第4单元 第18讲 直角三角形(解析版)

《中考数学总复习指导》

第四单元三角形

第18讲直角三角形

一、考纲解读

直角三角形也是一种特殊的三角形，直角三角形的有关概念是了解性知识，对于直角三角形我们需要会探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件并能体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。同时直角三角形的判定是我们证明线段互相垂直的主要方法之一，同时正确理解直角三角形的性质和判定，并利用这些性质来解决一些数学问题也是新课标给我们提出的具体要求。

二、命题规律

1．三角形：

本部分近几年，考查内容越来越综合，涉及的知识点主要有：直角三角形的性质（最广是勾股定理）。

预测2014年本部分内容考查仍旧以综合考查为主，直角三角形的性质为重点，单纯考查直角三角形知识可能性比较小。

三、知识梳理

（一）直角三角形的性质

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3. 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（二）直角三角形的判定

1.在一个三角形中，有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。

3.在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

四、基础自测

1．（2013•衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）

A．3cm B．6cm C．．cm

-=，则该直角三角2．（2013•巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b40形的斜边长为_______________．

3．（2013•鞍山）如图，D是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．

4．（2013•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形

都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正

方形E的面积是．

5．（2013•内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠AC B=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．

五、题型详解

考点一：直角三角形的性质

【例1】（2012•安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）

A.10

B.

C. 10或

D.10或

变式题：(2013•雅安)在平面直角坐标系中，已知点A0），B0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．

考点二、直角三角形的判定

【例2】（2013•包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将

△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=

度．

变式题：（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁

．．离容器底部0.3m的

点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁

．．的点A处，则壁虎捕捉蚊

．．，离容器上沿0.3m与蚊子相对

子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）.

六、课后练习

基础巩固

一、填空题

1.（2013•梅州）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，

画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是．

2.（2013•哈尔滨）在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=450，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使

∠ABD=900，连接CD，则线段CD的长为．

思路分析：双解问题，画等腰直角三角形ABD，使∠ABD=900，分两种情况，点D与C在AB同侧， D与C在AB异侧，考虑要全面；

, 解：当点D与C在AB同侧，BD=AB=,作CE⊥BD于

由勾股定理，当点D与C在AB异侧，BD=AB=,∠

BDC=1350，作DE⊥BC于E,BE=ED=2,EC=3，由勾股定理

点拨：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一些情况，故解决问题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．

3.（2013•包头）如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D 点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为．

4．（2013•陕西）如图，从点()02A ，

发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ．

思路分析：由物理学内容及利用对称性，再结合相似三角形的知识（或者结合一次函数知识）都可以计算

出答案。

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，

DE=1，则BE的长是．

二、选择题