矩形的判定和性质经典习题教学提纲
八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题
八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题学习目标1．了解矩形的概念及与平行四边形的关系．2．掌握矩形的性质及识别方法．3．能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明．学法指导矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形也具有，并且它还具有自己的特殊性．基础知识讲解1．矩形的概念有一个角为直角的平行四边形叫矩形．由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件．2．矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质．（2）矩形的四个内角是直角．（3）矩形的对角线相等且互相平分．（4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形．3．矩形的识别方法（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形．4．矩形的识别方法运用时应注意以下几点（1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件；一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形．（2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．重点难点重点：矩形的定义，性质及识别方法．难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用．易错误区分析运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件例1．对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？错解：这个结论正确正解：这个结论不正确分析：对角线相等的平行四边形才是矩形．典型例题例1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，AB＝4cm，求矩形对角线长．分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解．解∵ABCD 为矩形∴AC ＝BD ，且OA=21AC ，OB=21BD ，∴OA=OB ， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60° ∴△AOB 为等边三角形∴OB ＝OA ＝AB ＝4，∴BD ＝2OB ＝2×4＝8cm ．例2．如图12-2-2所示：□ABCD 中AC ，BD 直交于O ，EF ⊥BD 垂足为O ，EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，且AE=EO=21DE.求证：□ABCD 为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD 为矩形，显然只要证AC ＝BD 即可，若Rt △DOE 的斜边上的中线OM ，易证△AOE ≌△DOM ，∴OA ＝OD 问题得证．证明：取DE 的中点M ，连结OM ，∴在Rt △DOE 中，OM=21DE=DM ， ∴OE=AE=21DE ，∠OME=∠OEA ∴OM ＝OE ，DM ＝AE ，∠OMD ＝∠OEM ，∴△OMD ≌△OEA ，∴OA=OD ，在□ABCD 中，∵OA=21AC ，OD=21BD ， ∴AC ＝BC ∴□ABCD 为矩形．例3．已知：如图所示，E 是已知矩形ABCD 的边CB 延长线上的一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点．求证：BF ⊥FD分析：由于CE ＝CA ，F 是AE 的中点，若连结CF ，则CF ⊥AE ．所示∠AFC ＝90°.所以要证BF ⊥FD ，只须再证∠CFB ＝∠AFD ．易知，只要证△AFD ≌△BCF ．证法一：连结CF ．因为CE ＝CA ，F 是AE 中点，所以CF ⊥AE ．所以∠AFD+∠DFC ＝90°，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°. 又∵F 是Rt △ABE 斜边BE 的中点，所以BF ＝AF ，所以∠FAB ＝∠FBA ，所以∠FAD=∠FBC ．所以△FAD ≌△FBC ．所以∠CFB=∠AFD ，所以∠CFB+∠DFC ＝90°，即BF ⊥FD ．证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD．因为四边形ABCD是矩形，所以AD BC，AC＝BD，所以∠AGF＝∠EBF，∠GAF=∠BEF．因为F是AE的中点，所以AF＝FE．所以△AGF≌△EBF所以GF＝BF，AG＝BE．所以GD＝EC．因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.例4．已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点．求证：∠EAB＝∠EBA．分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形．证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC∵E为DC的中点，∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE ∴∠EAB=∠EBA．例5．如图：已知矩形ABCD中，CF⊥BD于F，∠DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由．分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到∠EAO＝∠E即可得CA＝CE解：OA＝CO过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF，∠MAE＝∠E∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO∴∠EAO＝∠E ∴CE=CA创新思维例1．如图所示△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩形ACBD和矩形AEFB．解答问题（1）设图（2）中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1 S2.（填“＞”“＜”“＝”）（2）如图（3）中△ABC为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画个，利用图（3）把它画出来．（3）过图（4）△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图（4）把它画出来． （4）在（3）中所画的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？分析：本题主要考查矩形的性质和计算．解：（1）如图甲过点C 作CG ⊥AB 于G ，则CG=AE ．∵S 1=2S △ABC =2×21×AB ·CG=AB ·CG ，S 2=AE ·AB=CG ·AB ∴S 1=S 2 （2）有2个如图乙（3）有3个如图丙（4）设矩形BCED ，ACHQ ，ABGF 的周长分别为L 1，L 2，L 3，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．易知，这些矩形的面积相等，令其面积为S ，则有L 1=a a s 22+，L 2=b s 2+2b ，L 3cs 2+2c ， ∵L 1-L 2=s a 2+2a-（b b s 22+）=2（a-b ）ab s ab -，而ab ﹥s ，a ﹥b ∴L 1-L 2﹥0，即L 1﹥L 2.同理L 2＞L 3．∴以AB 为边的矩形周长最小．例2．如图△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角线于点F.（1）求证：EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．分析：先证∠OCE ＝∠OEC 就有EO ＝CO ，同理有FO ＝CO ，即有EO ＝FO ．当0运动到AC 的中点时，四边形AECF 对角钱互相平分．∠EcF ＝90°.则四边形AECF 为矩形．证明：（l ）∵MN ∥BC ，∴∠1=∠3 又∵CE 为∠ACB 的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE ＝OC ，同理可证OF ＝OC ，∴OE=OF（2）当O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 为矩形，因为AO ＝OC ，OE ＝OF.解：由矩形的特征，AC ＝EF ，由AE ∥CF ，CE ∥AF 知BECD 是平行四边形，故AE ＝CF ，从而AC ＝FE ．中考练兵1．如图所示，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上BF ∥DF ，若AD ＝12cm ，AB ＝7cm ，且AE ：EB=5：2，则阴影部分的面积为 .分析：由已知可判断四边形EBFD 是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知BE 边上的高与AD 的长相等．因此求BE 的长是关键．本题还可运用平移的方法，将△AED沿AB方向平移，使DE与BF重合，得空白部分所组成的图形是长12cm，宽5cm的矩形，可求其面积，然后将矩形ABCD的面积，减去空白部分的面积，即可得阴影部分的面积．也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积，而得出阴影部分面积。
矩形的性质与判定习题课
【变式练习】已知：如图所示,矩形ABCD中,E 是BC上的一点,且AE=BC,∠EDC=15° 求证：AD=2AB
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD=BC，∠ADC=∠C=∠B=90° ∵∠EDC=15° ∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=75°， ∠DEC=90°-∠EDC=90°-15°=75° ∵AE=BC，AD=BC ∴AE=AD ∴∠ADE=∠AED=75°， ∴∠AEB=180°-∠DEC-∠AED=30° ∵∠B=90°，∠AEB=30° ∴AE=2AB ∵AE=AD ∴AD=2AB
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OB=OD，OA=OC，AD∥BC ∴∠OBF=∠ODE 在△BFO和△DEO中
∠OBF=∠ODE OB=OD ∠BOF=∠DOE ∴△BFO≌△DEO(ASA) ∴OF=OE 又∵OA=OC， ∴四边形AFCE是平行四边形 ∵AF⊥BC， ∴∠AFC=90 ° ∴平行四边形AFCE是矩形
【变式练习】（枣庄中考）如图，四边形ABCD的 对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点， AE=CF，DF∥BE (1)求证：△BOE≌△DOF (2)若AC=2 OD，则四边形ABCD是什么特殊四边 形?请证明你的结论
(1)证明：∵DF∥BE， ∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO ∵O为AC的中点 ∴OA=OC ∵AE=CF ∴OA−AE=OC−CF ，即OE=OF 在△BOE和△DOF中，
∠FDO=∠EBO ∠DFO=∠BEO OE=OF， ∴△BOE≌△DOF(AAS) (2)若AC=2OD，则四边形ABCD是矩形，理由为： ∵△BOE≌△DOF ∴OB=OD， ∵AC=2OD ∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC ∴四边形ABCD为矩形。
矩形的判定导学提纲
矩形的判定导学提纲学习目标：1.掌握握矩形的判定定理。
2.能应用矩形的判定定理证明。
学习重点：矩形的判定定理。
学习难点：灵活应用矩形的判定定理证明。
学习过程：任务一：新课导入：1、请看：咱教室的这些铝合金门窗是什么图形？你能用我手中的木三角板检验？2、你知道铝合金门窗是怎样制做完成的吗？请看：第四步：课后练习1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：；⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：；3、矩形的判定一：（1）这个判定有几个条件：(2)几何符号表示：∵∴4、已知：如图4-38在□ABCD中，M为BC中点，∠MAD=∠MDA.求证：四边形ABCD是矩形．任务二：探究矩形的判定方法：（一）探究问题：你还有别的方法检验铝合金门窗是矩形吗？（二）活动一：1、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，四边形ABCD是矩形吗？为什么？分析：要证矩形，目前只能用什么判定？2、通过本活动，你能得出什么结论？3、矩形的判定二：（1）这个判定有几个条件：(2)几何符号表示：∵∴4、如图，□ABCD四内角平分线相交于E、F、G、H. 求证：四边形EFGH是矩形（三）活动二：1、如图，在四边形□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，四边形ABCD是矩形吗？为什么？2、通过本活动，你能得出什么结论？3、矩形的判定三：（1）这个判定有几个条件：(2)几何符号表示：∵∴4、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．任务三：课堂检测：一、判断：错的并改正确。
矩形的性质与判定经典例题练习教学提纲
一.矩形的性质：1、矩形的定义2、矩形的性质 1)边2）角3）对角线4）对称性二.精讲精练：例1、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。
1、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是 度．3.已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC =________.4.如图，已知BD 、CE 是ABC V 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE有怎样的位置关系。
请证明。
6.如图，在矩形ABCD 中，已知AB=8cm ，BC=10cm ，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的中点F 处，折痕为AE ，求CE 的长．一.矩形的判定定理：归纳矩形的四种判定方法：1.2.3.4.二.精讲精练：例1、已知：如图，ABCD Y 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H 。
求证：四边形EFGH 是矩形。
1如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．2.在四边形ABCD 中，AB=CD,180,A D ∠+∠=︒AC 、BD 相较于点O ，AOB V 是等边三角形。
求证：四边形ABCD 是矩形。
3.在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E、O是边AC，AB上的中点，BF∥AC，连接EO交BE于F．（1）求证：△AOE≌△BOF；（2）求证：四边形BCEF是矩形．5.已知：如图，ABCV中，AB=AC，P是BC上一点，PE AB⊥于E，⊥于F，CG AB⊥于G。
矩形的性质与判定 优秀教案
矩形的性质与判定【教学目标】1．会证明矩形的判定定理2．能运用矩形的判定定理进行计算与证明3．能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明【教学重难点】重点：矩形判定定理的证明难点：矩形判定定理的应用【教学过程】一、情境创设具备什么条件的平行四边形是矩形？具备什么条件的四边形是矩形？同学之间进行交流。
二、探索活动问题一如图，在□ABCD中，AC=BD，由此你可得到什么？问题二如图，要证□ABCD是矩形，需证什么？为什么？根据矩形的定义，只要证□ABCD的一个角是直角；或证∠ABO+∠CBO=90°；或证∠ABC=∠DCB．问题三说说证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的思路。
由问题二可得出多种证明思路。
三、例题教学例1．已知：如图，□ABCD的四个内角平分线相交于点E、F、G、H。
求证：EG=FH分析：由□ABCD，得对边AB∥CD，可证∠ABC+∠BCD=180°再由两角的平分线可得∠GBC+∠GCB=90°，从而得∠HGF=90°，F HA DEG同理可证得∠HEF=90°，∠AHB=90°，再由对顶角相等得∠EHG=90°，从而可得四边形EFGH 是矩形，再由矩形的对角线相等得出结论。
例2 已知：平行四边形ABCD 的对角线AC ．BD 相交于O ，△AOB 是等边三角形，AB ＝4cm ，求这个平行四边形的面积（如图4－38）。
分析解题思路：（1）先判定平行四边形ABCD 为矩形。
（2）求出R t △ABC 的直角边BC 的长。
（3）计算S ＝AB ×BC 小结：（1）具有平行四边形的所有性质。
（2）特有性质：四个角都是直角，对角线线段。
（3）矩形的判定方法1．2都是有两个条件： ①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等。
判定方法3的两个条件是：①是四边形，②有三个直角。
练习：1．如图，BO 是R t △ABC 斜边上的中线，延长BO 至点D ，使BO=DO ，连结AD ，CD ，•则四边形ABCD 是矩形吗？请说明理由。
北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定教学设计
（二）讲授新知
1.矩形的定义：回顾平行四边形的定义，引导学生理解矩形是一种特殊的平行四边形，即四个角都是直角的平行四边形。
2.矩形的性质：通过动画演示、实际操作等方式，引导学生发现矩形的性质，如对边相等、对角线相等、对角线互相平分等。
1.基础巩固题：完成教材课后习题1、2、3题，要求学生熟练掌握矩形的基本性质和判定方法，加强对矩形知识点的理解。
2.提高拓展题：完成教材课后习题4、5题，引导学生运用矩形知识解决实际问题，培养学生的逻辑思维和知识运用能力。
4.实践应用题：设计一道与实际生活相关的矩形问题，如计算教室黑板的面积、设计一个矩形花园等，让学生将所学知识应用于解决实际问题。
4.培养学生的空间观念，使学生能够将矩形的相关知识应用到生活中，体会数学在现实生活中的重要作用。
二、学情分析
九年级学生在前两年的数学学习过程中，已经掌握了平行四边形、三角形等基本的几何图形知识，具备了一定的几何图形识别和分析能力。在此基础上，学生对矩形的认识已经具备了一定的基础，但在理解矩形性质的推理和应用方面，仍需进一步引导和培养。此外，学生在解决实际问题时，可能对矩形相关性质的应用还不够熟练，需要通过本章节的学习，提高对矩形的认识和运用能力。因此，在教学过程中，应关注以下几个方面：
北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定教学设计
一、教学目标ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（一）知识与技能
1.理解矩形的定义，知道矩形是一种特殊的平行四边形，并掌握矩形的四个角都是直角的特性。
2.掌握矩形的基本性质，如对边相等、对角线相等、对角线互相平分等，并能够运用这些性质解决相关问题。
自学初中数学资料-矩形及其性质(资料附答案)
自学资料一、矩形及其性质【知识探索】1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也是长方形．2．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的两条对角线相等．【说明】（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形．对称中心是其对角线的交点，对称轴是每组对边的垂直平分线．【错题精练】例1．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，H为CD上一点，先将△ABP沿着BP翻折至△EBP，BE与CD交于点F，PE与CD交于点O，且OE=OD，再将△CBH沿着BH翻折至△GBH，且G点落在BF上，则△FGH的周长为．第1页共13页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【答案】4．例2．如图将矩形ABCD的四个内角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12，EF=16，则边AB的长是（）A. 8+6√3；B. 12√3；C. 19.2；D. 20．【答案】C例3．如图，将长BC=8cm，宽AB=4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A. 4cm；B. √17cm；C. 2√5cm；D. 3√5cm．【答案】C第2页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训例4．如图，点E是矩形ABCD内任意一点，连接AE，BE，CE，DE，则下列结论正确的是（）A. AE+DE＝BE+CE；B. AE+CE＝BE+DE；C. AE2+CE2＝BE2+DE2；D. AE2+DE2＝BE2+CE2．【答案】C例5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△ABC沿AC折叠，点B落到E点，此时AE交CD 于F，则AF：EF＝（）A. 24：7；B. 25：7；C. 2：1；D. 3：1．【答案】B【举一反三】1．正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B 的过程中，矩形ECFG的面积（）A. 先变大后变小；B. 先变小后变大；C. 一直变大；D. 保持不变．【答案】D2．如图，已知矩形ABCD，E，F分别是边AB，CD的中点，M，N分别是边AD，BC上的两点，将第3页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训△AMN沿MN对折，使点A落在点E上，若AB=a，BC=b，且N是FB的中点，则b的值a 为．【答案】√2．23．如图，在矩形ABCD中，2AB＞BC，点E和点F为边AD上两点，将矩形沿着BE和CF折叠，点A和点D 恰好重合于矩形内部的点G处．（1）当AB=BC时，求∠GEF的度数；（2）若AB=√2，BC=2，求EF的长．【解答】（1）解：当AB=BC时，矩形ABCD为正方形，由折叠得，AB=BG，CD=CG；∠EGB=∠A=90∘，∵AB=BC=CD，∴BG=BC=GC，∴∠BGC=60∘，∴∠ABG=30∘，∴∠AEG=150∘，∴∠GEF=30∘，（2）解：在矩形ABCD中，AB=CD=√2，由折叠得，AB=BG，CD=CG，AE=EG，DF=FG，∴BG=GC=√2，又∵BC=2，得△BGC为等腰直角三角形，且∠GBC=45∘，，与（1）同理可得∠FEG=45∘，∠EFG=45∘，△EGF为等腰直角三角形，设EG=x，则AE=√2x，得(2+√2)x=2，得x=2，2+√2=−2√2−2．∴EF=2√22+√2【答案】（1）∠GEF=30∘；（2）−2√2−2．第4页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP=AE，连接PE、PF，设AE=x．（1）填空：PC=，FC=；（用含的代数式表示）．（2）求△PEF面积的最小值；（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DC=AB=3，AO=CO，∴∠DAC=∠ACB，且AO=CO，∠AOE=∠COF△AEO≌△CFO（AAS），∴AE=CF，∴AE=x，且DP=AE，∴DP=x，CF=x，DE=4−x，CP=3−x，PC=CD−DP=3−x，∴3−x，（2）解：S△EFP=S▱EDCF−S△DEP−S△CFP，∴S△EFP=(x+4−x)×32−12×x×(4−x)−12×x×(3−x)=x2−72x+6=(x−74)2+174，∴当x=74时，△PEF面积的最小值为．（3）解：不成立，理由如下：∵PE⊥PF，，∴∠EPD+∠FPC=90∘，又∠EPD+∠DEP=90∘，∴∠DEP=∠FPC，且CF=DP=AE，∠EDP=∠PCF=90∘，∴△DPE≌△CFP（AAS），∴DE=CP，∴3−x=4−x，则方程无解，∴不存在x的值使PE⊥PF，∴PE⊥PF不成立．【答案】（1）3−x，x；（2）174；（3）略．第5页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训5．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80∘，∠CPD=50∘，则（）A. (θ1−θ4)−(θ2+θ3)=30∘；B. (θ2+θ4)−(θ1+θ3)=40∘；C. (θ1+θ2)−(θ3+θ4)=70∘；D. (θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180∘．【答案】A6．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，设AB= a，BC=b，若AH=1，则（）A. a2=4b−4；B. a2=4b+4；C. a=2b−1；D. a=2b+1．【答案】A7．如图，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B的对应点B落在DA的延长线上，若AB＝2，BC ＝4，则点C与其对应点C的距离为（）A. 6；B. 8；C. 2√5；D. 2√10．【答案】D第6页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是．或4．【答案】0或1＜AF＜113二、矩形的判定【知识探索】1．矩形的判定：（1）对角线相等的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．1．如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M,N分别在边AB，CD上，点E,F分别在BC，AD上，MN，EF交于点P，记k=MN:EF．（1）若a:b的值是1，当MN⊥EF时，求k的值．，求k的最大值和最小值．（2）若a:b的值是12（3）若k的值是3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60∘，MP=EF=3PE时，求a:b的值．【解答】（1）作FH⊥BC，MQ⊥CD，如图1．第7页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∵四边形ABCD正方形，∴FH=AB，MQ=BC，∴FH=MQ．∵MN⊥EF，∴∠HFE=∠NMQ，∠EHE=∠MQN=90∘，∴ΔFHE≅ΔMQN，∴MN=EF，∴k=1．（2）∵a:b=1:2，∴b=2a．由题意得，2a≤MN≤√5a，a≤EF≤√5a，当MN取最长时，EF可取到最短，此时k的值最大，最大值为√5，当MN取最短时，EF可取到最长，此时k的值最小，最小值为2√55．（3）连结FN，ME，∵k=3，MP=EF=3PE，∴MNPM =EFPE=3，∴PNPM=PFPE=2，∴△PNF∽△PME，∴NFME =PNPM=2，ME∥NF．设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m．①当点N与点D重合时，如图2，点M恰好与点B重合，过点F作FH⊥BD于点H，∵∠MPE=∠FPH=60∘，∴PH=2m，FH=2√3m，HD=10m，∴ab =ABAD−FHHD=√35．②当点N与点C重合时，如图3，过点E作EH⊥MN于点H，则PH=m，HE=√3m，∴HC=PH+PC=13m，第8页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第9页 共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训∴tan∠HCE =MB BC=HE HC =√313．∵ME ∥FC ，∴∠MEB =∠FCB =∠CFD ． 又∵∠B =∠D ，∴ΔMEB ∽ΔCFD ， ∴CDMB =FCME =2，∴ab =CDBC =2MB BC=2√313．综上所述，a:b 的值为√35或2√313．【答案】（1）k =1；（2）最大值为√5，最小值为2√55；（3）a:b 的值为√35或2√313．2．已知点P 是矩形ABCD 内一点，连结AP 、BP 、CP 、DP ，若S △ABP =S 1 、S △BCP =S 2、S △CDP =S 3、S △ADP =S 4，则关于点P 的位置，正确的说法是（ ）A. 在对角线BD 上；B. 在对角线AC 上；C. 在对角线BD 与AC 交点处；D. 在∠ABC 的平分线上．【答案】A3．如图1，将△ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC 的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．（1）将平行四边形ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段，；S矩形AEFG:S平行四边形ABCD=．（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并写出此时AD，BC的长．【解答】（1）解：根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，∴S矩形AEFG= S▱ABCD，∴S矩形AEFG：S▱ABCD=1：2；（2）解：见答案；（3）解：有两种折法，如图4、图5所示：折法1中，如图4所示：由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=12AB=4，CF=DF=12CD=5，GM=CM，∠FMC=90∘，∵四边形EFMB是叠合正方形，∴BM=FM=4，∴GM=CM=√CF2−FM2=√52−42=3，∴AD=BG=BM−GM=1，BC=BM+CM=7；折法2中，如图5所示：第10页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第11页 共13页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训由折叠的性质得：四边形EMHG 的面积= 12梯形ABCD 的面积，AE =BE =12AB =4，DG =NG ，NH =CH ，BM =FM ，MC =CN ，∴GH =12CD =5，∵四边形EMHG 是叠合正方形，∴EM =GH =5，正方形EMHG 的面积=52=25，∵∠B =90∘，∴FM =BM =√52−42=3，设AD =x ，则MN =FM +FN =3+x ，∵梯形ABCD 的面积=12(AD +BC )×8=2×25，∴AD +BC =252， ∴BC =252−x ，∴MC =BC −BM =252−x −3， ∵MN =MC ，∴3+x =252−x −3， 解得x =134， ∴AD =134，BC =252−134=374．【答案】（1）AE ，GF ，1：2；（2）略；（3）374．4．如图，矩形ABCD 中，点E 是CD 边上的中点，连结AE 取AE 中点F ，连结FC ，FB ，若△FCB 是等边三角形，则CD ：CF ＝（ ）A. √32； B. 2√33；C. 1；D. 2．【答案】B5．如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则ABBC的值是．【答案】√2+14．6．图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A. △AFD≌△DCEB. AF=ADC. AB=AFD. BE=AD﹣DF【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，第12页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选（B）【答案】B7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________ 度．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA=67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．故答案为22.5°．【答案】22.5°第13页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训。
2022年九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定教案新版北师大版
1.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定教学目标【知识与能力】熟练运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形．【过程与方法】经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．【情感态度价值观】通过学生独立完成证明的过程，体会数学是严谨的科学，增强学生严谨的治学态度，从而养成良好的习惯．教学重难点【教学重点】能够用综合法证明矩形的判定定理并利用定义和定理进行证明.【教学难点】灵活运用矩形的性质和判定定理及其相关结论解决问题．课前准备多媒体课件、三角板.教学过程学生：定义，符合定义就是，不符合就不是．教师：说得非常好，我们来看一看下面的四边形是否符合矩形的定义．(课件展示)图1－2－441.已知：如图1－2－44，在ABCD中，AC＝BD.求证：四边形ABCD是矩形，注意：学生思考、交流后，教师可以适当地引导：给出的条件与矩形的定义相比，少了哪个条件？怎么办？教师：分析后课件展示过程．证明：∵AB＝DC，CA＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠ABC＝∠DCB.在ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∴2∠ABC＝180°，即∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．教师：在菱形中，对角线互相垂直，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．类似地，在矩形中，对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形．我们判定的着手点就是看看图形“特殊”的地方，比如菱形的边也比较特殊，四条边都相等，所以四条边都相等的四边形是菱形．那么矩形有没有比较特殊的地方呢？学生：矩形的角特殊，四个角都是直角.教师：如果一个四边形的四个角都是直角，那么这个四边形是不是矩形呢？我们来试一试(课件展示)：2. 如图1－2－45，已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则四边形ABCD是矩形吗？图1－2－45学生：思考、交流后尝试给出证明过程.教师：学生展示过程后点评、规范相应的步骤.证明：在四边形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形.教师：我怎么感觉有一个条件没有用到呢？学生：∠D＝90°.。
《18.2 矩形的性质、矩形的判定》课件(含习题)
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
A
B
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
D
C
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
定理 对角线相等的平行四边形是矩形.
典例精析
2
2
性质1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
典例精析
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
A
D
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
O
OA= OC= AC,OB = OD = BD , B
C
(矩形对角线相互平分)
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证: BO = 1 AC ?
2
证明: 延长BO至D, 使OD=BO,
A
D
连结AD、DC.
O
∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
C
∵∠ABC=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∴BO= 1 BD= 1 AC
∠ABC的角平分线
B
E
C
1
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+
1 ∠ABC=900
2
2
∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°
同理可证∠AED=∠EHG=90°
∴四边形EFGH是矩形．
初三5-2-1矩形-知识点、经典例题及练习题带答案
初三5-2-1矩形-知识点、经典例题及练习题带答案环球雅思教育学科教师讲义讲义编号：______________ 副校长/组长签字：签字⽇期：【考纲说明】1、掌握矩形的性质及判定定理，能正确的识别并判定矩形；2、能根据数形结合思想解决矩形有关问题。
【趣味链接】⼀块矩形的巧克⼒，初始时由N×M个⼩块组成。
每⼀次你只能把⼀块巧克⼒掰成两个⼩矩形，最少需要⼏次才能把它们掰成N×M块1×1的⼩巧克⼒？【知识梳理】⼀、平⾏四边形1、定义：有两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形。
表⽰：平⾏四边形⽤符号“□ ”来表⽰。
2、平⾏四边形性质：（1）⾓：平⾏四边形的邻⾓互补，对⾓相等；（2）边：平⾏四边形两组对边分别平⾏且相等；（3）对⾓线：平⾏四边形的对⾓线互相平分；（4）对称性：平⾏四边形是中⼼对称图形，对⾓线的交点是对称中⼼；（5）⾯积:等于底和⾼的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平⾏四边形的任何⼀边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的⾼。
平⾏四边形的对⾓线将四边形分成4个⾯积相等的三⾓形．3、平⾏四边形的判定：①定义：两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形②⽅法1：两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形③⽅法2：两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形④⽅法3：对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形⑤⽅法4：⼀组平⾏且相等的四边形是平⾏四边形若⼀条直线过平⾏四边形对⾓线的交点，则直线被⼀组对边截下的线段以对⾓线的交点为中点，且这条直线⼆等分平⾏四边形的⾯积。
⼆、矩形1、定义：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形叫做矩形，也说是长⽅形2、矩形的性质：（1）边：对边平⾏且相等；（2）⾓：对⾓相等、邻⾓互补；（3）对⾓线：对⾓线互相平分且相等；（4）对称性：既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形．（5）⾯积：设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．特别提⽰：直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；矩形具有平⾏四边形的⼀切性质。
人教版八年级数学下册教案：18.2.1矩形的判定
一、教学内容
人教版八年级数学下册教案：18.2.1矩形的判定
1.矩形的定义及性质回顾；
2.矩形判定定理一：有三个角是直角的平行四边形是矩形；
3.矩形判定定理二：对角线相等的平行四边形是矩形；
4.矩形判定定理三：有一个角是直角的菱形是矩形；
5.判定矩形的方法在实际问题中的应用；
-逻辑推理能力：在运用矩形判定定理进行证明或解题时，学生需要具备严密的逻辑推理能力，避免推理过程中的错误。
举例：
a)对于矩形判定定理的运用，可以通过以下步骤帮助学生突破难点：
-通过动画或实物演示，让学生直观感受定理的应用过程。
-引导学生通过已知条件逐步推理，理解判定矩形的关键步骤。
-设计不同难度的练习题，让学生在解题过程中巩固和深化对定理的理解。
b)在空间观念的培养方面：
-利用教具或多媒体展示矩形在二维平面上的位置关系，帮助学生建立空间观念。
-通过实际操作，如制作矩形模型，让学生在实际操作中感受矩形的特点。
c)在逻辑推理能力方面：
-教师在讲解过程中要强调推理的逻辑性和严密性，示范正确的推理方法。
-鼓励学生进行小组讨论，通过交流互相启发，提高逻辑推理能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时0分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形判定在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-设计具有挑战性的问题，引导学生逐步分析、解决问题，培养批判性思维。
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定教学设计
（2）探讨矩形与平行四边形、菱形之间的关系。
（3）研究矩形在生活中的应用，如建筑设计、包装设计等。
3.创新实践题：结合生活实际，设计一道运用矩形知识的创新题目，要求学生运用所学知识解决问题。
例如：设计一个矩形花园，已知矩形的长和宽之和，求矩形的最大面积。
4.小组合作作业：分小组完成以下任务，培养团队合作意识和沟通能力。
b.提高题：判断一个四边形是否为矩形，并说明理由。
c.应用题：运用矩形知识解决实际问题，如设计矩形包装盒等。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学矩形性质、判定方法进行总结。
2.教学过程：
a.学生自主归纳矩形的性质和判定方法。
b.教师点评，强调矩形与平行四边形、菱形之间的关系。
c.学生分享学习心得，交流学习过程中遇到的困难和解决方法。
1.学生对矩形性质的掌握程度，特别是对边平行且相等、对角线互相平分等基本性质的理解。
2.学生在运用矩形判定定理时的困惑和误区，如容易将矩形的判定与平行四边形、菱形的判定混淆。
3.学生在解决实际问题时，运用矩形知识的能力，尤其是在求矩形面积、周长等方面。
4.学生的几何直观和空间观念的发展情况，以及他们对几何图形美的感知。
d.教师布置课后作业，巩固所学知识。
五、作业布置
1.基础巩固题：完成课本练习题1-5题，巩固矩形的性质及判定方法。
（1）求矩形的面积和周长。
（2）判断给定四边形是否为矩形，并说明理由。
（3）运用矩形的性质解决实际问题，如设计矩形桌面等。
2.提高拓展题：完成课本练习题6-10题，提高学生运用矩形知识解决问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
九年级数学上册《矩形的判定》教案、教学设计
2.培养学生严谨、认真的学习态度，使他们认识到矩形的判定在实际生活中的重要性。
3.培养学生的合作意识和团队精神，使他们学会与他人共同解决问题，互相学习，共同进步。
-利用多媒体手段，如几何画板，动态展示矩形的性质和判定过程，帮助学生形象理解。
-设计具有挑战性的问题，激发学生的思维，培养他们分析问题和解决问题的能力。
-结合实际例子，让学生感受数学与现实生活的联系，增强学习的实践性。
2.教学过程：
-导入新课：通过复习平行四边形的性质和判定，自然过渡到矩形的判定。
-新课展开：分别介绍矩形的三个判定定理，引导学生通过操作、观察、讨论等形式，理解并掌握定理。
2.学生在解决实际问题时，可能缺乏将矩形判定方法与问题联系起来的能力，需要教师在教学中引导学生运用所学知识。
3.学生的逻辑思维能力和空间想象能力发展不均衡，部分学生对几何问题的理解存在困难，需要针对不同学生进行个性化指导。
4.学生在小组合作学习中，沟通与协作能力有待提高，教师应关注学生之间的交流，促进共同进步。
九年级数学上册《矩形的判定》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握矩形的定义，即四边形中，有一对对边平行且相等的图形是矩形。
2.学会运用矩形的判定定理，包括：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③对边平行且相等的四边形是矩形。
4.能够运用矩形性质解决实际问题，如计算矩形的面积、周长等。
5.九年级学生面临升学压力，学习动力和兴趣有所减弱，教师应注重激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
三、教学重难点和教学设想
矩形的性质与判定经典练习
证明（三）┄┄矩形的性质与判定[知识要点:]1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是直角。
（2）对角线：互相平分且相等。
3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长⨯宽=ab （b a ,为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。
[经典例题:]例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF ，求AE 的长．例2、已知：如图，平行四边形ABCD 的四个角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
四边形平行四边形矩形菱形梯形为一角90°邻一组边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等为一角90°等腰梯形两腰相等例3、已知：如下图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．例4、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．例5、如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．例6、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.[课堂练习题:]1．判断一个四边形是矩形，以下条件正确的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线互相垂直且相等。
矩形的判定和性质经典习题
O F E D C B AO D C B A ON M D C B A [矩形的判定和性质]重点内容: ①具有的一切性质；②内角都是直角；③对角线相等；④全等三角形的个数；⑤等腰三角形的个数；⑥对称轴的条数；⑦斜边中线定理；⑧平方等式；⑨两种面积计算方法；⑩有一个直角的→矩形；⑾有三个直角的四边形→矩形；⑿对角线相等的→矩形.基础练习1.在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.2.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.3.在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为___________.4.如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, EF 经过O 点, 那么图中全等三角形共有_________对.5.在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为_________.6.在矩形ABCD 内有一点Q, 满足QA=1, QB=2, QC=3, 那么QD 的长为________________.7.如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若3那么∠BDC 的大小为________.8.如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OMDONCSS=. 其中正确的是______________.9.一个平行四边形的四个内角的角平分线相交围成的四边形的形状是________________. 10.如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为_________.P HD C B AE D C B AF E D C B A FE D C B A O ED C B A 二. 解题技巧1.在矩形ABCD 中，∠A 和∠B 的平分线交边CD 于点M 和N ，若M 、N 是CD 的三等分点，那么AB ：BC 的值为___________________.2.如图, 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E,BC=, CD=2, 那么BE=_______________________.3.如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.4.如图, 矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm, 若△CEF 是等腰直角三角形, 那么这个三角形的面积为______________.三． 简答题1.如图, 在矩形ABCD 中, AD=12, AB=7, DF 平分∠ADC, AF ⊥EF, (1)求EF 长; (2)在平面上是否存在点Q, 使得QA=QD=QE=QF? 若存在, 求出QA 的长; 若不存在, 说明理由.2.一个四边形满足: 它的每个顶点到其它三个顶点的距离之和相等, 试判断这个四边形的形状.3.已知矩形ABCD ，试问：当边AB 和BC 满足什么条件时, 在边CD 上一定存在点P, 使得PA ⊥PB?二巩固练习基本知识点：矩形的性质及判定，直角三角形斜边中线定理.1.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.2.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.3.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .4.如图，E 为矩形ABCD 对角线AC 上一点，DE ⊥AC 于E ，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE 为_______.5.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm 2. 6.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是__________. 7.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等8.矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线相等9.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分10.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD•的中点，那么MN⊥BD成立吗？试说明理由．11.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD重叠，求图中阴影部分的面积.12.如图，已知在四边形ABCD中，AC DB⊥交于O，E、F、G、H分别是四边的中点，求证：四边形EFGH是矩形．13. 如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB∠、ABC∠、BCD∠、CDA∠的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，求证：四边形PQMN是矩形．★14.如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CE AC=，F是AE中点．求证：BF DF⊥．CCDABEHGOFEDCBANMQPDCBAAFD★15. 如图，矩形ABCD中，CE BD⊥于E，AF平分BAD∠交EC于F，求证：CF BD=．DABCEF。
13-1-2 矩形的性质及判定讲义教师版
知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求矩形 会识别矩形掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题会运用矩形的知识解决有关问题1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．重点：掌握矩形的性质，并学会应用． 难点：理解矩形的特殊性．重、难点中考要求中考要求矩形的性质 及判定关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．一、矩形的判定【例1】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【考点】矩形的性质和判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】2BC AB =【例2】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵90ABC BCD ∠=∠=︒，∴AB ∥CD在Rt ABC ∆和Rt DCB ∆中BC CBAC BD =⎧⎨=⎩∴Rt ABC ∆≌Rt DCB ∆ (HL )∵AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形 ∵AC BD =，∴四边形ABCD 是矩形【巩固】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等 【考点】矩形的性质和判定 【题型】选择 【难度】1星 【关键词】 【解析】省略例题精讲【答案】A【例3】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵E 、F 、G 、H 分别是四边的中点∴EF 、GH 为中位线∴EF GH BD ∥∥且12EF GH BD == ∴四边形EFGH 为平行四边形 ∵AC DB ⊥，∴EF FG ⊥ ∴四边形EFGH 是矩形．【巩固】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =， 180A D ∠+∠=︒∵M 是AD 的中点，∴AM M D = 在ABM ∆和CDM ∆中AM DM MB MC AB CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABM ∆≌CDM ∆ (SSS )，∴A D ∠=∠ ∴90A ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥，AD BC ∥∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线 ∴180BAD ABC ∠+∠=︒ ∴90QPN ∠=︒同理90PQM QMN MNP ∠=∠=∠=︒ ∴四边形PQMN 是矩形．【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，安顺市中考 【解析】省略【答案】⑴ ∵AF BC ∥，AFE DCE ∠=∠E 是AD 的中点，∴AE DE = ∵AFE DCE AE DE AEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEF DEC ∆∆≌ ∴AF DC =，∵AF BD =∴BD CD =（2）四边形AFBD 是矩形∵AB AC =，D 是BC 的中点（利用全等） ∴AD BC ⊥ ∴90ADB ∠=︒∵AF BD =，AF BC ∥ ∴四边形AFBD 是平行四边形 又90ADB ∠=︒ ∴四边形AFBD 是矩形．【巩固】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA【考点】矩形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】⑴证明：ED DC DF DC ==，⑵当D 为AC 的中点时，四边形AECF 为矩形【例6】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【考点】矩形的性质和判定，菱形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，襄樊市中考 【解析】省略【答案】⑴ Rt DEC ∆是由Rt ABC ∆绕C 点旋转60︒得到∴AC DC =，60ACB ACD ∠=∠=︒ ∴ACD ∆是等边三角形 ∴AD DC AC ==又∵Rt ABF ∆是由Rt ABC ∆沿AB 所在 直线翻转180︒得到∴AC AF =，90ABF ABC ∠=∠=︒ ∴180FBC ∠=︒∴点F 、B 、C 三点共线 ∴AFC ∆是等边三角形 ∴AF FC AC ==∴AD DC FC AF === ∴四边形AFCD 是菱形． ⑵ 四边形ABCG 是矩形．由⑴可知：ACD ∆是等边三角形，DE AC ⊥于E ∴AE EC =，又∵AG BC ∥ ∴EAG ECB ∠=∠，AGE EBC ∠=∠ ∴AEG CEB ∆∆≌，∴AG BC =∴四边形ABCG 是平行四边形，而90ABC ∠=︒ ∴四边形ABCG 是矩形．【巩固】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BAGMF E DC BA【考点】平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，三角形的三线五心 【题型】解答 【难度】6星 【关键词】【解析】过C 作CG AD ⊥于G ，连接EG 、FG ．∵AE BC ⊥，FM AE ⊥，∴FM ∥EC 又∵EM AF ⊥，CD AF ⊥，∴EM ∥CF ∴四边形EMFC 为平行四边形，∴MF EC = 又∵AE BC ⊥，CG AD ⊥且BC ∥AD ∴90EAG AGC GCE AEC ∠=∠=∠=∠=︒ ∴四边形AGCE 为矩形∴EC AG =，EG AC =，∴MF AG = 又∵MF ∥AG∴四边形AGFM 为平行四边形，∴GF AM = ∵AM EF ⊥，∴GF EF ⊥，即90GFE ∠=︒∴GF =∴12AM【答案】12【例7】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FDBCM【考点】矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】延长BF 交AD 于M ，连结DB ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC AD BC AC BD ==∥，， ∴M EBF ∠=∠，∵F 是AE 中点，∴AF EF =，在AFM △和EFB △中，∵M EBF MFA BFE AF EF ∠=∠∠=∠=，， ∴AFM EFG ∆∆≌．∴AM BE =，MF BF =，∴AD AM BC BE CE DM +=+== ∵CE AC AC BD ==，，∴D M D B = ∵MF BF =，∴BF DF ⊥【答案】见解析板块二、矩形的性质及应用【例8】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
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仅供学习与参考
O F E D C B A
O D C B A O
N M D C B A [矩形的判定和性质]
重点内容: ①具有
的一切性质；②内角都是直角；③对角线相等；④全等三角形的个
数；⑤等腰三角形的个数；⑥对称轴的条数；⑦斜边中线定理；⑧平方等式；⑨两种面积计算方法；⑩有一个直角的→矩形；⑾有三个直角的四边形→矩形；⑿对角线相等的
→矩
形. 基础练习
1.在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.
2.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.
3.在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为___________.
4.如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, EF 经过O 点, 那么图中全等三角形共有_________对.
5.在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为_________.
6.在矩形ABCD 内有一点Q, 满足QA=1, QB=2, QC=3, 那么QD 的长为________________.
7.如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若3那么∠BDC 的大小为________.
8.如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②
∠DMN=∠MNC; ③OMD
ONC
S
S
=. 其中正确的是______________.
9.一个平行四边形的四个内角的角平分线相交围成的四边形的形状是________________. 10.如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为_________.
仅供学习与参考
P H
D C B A
E D C B A
F E D C B A F
E D C
B A O E
D C B A
二. 解题技巧
1.在矩形ABCD 中，∠A 和∠B 的平分线交边CD 于点M 和N ，若M 、N 是CD 的三等分点，那么AB ：BC 的值为___________________.
2.如图, 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E,
BC=, CD=2, 那么BE=_______________________.
3.如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.
4.如图, 矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm, 若△CEF 是等腰直角三角形, 那么这个三角形的面积为______________.
三． 简答题
1.如图, 在矩形ABCD 中, AD=12, AB=7, DF 平分∠ADC, AF ⊥EF, (1)求EF 长; (2)在平面上是否存在点Q, 使得QA=QD=QE=QF? 若存在, 求出QA 的长; 若不存在, 说明理由.
2.一个四边形满足: 它的每个顶点到其它三个顶点的距离之和相等, 试判断这个四边形的形状.
仅供学习与参考
3.已知矩形ABCD ，试问：当边AB 和BC 满足什么条件时, 在边CD 上一定存在点P, 使得PA ⊥PB?
二巩固练习
基本知识点：矩形的性质及判定，直角三角形斜边中线定理.
1.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.
2.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.
3.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .
4.如图，E 为矩形ABCD 对角线AC 上一点，DE ⊥AC 于E ，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE 为_______.
5.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm 2
. 6.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是__________. 7.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对边相互平行
B. 对角线相等
C. 对角线相互平分
D. 对角相等 8.矩形具备而平行四边形不具有的性质是（ ）
A ．对角线互相平分
B ．邻角互补
C ．对角相等
D ．对角线相等 9.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A ．对角线互相平分且相等
B ．四个角相等
C ．是轴对称图形
D ．对角线互相垂直平分 10.如图，四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，M 、N 分别是AC 、BD•的中点，那么MN ⊥BD 成立吗？试说明理由．
11.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD 重叠，求图中阴影部分的面积.
12.如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．
C
C D
A
B
E H
G O
F
E
D
C
A
仅供学习与参考
13. 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、
CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，
求证：四边形PQMN 是矩形．
★14. 如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点． 求证：BF DF ⊥．
★15. 如图，矩形ABCD 中，CE BD ⊥于E ，AF 平分BAD ∠交EC 于F ， 求证：CF BD =．
N
M
Q
P
D
C
B
A
A
B
C
E F
D
D
A
B
C
E
F。