆，在利用公式T=2πgl计算周期时，l 对应等效摆长，ｇ对应等效重力加速度.等效重力加速度的求法是：假设摆球不振动，静止时绳子的拉力对应等效重力，其对应的加速度即为等效重力加速度.例题三、在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用刻度尺量悬点到小球的距离为96.60 cm ，用卡尽量得小球直径是5.260 cm ，测量周期3次，每次是在摆球通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到计时终止，结果如下表：这个单摆振动周期的测定值是__________ s ，当地重力加速度的值是__________m/s 2.（取三位有效数字）思路解析：由题可知单摆的周期2/)161(40.601-=T s=2.013 s 2/)181(80.792-=T s=1.995 s 2/)171(60.703-=T s=2.017 s 则周期3321T T T T ++==2.01 s 摆长l=l′+2d =(0.966+21×0.052 6) m=0.992 3 m故重力加速度22222/01.29923.014.344s m T l g ⨯⨯==π=9.69 m/s 2. 例题四、某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验。
高中物理 5. 实验：用单摆测量重力加速度 课后练习、课时练习
一、单选题(选择题)1. 如图，两个完全相同的弹性小球A和B分别悬挂在两根长度分别为L和的不可伸长的轻绳末端，两绳均处于竖直状态，两小球重心在同一水平线上且刚好相互接触.现将A球拉到一个很小的角度由静止释放，则在B球运动的2个周期内，两球相碰的次数为（）A．4次B．5次C．6次D．7次2. 某同学利用单摆测定当地的重力加速度，实验装置如图所示，下列说法正确的是（）A．在摆球通过最低点时开始计时，可减小单摆周期的测量误差B．摆长等于摆线的长度加上摆球的直径C．测量摆球通过最低点50次的时间为t，则单摆周期为D．如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用木球作摆球3. 某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时，下列做法正确的是（）A．摆线要选择伸缩性大些的，并且尽可能短一些B．摆球要选择质量大些、体积小些的C．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大D．拉开摆球，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回摆到开始位置时停止计时，记录的时间作为单摆周期的测量值4. 马玲同学周末用单摆测当地的重力加速度，将单摆固定好，用米尺测绳长，用游标卡尺测摆球直径，用秒表测出50个周期的时间然后算出周期T。
改变摆长l，重复实验，得到多组实验数据后，在坐标纸上做出如图所示的图像。
下列叙述正确的是（）A．图像不过原点的原因可能是误将绳长加摆球直径当成摆长B．如果马玲同学把绳长当成了摆长（没加摆球半径），则用此图像算出的重力加速度偏小C．如果马玲同学把绳长当成了摆长（没加摆球半径），则用此图像算出的重力加速度不受影响D．图像的斜率等于重力加速度5. 在“用单摆测量重力加速度的大小”实验中测得的重力加速度数值偏大，形成原因可能是（）A．测量摆长时从悬点量到摆球的球心位置B．从摆球运动到最高点开始计时但偏早按下秒表C．单摆悬点未固定紧，振动中出现松动，摆长变大D．将n次摆动的时间误记为n+1次摆动的时间6. 在“利用单摆周期测重力加速度”实验中，若测得的g值偏大，可能的原因是（）A．摆球的质量太大B．测摆长时，仅测了线长，未加小球半径C．测周期时，把n次全振动误记为（n+1）次D．摆球上端未固定牢固，振动中出现松动（摆长变长）7. 某同学利用单摆测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是（）A．开始摆动时振幅较小B．开始计时时，过早按下停表C．测量周期时，误将摆球（）次全振动的时间记为n次全振动的时间D．测量摆长时从悬点到小球上端边缘的距离为摆长8. 一弹簧振子做简谐运动，它所受的回复力F随时间t变化的图象为正弦曲线，如图所示，下列说法正确的是（）A．在t从0到2 s时间内，弹簧振子做加速运动B．在t从0到4 s时间内，t＝2 s时刻弹簧振子所受回复力做功的功率最大C．在t1＝3 s和t2＝5 s时，弹簧振子的速度大小相等，方向相反D．在t2＝5 s和t3＝7 s时，弹簧振子的位移大小相等，方向相同9. 在用单摆测定重力加速度时，摆球应选用( )A．半径为1 cm的木球B．半径为1 cm的铝球C．半径为1 cm的空心钢球D．半径为1 cm的实心钢球10. 在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某同学测完摆长，再测周期，最后发现测得的g值偏大，可能是因为（）A．单摆摆动时摆角较小B．把摆线的长作为摆长进行计算C．摆线上端未固定牢固，摆动中出现松动，摆线变长D．摁下秒表开始计时时数1，数到n时停止计时，得到n次全振动的时间11. 某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是（）A．以摆线长度作为摆长来进行计算B．单摆所用摆球质量太大C．把（n－1）次全振动时间误当成n次全振动时间D．开始计时时，秒表过早按下12. 在一次做“探究单摆周期T与摆长L的关系”实验中，在测量单摆周期时，摆球通过最低点时开始计时并记数为0次，则到摆球第N次通过最低点所用时间为t，摆线长度为l，某同学根据测量数据绘制出图像如图所示，则下列说法正确的是（）A．摆球直径B．单摆周期的平方（）与摆线长度l成正比。
(完整版)单摆习题及答案
单摆习题及答案1．如图所示是、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是（）A．甲、乙两单摆的振幅之比为2：1B．t=2s时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能为零C．甲、乙两单摆的摆长之比为4：1D．甲、乙两单摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等2．在同一地点，两个单摆的摆长之比为4：1，摆球的质量之比为1：4，则它们的频率之比为A．1：1B．1：2C．1：4D．4：13．在同一地点，关于单摆的周期，下列说法正确的是（）A．摆长不变，离地越高，周期越小B．摆长不变，摆球质量越大，周期越小C．摆长不变，振幅越大，周期越大D．单摆周期的平方与摆长成正比4．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，有同学发现他测得重力加速度的值偏大，其原因可能是（）A．悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了B．单摆所用摆球质量太大C．把（n+1）次全振动时间误当成n次全振动时间D．开始计时时，秒表过迟按下5．如图所示，一单摆在做简谐运动．下列说法正确的是（）A．单摆的振幅越大，振动周期越大B．摆球质量越大，振动周期越大C．若将摆线变短，振动周期将变大D．若将单摆拿到月球上去，振动周期将变大6．一单摆的摆长为90cm，摆球在t=0时刻正从平衡位置向右运动，（g取10m/s2），则在t=1s时摆球的运动情况是（）A．正向左做减速运动，加速度正在增大B．正向左做加速运动，加速度正在减小C．正向右做减速运动，加速度正在增大D．正向右做加速运动，加速度正在减小7．在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用力传感器测得摆线的拉力大小F随时间t变化的图象如图所示，已知单摆的摆长为l，则重力加速度g为（）A．B．C．D．8．如图所示，一摆长为l的单摆，在悬点的正下方的P处固定一光滑钉子，P与悬点相距l﹣l′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为（）A．2πB．2πC．π（+）D．2π9．将秒摆的周期变为4s，下面哪些措施是正确的（）A．只将摆球质量变为原来的B．只将振幅变为原来的2倍C．只将摆长变为原来的4倍D．只将摆长变为原来的16倍10．一位同学做“用单摆测定重力加速度”的实验。
高中物理 4. 单摆 课后练习、课时练习
一、单选题(选择题)1. 荡秋千是小孩最喜欢的娱乐项目之一，可简化为如图甲所示。
图甲中点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至点，此时细线处于张紧状态。
由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的、之间来回摆动，其中点为最低位置，，小于5°且大小未知，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，如图乙所示（图中所标字母，重力加速度均为已知量）。
不计空气阻力。
根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法正确的是（）A．该单摆的周期为B．无法求出摆球振动的摆长C．可以求得由A运动到所用的时间（不考虑重复周期）为D．在小于5°的情况下，越大周期越大2. 如图所示，小球甲在竖直面内摆动的周期为，悬线长为L；小球乙在水平面内做匀速圆周运动，悬点为、轨迹圆圆心为，甲、乙两小球都能视为质点。
下列说法正确的是（）A．小球甲的向心力由合力来充当B．小球乙的向心力由拉力来充当C．若小球乙运动的周期为，则与小球乙连接的悬线长度为LD．若、两点间的距离为L，则小球乙运动的周期为3. 有一星球其半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，今把一台在地球表面走时准确的摆钟移到该星球表面，摆钟的秒针走一圈的实际时间变为A．0.5min B．0.7min C．1.4min D．2min4. 李华家有一带有钟摆（可视为单摆）的机械时钟，最近发现这个时钟每天要快5分钟。
若要使其准确计时，可适当（）A．加长钟摆长度B．减小钟摆长度C．增加摆球质量D．减小摆球质量5. 如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（远小于）已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点：c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。
单摆_受迫振动复习(有例题、配套习题_有答案)
第二讲 单摆 受迫振动 振动中的能量一、单 摆(1)单摆：一条不可伸长的、忽略质量的细线，一端固定，另一端拴一质点，这样构成的装置叫单摆.这是一种理想化的模型，实际悬线(杆)下接小球的装置都可作为单摆. (2)单摆振动可看作简谐运动的条件是最大偏角α＜5°. (3)摆球做简谐运动回复力：是重力在切线方向的分力F 回=G 1；重力的另一分力G 2和摆线的拉力合力提供向心力；F-G 2=mv 2/l 在最大位移处v=0，F=G 2. (4)周期公式：式中L 为小球摆动的圆孤半径即摆长，量取时应从圆心量到球心.g 为当地重力加速度(受力复杂时有“等效重力加速度”之说).(5)单摆的等时性：在小振幅摆动时，单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没关系. （6）几种单摆模型【例1】把实际的摆看作单摆的条件是……………………………………………… （ C ） ①细线的伸缩可以忽略；②小球的质量可以忽略；③细线的质量可以忽略；④小球的直径比细线的长度小得多；⑤小球的最大偏角足够小A 、①②③④⑤B 、①②③④C 、①③④⑤D 、②③④⑤【例2】下列有关单摆运动过程中受力的说法中，正确的是……………………………（ B ） A 、回复力是重力和摆线拉力的合力B 、回复力是重力沿圆弧方向的一个分力C 、单摆过平衡位置时合力为零D 、回复力是摆线拉力的一个分力【例3】单摆运动到达其平衡位置时，摆球所受回复力的方向或数值正确的是……（ C ） A 、指向地面 B 、指向悬点 C 、数值为零 D 、垂直于摆线【例4】甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角αα>乙甲，（αα乙甲、都小于10）由静止开始释放，则……………………………………… （ C ）aA 、甲先到达平衡位置B 、乙先到达平衡位置C 、甲、乙同时到达平衡位置D 、无法判断【例5】将秒摆（周期为2 s ）的周期变为1 s ，下列措施可行的是…………………（ D ） A 、将摆球的质量减半 B 、振幅减半C 、摆长减半D 、摆长减为原来的14【例6】一个打磨得很精细的小凹镜，其曲率很小可视为接近平面．将镜面水平放置如图所示．一个小球从镜边缘开始释放，小球在镜面上将会往复运动，以下说法中正确的是（ C ）A ．小球质量越大，往复运动的周期越长B ．释放点离最低点距离越大，周期越短C ．凹镜曲率半径越大，周期越长D ．周期应由小球质量、释放点离平衡位置的距离，以及曲率半径共同决定【例7】.关于小孩子荡秋千，有下列四种说法：①质量大一些的孩子荡秋千，它摆动的频率会更大些 ②孩子在秋千达到最低点处有失重的感觉 ③拉绳被磨损了的秋千，绳子最容易在最低点断开 ④自己荡秋千想荡高一些，必须在两侧最高点提高重心，增加势能 ( B )上述说法中正确的是A.①②B.③④C.②④D.②③【例8】细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方21摆长处有一个能挡住摆线的钉子A ，如图所示.现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是 ( AB )A. B.摆球在左、右两侧上升的最大高度一样C.摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等D.摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍【例9】一只单摆在第一行星表面上的周期为T 1，在第二行星表面上的周期为T 2，若这两个行星的质量之比M 1∶M 2=4∶1，半径之比R 1∶R 2=2∶1，则 （ A ） A.T 1∶T 2=1∶1 B.T 1∶T 2=4∶1 C.T 1∶T 2=2∶1 D.T 1∶T 2=22∶1 【例10】（1）某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为97.50cm ；用50分度的游标卡尺(测量值可准确到0.02mm)测得小球的读数如图所示，则摆球直径为 cm ；然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为99.9s ．则①该摆摆长为_______cm，周期为 s②（单选题）如果他测得的g值偏小，可能的原因是 [ ]A．测摆线长时摆线拉得过紧B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了C．开始计时，秒表过迟按下D．实验中误将49次全振动数为50次（2.00，98.50，2.00 ，A）（2）在一次用单摆测定加速度的实验中，图A的O点是摆线的悬挂点，a、b点分别是球的上沿和球心，摆长L= m.图B 为测量周期用的秒表，长针转一圈的时间为30s ，表盘上部的小圆共15大格，每一大格为lmin ，该单摆摆动n=50次时，长、短针位置如图中所示，所用时间t = s ．用以上直接测量的物理量的英文符号表示重力加速度的计算式为 g= (不必代入具体数值)．为了提高测量精度,需多次改变L 的值并测得相应的T 值.现测得的六组数据标示在以L 为横坐标、T 为纵坐标的坐标纸上,即图中用“⨯”表示的点。
高二物理教案09.6.单摆习题课.doc
单摆习题课一、教学目标1．加深对单摆周期公式的理解和掌握；2．培养同学分析问题解决问题的能力。
二、课型习题课。
三、教学方法程序设疑教学法。
四、教学过程(一)知识再现问1．实际单摆在何种情况下可近似看成理想单摆？答：在实际中，将质量很小，伸缩可以忽略的长线，系一质量较大，体积很小的小球所构成的系统，即L线>>R球，m线<<m球的情况下，近似看成理想单摆。
问2．单摆振动的回复力来源是什么？具体形式是什么？答：摆球重力沿切线方向的分力(或者说摆球所受重力和拉力的合力沿切线方向的分力)即是使摆球振动的回复力，F回＝mgsinα。
问3．单摆在什么条件下可以看成简谐运动？在这个条件下作了哪两点近似？答：在摆角小于5°时，单摆的振动可以看成是简谐运动。
在此条件下，有如下两个近似关系：问4．单摆的周期公式？(二)知识应用例1．一个单摆，周期是T。
(1)如果摆球质量增到2倍，周期变为多少？答：单摆周期与质量无关，周期不变，仍为T。
(2)如果摆的振幅增到2倍(摆角仍小于5°)，周期变为多少？答：单摆周期与振幅无关，周期不变，仍为T。
(3)如果摆长增到2倍，周期变为多少？(4)如果将单摆从赤道移到两极，周期如何变化？答：g变小，周期将变大。
(5)将此单摆由海平面移至高山上，周期如何变化？答：g变小，周期将变大。
(6)假定把钟摆看作单摆，将此单摆从地球表面移至月球表面，这座摆钟是走快了，还是走慢了？答：g变小，周期将变大，与实际时间相比走慢了。
(7)如要走时准确，应怎样改变摆长？答：将摆长缩短。
(8)若该单摆是秒摆，移到距地面高度为地球半径的地方，周期变为多少？若同学不知何为秒摆，教师可介绍什么是秒摆；周期为2秒的摆。
再由单摆的周期公式，可计算出T′＝2T。
例2．如图，摆长为 L的单摆，若在悬点O的正下方A点固定一颗钉子，A 点距悬点O的距离为L/3，试求这个单摆完成一个全振动的时间是多少？分析解答在摆角很小时，单摆的振动可视为简谐运动，当摆线不碰到钉子时，A点成为“悬点”，单摆的摆长由L变为2L/3。
单摆习题课PPT文档17页
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
单摆习题课
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
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26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —出来的。 ——马 克罗维 乌斯
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
5第五节 单摆习题课
单摆的习题课单摆周期公式的理解1. 等效摆长：摆长l 是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离．例如在图中，三根等长的绳123,,l l l 共同系住一密度均匀的小球ｍ，球直径为ｄ，23,l l 与天花板的夹角为α．若摆球在纸面内做小角度的摆动，则摆动圆弧的圆心在O １处，故等效摆长为1l ＋2d ，周期T １＝２π()g l d 21+；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为12sin 2dl l θ++，周期T 2＝２π()g l l d 221sin ++α．2. 等效重力加速度g′⑴ 周期公式中的g 由单摆所在的位置空间决定.由g=G2()MR h +知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g 不一定等于9.8m/s 2.⑵ g 还由单摆系统的运动状态决定.当单摆在竖直方向上有加速度时(如在上下加速运动的升降机中)，其效果相当于重力加速度发生了变化：① 单摆有竖直向上的加速度a 时，相当于重力加速度变为g′=g+a ；② 单摆有竖直向下的加速度a(a ＜g)时，相当于重力加速度变为g′=g -a ． ③ 单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值 g′=0，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了. 总之，要从回复力入手，到等效重力加速度g′代入公式即可求出周期T.若g′＞g ，T 变短；g′＜g ，T 变长.★应用演练【例1】如图所示，用两根长度均为l 的细线下端拴一质量为m 的小球，上端分别固定在水平天花板上A 、B 两点，A 、B 间距为d垂直于纸平面内做小幅振动，求小球的振动周期.（小球摆动过程中细线的伸长可忽略不计）.解析：根据题意，小球的运动实际上是以AB 中点到小球的距离为摆长的单摆运动.设此等效摆长为l 0，则l 0=222⎪⎭⎫ ⎝⎛-d l +R.由单摆周期公式T=2gl 0得该小球的周期T=略 〖点评〗这是一个双线摆，可以看成一个单摆，悬点在AB 中点处，摆长为222⎪⎭⎫ ⎝⎛-d l +R.【例2】如图所示，将摆长为l 的单摆放在光滑的斜面上，让其做简谐运动，则周期T 的表达式为 .解析：将单摆装置置于斜面上时，单摆静止在平衡位置时对悬绳的拉力为mgsinθ，故其等效重力为mgsinθ，其等效加速度g′=gsinθ，其周期表达式为T=2〖点评〗关于等效重力及等效重力加速度的分析，可假设让摆球静止在平衡位置，则摆球对悬绳的拉力为等效重力的大小，它产生的加速度为等效重力加速度（即等效重力与质量的比值）【例3】有一单摆在地面上一定实际内振动了N 次，将它移到某高山上，在相同的时间内振动了（N-1）次，由此可粗略的推算出此山的高度约为地球半径的多少倍?解析：设时间为t ，在地面上单摆的周期为T=Nt，在高山上，单摆的周期为T′=1-N t.设地面处的重力加速度为g ，高山上的重力加速度为g′，由单摆的周期公式可推得'g g=（1-N N ）2.设高山的高度为h ，由万有引力定律得g=G 2R M ，g′=G()2h R M+.所以Rh R +=1-N N .山高为h=R N 11-，即山高为地球半径的11-N 倍. 〖点评〗【例4】如图所示，光滑的半球壳半径为R ，O 点在球心的正下方.一小球由距O 点很近的A 点由静止放开，同时在O 点的正上方有一小球自由下落，若运动中阻力不计，为使两球在O 点相碰，小球应由多高处自由下落?解析：球由A 点开始沿球的内表面运动时，只受重力与弹力作用，其模型为单摆的等效摆型，其周期公式为T= 2πgR .要使两球在O 点相遇，则所需时间为：t=（2n-1）×4T ，（n=1，2，3……）故另一小球下落的高度 h=221gt =()gR n g ⋅⨯-⋅164122122π=()81222R n π-（n=1，2，3……） 〖点评〗本题首先应明确球由A 点开始沿球的内表面振动的模型为单摆的等效摆型；其次应注意简谐运动的周期性.。
单摆+习题课课件-2023-2024学年高二上学期物理人教版(2019)选择性必修第一册
于是大呼上当，心里极其气愤。后来，他求助了“消费者权益保护协会”，准
备与该超市打一场索赔官司，消费者协会调查研究发现产品货真价实，那么问
题出在哪儿呢？你能为这位广州人指点迷津吗？
解析：广州与哈尔滨两地的重力加速度g不同。
想一想：1、回到广州后，摆钟变快了还是变慢了？
的平衡位置，此时细线的拉力大小为 mg 2 qE 2 , 当小球
偏离 P点释放后,小球将以 P点为中心做简谐运动.
单摆振动时的等效重力加速度： g
据 T 2 L 得: T 2
g
mL
mg 2 qE 2
mg 2 qE 2
m
D．无法确定哪个球先到达C点
圆弧摆
【方法与技巧】①A球做自由落体运动，由 h 1 gt 2求下落时间。
2
②B球等效为单摆模型，叫圆弧摆，做简谐运动，利用单摆的周期公式求时间。
题型四、单摆模型的拓展----等效重力加速度类
【 典 例 5 】 如图所示,将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上,
g
【反思·总结】单摆模型的拓展--等效摆长类：双线摆、圆弧摆
突破口：等效摆长为小球球心到等效悬点间的距离。
①图(a)中甲、乙在垂直于纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的等效摆长
为，其周期为 =
。
②图(b)中，乙在垂直于纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动
面上,其摆角为θ,下列说法正确的是( B )
A.摆球做简谐运动的回复力为F=mgsinθ
B.摆球做简谐运动的回复力为F=mgsinasinθ
C.摆球经过平衡位置时合力为零
单摆习题课2020.0220
T 2 l T 2 4 2 l
g
g
【例8】某同学在用单摆测重力加速度的实验中，由于摆球质量不均匀， 重心无法找到，于是他采取了如下方法来测定重力加速度。第一次量 得摆球底部到悬点的长为L1，测得对应振动周期为T1；改变摆线长后， 第二次量得摆球底部到悬点的长为L2，测得对应振动周期为T2。则重 力加速度的表达式为：_______。
注意秒表不估读
读数为？ 4分48.7秒
训练
【例7】在用单摆测重力加速度的实验中，用T2作为纵坐标、摆长L作为 横坐标，描点作图表示实验结果。实验时他多取了几组T2、L值，通过
描点法在T2-L图像上得到了一条过原点的直线，此直线的斜率_k___4___2_/ g
g 4 / k 由此可求出重力加速度，其表达式为__________2
A.nR B（. n -1）R C. n R D. R
n 1
n 1
T2 t n 1 n T1 t n n 1
T 2
l
4 2l
g g
T2
Mm
M
mg G r2 g G r2
g G M 4 2l
r2 T2
T2 r2 n T1 r1 n 1
r2
其中T 2 l
g
令B到A的时间为t B，
H
1 2
gt 2 ,tB
2H g
两球相遇时， 必有 : tB tC ,
解得： H (2n 1)2 2l (n 1、2、3 )
8
B OH R CA
【例4】光滑圆弧槽半径为R, A为最低点, C到A的距离远小于R. 若同时释放小球B、C, 要使小球在A点相遇, (小球B、C可看着质 点), 问小球B到A的距离H应满足什么条件?
高中物理课后练习6单摆(含解析)粤教版选择性必修第一册
课后素养落实(六) 单摆(建议用时：40分钟)◎考点一单摆模型的回复力及运动情况1．在如图所示的装置中，可视为单摆的是( )A[单摆的悬线要求无弹性且粗细、质量可忽略，摆球的直径与悬线长度相比可忽略，故A对，B、C错；悬点必须固定，故D错．]2．关于单摆，下列说法正确的是( )A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B．摆球受到的回复力是它所受的合力C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比A[回复力是使摆球回到平衡位置的力，其方向总是指向平衡位置，A选项正确；摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，B选项错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，C选项错误；摆角很小时，回复力与摆球相对于平衡位置的位移大小成正比，但合力没有此关系，D选项错误．]3．(多选)如图所示，对于做简谐运动的单摆，当所受回复力逐渐增大时，随之变小的物理量是( )A．摆线上的张力B．摆球的振幅C．摆球的重力势能D．摆球的动能AD[回复力逐渐增大时，摆球的重力沿切线方向的分力增大，速度变小，动能变小，重力势能增大，向心力减小，张力减小，振幅不变．]4．有一个正在摆动的秒摆(T ＝2 s)，若取摆球正从平衡位置向左运动时开始计时，那么当t ＝1.6 s 时，以下对摆球的运动情况及回复力变化情况正确的是( )A ．正在向左做减速运动，回复力正在增大B ．正在向右做减速运动，回复力正在增大C ．正在向右做加速运动，回复力正在减小D ．正在向左做加速运动，回复力正在减小D [秒摆的周期为T ＝2 s ，取摆球正从平衡位置向左运动时开始计时，当t ＝1.6 s 时，即34T <t <T ，说明摆球正从最右端向平衡位置做加速运动，即向左做加速运动；由于摆角在变小，故F 回＝mg sin θ也在变小，A 、B 、C 错误，D 正确．]◎考点二 单摆的周期5．发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大( )A ．增大摆球质量B ．缩短摆长C ．减小单摆振幅D ．将单摆由山下移到山顶 D [由单摆的周期公式T ＝2πl g可知，g 减小时周期会变大．] 6．将单摆和弹簧振子都放在竖直向上做匀加速运动的电梯中，则( )A ．两者的振动周期都不变B ．两者的振动周期都变小C ．单摆的振动周期变小，弹簧振子的振动周期不变D ．单摆的振动周期变小，弹簧振子的振动周期变大C [弹簧振子的振动周期只与其本身的因素有关，跟物体的运动状态无关，所以弹簧振子的周期不变；当电梯加速向上运动时，单摆的等效重力加速度变大，单摆的周期变小，所以选项C 正确．]7．将秒摆的周期由2 s 变为4 s ，下面哪些措施是正确的( )A ．只将摆球质量变为原来的14B ．只将振幅变为原来的2倍C ．只将摆长变为原来的4倍D ．只将摆长变为原来的16倍C [单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A 、B 错；对秒摆，T 0＝2πl 0g ＝2 s ，对周期为4 s 的单摆，T ＝2πl g＝4 s ，故l ＝4l 0．故C 对，D 错．] 8．把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动( )A ．变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长B ．变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长C ．变快了，要使它恢复准确，应增加摆长D ．变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长B [把标准摆钟从北京移到赤道上，重力加速度g 变小，则周期T ＝2πl g ＞T 0，摆钟显示的时间小于实际时间，因此变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长，B 正确．]9．摆长为l 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(即取作t ＝0)，当振动至t ＝3π2l g时，摆球恰具有负向最大速度，则单摆的振动图像是图中的( )D [t ＝3π2l g ＝34T ，最大速度时，单摆应在平衡位置，y ＝0，v 方向为－y ，沿y 轴负方向，故D 选项正确．]10．(多选)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像，下列说法中正确的是( )A ．甲、乙两单摆的摆长相等B ．甲摆的振幅比乙摆大C ．甲摆的机械能比乙摆大D ．在t ＝0.5 s 时有正向最大加速度的是乙摆ABD [由图看出，两个单摆的周期相同，同一地点g 相同，由单摆的周期公式T ＝2πL g得知，甲、乙两单摆的摆长L 相等，故A 正确；甲摆的振幅为10 cm ，乙摆的振幅为7 cm ，则甲摆的振幅比乙摆大，故B 正确；尽管甲摆的振幅比乙摆大，两摆的摆长也相等，但由于两摆的质量未知，无法比较机械能的大小，故C 错误；在t ＝0.5 s 时，乙摆具有最大负向位移，由a ＝－kx m可知，乙摆具有正向最大加速度，故D 正确． ]11．(多选)如图所示，一个光滑凹槽半径为R ，弧长为L (已知R ≫L )．现将一质量为m 的小球从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动．已知重力加速度大小为g ，下列说法正确的是( )A ．小球做简谐运动的回复力为重力和支持力的合力B ．小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力C ．小球做简谐运动的周期为2πL gD ．小球做简谐运动的周期为2πR gBD [小球做简谐运动的回复力为重力沿凹槽圆弧切线方向的分力，选项B 正确，A 错误；小球做简谐运动时，圆弧的半径相当于摆长，则其周期为2πR g，选项C 错误，D 正确．]12．甲、乙两人观察同一单摆的振动，甲每经过3.0 s 观察一次摆球的位置，发现摆球都在其平衡位置处；乙每经过4.0 s 观察一次摆球的位置，发现摆球都在平衡位置右侧的最高处，由此可知该单摆的周期不可能的是( )A ．0.5 sB ．1.0 sC ．1.5 sD ．2.0 s C [摆的摆动具有周期性，题中每次经过半个周期通过平衡位置或最右端；故3 s 和4s 都是半周期的整数倍，故时间差1 s 也是半周期的整数倍；即1＝n T 2；T ＝2n(n 为正整数)． T ＝0.5 s 时，n ＝4，故A 正确；T ＝1.0 s 时，n ＝2，故B 正确；T ＝1.5 s 时，n ＝43，故C 错误；T ＝2.0 s 时，n ＝1，故D 正确；故选C ．]13．两个等长的单摆，第一个放在地面上，另一个放在高空，当第一个单摆振动n 次的同时，第二个单摆振动(n －1)次．如果地球半径为R ，那么第二个单摆离地面的高度为多大？[解析] 设第二个单摆离地面的高度为h ，则距地心距离为(R ＋h )，设此处重力加速度为g ′，地表处重力加速度为g ，则： g g ′＝R ＋h 2R 2， ①又由T＝2πlg得：TT′＝g′g，即n－1n＝g′g，②由①②解得h＝Rn－1．[答案]R n－1。
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α
L T 2 g sin
在超重或失重时 单摆处于超重状态时，等效g’=g+a，失重时等效g’=g-a 一单摆，摆长为L，摆球质量为m，悬在升降机顶部，当升 降机以加速度a下降时，求：单摆周期T。 解： 在平衡位置，且相对静止时（相对升降机）， 摆绳拉力 T=mg-ma
a
等效重力加速度g’=T/m=g-a
l T 2 g
4 2l g 2 T
1.对单摆的振动，以下说法中正确的是（ ） A.单摆摆动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B.单摆运动的回复力是摆球所受合力 C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零
2. 如右图所示，悬挂于同一点的两个单摆的摆 长相等，A的质量大于B的质量，O为平衡位置， 分别把它们拉离平衡位置同时释放，若最大的 摆角都小于5°，那么它们将相遇在
Ａ Ｏ 点
Ｂ Ｏ点左侧
Ｃ Ｏ点右侧 Ｄ 无法确定
4.利用单摆模型解决问题
l T 2 g
①等效摆长 双线摆
摆长(或等效摆长) 重力加速度(或等效重力加速度)
摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
o
L
l sin T 2 g
例题： 1. 三根细线交于o处,A、B端固定在同一 水平面上，已知OA和OC均长L，让小球在 垂直纸面内微小振动，求其周期。如在 纸面内振动呢？
F/N
t/s 乙 甲
9.两木块A、B质量分别是m、M，用劲度系数为k的轻弹 簧连在一起，放在水平地面上，如图10-20所示，用外 力将木块A压下一段距离保持静止，释放后A做简谐振动， 在A振动的过程中，木块B刚好始终未离开地面。求: （1）木块A的最大加速度； （2）木块对地面的最大压力； （3）要使B离开地面，外力至少是多大？
l
3.单摆的周期T （振动周期跟振幅和摆球的质量无关）
荷兰物理学家惠更斯得出:
l 公式：T 2 g
(1)摆长l:悬点到球心的距离
0 (2) 适用条件 : 单摆做简谐运动 .θ<5 注意事项: 4 2 l 利用单摆测重力加速度 (3) g 2
T
四.单摆的运动图像
五、单摆的应用：
１．利用它的等时性计时 惠更斯在1656年首先利用摆的等 时性发明了带摆的计时器（1657 年获得专利权） ２．测定重力加速度
E
T=mg+Eq
T Eq g 等效重力加速度 g ' m m
则 T 2
l Eq g m
变形：若把匀强电场变为水平向右呢？
巩固练习：
1. 如图所示，摆长为L的单摆，原来的周期 为T。现在在悬点O的正下方A点固定一颗钉 子，OA=L/3，令单摆由平衡位置向左摆动时 以A为悬点作简谐振动，则这个摆完成一次 全振动所需的时间是 。
2. 一个单摆从甲地到乙地，发现振动变快了，为了调整到 原来的快慢，下述说法正确的是（ ） A.因为g甲>g乙，故应缩短摆长 B.因为g甲>g乙，故应加长摆长 C.因为g甲<g乙，故应缩短摆长 D.因为g甲<g乙，故应加长摆长
3. 如图，o点正下方有一半径为R的光滑圆弧轨道，圆心位置 o 恰好为o点，在弧形轨道上接近o‘（o点正下方） 处有一小球A，令小球A无初速释放，同时自o’正 上方有一小球B自由下落，两者在o‘点相遇， 求小球B下落高度。
t/s
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4
8.将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图 甲中O点为单摆的固定悬点，现将小摆球(可视为质点拉至A点， 此时细线处于张紧状态，释放摆球,则摆球将在竖直平面内的A、 B、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置， ∠AOB=∠COB=θ；θ小于10°且是未知量。图乙表示；由计算机 得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，且图中t=0 时刻为摆球从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中(包括 图中)所给的信息求：(g取10 m／s2) （1）单摆的振动周期和摆长；（2）摆球的质量； （3）摆球运动过程中的最大速度。
L 则 T 2 g a
变形：若升降机以加速度a上升呢？
L T 2 g a
在复合场中 如图有一带正电的电量为q的小球，用长为 L的 绝缘细线悬挂在匀强电场E中，匀强电场方向与重力 方向相同，当小球小角度摆动时，求摆动周期。 （小球半径为r，重力加速度为g） 解： 单摆不摆动时在平衡位置，摆绳拉力
A
θ
L
o’ o
B
L
C 小球半径为r
2. 如图，o点正下方有一半径为R的光滑圆弧轨道， 圆心位置恰好为o点，在弧形轨道上接近o‘（o点正下 方）处有一小球A，令小球A无初速释放，求小球 运动到o’的时间。
A
o
o’
圆弧摆
②等效重力加速度
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取 值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值(g=T/m)。 例. 如图，一小球用长为L的细线系于与水平面成α角的光滑斜面 内，小球呈平衡状态。若使细线偏离平衡位置，其偏角小于5o， 然后将小球由静止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？
A
o’
4.如图所示，小球m自A点以向AD的方向的初速度V 逐渐接近D点的小孔，已知AB弧长为0.8m，AB圆弧 半径为R，AD=s，A、B、C、D位于同一水平面上， 则V为多大时，才能使m恰好进入D处的小孔？
7.将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化 的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力 大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信 息做出下列判断：①t＝0．2s时刻摆球正经过最低点； F/N ②t＝1．1s时摆球正处于最高点； 2.1 ③摆球摆动过程中机械能时而增 2.0 1.9 大时而减小； 1.8 ④摆球摆动的周期约是T＝0．6s。 1.7 上述判断中正确的是 1.6 1.5 A．①③ B．②④ 1.4 C．①② D．③④
秋千 风铃
摆钟
吊灯
1.什么是单摆？
理想化模型：在一根不能伸长、又没有质量 的线的下端系一质点 。
单摆
摆线不可伸长 摆线长远远大于摆球的直径 摆球的质量远远大于摆线的质量
悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略,线长又比球的直径 大得多,这样的装置叫做单摆.
下列装置能否看作单摆：
二、单摆的回复力
⒈回复力大小： F＝mg sinθ ⒉在偏角很小时： 有F＝－k x（简谐运动的条件）