指数函数及其性质导学案.pdf
指数函数的概念导学案
4.2.1 指数函数的概念导学案【学习目标】1.了解指数函数的概念.2.会画出指数函数图象(重点).3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点).【自主学习】一．指数函数的定义一般地，函数 (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .【答案】y ＝a x二．指数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点过定点 ，即x ＝0时，y ＝1函数值的变化 当x >0时， ；当x <0时， 当x >0时， ；当x <0时， 单调性在R 上是在R 上是【答案】【当堂达标基础练】1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） 【答案】C【解析】由指数函数的增长速度及定义，可知C 正确． 2．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C3.函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a = D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】由指数函数的定义可得2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，从而可求出a 的值 【详解】由指数函数定义知2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，所以解得3a =. 故选：C4．若()233xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．1a =或2B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【详解】因为()233xy a a a =-+是指数函数，所以233101a aa a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2a =.故选：C ．5．已知函数1(),02()0xx f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则[(4)]f f =________.故答案为：46.若函数()132xf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）是指数函数，则=a ________．一、选择题1．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1[答案C【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥8)的值域是( ) A ．RB.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1256 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，＋∞【答案】B【解析】因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝1256.3．函数y ＝2x－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)【答案】C【解析】由2x－1≥0得2x≥1，即x ≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C. 4．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)【答案】C 【解析】∵f (－1)＝a－1＋1－1＝a 0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．5．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )A B C D【答案】A【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.二、填空题6．函数f (x )＝3x －1的定义域为________． 【答案】[1，＋∞)【解析】由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)．7．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，且a ≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________． 【答案】7【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，－2－x，x >0，则函数f (x )的值域是________．【答案】(－1,0)∪(0,1)【解析】由x <0，得0<2x<1；由x >0， ∴－x <0,0<2－x<1， ∴－1<－2－x<0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解] (1)因为函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， 所以a2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 所以函数的值域为(0,2]．10．已知f (x )＝9x－2×3x＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．[解] (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13.(2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9，故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.【当堂达标素养练】1．函数y ＝a－|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D【答案】A【解析】y ＝a －|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.2．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限【答案】A【解析】∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________． 【答案】12【解析】∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 4．函数f (x )＝3x3x ＋1的值域是________．【答案】(0,1)【解析】函数y ＝f (x )＝3x3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)．5．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． [解] (1)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0,1)， 又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)． (2)由图②可知，y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图象可知使|f (x )|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.6．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈． （1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）()24x x g x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【详解】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,x x a a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵()3x f x =，且(2)18f a += ∴⇒∵∴（2）法一：方程为 令，则144t ≤≤ 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+ ，y b = 两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解．法二： 方程为 ，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．。
新人教A版必修1高中数学2.1.2-3指数函数及其性质导学案
高中数学 2.1.2-3指数函数及其性质导学案 新人教A 版必修1学习目标：深入学习指数函数的性质学习重点：能解决与指数函数有关的综合应用问题 学习过程：一、 关于定义域：求下列函数的定义域 1、1621-=xy2、191-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy3、x y 416-=二、 关于值域： 1、求下列函数的值域（1）3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y（2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=32（3）212225.0+-=x x y（4）231-=+x y ，[]0,2-∈x （5）121-=x y2、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上的最大值比最小值大2a ，则a 的值为______三、 关于单调性：1、 求下列函数的单调区间 （1）12.01-=xy(2)322-+=x x a y ）（1,0≠>a a2、 已知x x a a a a -++>++122)2()2(，则x 的取值范围是_____________四、 关于奇偶性 1、判断函数xx f 2121)(+-=的奇偶性2、已知函数x x eaa e x f +=)( )0(>a 是R 上的偶函数，求a 的值 一、选择题1、 若指数函数y a x =+()1在()-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A 、 01<<a B 、 -<<10a C 、 a =-1 D 、 a <-12、已知310x =，则这样的（ ）A 、 存在且只有一个B 、 存在且不只一个C 、 存在且x <2D 、 根本不存在 3、函数f x x ()=-23在区间()-∞，0上的单调性是（ ） A 、 增函数 B 、 减函数C 、 常数D 、 有时是增函数有时是减函数4、下列函数图象中，函数y a a a x =>≠()01且，与函数y a x =-()1的图象只能是（ ）y y y yO x O x O x O xA B C D11115、函数f x x ()=-21，使f x ()≤0成立的的值的集合是（ ）A 、 {}x x <0B 、 {}x x <1C 、 {}x x =0D 、 {}x x =16、函数f x g x x x ()()==+22，，使f x g x ()()=成立的的值的集合（ ） A 、 是φ B 、 有且只有一个元素 C 、 有两个元素 D 、 有无数个元素7、若函数(1)x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）A 、1a >且1b <B 、01a <<且1b ≤C 、01a <<且0b >D 、1a >且0b ≤ 8、F(x)=(1+)0)(()122≠⋅-x x f x是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数 二、填空题9、 函数y x =-322的定义域是_________。
最全《指数函数概念图像及其性质》导学案完整版.doc
《指数函数的图像与性质》导学案一、学习目标1．理解并掌握指数函数的图像与性质.2．会利用指数函数的图像与性质比较大小，解指数不等式。
二、教学重难点教学重点：指数函数的图像与性质教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质.三、教学过程：（一）创设情境 1.复习：（1） 一般地，函数 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 .（2）指数函数解析式的特征： 。
2.导入：一般来说，函数的图像与性质紧密联系，图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。
（二）自主探究（学生通过自主学习完成下列任务）1.用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数xy 2=、xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像2．通过图象，分析xy 2=、xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的性质（定义域、值域、单调性、特殊点）3．比一比：xy 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象有哪些相同点，哪些不同点？4．画一画：在平面直角坐标系中画出函数3x y =、13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像，试分析性质。
5．议一议：通过以上四个函数的图像和性质，归纳指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）的图象和性质如下：（三）典例精讲类型一 两个数比较大小类型二 解指数不等式例2.1 32 x x >（）求使不等式4成立的的集合；45a a > （2）已知求数的取值范围.（四）当堂检测1.课本第73页 练习1 1.2.解下列不等式：11(1)3;81x ->1(2)4230.x x +-->（五）课堂小结（1） 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ （2） 你学会了哪些数学思想方法？ （六）布置作业必做题：课本77页，A 组.4,5,6 选做题：课本77页，B 组1，6.四、教学反思0.80.7-0.10.10.70.8 330.750.750.80.7.例1.比较下列各题中两个数的大小：（1）和；（2） 和；（3） 与达标训练1.2)21(-=x y +2的定义域是_____________，值域是______________， 在定义域上，该函数单调递_________.2.若函数31+=+-x a y 的图象恒过定点 .3.指数函数)(x f y =的图象经过点（4,2-），求)(x f 的解析式和)3(-f 的值.4.比较下列各组值的大小； （1）3.022,3.0； （2）5252529.1,8.3,1.4-.5.函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，求a值.6.1()(1),1x xa f x a a -=>+已知函数 () f x （1）判断函数的奇偶性；() f x ℜ（2）证明：函数在上是增函数。
指数函数及其性质(第一课时)导学案
<<指数函数及其性质>>导学案学习目标1.理解指数函数的概念和意义2.根据函数图象探索总结并掌握指数函数的性质3.体会从具体到一般的数学讨论方式及数形结合的思想合作学习一、指数函数的定义（自学教材P54）Rxaaay x定义域为是自变量叫做指数函数，其中且一般地，函数,)1,0(≠>=问题1：”？且规定“为什么指数函数底数要10≠>aa时，当1)1(=a时，当0)2(=a时，当0)3(<axxxxxy yy yy-+== -=⨯=+=3 )5(3)4()2( )3(32)2(13)1(1问题2：你能用自己的话总结指数函数的特点吗？例1：下列函数是指数函数的是（）二、指数函数的性质（自学教材P55-56）问题3：你能类比以前研究函数性质的思路，提出研究指数函数性质的方法和内容吗？研究方法： 研究内容：定义域、值域、问题4：如何画指数函数的图象呢？画函数图像通常采用： 、 、 ，有时，也可以通过函数的相关性质画图。
xy 2=xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21通过图象，分析以下问题：问题6、观察xy 2=、xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21图象，并说出它们的特征（定义域、值域、单调性、特殊点、奇偶性）问题7、函数x y 2=与xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21图象有什么关系？能否由xy 2=的图象得到xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象？问题8:从特殊到一般,底数a 选取若干不同的值（如3xy =、13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭）函数图象又会如何呢？通过比较，会发现指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）的图像和性质如下：问题7：()图象有什么特征？且与11≠>⎪⎭⎫⎝⎛==aaayayxx三、反思小结,观点提炼本节课的目的是掌握指数函数的定义、图象和性质.在理解指数函数的定义的基础上,掌握指数函数的图象和性质是本节课的重点.1.知识点: 、和.2.研究步骤:定义→图象→性质→应用.四、作业精选,巩固提高课本P59习题2.1A组第5,7,8题;。
指数函数及其性质导学案 (1)
指数函数及其性质（一）导学案班级：＿＿＿ 组别：＿＿＿ 姓名：＿＿＿一、三维目标知识与技能：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图像；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题。
过程与方法：在教学过程中通过类比，回顾从图像和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，让学生在教学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，使学生获得研究函数的规律和方法，培养学生主动学习、合作交流的意识。
二、重点与难点教学重点：指数函数的概念、图像和性质。
教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数的性质。
二、教学过程课前准备：1、如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，………，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？ 2、以上问题中，每位同学所准备的米粒数用y 表示，每位同学的座号数用x 表示，y 与x 之间的关系是什么？新课学习：问题1、本章开头的问题中，也有一个与x y 2=类似的关系式()20,073.1*≤∈=x N x y x ，这两个解析式有什么共同特征？它们能否构成函数？是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据其特征给它起个恰当的名字吗？试说出指数函数的定义。
问题2、指数函数解析式有何特征？你能否写出一两个指数函数？练习、下列函数不是指数函数的是＿＿＿ ①xy 32⨯= ②xy 23= ③xy 2-= ④xy -=2⑤()xy 2-=例1、 判断()xa y 12-=是否是一个指数函数，若是指数函数求a 的取值范围。
问题3、（1）你能类比前面讨论函数性质时的思路，指出研究指数函数性质的方法吗？（2）如何画指数函数x y 2=和xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像？讨论：（1）从画出的图像中你能发现函数xy 2=的图像和函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像有什么关系？可否利用x y 2=的图像画出xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像？（2）将问题（2）中底数变为3和31，其图像又是怎样的？试利用指数函数的图像归纳出指数函数的性质。
(公开课)指数函数及其性质导学案
指数函数及其性质导学案编制：王** 审核：于**【学习目标】知识与技能：初步理解指数函数的定义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数图像.过程与方法：引入、剖析、定义指数函数的过程，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法.3.情感态度与价值观：通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生的学习能力。
重点：指数函数的概念、性质及其应用 难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用课前预习案一、知识背景： 有理数指数幂的运算性质、初中学习的描点法作图的步骤【用15分钟的时间阅读探究课本上的基础知识，思考并尝试解答教材助读设置的问题，完成预习自测题，并将预习中不能解决的问题标出来，写到“我的疑问和收获”处。
】 二、教材助读1. 研究一个函数的性质一般研究哪些方面？2. 指数函数是怎样定义的？定义域是什么? 函数x y 32⨯=是指数函数吗？3. 指数函数中底数a 的取值范围是什么？4.你能比较出 1.71.3与2.51.3的大小吗？ 三、预习反馈1.判断下列函数是不是指数函数（1）xy 3= （2）xy 12= （3）x y )2(-= (4)13+=x y 2．函数(a-1)x y =在R 上是减函数，则a 的取值范围是__________ 3. 指数函数(x)f 的图像经过点（2，9），则1()2f ＝ ． 4.比较下列各题中两个数的大小：0.80.73____3 0.10.10.75____0.75- 2.7 3.51.01____1.01【我的疑问和收获】____________________________________________________________课堂探究案一． 概念解读请同学们探究下面的问题，并在题目的横线上填出正确答案：1.一般地，函数 叫做指数函数．其中是自变量，函数的定义域为_____ 反思1：为什么规定10≠>a a 且呢？ 【讨论】： 0,a 若≤则____________________.则若,1=a _________________________.反思2：判断一个函数是否是指数函数需要注意哪几点?二、性质探究：小组协作用描点法做出函数2x y =、3xy =、1(2xy =）和1(3xy =）的图像，并根据图象特征，采用由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质，完成下表：记忆口诀：____________________________________________________________________三．知识综合应用探究探究点一：指数函数概念及图象的理解例1.请指出下列函数中，哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由.(1) y=4·2x(2) y (2)x =- (3) y 2x =- (4) y x π= (5)2y x = (6) y 2x -= (7) y x x = (8)y (a 1)(a 1a 2)x =->且≠ 例2若函数 2()(33)x f x a a a =-+ 是指数函数，求a 的值.变式1. 函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.变式2. 已知01a <<，1b <-, 则函数xy a b =+的图象必定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限探究点二：比较大小例3比较下列各组中两个值的大小：（1） 1.72.5_____1.73 ；（2）0.8-0.1_____ 0.8-0.2；（3）1.70.3_____ 0.93.1；（4）1.5 0.3______0.81.2.变式 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小： （1）22()()33m n >； （2） 1.1 1.1m n <.比较指数大小的方法：底数相同时：_______________________________________________________________ 底数不同时：_______________________________________________________________四、课堂小结通过本节课的学习，你学到了哪些知识?还有哪些疑问呢？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________五、当堂检测1.下列函数中指数函数有（ ）个x x y x y y 32)3(,)2(,4)1(4⋅===A. 0B. 1C. 2D. 32. 下列函数图象中，函数y a a a x =>≠()01且，与函数y a x =-()1的图象只能是（ ）y y y y O x O x O x O xA B C D1111y y yy O x O x O x O x A B C D 113.若指数函数的图像过（2，4）点，则此函数的解析式是（ ） A ．1()2xy = B ．2x y = C ．1()4xy = D ．4x y = 4. 函数f(x)=21x a -+ (a>0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）. A. (0,1) B. (0,2) C. (2,1) D. (2,2)5．函数x y a =在［０，１］上的最大值与最小值之和为３，则等于（ ） A.0.5 B.2 C.4 D.0.256.函数f (x)=(2a+1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围_________ 7．已知＝2x，则[(1)]f f -＝ ．六、课后探究1.求函数1511-=-xx y 的定义域？2.在上，],[n m )1,0()(≠>=a a a x f x 且的值域？。
高中数学《指数函数及其性质的应用》导学案
《指数函数及其性质的应用》导学案 编写人：孟娇娥 审核人：杨群 编写时间：2015-7-5学习小组编号___________ 姓名___________【学习目标】1.复习回顾指数函数的概念、图象和性质；2.通过典型例题初步掌握指数函数在解决实际问题中的应用；【学法指导】预习法、图像法、探究法【知识链接】指数函数的图像与性质【学习过程】一、自主学习1.回顾指数函数的定义。
2.回顾指数函数的图像和性质。
y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象图象0<a <1a >1性质 定义域 值域过定点a >0且a ≠1，无论a 取何值恒过点________________ 各区间取值当x >0时，________________ 当x <0时，________________ 当x >0时，________________ 当x <0时，________________ 单调性 定义域上单调____________ 定义域上单调_______________二、合作探究探究1 . 较下列各题中两个值的大小。
()()() 2.530.10.20.3 3.11 1.7,1.7;20.8,0.8;3 1.7,0.9.-- （4）.三个数 11032435(),(),()346 的大小顺序是___________0 2.50.210.42--，， 的大小顺序是____________________.探究2. 指数函数的定义域和值域。
求下列函数的定义域和值域。
（1）1x 1y 2=－ （2）y=32-x探究3.解下列指数不等式x x 1(1)24+≥3x 12x 4(2)a a (a 0,a 1)--≤>≠且探究点4 指数函数在实际问题中的应用例3.截止到1999年底，我国人口约13亿。
如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？探究点5人口增长率问题的进一步探究（1） 如果人口年平均增长率保持在2%，利用计算器分别计算2020到2100年，每隔5年相应的人口数。
指数函数的概念指数函数的图象和性质第2课时 指数函数y=ax(0＜a＜1)的图象和性质 导学案
第2课时 指数函数y=a x (0<a<1)的图象和性质◆ 知识点一 指数函数的图象和性质函数y=a x (a>1)y=a x (0<a<1)图象性 质定义域 R值域过定点单调性 在R 上为 在R 上为 函数值 变化当x>0时,y>1 当x>0时, 当x<0时,0<y<1当x<0时,◆ 知识点二 指数函数y=a x 与y=b x (0<a<b<1)的特点如图.(1)当x<0时,a x >b x >1; (2)当x=0时,a x =b x =1; (3)当x>0时,0<a x <b x <1.【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)将函数y=(12)x的图象向右平移1个单位长度,即得到函数y=(12)x -1的图象. ()(2)(12)x <(13)x.( )(3)若a 2<a -1(a>0,且a ≠1),则y=a x 在R 上为减函数. ()◆ 探究点一 比较大小例1 (1)已知a=0.92,b=270.8,c=√243,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a<b<cB .a<c<bC .c<a<bD .b<a<c(2)比较下列各组中两个数的大小:①0.8-0.1与0.8-0.2;②(1π)2与(13)-1.3.变式 (多选题)[2024·江西赣州高一期中] 若a=20.6,b=40.4,c=0.20.8,则( )A .b>aB .a>bC .a>cD .ab>c[素养小结]对于两个相同底数的式子,要利用相应指数函数的单调性,通过自变量的大小关系直接判断相应函数值的大小;当两个式子不能化为相同底数时,我们可以找到一个中间值,将这两个数分别与中间值进行比较,常用的中间值有0,1等.拓展 (1)关于x 的不等式10·(12)x -(14)x>16的解集为 .(2)如果a -5x >a x+7(0<a<1),那么x 的取值范围为 .◆ 探究点二 指数函数图象的识别与应用例2 函数y=3x ,y=5x,y=(14)x在同一平面直角坐标系中的大致图象是 ()变式 已知y 1=(13)x,y 2=3x ,y 3=10-x ,y 4=10x ,则在同一平面直角坐标系内,它们的大致图象为( )ABCD[素养小结](1)不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是:在y 轴右侧的图象从下到上相应的底数由小变大;在y 轴左侧的图象从下到上相应的底数由大变小. (2)对于指数函数y=a x (a>0,a ≠1),其图象一定出现在x 轴上方.若指数型函数的图象出现在x 轴下方或与x 轴相切,则可以通过平移变换和对称变换实现.拓展 直线y=2a 与函数y=|a x -1|(a>0且a ≠1)的图象有两个公共点,则实数a 的取值范围是 .第2课时 指数函数y=a x (0<a<1)的图象和性质【课前预习】知识点一(0,+∞) (0,1) 增函数 减函数 0<y<1 y>1知识点二诊断分析(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)函数y=(12)x 的图象向右平移1个单位长度得到函数y=(12)x -1的图象.(2)当x>0时,有(12)x >(13)x ;当x=0时,有(12)x =(13)x =1;当x<0时,有(12)x <(13)x.(3)因为2>-1,a 2<a -1(a>0,且a ≠1),所以0<a<1,y=a x 在R 上为减函数. 【课中探究】探究点一例1 (1)A [解析] 因为y=3x为增函数,所以c=√243=352>32.4=270.8=b ,即b<c.又a=0.92<0.90=1=270<270.8=b ,即a<b ,所以a<b<c.故选A .(2)解:①因为0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x 在R 上是减函数,又-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.②因为(1π)2<1,(13)-1.3>1,所以(1π)2<(13)-1.3.变式 ACD [解析] 因为a=20.6>20=1,b=40.4=(22)0.4=20.8>20.6=a ,c=0.20.8<0.20=1,且c>0,所以b>a>1>c>0,且ab>c.故选ACD .拓展 (1)(-3,-1) (2)(-76,+∞) [解析] (1)由题知(14)x-10·(12)x+16<0,整理得[(12)x]2-10·(12)x+16<0,即[(12)x-8][(12)x-2]<0,可得2<(12)x<8,即(12)-1<(12)x<(12)-3,解得-3<x<-1.(2)当0<a<1时,y=a x 在R 上是减函数,∵a -5x >a x+7,∴-5x<x+7,解得x>-76,即x 的取值范围是(-76,+∞).探究点二例2 B [解析] 函数y=3x ,y=5x 是R 上的增函数,其图象都是上升的,排除C,D;在第一象限内,底数越大的指数函数的图象越靠近y 轴,排除A .故选B .变式 A [解析] y 2=3x与y 4=10x在R 上为增函数,y 1=(13)x与y 3=10-x=(110)x在R 上为减函数.在第一象限内作直线x=1,该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数,则从上到下各点的纵坐标对应的底数依次为10,3,13,110,故选A .拓展 0<a<12[解析] 当a>1时,在同一平面直角坐标系中作出直线y=2a 和函数y=|a x -1|的图象(如图①),由图象可知,直线y=2a 与函数y=|a x -1|的图象只能有一个公共点,此时不满足题意.当0<a<1时,作出直线y=2a 和函数y=|a x -1|的图象(如图②),若直线y=2a 与函数y=|a x -1|的图象有两个交点,则由图象可知0<2a<1,所以0<a<12.故实数a 的取值范围是0<a<12.。
人教A版必修1导学案 必修1 2.1.2指数函数及其性质
必修1高一数学第一章§ 2.1.2 指数函数及其性质一、学习目标1.会判断给定的函数是不是指数函数；2.会画指数函数的图象；会从图象中得出指数函数的性质； 二、学习重点难点学习重点：指数函数的图象和性质；学习难点：从指数函数的图象得出指数函数的性质以及对底数a 的讨论。
三、教学过程：（一）引入课题 1. 阅读课本48页问题1和问题2，回答问题：问题（1）中时间x 与GDP 值中的*1.073(,20)xy x N x =∈≤，问题（2）中的t 和14C -含量()15730573011022tt P t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥==≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，请问这两个函数有什么共同特征？ 小结：两个关系式中底数都是正数，自变量为指数，即都可用()0,1xy aa a =>≠且表示。
(二)新课教学（Ⅰ）指数函数的概念： ，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．注：（1）规定0,1a a >≠且？（2）函数)10(≠>=a a a y x 且中，x a 前面的系数为1. 变式训练1：指出下列哪些是指数函数？（ ）（1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）x y )4(-=；（5）x y π=；（6）24x y =；（7）xx y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x 且. （Ⅱ）指数函数的图象和性质研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（2x y =，x )21(y =；3xy =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,x 5y =2．从画出的图象中你能发现函数x2y =的图象和函数x )21(y =的图象有什么关系？可否利用x 2y =的图象画出x )21(y =的图象？3．从画出的图象（x 2y =、x 3y =和x5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？例1：已知指数函数的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.变式训练:若指数函数的图象经过点()3,27，则a 的值为例2:比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-； （3）3.07.1，1.39.0.变式训练：比较下列各题中两个值的大小：（1）0.60.522，； （2）2 1.50.90.9--，； （3）0.5 2.12.10.5，例3：求下列函数的定义域、值域：⑴114.0-=x y ⑵153-=x y ⑶12+=xy解（1）由x-1≠0得x ≠1, 所以，所求函数定义域为{x|x ≠1}由 ，得y ≠1,所以，所求函数值域为{y|y>0且y ≠1}说明：对于值域的求解，可以令11t x =-，考察指数函数y=t 4.0,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理。
新人教A版必修1高中数学2.1.2-1指数函数及其性质导学案
高中数学 2.1.2-1指数函数及其性质导学案 新人教A 版必修1学习目标：1、理解指数函数的定义 2、掌握指数函数的图象和性质 学习重点：指数函数性质的应用 学习过程：一、情景体验、获得新知1、一张纸对折1次，厚度变为原来的2倍；对折2次，厚度变为原来的 倍；对折3次，厚度变为原来的2倍；对折4次，厚度变为原来的____ 倍；对折次，厚度变为原来的______倍。
2、指数函数的概念____________________ 练习：1、下列函数中是指数函数的是________ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥2、函数是指数函数，则a=_________二、指数函数的图象与性质1、图象：在直角坐标系中作出下列函数的图象(1)(2)2、指数函数的图象和性质练习：1、 若a>1，-1<b<0，则函数的图象一定在第_____象限 2、 比较大小（1） ，（2），(3) ,一、选择题(每小题5分，共20分)1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 22．若⎝ ⎛⎭⎪⎫142a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.()1，＋∞C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，123．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)5．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x ＋1<4，x∈Z，则M∩N 等于( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0} 6．设14<⎝ ⎛⎭⎪⎫14b <⎝ ⎛⎭⎪⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a二、填空题(每小题5分，共10分)7．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝____8．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．9．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.10．下列空格中填“>、<或＝”．(1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.三、解答题(每小题10分，共20分)11．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－2x(a >0且a ≠1)．12．已知a>0且a≠1，讨论f(x)＝a－x2＋3x＋2的单调性．．．13．(10分)已知函数f(x)＝3x＋3－x.(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明．。
指数函数导学案(自用经典必下)
指数函数导学案班级： 姓名 学号学习任务：（1）了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（3）理解指数函数的的概念和意义，能画出指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； （2）在学习的过程中体会研究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等。
学习过程：知识回顾：指数函数的概念：一般地，函数_____________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .练一练：判断下列函数是不是指数函数，为什么？（1）x y 4= （2）4x y = （3）xy 4-= （4）14+=x y合作探究一：指数函数的图像1、 在同一直角坐标系中用描点法画出函数xy 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像列表：2xy =1()2x y =描点、连线：合作探究二：指数函数x a y =的性质3、你能根据指数函数的图像的特征归纳出指数函数的性质吗？请完成下面表格：9 1 2 3 4 5 6 7 0 8 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 xy4．指数函数的应用1 已知指数函数()xx f 5= ，求()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2,2,0f f f f 的值。
2 比较下列各组数的大小（1）1.72.5 ，1.73 （2）1.70.2 ，0.94（3） 5287,78⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-小结 比较指数幂大小的方法：单调性法：利用函数的单调性，数的特征是底同指不同（包括可以化为同底的）。
中间值法：找一个中间值如“1”来过渡，数的特征是底不同指不同。
练一练 2：比较下列个组数的大小5.03.02.1,2.1258.0,8.0()222,21--⎪⎭⎫ ⎝⎛5432,32⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-\\3若函数是指数函数，则a 的值为多少？4已知y =f (x )是指数函数，且f (2)=4,求函数y =f (x )的解析式5已知函数)(212)(R x a x f x∈+-=是奇函数，求实数a 的值.6若指数函数xa y )12(-=是减函数，则a 的范围是多少？7已知函数)(x f 的定义域是（0,1），那么)2(xf 的定义域是多少？252.1,8.04.035.2,7.2-。
2.1.2_指数函数及其性质导学案
《2.1.1 指数与指数幂的运算(2)》达标检测1.下列运算中，正确的是 （ ）A.632a a a =⋅B.2332)()(a a -=-C.0)1(=-aD.632)(a a -=- 2.24362346)()(a a ⋅等于（ ）A.a B.2a C.3a D.4a 3.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果是 （ ） A.a 6 B.a - C.a 9- D.a 94.设45=x ，25=y ，则=-y x 25 .5.已知12=+y x ，9=xy 且y x <，求21212121y x yx +-的值.《2.1.2 指数函数及其性质（1）》预习学案【学习目标】掌握指数函数的概念【预习目标】阅读问题1和问题2，知道指数函数的一般形式.【预习指导】问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示指数函数的定义一般地，函数 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R.值域为），（∞+0.其中1,0≠>a a 且的含义是110><<a a 或.指数函数定义中，为什么规定1,0≠>a a 且,如果不这样规定会出现什么情况？【知识链接】学生已经学习了函数的知识，指数函数是函数知识中重要的一部分内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不是太难。
【典型例题】例1指出下列函数那些是指数函数例2若函数是指数函数，则a 的值为多少？例3已知y =f (x )是指数函数，且f (2)=4,求函数y =f (x )的解析式《2.1.2 指数函数及其性质（1）》达标检测1.判断下列函数是否是一个指数函数？,x y = x y 8=，x y 42⋅=，x a y )12(-=)1,21(≠>a a ，x y π=，236+=x y .2.在同一坐标做出x y 2=和xy )21(=两个函数的图像3.已知f (x )是指数函数，且255)23(=-f ，=)3(f《2.1.2 指数函数及其性质（2）》预习学案【学习目标】掌握指数函数的图象和性质【预习目标】知道指数函数图像的画法及有哪些性质【预习指导】函数x a y =（1,0≠>a a 且）的图像和性质.【知识链接】函数单调性及奇偶性的判断.函数定义域及值域的求法.【典型例题】例1求下列函数的定义域和值域（1）412-=x y ；（2）xy -=)32(；（3）11210-+=x xy .例2已知指数函数x a y =（1,0≠>a a 且）的图像过（3，π），求)3(),1(),0(-f f f 的值例3已知函数)(212)(R x a x f x ∈+-=是奇函数，求实数a 的值.《2.1.2 指数函数及其性质（2）》达标检测1.求下列函数的定义域和值域（1）22)21(x x y -=；（2）91312--x ；（3）)1,0(1≠>-=a a a y x .2若指数函数x a y )12(-=是减函数，则a 的范围是多少？3.已知函数)(x f 的定义域是（0,1），那么)2(x f 的定义域是多少？《2.1.2 指数函数及其性质（3）》预习学案【学习目标】掌握比较指数函数的的大小及图像变换问题.【预习目标】熟悉初中比较两个数大小的方法及函数图像变换.【预习指导】.1. 比较两个指数函数的大小.（1）21x x a a 与的大小比较，利用单调性比较（2）21x x n m 与的大小比较，要讨论m 、n 的值（3）对于异底数幂，无法直接利用单调性，可利用“中间值法”判断大小，常找的中间值可能是0或1±.2. 有关指数函数图像变换问题(1)左右平移：若已知的x a y =的图像，把x a y =的图像向左平移)0(>b b 个单位长度，则得到b x a y +=的图像，把x a y =的图像向右平移)0(>b b 个单位长度，则得到b x ay -=的图像， （2）上下平移：若已知的x a y =的图像，把x a y =的图像向上平移)0(>b b 个单位长度，则得到ba y x +=的图像，把x a y =的图像向下平移)0(>b b 个单位长度，则得到b a y x -=的图像.（3）函数x a y =的图像与x ay -=的图像关于y 轴对称，函数x a y =的图像与x a y -=的图像关于x 轴对称，函数x a y =的图像与x ay --=的图像关于原点轴对称. (4)x a y =（1,0≠>a a 且）的图像是将x a y =（1,0≠>a a 且）的图像在y 轴右边的部分沿轴翻折到y 轴的左边，这部分代替原来y 轴左边的部分，并保留xa y =（1,0≠>a a 且）在y 轴右边的部分图像即得到函数x a y =（1,0≠>a a 且）的图像. 【知识链接】初中比较两个数的大小一般用做差，在与0比较，熟读初中一元二次函数平移的知识，进一步熟悉平移方法，知道坐标平面内的四个象限分别是指哪部分.【典型例题】例1比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1,37.1; （2）1.08.0-,2.08.0-;(3)3.07.1，1.39.0. （4）3231-）（，532-. 例2已知函数b a y x +=的图像经过第一、三、四象限，试确定a 、b 的取值范围例3解不等式2)21(22≤-x .。
指数函数及其性质导学案
2.1.2 指数函数及其性质（学案）（第1课时）【知识要点】 1.指数函数；2.指数函数的图象；3.指数函数的单调性与特殊点 【学习要求】1.理解指数函数的概念与意义；2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点；【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数xy 073.1=与xy )21(=的特点是 .（2）一般地，函数xa y =（ ）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 . 2.指数函数的图象与性质 （1）列表、描点、作图象xx y 2=x y )21(=图象x y 2=x y )21(=2-5.1-1- 5.0- 05.01 5.12（2）两个图象的关系函数xy 2=与xy )21(=的图象，都经过定点 ，它们的图象关于 对称.通过图象的上升和下降可以看出， 是定义域上的增函数， 是定义域上的减函数.（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：10<<a 1>a图象定义域【基础练习】1.指出下列哪些是指数函数（1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）xy )4(-=；（5）xy π=；（6）24x y =；（7）xx y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x 且. 2.作出xy 3=的图象.3.求下列函数的定义域及值域： （1）3-=x a y ； （2）xxy 223-=；（3）11)21(-=x y4.下列关系中正确的是（ ）.（A ）313232)21()51()21(<< （B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.例2 比较下列各题中两个值的大小： （1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-；（3）3.07.1，1.39.0.1.函数bx aa a y +•+-=)33(2是指数函数，则有（ ）.（A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a （C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且2.若函数)(x f 与xx g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（ ）.（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞ 3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（ ）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2∈==x x y y B ，则（ ）. （A ）B A ⊆ （B ）B A ≠⊃ （C ）B A = （D ）Φ=B A I5.函数 xa x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）. （A ）0<a （B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a 6. 函数13-=-xy 的定义域和值域分别为 . 7.函数)10(2≠>=-a a ay x 且的图象必经过点 .8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的 倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2b a =且1>b ，比较aa -与bb2-的大小.10.已知函数b ax f x+=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.（1）求)(x f 的解析式； （2）画函数)(x f y =的图象；1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？2.1.2 指数函数及其性质（教案）（第1课时）【教学目标】1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系.2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点.3.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般过程、数形结合的方法等.【重点】指数函数的概念和性质.【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数xy 073.1=与xy )21(=的特点是 解析式都可以表示为xa y = 的形式 . （2）一般地，函数xa y =（1,0≠>a a 且）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R . 2.指数函数的图象与性质 （1）列表、描点、作图象xx y 2=x y )21(=图象x y 2=x y )21(=2- 25.0 4 1- 5.02 5.0- 70711.0 414.1 0 115.0 414.1 70711.0 1 2 5.02 4 25.0（2）两个图象的关系函数xy 2=与xy )21(=的图象，都经过定点 )1,0( ，它们的图象关于y 轴 对称.通过图象的上升和下降可以看出， xy 2=是定义域上的增函数，xy )21(=是定义域上的减函数.（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：10<<a 1>a图象定义域 RR值域 ),0(+∞),0(+∞性质 过定点)1,0(，即0=x 时，1=y在R 上时减函数在R 上时增函数【基础练习】1.指出下列哪些是指数函数 （1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）xy )4(-=；（5）x y π=；（6）24x y =；（7）xx y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x且. 解：是指数函数的有（1），（4），（5），（8）. 2.作出xy 3=的图象.解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-0,30,33x x y x x x，如图：3.求下列函数的定义域： （1）3-=x ay ； （2）xx y 223-=； （3）11)21(-=x y解：（1）要使式子有意义，则需要03≥-x ，即3≥x ，定义域为),3[+∞. （2）要使式子有意义，则需要x x 22-为实数，因此，定义域为R .（3）要使式子有意义，则需要11-x 有意义，定义域为{}1≠x x . 4.下列关系中正确的是（ D ）.（A ）313232)21()51()21(<< （B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.【审题要津】结合以前学过的求函数解析式的方法，本题中只要求出参数a 就可以了.解：因为xa x f =)(得图象经过点),3(π，所以π=)3(f ，即π=3a解得31π=a ，于是3)(x x f π=. 所以，1)0(0==πf ，331)1(ππ==f ，ππ1)3(1==--f .【方法总结】从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，即只需要列一个方程即可.向学生渗透方程的思想.例2 比较下列各题中两个值的大小： （1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-；（3）3.07.1，1.39.0.【审题要津】（1），（2）利用指数函数单调性，（3）要构造中间数 解：（1）5.27.1，37.1可看作函数xy 7.1=的两个函数值.由于底数17.1>，所以指数函数xy 7.1=在R 上是增函数.因为35.2<，所以35.27.17.1<.（2）2.01.08.0,8.0--可看作函数x y 8.0=的两个函数值.由于底数18.00<<，所以指数函数x y 8.0=在R 上是减函数.因为2.01.0->-，所以2.01.08.08.0--<. （1） 由指数函数的性质知 17.17.103.0=> 19.09.001.3=<所以1.33.09.07.1>.【方法总结】比较幂值的大小常常华化为同底数的幂，利用指数函数的单调性比较大小，或者借助幂值的范围利用中间数值过渡，常用的数值可能是0或1±.根据具体情况也可能是其他数值.1.函数b x a a a y +•+-=)33(2是指数函数，则有（ C ）.（A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a（C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且2.若函数)(x f 与x x g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（ C ）.（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R 4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2∈==x x y y B ，则（ A ）.（A ）B A ⊆ （B ）B A ≠⊃ （C ）B A = （ D ）Φ=B A I 5.函数 x a x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ B ）.（A ）0<a （B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a6.当]1,1[-∈x 时，函数x x f 3)(=的值域是 ]3,31[ . 7.函数)10(2≠>=-a a a y x 且的图象必经过点 )1,2( .8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的 47.1 倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由. （2）已知2b a =且1>b ，比较a a-与b b 2-的大小. 解：（1）Θ21)54(与31)109(底数不同，指数也不同， ∴应插入一个中间量进行比较.根据两个数的特征应插入31)54(或21)109(. x y =Θ在+∞,0(）上是增函数 ∴2121)109()54(<，又3121.11090><<，x y )109(=是减函数， 3121)109()109(<∴ 3131)109()54(<∴ （2）2b a =Θ∴只需比较22b b -与b b 2-的大小b b b >∴>2,1Θ，即b b 222-<-又x b y =是增函数，b b b b222--<∴，即b a b a 2--< 10.已知函数b a x f x +=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(. (1) 求)(x f 的解析式；(2)画函数)(x f y =的图象；解：（1）由题意知：21)0(,3)21(=+==+=b f b a f ， 解得：⎩⎨⎧==12b a 1412)(2+=+=∴x x x f（2）1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？解：设未漂洗时衣服上的污垢量为)0(>a a ,经过x 次漂洗后，存留污垢量为y ，则 经过第一次漂洗，41)431(•=-=a a y ， 经过第二次漂洗，2)41()431(41•=-••=a a y …… ……经过第x 次漂洗，x a a y )41(......4141•=••= 若使存留污垢不超过原来的%1，即%1•≤a y ，%1)41(•≤•a a x 1004≥x434256100644=<<=Θ4≥∴x至少要漂洗4次，存留污垢才不会超过原来的%1.。
《指数函数的图像和性质》第2课时导学案
课题:4.2.2《指数函数的图像和性质 》（第2课时）导学案命制人： 审核人： 使用人: 高一全体学生 使用日期:学习目标：1.能用指数函数的图像研究函数的值域和单调性。
2.能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题。
任务一：知识回顾底数a 的范围10<<a 1>a图象性质 定义域 值域 过定点单调性 任务二：知识应用题型一：求指数型函数的定义域例1．函数121x x y -=-的定义域是（ ）A ．RB ．{}|1x x ≠C ．{}|0x x ≠D ．{|0x x ≠且}1x ≠练习1函数()39x f x =-的定义域为练习2函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为 练习3函数()1182102xf x x ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭的定义域为 题型二：求值域和最值例2．函数()[]1,0,22xf x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域是 练习1函数3x y =+1在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 ． 练习2求函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭-2，[]1,3x ∈的最大值与最小值。
例3．已知函数()1,02,0x x f x xa x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是 . 练习1函数4,104,023x x x y x ⎧-≤≤⎪=⎨⎛⎫<≤⎪ ⎪⎝⎭⎩的值域为 . 例4．函数3132x x y -=-的值域是 ． 练习1求函数2121x x y -=+的值域 例5．已知函数()2234x x f x +=-⨯定义域为[]1,1x ∈-，则()f x 的最大值和最小值分别是（ ）A ．2,03B ．4,13C ．45,34D ．log3,1题型三指数型函数的单调性与最值例6.函数y ＝13x 的单调递减区间是( )A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(－∞，0)和(0，＋∞)练习1函数的单调递增区间是 . 练习2函数y=a x 在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则a=________________.任务三：能力提高1.若且 求 的取值范围. 2.（多选）已知实数满足等式 ，则下列关系式中，可能成立的关系式有( ) A. B. C. D.3.若函数 则不等式 的解集为 .4.函数1423x x y +=-+的定义域为[]1,1x ∈-，求函数的值域.5.已知函数. （1）若，求 的单调区间； （2）若的最大值为3，求实数 的值； （3）若的值域是 ，求实数 的值.作业布置：课本习题4.2的1.3.6题及同步练习册。
《指数函数的图像和性质》教案、导学案与同步练习
《第四章 指数函数与对数函数》 《4.2.2指数函数的图像和性质》教案【教材分析】本节课在已学指数函数的概念，接着研究指数函数的图像和性质，从而深化学生对指数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究对数函数幂函数等其它函数打下基础。
另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了指数函数的知识，例如细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，所以学习这一节具有很大的现实价值。
【教学目标与核心素养】 课程目标1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.数学学科素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【教学重难点】重点：指数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质． 【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】 一、情景导入请学生用三点画图法画图像，观察两个函数图像猜测指数函12,()2x x y y ==数有哪些性质？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本116-117页，思考并完成以下问题1.结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？2.指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、指数函数的图象和性质四、典例分析、举一反三题型一指数函数的图象问题题点一：指数型函数过定点问题例1函数y＝a x－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．【答案】(3,4)【解析】因为指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．题点二：指数型函数图象中数据判断例2函数f(x)＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D.0＜a ＜1，b ＜0【答案】D【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b ＞0，即b ＜0.题点三：作指数型函数的图象例3画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝－2x .【答案】见解析【解析】如图．(1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位长度得到的；(2)y ＝－2x 的图象与y ＝2x 的图象关于x 轴对称． 解题技巧：（指数函数的图像问题）1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y 轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.无论指数函数的底数a 如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小.2.因为函数y=ax 的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b 均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).3.指数函数y=ax 与y=(1a )x(a>0,且a≠1)的图象关于y 轴对称.4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.跟踪训练一1、如图是指数函数:①y=a x,②y=b x,③y=c x,④y=d x的图象,则a,b,c,d 与1的大小关系是( )A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c2、已知函数f(x)=a x+1+3的图象一定过点P,则点P 的坐标是 .3、函数y=的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?【答案】1.B2.(-1,4)3.原函数的图象关于y 轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).【解析】1、解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y 轴右边,底数越小,图象向下越靠近x 轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y 轴右边,底数越大, 图象向上越靠近y 轴,故有d<c.故选B.(方法二)作直线x=1,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D 四点, 将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值, 所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大. 由图可知b<a<1<d<c.故选B. 答案:B2、解析:∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a 0+3=4恒成立,故函数f(x)=a x+1+3恒过(-1,4)点.3、解:∵y=(12)|x|={(12)x,x≥0,(12)-x ,x<0,∴其图象由y=(12)x(x≥0)和y=2x (x<0)的图象合并而成.||1()2x而y=(12)x(x>0)和y=2x(x<0)的图象关于y 轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).题型二指数函数的性质及其应用 题点一：比较两个函数值的大小 例4比较下列各题中两个值的大小: （1）1.72.5与1.73 （2）0.8−√2与0.8−√3 （3）1.70.3与0.93.1【答案】(1)1.72.5<1.73(2)0.8−√2<0.8−√3（3）1.70.3>0.93.1【解析】(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R 上是增函数.又2.5<3,∴1.72.5<1.73(2)(单调性法)由于0.8−√2与0.8−√3的底数是0.8,故构造函数y=0.8x,而函数y=0.8x在R 上是减函数.又0.8−√2<0.8−√3（3）(中间量法)由指数函数的性质,知0.93.1<0.90=1,1.70.3>1.70=1,则1.70.3>0.93.1题点二：指数函数的定义域与值域问题 例5求下列函数的定义域与值域 (1)y=21x−4; (2)y=(23)-|x|.【答案】(1)定义域为{x|x ∈R,且x≠4},值域为(0,1)∪(1,+∞). (2)定义域为R,值域为[1,+∞). 【解析】(1)∵由x-4≠0,得x≠4,∴函数的定义域为{x|x ∈R,且x≠4}.∵1x−4≠0,∴21x−4≠1.∴y=21x−4的值域为(0,1)∪(1,+∞).（2）函数的定义域为R.∵|x|≥0,∴y=(23)-|x|=(32)|x|≥(32)0=1.故y=(23)-|x|的值域为[1,+∞).解题技巧：（指数函数的性质及其应用） 1.函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域、值域:(1)定义域的求法.函数y=a f(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.(2)函数y=af(x)的值域的求法如下.①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x ∈D; ③求t=f(x)的值域t ∈M;④利用y=a t的单调性求y=a t(t ∈M)的值域. 2.比较幂的大小的常用方法:跟踪训练二1、比较下面两个数的大小: (a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2). 2、比较下列各题中两个值的大小: ①2.53,2.55.7; ②1.5-7,(827)4;③2.3-0.28,0.67-3.1.【答案】1.当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4. 2.①2.53<2.55.7..②1.5-7>(827)4.③2.3-0.28<0.67-3.1.【解析】1、因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1, 若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x 是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4. 故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4; 当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.2.①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R 上是增函数.又3<5.7,∴2.53<2.55.7. ②(化同底)1.5-7=(32)-7=(23)7,(827)4=[(23)3]4=(23)12,构造函数y=(23)x.∵0<23<1,∴y=(23)x 在R 上是减函数.又7<12,∴(23)7>(23)12,即1.5-7>(827)4. ③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本118页习题4.2 【教学反思】本节通过运用指数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.《4.2.2 指数函数的图像和性质》导学案【学习目标】知识目标1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.核心素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.【重点与难点】重点：指数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质．【学习过程】一、预习导入阅读课本111-113页，填写。
指数函数及其性质(导学案)
5.求函数 y 4x 2x1 1(x R) 的值域.
x t 2 (t 0), 解：运用换元法，令
得到关于t的二次函数，答案为 (1, )
2014-11-13
6.若函数 求a的取值范围.
ax2 1( x 0) f ( x) 2 ax (a 1)e ( x 0)
y ax
( a 1)
y a x (0 a 1)
y
1 0
x
1
0
x
图象自左至右逐渐上升
2014-11-13
图象自左至右逐渐下降
探究3 指数函数的性质
0<a<1
y ax
y
a>1
y
y ax
( a 1)
图象
1
0
x
1 0
x
定义 域 值域
R （0，+∞）
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（1）过定点（0，1），即x=0 性质 时， y=1 R上是 （2）在R上是增函 （2）在 减函数 数
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3.若函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取
值范围是( A ).
A.m≤-1
C.m≥1
B.-1≤m＜0
D.0＜m≤1
解析：∵|1-x|≥0,∴2|1-x|≥1.
∵y=2|1-x|+m≥1+m,
∴要使函数y=2|1-x|+m的图象与x轴有公共点，
则1+m≤0即m≤-1.
0 1
0.5
1
1.5
2
0.7 0.3 0.2 0.5 1 5 5
1 y 2
x
指数函数的性质导学案
人教A 版 数学必修1 导学案活页 第一章 基本初等函数(1) 高一年级 一（ ）班 2017级高一数学组制小结：由画图可知指数函数xa y =)1(>a 时，a 越大，函数图象越自己画图试一试，可以得出指数函数xa y =)10(<<a 时，a 越大，指数函数练习1．下列一定是指数函数的是( )A ．形如y ＝a x 的函数B ．y ＝x a (a >0且a ≠1)C ．y ＝(|a |＋2)－xD ．y ＝(a －2)a x2．函数f (x )＝x-2的值域是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(0，＋∞)D ．R3．若指数函数f (x )＝(a －1)x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．a <2 C ．0<a <1 D ．1<a <24．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<+Z x x x ,42211，则M ∩N 等于( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0}5．设R x x f x ∈=,)21()(||,那么f (x )是( )A ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 6．函数y ＝15+-x a (a ≠0)的图象必经过点( ) A ．(0,1) B ．(5,1) C ．(5,2) D ．(1,5)7．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝5.121⎪⎭⎫⎝⎛，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 28．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为()9．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13二、填空题10．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围是________． 11．指数函数y ＝f (x )的图象经过(π，e)，则f (－π)＝____.12.函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a 的值_____ 三、解答题13．解不等式145-+<x x a a (a >0且a ≠1)．14 求下列函数的定义域与值域． (1)y ＝412-x ； (2)y ＝x-⎪⎭⎫⎝⎛32 (3)23-=x y ；15．设a >0，函数f (x )＝3x a ＋a3x 是定义域为实数集R 的偶函数． (1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．指数函数练习答案1. 答案 C解析 ∵y ＝(|a |＋2)－x＝⎝⎛⎭⎫1|a |＋2x ，|a |＋2≥2，∴0<1|a |＋2≤12，符合指数函数定义．2. 答案 A解析 ∵－|x |≤0，∴0<2x ≤1，即函数的值域为(0,1]． 3. 答案 D解析 由题意知0<a －1<1，解得1<a <2.4. 解析 N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x ＋1<4，x ∈Z ＝{x |－1<x ＋1<2，x ∈Z }＝{x |－2<x <1，且x ∈Z }＝{－1,0}，∴M ∩N ＝{－1}． 答案 B 5. 答案 A解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝⎝⎛⎭⎫12x， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 6. 答案 C解析 指数函数的图象必过点(0,1)，即a 0＝1，由此变形得a 5－5＋1＝2， 所以所求函数图象必过点(5,2)． 7. 答案 D解析 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5.因为函数y ＝2x在实数集上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2. 8. 答案 C解析 由0<m <n <1可知①②应为两条递减曲线，故只可能是选项C 或D ，进而再判断①②与n 和m 的对应关系，判断方法很多，不妨选择特殊点，令x ＝1，则①②对应的函数值分别为m 和n ，由m <n 知选C.解析 当x ≥1时，函数递增，且以x ＝1为对称轴． 所以自变量与1的差值的绝对值越大，函数值越大． 10.答案 B 答案 (0,1)解析 由a x －1≥0，得a x ≥1.根据指数函数的性质知a ∈(0,1)．11. 答案 1e解析 设f (x )＝a x ，则a π＝e ，∴f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e.12. 解 ∵f (x )＝a x在[1,2]上是单调函数，∴f (x )在1或2时取得最值． ∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3，∵a >0，∴a ＝2.13. 解 当a >1时，原不等式可变为x ＋5<4x －1.解得x >2； 当0<a <1时，原不等式可变为x ＋5>4x －1.解得x <2. 故当a >1时，原不等式的解集为(2，＋∞)； 当0<a <1时，原不等式的解集为(－∞，2)． 14. 解 (1)由x －4≠0，得x ≠4.∴定义域为{x |x ∈R 且x ≠4}．∵1x －4≠0，∴412-x ≠1，∴y ＝412-x 的值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)定义域为R .∵|x |≥0，∴y ＝x-⎪⎭⎫⎝⎛32的值域为{y |y ≥1}(3)定义域为[2，＋∞)， ∵x －2≥0，∴y ＝23-=x y ≥1，∴值域为[1，＋∞)．15．(1)解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )，即3x a ＋a 3x ＝3－xa ＋a3－x ，即3x ⎝⎛⎭⎫1a －a ＋13x ⎝⎛⎭⎫a －1a ＝0，⎝⎛⎭⎫3x －13x ⎝⎛⎭⎫1a －a ＝0，又根据题意，可得1a－a ＝0，又a >0，所以a ＝1.(2)证明 由(1)知f (x )＝3x ＋13x ，设任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝3x 1＋13x 1－3x 2－13x 2＝(3x 1－3x 2)⎝⎛⎭⎫1－13x 1＋x 2.因为0<x 1<x 2，所以3x 1<3x 2；又x 1＋x 2>0，所以3x 1＋x 2>1，则1－13x 1＋x 2＝3x 1＋x 2－13x 1＋x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 于是知f (x )在(0，＋∞)上是增函数。
指数函数及其性质(导学案)
高一数学◆必修1◆导学案§2.1.2 指数函数及其性质（1）★学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.★学习过程一、新课导学探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：细胞分裂时，第 1 次由1个分裂成 2 个，第 2 次由2个分裂成 4 个，第 3 次由4个分裂成 8 个，如此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 y 与次数x 的关系式是什么？_________________________________.【讨论】：（1）这个关系式是否构成函数？（2）是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？新知：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做________函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .反思1：为什么规定10≠>a a 且呢？否则会出现什么情况呢？ 【讨论】：则若,0=a _______________________________________. 则若,0<a _______________________________________.则若,1=a _______________________________________.反思2：函数xy 32⨯=是指数函数吗？ 《学生活动》下列函数哪些是指数函数？（1）xy 3= （2）xy 12= （3）x y )2(-= (4)13+=xy（5）x y 23= （6）xy π= （7）24x y = (8))121()12(≠>-=a a a y x且 ____________________________.探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：（1）研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．（2）研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值等等．《作图》：在同一坐标系中画出下列函数图象：x y 2= xy )1(=《练习》在上面的坐标系中继续作出xxy y )31(3==与的图像新知：根据图象归纳指数函数的性质《巩固训练》1. 函数x a y =中，无论10,0<<>a a 还是,都经过______________.2. 指数函数xa y =中，x a 和的取值范围分别是_________________________. 3. 若函数x a y )12(+=是减函数，则a 的取值范围是__________________.二、典型例题例1：求下列函数的定义域：（1）23-=x y （2）x y 1)21(=例2：已知指数函数xa x f =)(（1,0≠>a a 且）的图象经过点),3(π,求)3(),1(),0(-f f f的值.例3：比较下列各题中两个值的大小: (1) 35.27.1 ,7.1 (2) 2.01.08.0 ,8.0-- (3) 1.33.09.0 ,7.1(4) 比较2131a a 与的大小，)1,0(≠>a a 且《练习》1. 求下列函数的定义域：（1）x y -=32 （2）123+=x y （3）xy 5)21(= （4）x y 17.0=2. 比较下列各题中两个数的大小： (1) 7.08.03 ,3 (2) 1.01.075.0 ,75.0-(3) 5.37.201.1 ,01.1(4)已知的大小关系是则c b a c b a ,,,2.1,8.0,8.08.09.07.0===_____________________.《课后探究》 1. 求函数1511-=-xx y 的定义域？2. 在上，],[n m )1,0()(≠>=a a a x f x且的值域？。
2.1.2《指数函数及其性质》(导学案)
2.1.2《指数函数及其性质》（导学案）江门市新会陈瑞祺中学数学科讲学稿年级：高一内容：2.1.2《指数函数及其性质》课型：新课执笔人：陈鹏审核人：谭安民、吴军武时间：2021年9月7日班级姓名________【学习目标】1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，2．根据图像探索并概括指数函数的性质. 3、让学生感受指数函数的图象美。
【重点】指数函数的概念，增强数形结合的思想。
【难点】指数函数的性质【使用方法与学法指导】1、先精读一遍教材P54―P58内容，用红笔进行勾画；再针对预习案二次阅读教材，并回答问题，时间不超过15分钟；2、找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑；3、预习后，A层同学结合探究案进行探究、尝试应用，B层同学力争完成探究点的研究，C层同学力争完成预习案。
预习案一、预习自学1．阅读课本P54,填空:定义：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为思考:为什么要规定a?0,且a?1呢?2.填表后画出函数y?2x的图象 x ?2?1 0 1 2 y?2x3.填表后画出函数y?()x的图象 1y?()x 212x ?2 ?1 0 1 2二、我的疑惑探究案探究点一：1 用心去倾注.用脑去思考. 用行动去演绎你的数学人生江门市新会陈瑞祺中学数学科讲学稿1．函数y?(a2?3a?3)ax是指数函数,求a的值2．学习课本P56例63. （用列表描点法）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象(1)y?3 (2)y?31xy?()的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下 4．以函数y?2与2xx?x性质：定义域为，值域为；当x?0时，y?1，即图象过定点；探究点二：指数函数的性质：请进一步归纳总结出指数函数y?ax(a?0,a?1)的图象和性质： 0〈a<1 a>1 图象定义域值域性质 12 总结（1）函数y?2x和y?()x，y?3x和y?3?x的图象的关系（2）底数对图象的影响探究点三：课堂互动，合作研讨：1．指出下列函数哪些是指数函数:(1)y?x (2)y??4x (3) y?(?4)x (4)y?x (5) y?2x (6)y??x42x2 用心去倾注.用脑去思考. 用行动去演绎你的数学人生江门市新会陈瑞祺中学数学科讲学稿x2．已知指数函数f(x)?a的图象经过点(-1,3),(1)求a的值. (2)求f(1),f(?3)的值.探究点四：探究应用，自我提高(a?0,且a?1). 1．已知函数f(x)?a（1）求该函数的图象恒过的定点坐标；（2）指出该函数的单调性.例练结合x例1 已知指数函数f(x)＝a(a＞0, 且a≠1)的图象过点(3, 27)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5,1.73 （2）0.8?0.12?3x,0.8?0.2 ( 3 ) 1.70.3 与0.93.113 ???2?4?2?4 练习：（）12.40.6，2.40.2;(2)??,??;?3??3?(3)0.95,0.94；（4）40.540.8例3 求下列函数的定义域 1 (1)y?0.4x?1(2)y?35x?1(3)y练习：求下列函数中自变量x的取值范围： x?x(1)y?2;(2)y?3;x1?? (3)y?3x?9;(4)y?1????2??2x?1(4)y?4x?2x?1?13 用心去倾注.用脑去思考. 用行动去演绎你的数学人生江门市新会陈瑞祺中学数学科讲学稿例4 解不等式： (1)2x?4x?1(2)a3x?1?a2x?4(a?0,a?1)练习：已知y1?a3x?1，y2?a2x(a?0,a?1)，x为何值时，y1?y2?课堂小结（1）指数函数的概念、图像以及性质（注意分a?1和0?a?1两种情况）；（2）利用图像以及性质来解决一些简单的指数函数应用。
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定义域是 R .
2.指数函数的图象与性质
（1）列表、描点、作图象
x
y = 2x y = (1)x
2
−2 −1 − 0.5 0 0.5
0.25 0.5 0.70711 1 1.414
4 2 1.414 1 0.70711
y = 2x
图象
y = (1)x 2
4
一寸光阴不可轻
12
0.5
24
0.25
（2）两个图象的关系
2 2.作出 y = 3 x 的图象.
3.求下列函数的定义域及值域：
（1） y = a x−3 ；
（2） y = 3x2 −2x ；
（3）
y
=
(1)
1 x−1
2
4.下列关系中正确的是（
（A）
(
1
)
2 3
(1
)
2 3
(
1
)
1 3
252
）.
（B）
(
1
)
1 3
(
1
)
2 3
(1
)
2 3
225
12 11 12 （C） ( ) 3 ( )3 ( ) 3
4.若集合 A = {y y = 2 x , x R}， B = {y y = x2 , x R}，则（
）.
（A） A B （B） A B （C） A = B （D） A B =
5.函数 f (x) = (a + 1) x 是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是（
）.
（A） a 0 （B） −1 a 0 （C） 0 a 1 （D） a −1
一寸光阴不可轻
2.1.2 指数函数及其性质（学案）
（第 1 课时）
【知识要点】 1.指数函数； 2.指数函数的图象； 3.指数函数的单调性与特殊点
【学习要求】 1.理解指数函数的概念与意义； 2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊
点；
【预习提纲】 （根据以下提纲，预习教材 1.指数函数的概念
（2） 0.8−0.1， 0.8−0.2 ； （3）1.70.3 ， 0.93.1 .
1.
函
数
数，则有（
）.
（A） a = 1或 a = 2,b R
y = (a 2 − 3a + 3) • a x+b 是 指 数 函 （B） a = 1,b = 0
（C） a = 2,b = 0
（D） a 0且a 1,b = 0
函数 y = 2 x 与 y = ( 1ห้องสมุดไป่ตู้) x 的图象，都经过定点 (0,1) 2
，它们的图象关于 y 轴 对称.通
过图象的上升和下降可以看出， y = 2 x 是定义域上的增函数，y = ( 1 ) x 是定义域上的减函数. 2
（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：
（1）函数 y = 1.073 x 与 y = ( 1 ) x 的特点是 2
第 54 页～第 57 页） .
（2）一般地，函数 y = a x（
）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 .
2.指数函数的图象与性质
（1）列表、描点、作图象
x
y = 2x y = (1)x
2
y = 2x
图象
y = (1)x 2
2.若函数 f (x) 与 g(x) = (1) x 得图象关于 y 轴对称，则满足 f (x) 1的 x 的取值范围是 2
（
）.
（A） R
（B） (−,0)
（C） (0,+)
（D） (1,+)
3.函数 y = 2 − x2 + 2 x−1 的定义域是（
）.
（A）{x − 2 x 2} （B）{x1 x 2} （C）{x x 1} （D） R
3
一寸光阴不可轻
10.已知函数 f (x) = a 2x + b 的图象过点 ( 1 ,3) 和 (0,2) . 2
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）画函数 y = f (x) 的图象；
1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的 3 ，写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的函数关系 4
式，若要使存留污垢不超过原来的1% ，则至少要漂洗几次？
2.1.2 指数函数及其性质（教案） （第 1 课时） 【教学目标】 1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系. 2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单 调性和特殊点. 3.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般过程、数形 结合的方法等. 【重点】指数函数的概念和性质. 【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.
522
【典型例题】
（D）
(
1
)
2 3
(
1
)
2 3
(
1
)
1 3
522
例 1 已知指数函数 f (x) = a x (a 0,且a 1) 的图象经过点 (3, ) ，求 f (0) ， f (1) ，
f (−3) 的值.
例 2 比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5 ，1.73 ；
2
一寸光阴不可轻
6. 函数 y = 3−x −1的定义域和值域分别为
.
7.函数 y = a x−2 (a 0且a 1) 的图象必经过点
8.某厂从今年起每年计划增产 8% ，则经过 5 年，产量能达到现在的 到 0.01 ）.
9.（1）比较
(
4
)
1 2
与(
9
1
)3
的大小并说明理由.
5 10
. 倍（精确
（2）已知 a = b2 且 b 1，比较 a−a 与 b−2b 的大小.
−2
− 1.5
−1
− 0.5
0
0.5
1
1 .5
2
（2）两个图象的关系
函数 y = 2 x 与 y = ( 1 ) x 的图象，都经过定点 2
，它们的图象关于
通过图象的上升和下降可以看出，
是定义域上的增函数，
对称. 是定义域上的
减函数.
（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：
0 a 1
a 1
1
一寸光阴不可轻
图象
定义域 值域
性质
【基础练习】 1.指出下列哪些是指数函数
（1） y = 4 x ；（2） y = x 4 ；（3） y = −4 x ；（4） y = (−4) x ；（5） y = x ； （6） y = 4x2 ；（7） y = x x ；（8） y = (2a −1) x (a 1 且a 1) .
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材
第 54 页～第 57 页）
1.指数函数的概念
（1）函数 y = 1.073 x 与 y = ( 1 ) x 的特点是 解析式都可以表示为 y = a x 的形式
.
2
（2）一般地，函数 y = a x （ a 0,且a 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的