单摆 习题课
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秋千 风铃
摆钟
吊灯
1.什么是单摆？
理想化模型：在一根不能伸长、又没有质量 的线的下端系一质点 。
单摆
摆线不可伸长 摆线长远远大于摆球的直径 摆球的质量远远大于摆线的质量
悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略,线长又比球的直径 大得多,这样的装置叫做单摆.
下列装置能否看作单摆：
二、单摆的回复力
⒈回复力大小： F＝mg sinθ ⒉在偏角很小时： 有F＝－k x（简谐运动的条件）
L 则 T 2 g a
变形：若升降机以加速度a上升呢？
L T 2 g a
在复合场中 如图有一带正电的电量为q的小球，用长为 L的 绝缘细线悬挂在匀强电场E中，匀强电场方向与重力 方向相同，当小球小角度摆动时，求摆动周期。 （小球半径为r，重力加速度为g） 解： 单摆不摆动时在平衡位置，摆绳拉力
l T 2 g
4 2l g 2 T
1.对单摆的振动，以下说法中正确的是（ ） A.单摆摆动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B.单摆运动的回复力是摆球所受合力 C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零
2. 如右图所示，悬挂于同一点的两个单摆的摆 长相等，A的质量大于B的质量，O为平衡位置， 分别把它们拉离平衡位置同时释放，若最大的 摆角都小于5°，那么它们将相遇在
E
T=mg+Eq
T Eq g 等效重力加速度 g ' m m
则 T 2
l wk.baidu.comq g m
变形：若把匀强电场变为水平向右呢？
巩固练习：
1. 如图所示，摆长为L的单摆，原来的周期 为T。现在在悬点O的正下方A点固定一颗钉 子，OA=L/3，令单摆由平衡位置向左摆动时 以A为悬点作简谐振动，则这个摆完成一次 全振动所需的时间是 。
F/N
t/s 乙 甲
9.两木块A、B质量分别是m、M，用劲度系数为k的轻弹 簧连在一起，放在水平地面上，如图10-20所示，用外 力将木块A压下一段距离保持静止，释放后A做简谐振动， 在A振动的过程中，木块B刚好始终未离开地面。求: （1）木块A的最大加速度； （2）木块对地面的最大压力； （3）要使B离开地面，外力至少是多大？
l
3.单摆的周期T （振动周期跟振幅和摆球的质量无关）
荷兰物理学家惠更斯得出:
l 公式：T 2 g
(1)摆长l:悬点到球心的距离
0 (2) 适用条件 : 单摆做简谐运动 .θ<5 注意事项: 4 2 l 利用单摆测重力加速度 (3) g 2
T
四.单摆的运动图像
五、单摆的应用：
１．利用它的等时性计时 惠更斯在1656年首先利用摆的等 时性发明了带摆的计时器（1657 年获得专利权） ２．测定重力加速度
A
θ
L
o’ o
B
L
C 小球半径为r
2. 如图，o点正下方有一半径为R的光滑圆弧轨道， 圆心位置恰好为o点，在弧形轨道上接近o‘（o点正下 方）处有一小球A，令小球A无初速释放，求小球 运动到o’的时间。
A
o
o’
圆弧摆
②等效重力加速度
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取 值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值(g=T/m)。 例. 如图，一小球用长为L的细线系于与水平面成α角的光滑斜面 内，小球呈平衡状态。若使细线偏离平衡位置，其偏角小于5o， 然后将小球由静止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？
t/s
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4
8.将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图 甲中O点为单摆的固定悬点，现将小摆球(可视为质点拉至A点， 此时细线处于张紧状态，释放摆球,则摆球将在竖直平面内的A、 B、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置， ∠AOB=∠COB=θ；θ小于10°且是未知量。图乙表示；由计算机 得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，且图中t=0 时刻为摆球从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中(包括 图中)所给的信息求：(g取10 m／s2) （1）单摆的振动周期和摆长；（2）摆球的质量； （3）摆球运动过程中的最大速度。
2. 一个单摆从甲地到乙地，发现振动变快了，为了调整到 原来的快慢，下述说法正确的是（ ） A.因为g甲>g乙，故应缩短摆长 B.因为g甲>g乙，故应加长摆长 C.因为g甲<g乙，故应缩短摆长 D.因为g甲<g乙，故应加长摆长
3. 如图，o点正下方有一半径为R的光滑圆弧轨道，圆心位置 o 恰好为o点，在弧形轨道上接近o‘（o点正下方） 处有一小球A，令小球A无初速释放，同时自o’正 上方有一小球B自由下落，两者在o‘点相遇， 求小球B下落高度。
Ａ Ｏ 点
Ｂ Ｏ点左侧
Ｃ Ｏ点右侧 Ｄ 无法确定
4.利用单摆模型解决问题
l T 2 g
①等效摆长 双线摆
摆长(或等效摆长) 重力加速度(或等效重力加速度)
摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
o
L
l sin T 2 g
例题： 1. 三根细线交于o处,A、B端固定在同一 水平面上，已知OA和OC均长L，让小球在 垂直纸面内微小振动，求其周期。如在 纸面内振动呢？
o
α
L T 2 g sin
在超重或失重时 单摆处于超重状态时，等效g’=g+a，失重时等效g’=g-a 一单摆，摆长为L，摆球质量为m，悬在升降机顶部，当升 降机以加速度a下降时，求：单摆周期T。 解： 在平衡位置，且相对静止时（相对升降机）， 摆绳拉力 T=mg-ma
a
等效重力加速度g’=T/m=g-a
A
o’
4.如图所示，小球m自A点以向AD的方向的初速度V 逐渐接近D点的小孔，已知AB弧长为0.8m，AB圆弧 半径为R，AD=s，A、B、C、D位于同一水平面上， 则V为多大时，才能使m恰好进入D处的小孔？
7.将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化 的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力 大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信 息做出下列判断：①t＝0．2s时刻摆球正经过最低点； F/N ②t＝1．1s时摆球正处于最高点； 2.1 ③摆球摆动过程中机械能时而增 2.0 1.9 大时而减小； 1.8 ④摆球摆动的周期约是T＝0．6s。 1.7 上述判断中正确的是 1.6 1.5 A．①③ B．②④ 1.4 C．①② D．③④
摆钟
吊灯
1.什么是单摆？
理想化模型：在一根不能伸长、又没有质量 的线的下端系一质点 。
单摆
摆线不可伸长 摆线长远远大于摆球的直径 摆球的质量远远大于摆线的质量
悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略,线长又比球的直径 大得多,这样的装置叫做单摆.
下列装置能否看作单摆：
二、单摆的回复力
⒈回复力大小： F＝mg sinθ ⒉在偏角很小时： 有F＝－k x（简谐运动的条件）
L 则 T 2 g a
变形：若升降机以加速度a上升呢？
L T 2 g a
在复合场中 如图有一带正电的电量为q的小球，用长为 L的 绝缘细线悬挂在匀强电场E中，匀强电场方向与重力 方向相同，当小球小角度摆动时，求摆动周期。 （小球半径为r，重力加速度为g） 解： 单摆不摆动时在平衡位置，摆绳拉力
l T 2 g
4 2l g 2 T
1.对单摆的振动，以下说法中正确的是（ ） A.单摆摆动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B.单摆运动的回复力是摆球所受合力 C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零
2. 如右图所示，悬挂于同一点的两个单摆的摆 长相等，A的质量大于B的质量，O为平衡位置， 分别把它们拉离平衡位置同时释放，若最大的 摆角都小于5°，那么它们将相遇在
E
T=mg+Eq
T Eq g 等效重力加速度 g ' m m
则 T 2
l wk.baidu.comq g m
变形：若把匀强电场变为水平向右呢？
巩固练习：
1. 如图所示，摆长为L的单摆，原来的周期 为T。现在在悬点O的正下方A点固定一颗钉 子，OA=L/3，令单摆由平衡位置向左摆动时 以A为悬点作简谐振动，则这个摆完成一次 全振动所需的时间是 。
F/N
t/s 乙 甲
9.两木块A、B质量分别是m、M，用劲度系数为k的轻弹 簧连在一起，放在水平地面上，如图10-20所示，用外 力将木块A压下一段距离保持静止，释放后A做简谐振动， 在A振动的过程中，木块B刚好始终未离开地面。求: （1）木块A的最大加速度； （2）木块对地面的最大压力； （3）要使B离开地面，外力至少是多大？
l
3.单摆的周期T （振动周期跟振幅和摆球的质量无关）
荷兰物理学家惠更斯得出:
l 公式：T 2 g
(1)摆长l:悬点到球心的距离
0 (2) 适用条件 : 单摆做简谐运动 .θ<5 注意事项: 4 2 l 利用单摆测重力加速度 (3) g 2
T
四.单摆的运动图像
五、单摆的应用：
１．利用它的等时性计时 惠更斯在1656年首先利用摆的等 时性发明了带摆的计时器（1657 年获得专利权） ２．测定重力加速度
A
θ
L
o’ o
B
L
C 小球半径为r
2. 如图，o点正下方有一半径为R的光滑圆弧轨道， 圆心位置恰好为o点，在弧形轨道上接近o‘（o点正下 方）处有一小球A，令小球A无初速释放，求小球 运动到o’的时间。
A
o
o’
圆弧摆
②等效重力加速度
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取 值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值(g=T/m)。 例. 如图，一小球用长为L的细线系于与水平面成α角的光滑斜面 内，小球呈平衡状态。若使细线偏离平衡位置，其偏角小于5o， 然后将小球由静止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？
t/s
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4
8.将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图 甲中O点为单摆的固定悬点，现将小摆球(可视为质点拉至A点， 此时细线处于张紧状态，释放摆球,则摆球将在竖直平面内的A、 B、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置， ∠AOB=∠COB=θ；θ小于10°且是未知量。图乙表示；由计算机 得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，且图中t=0 时刻为摆球从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中(包括 图中)所给的信息求：(g取10 m／s2) （1）单摆的振动周期和摆长；（2）摆球的质量； （3）摆球运动过程中的最大速度。
2. 一个单摆从甲地到乙地，发现振动变快了，为了调整到 原来的快慢，下述说法正确的是（ ） A.因为g甲>g乙，故应缩短摆长 B.因为g甲>g乙，故应加长摆长 C.因为g甲<g乙，故应缩短摆长 D.因为g甲<g乙，故应加长摆长
3. 如图，o点正下方有一半径为R的光滑圆弧轨道，圆心位置 o 恰好为o点，在弧形轨道上接近o‘（o点正下方） 处有一小球A，令小球A无初速释放，同时自o’正 上方有一小球B自由下落，两者在o‘点相遇， 求小球B下落高度。
Ａ Ｏ 点
Ｂ Ｏ点左侧
Ｃ Ｏ点右侧 Ｄ 无法确定
4.利用单摆模型解决问题
l T 2 g
①等效摆长 双线摆
摆长(或等效摆长) 重力加速度(或等效重力加速度)
摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
o
L
l sin T 2 g
例题： 1. 三根细线交于o处,A、B端固定在同一 水平面上，已知OA和OC均长L，让小球在 垂直纸面内微小振动，求其周期。如在 纸面内振动呢？
o
α
L T 2 g sin
在超重或失重时 单摆处于超重状态时，等效g’=g+a，失重时等效g’=g-a 一单摆，摆长为L，摆球质量为m，悬在升降机顶部，当升 降机以加速度a下降时，求：单摆周期T。 解： 在平衡位置，且相对静止时（相对升降机）， 摆绳拉力 T=mg-ma
a
等效重力加速度g’=T/m=g-a
A
o’
4.如图所示，小球m自A点以向AD的方向的初速度V 逐渐接近D点的小孔，已知AB弧长为0.8m，AB圆弧 半径为R，AD=s，A、B、C、D位于同一水平面上， 则V为多大时，才能使m恰好进入D处的小孔？
7.将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化 的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力 大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信 息做出下列判断：①t＝0．2s时刻摆球正经过最低点； F/N ②t＝1．1s时摆球正处于最高点； 2.1 ③摆球摆动过程中机械能时而增 2.0 1.9 大时而减小； 1.8 ④摆球摆动的周期约是T＝0．6s。 1.7 上述判断中正确的是 1.6 1.5 A．①③ B．②④ 1.4 C．①② D．③④