高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第五章课后答案
同济大学《高等数学》[上册]的答案解析
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练习 2-5
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总习题四
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练习 3-3
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练习 3-4
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练习 4-3
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练习 4-4
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同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 导数与微分(圣才出品
区间 Ix＝{x|x＝f（y），y∈Iy}内也可导，且
f 1 x
f
1
y
或
dy dx
1 dx
dy
3．复合函数的求导法则
如果 u＝g（x）在点 x 可导，而 y＝f（u）在点 u＝g（x）可导，则复合函数 y＝f[g（x）]
在点 x 可导，且其导数为
dy f ug x或 dy dy du
dx
dx du dx
u nv
nu n1v
nn
1
u
n2 v
...
n
n
1... n
k
1
u
nk
v
k
... uv
n
2!
k!
或
uv n n Cnkunkvk k 0
四、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
1．隐函数的导数
（1）隐函数 F（x，y）＝0 导数的求法
把函数方程两边分别对 x 求导，然后化简得到 dy/dx 的结果。
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第 2 章 导数与微分
2.1 复习笔记
一、导数概念
1．导数
（1）导数与导函数
①导数的定义
f
x0
lim
x0
y x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
（2）单侧导数
①左导数
f ( x0
)
lim
h0
f
x0 h
h
f
x0
②右导数
（1）参数方程的一阶导数公式
dy dx
dy dt dt dx
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 函数与极限(圣才出品
（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
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第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
高等数学 课后答案 - 高等教育出版社(同济大学数学系)
高等数学 高等教育出版社--同济大学数学系习题一1、（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-254876131210131311412 （5）原式=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++333232131323222121313212111321)(x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x233332323131322322222121311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++= =j i ij j i x x a ∑=31,2、（1）T B A 23-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡165654111202022242363636333 （2）B AB T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101012111101011121121212111 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101441300101012111202431211 （3）T BA A -2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121211121101012111121212111121212111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡414645233242031211656676444 3、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321220011112y y y B y y y z z z ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321111110011x x x A x x x y y y ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=552121023111110011230011112BA ⎪⎩⎪⎨⎧++=--=-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴32133212211321321321321552223552121023xx x z x x x z x x z x x x x x x BA y y y B z z z 或 4、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.14.4251482041015620105B A 则4321414.118562.1515114355158A A A A AB ←←←←⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 即1A 工厂总收入158万元，利润55万元，其他类似. 5、设现有人口用矩阵表示为（单位：万人）：)50,80(=A转移矩形⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆9.01.02.08.0B , 则三年后人口可表示为[]3)(AB B B AB = )09.74,91.55(781.0219.0438.0562.0)50,80(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 即三年后市区，郊区人口分别为55.91，74.09万人.注：也可以先乘AB ，再计算（AB ）B ，最后算[]B B AB )(.用AB 3计算时，B ，B 2，B 3的每行两数之和为1，最终结果两数之和为130，否则结果错误. 6、记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7.015.110506230157182010B A则 T AB )150,5.46,6.47(=即此人每天摄入蛋白质，脂肪，碳水化合物分别为47.6，46.5，150克. 7、⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=22222200002000020000240040000400004111111111*********11111111111111A⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==44442242222)(A A 猜想⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn nA 222222222 （*） 用数学归纳法证明①当1=n 时，显然由2A 的表达式知猜想成立. ②设k n =时成立，即{}K K K K k diag A 222222,2,2,2=．当1+=k n 时，22)1(2A A A k k ⋅=+={}k k k k diag 22222,2,2,2{}22222,2,2,2diag =diag{)1(2)1(2)1(2)1(22,2,2,2++++k k k k }. 因此，1+=k n 时，猜想也成立综上：（*）式成立，因此⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==+111111*********120000200002000022222212nn n n n n A A A ()A nn nnn n n n nn n n n n n n n 2222222222222222222222222222222222=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=. 注：简洁算法是()A A E A A n n n 22222==.8、 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121557331233122A222200003003151551012155735)(x O E A A A f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=∴ 9、（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+521123241302111120221032121T T B A 注：也可用T B A )(+，更易求！ (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=54651360556410630201232121311012210)(TTT BA （3）B B A T )(-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=921116521031101221010334100110、设33)(⨯=ij a B ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000000100010000000100010333231232221333231232221131211323122211211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a AB a a a a a a a a a a a a a a a BA由AB=BA 可得：,0,,,0,,0323133223221312312221121========a a a a a a a a a a a a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴111211131211a a a a a a B 即任意形如),,(000R c b a a b a c b a∈∀⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡的矩阵都可以和A 相交换. 11、（1）T TT T A A A A A A +∴+=+)(对称T T T T T A A A A A A A A -∴--=-=-)()(反对称（2）)(21)(21T T A A A A A -++=12、AB B B A B AB B T T T T T ==)(13、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n a a a a a a A ΛΛΛ1221111，考虑T AA 的对角线上的元素，由nxn T AA 0=可得 0,,2,1,0),(0)2,2(0)1,1(0222212222222121212211=∴==∴∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++A nj i a Ra n n AA a a a AA a a a AA a a a ij ij T nn n n T n T n ΛΘΛΛΛΛΛ元的第元的第元的第14、注意到：n k n n E A A E A E =+++--))((1Λ及n n k n E A E A A E =-+++-))((1Λ（利用0=k A ）．A E n -∴可逆，且11)(--+++=-k n n A A E A E Λ.15、0672=--n E A A⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⇒-=-+=-⇒=-⇒nn n n n n n n n n E E A E A E E A E A E E A A E E A A 129121)2(12)9)(2()6761(6)7(再验证：nn n n n E E A E A E A E A =+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-)2(1291216761于是可说E A A 2,+均可逆，且 n n n E A E A E A A 43121)2(,676111+-=+-=-- 说明：对于数a而言，当0672=--a a 时，可以得到12)9)(2(,6)7(-=-+=-a a a a ，矩阵的乘法可类比.16、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==345123101)(ij b B ，易求出AB. 17、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=αααα2cos 2sin 2sin 2cos 2A猜想 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααn n n n A n cos sin sin cos （*）用数学归纳法证：① 1=n 时成立．② 设1-n 时成立，则n 时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⋅=-ααααααααcos sin sin cos )1cos()1sin()1sin()1cos(1n n n n A AA n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααn n n n cos sin sin cos 故（*）式成立19、（1）原式T T T T n u u u u uu uu E )(λμμλ+--= T T n uu u u E )(λμμλ-+-=（2）当1≠u u T λ时，由0=-+u u T λμμλ可解出,1uu T λλμ--=则由（1）结果可知此时n T n T n E uu E u E =--))((μμλ，从而T n uu E λ-可逆． 22、22))((B BA AB A B A B A -+-=-+.当BA=AB 即A 、B 可交换时，22))((B A B A B A -=-+. 23、设,),,(),(1T n ij x x x a A Λ==由0=Ax 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++)(0)2(0)1(01121211111m x a x a x a x a x a x a n mn m n n n n ΛM ΛΛΛΛ由于n R x ∈是任意的（x 是任意n 维列向量），分别取),,2,1(,)0,,1,,.0(n j e x T j ΛΛΛ===，则,0),,,(21==T mj j j j a a a Ae Λ得到),,,1.(0m i a ij Λ==又j 分别取n ,,2,1Λ时，可得 ),,1;,,1(,0n j m i a ij ΛΛ===，故 .0=A24、设T j ij i e y a A x )0,,1,,0(),(),0,,1,,0()(ΛΛΛΛ====则由⇒=0xAy ,0010)0,,1,,0(111111==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ijnn nj n in ij i n j a a a aa a a a a a M M ΛΛM M M ΛΛM M MΛΛΛΛ).,,1;,,1(n j m i ΛΛ== 故 .0=A 25、（1） T ij x a A )1,,1,1(),(Λ==则 11111111111nx nn n n nn n n a a a a a a a a Ax ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛΛΛM ΛΛΛΛ （2）A 的每行元素之和为常数a ，即是ax Ax =.,)()(111x aA x ax A Ax A ---=⇒=∴又0≠a （否则00=⇒=x Ax ，矛盾）x a x A 11=∴-，即A -1每行元素之和皆为a1．27、设),,(1n a a diag A Λ=，)(ij b B =，),(),(ij ij d BA c AB ==则 ,001ij i nj ij i j ij b a b b a b c =⋅+++⋅=ΛΛ（A c ij =Θ的第i 行元素与B 的第j 列对应元素乘积之和）j ij in j ij i ij a b b a b b d =⋅+++⋅=001ΛΛ，令BA AB =得ij ij d c =．即 j ij ij i a b b a =0)(=-⇒ij j i b a an a a ΛΘ1两两不等，即)(j i a a j i ≠≠ B j i b ij ∴≠=∴)(0为对角矩阵．习题二1、按第3行展开00000000051412524232115141311325242252423221514131231a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -=25242315141341322524231514134231a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅-⋅==0． 2、（1）第2列减去第3列，提出公因数100； （2）化阶梯形；（3）第一行展开，再化阶梯形；（4）第2，3，4列加到第1列提出公因数10.（5）yxx y x y x y y x yx yx x y x yx y x y yx D 111)22(222222+++=+++++= xy x y xx y y x ---+=001)22().(2)]([)22()22(332y x y x y x y x xy x yxy x +-=-+-⋅+=---⋅+=（7）原式 .0221222122212221252321252321252321252321222222222=++++=++++++++++++=d d c c b b a a d d d d c c c cb b b b a a a a3、（1）按第一行展开，再把第2个1-n 阶行列式按最后一行展开000)1(1⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=+ΛΛy xx yxx xD n1121)1()1(-++--+=n n n y x xxO.22--=n n x y x（2）按第一行展开111)1(-+-⋅=n n n b b b D O )()1(11n n b b Λ+-=．（3）原式＝.)1(!)1(!221)1)(1()1(121)1(2)2)(1(12)1(1111++++++++-++-=-==----=--n n n n n n n n n n n n n n ΛΛNN（4）第1,3至n 行分别减去第2行，再按第1列展开.)!.2(220000100222000012000010022220001--=--=--=n n n D ΛM M M M M ΛΛΛΛM M M M M ΛΛΛ（5）212---=n n n D D D ⇒211----=-n n n n D D D D12312=-=-D D⇒)2(11≥=--n D D n n∴1)2(2⋅-+=n D D n （等差数列）123+=-+=n n 4、（1）略（2）4阶范德蒙行列式的变形. 5、（1）用归纳法．当 2=n 时，,11112121212a a a a a a D ++=++=等式成立．设当k n =时等式成立，即k k k k k k a a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛ3222112121++++=--．当1+=k n 时，1212112111101101111111111111101110111++++++++=+++++=k k k a a a a a a a a D ΛM M M M ΛΛΛM M M M ΛΛΛM M M M ΛΛ,1321121211211211211110000++-+++++++=+=+=k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a D a a a ΛΛΛΛΛΛΛM O M M ΛΛ等式得证．（2）归纳法． 当3=n 时，,)()(11))((0011113132121132321122213123133313213123133313231131213332313213∏≤<≤-++=++++--=----=----==i j j ia aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D结论成立．假设当1-n 时结论成立． 当n 时，n nn n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛM M M MΛΛ32122322213211111----=211231132211233331122111)()(---------+++--=n nn n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛMMMΛΛ)111111)(()(21231221333311312333311222------------+--=n nn n n n n n n nn n n n n n n aa aa a a aa a aaa a a a a a a a ΛΛM M M ΛΛΛM M M ΛΛ)111)(()(223223333111122-------+--=n nn n n n n n n n aaa a a a a D a a a a ΛΛM M MΛΛ))()())((()(2122112∏∏≤<≤≤<≤-+-++--=ni j j ini j j in n a aa a aa a a a a a ΛΛ.)()(121∏≤<≤-+++=ni j j in a aa a a Λ另一证法参见《 学习指导》．6、利用范德蒙行列式，可得∏-≤<≤---------==11111111111)()().(111)(n i j j i n n n n n n a a x a x a a a x a a xx D ΛΛM M M MΛΛ由于),11(,-≤<≤≠n i j a a j i 故上式为x 的1-n 次多项式，其根分别为.,,,121-n a a a Λ8、用初等变换化为阶梯形即可得秩．9、利用行初等变换化 )()(1-→→A E E A ΛΛ得到1-A ．注：（2）E A 4442=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O ⇒ 441AA E A A =⇒=⋅-.11、⇒+=⋅B A B A 2A B E A =-)2(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-=⇒-9122692683)2(1A E A B 注意左、右乘的区别！12、设.)(1110--+++=n n x c x c c x f Λ由⇒=i i b a f )(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----n n O n n n n n b b c c c a a a a a a AC M M M ΛM M M M ΛΛ1111122111111由范德蒙行列式,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒≠-=-≤<≤∏n n n i j j i b b A c c a a A M M 11010)(det即n c c ,,0Λ唯一存在，从而)(x f 唯一存在. 13、 当0det ≠A 时, 1)(det *-=A A A())det()(det )(det det *det 11--==⇒A A A A A n ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⇒--A A A A n det 1det )(det *det 11Θ.当0det =A 时，0*=AA . 设r A rank =)(，则11000000--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q Er P A Er PAQ *000*11A Q Er P AA --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒ 0000211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C C Er P ，（记)*211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C C A Q000021=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒C C Er （1-P Θ可逆） O C O O C =⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴-222100*0*QC C Q A C A Q0*det =∴A （*A Θ中至少有r 行为0行）.14、(1) rank(A)=.)(0||||0||*1*n A rank A A A n n =⇒≠=⇒≠⇒-(2) ,1)(-<n A rank 则A 的1-n 阶子式全为0，从而*A 的任一元素为0，故.0)(*=A rank(3) 当,1)(-=n A rank 则A 中至少有一个1-n 阶子式不为0，即*A 至少有一个元素不为0，故.1)(*≥A rank 反之，.0||0||1)(*==⇒=⇒-=E A AA A n A rank 又存在n 阶可逆矩阵,,Q P 使.0001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n E PAQ 又,0**1==-PAA A PAQQ 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21*1B B A Q ，其中2B 为*1A Q -的最后一行，则由,00.0001211=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B B B E n 于是,10)()(2*1*≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-B rank A Q rank A rank 故.1)(*=A rank15、由已知条件知，T A A )(*=，于是||||*A A =．0||||||||||**=⇒=⇒=A A A A E A AA n或.1||±=A 但∑=>=ni ij a A 12,0||（某个),0≠ij a 故.1||=A16、利用⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12111212212111112100A A A A A A E A A E A r n r 及例2.21的结论.习题四6、设313322211,,ααβααβααβ+=+=+=，321,,βββ线性无关3),,(321=⇔βββr ，而321,,ααα线性无关3),,(321=⇒αααr ，故只须证：),,(),,(321321αααβββr r =或：),,(),,(321321βββααα→列初等变换．事实上：),,(),,(322132121ααααααα+→+C C),,(),,()2,,()2,,(),,(3211332213213221332212332212313332βββααααααααααααααααααααααα=+++++++++++→→→→-++C C C C C C C3)(),,(321321==∴αααβββr r 321,,βββ∴线性无关．方法2 设 =+++++)()()(133322211ααααααx x x 0 (1) 下证 0321===x x x（1）式332221131)()()(αααx x x x x x +++++⇒=0由321,,ααα线性无关⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+∴000000321322131x x x x x x x x x 从而133221,,αααααα+++线性无关. 方法3：,110011101),,(),,(321133221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++ααααααααα 记 .110011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AA A ∴≠=02det Θ可逆线性无关321321133221,,3),,(),,(ααααααααααααΘ↑==+++∴r r7、（1）432,,αααΘ 线性无关32,αα∴ 线性无关（整体线性无关，则部分也是） 又321ααα，，Θ线性相关1α∴可由32αα，唯一线性表示（定理4.5） （2）反证法，设4α可由321,,ααα线性表示，则),,(),,,(3214321αααααααr r = ①又321,,αααΘ线性相关3),,(321＜r ααα∴ ② 又432,,αααΘ线性无关，有 3),,(432=αααr3),,(),,,(4324321=≥∴αααααααr r ③由①②③知⎩⎨⎧<≥3),,,(3),,,(43214321ααααααααr r 矛盾．10、设),,(),,,(11n n B A ββααΛΛ== 则),,(11n n B A βαβα++=+Λ设r i i αα,,1Λ是A 的一个最大线性无关组，s j j ββ,,1Λ是B 的一个最大线性无关组则s B r r A r ==)(,)(，由于k α可由r i i αα,,1Λ线性表示，k β可由s j j ββ,,1Λ线性表示，）（n k ,,1⋯⋯=n n βαβα+⋯⋯+∴,11可由r i i αα,,1Λ，s j j ββ,,1Λ线性表示，从而),,,(),(1111s r n n r r ββααβαβα⋯⋯⋯⋯≤+⋯⋯+s r +≤ 即).()()(B r A r B A r +≤+12、假设r n -⋯⋯ξξξη,,,,21线性相关r n -⋯⋯ξξξ,,,21Θ线性无关η∴可由r n -⋯⋯ξξ,,1线性表示设 i i rn i k ξη∑-==1),,1(r n i i -=ΛΘξ是0=AX 的解 η∴也是0=AX 的解，从而0=ηA ，但η却是B AX =的解，从而0≠=B A η矛盾． 13、112211)1(+------++++=r n r n r n r n k k k k k x ηηηηΛΛ11122111)()()(+-+---+-+-+-++-+-=r n r n r n r n r n r n k k k ηηηηηηηΛ 令1122111,,+---+-+--=-=-=r n r n r n r n r n ηηαηηαηηαΛ 则0)(1=-=-=+-B B A A r n i i ηηαr n -⋯⋯∴αα,1是0=AX 的解 ①下证：r n -⋯⋯αα,1线性无关02211=+++--r n r n x x x αααΛ0)()(1111=-++-⇔+---+-r n r n r n r n x x ηηηηΛ 0)(1111=---+++⇔+----r n r n r n r n x x x x ηηηΛΛ 11,,,+--r n r n ηηηΛΘ线性无关， .021====∴-r n x x x Λr n -∴αααΛ,,21线性无关. ②由①，②知r n -αααΛ,,21是0=Ax 的基础解系．又1+-r n η是B Ax =的解（非齐次方程的一个特解！）∴111+---+++r n r n r n k k ηααΛ11)1(11+-------+++=r n r n r n r n k k k k ηηηΛΛ是=AX B 的通解．14、032321=+-x x x 的基础解系为,203,02121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηη它们就是V 的一组基．注：分别取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20,0232x x 得1η，2η． 17、充分性：设),,(,),,(11n T m b b a a ⋯⋯=⋯⋯=βα αβ=A ，则1)()(≤≤αr A r ① 因0,≠βα，不妨设i a ，0≠j b 则A 的第i 行第j 列的元素为i a 0≠j b∴ 1)(≥A r （至少有一个一阶子式不为0） ② ∴ 1)(=A r （由①与②得）必要性：设),,,(21n A αααΛ=， ),,,()(121n r A r αααΛ==， 则n ααΛ1的最大线性无关组只含1个向量，设它为α，)0(≠αΘ α为n αα⋯⋯,1的最大线性无关组 ∴ n αα⋯⋯,1可由α线性表示设ααααααn n k k k ===,,,2211Λ，令),,,(21n k k k Λ=β 则0≠β （否则，由1)(021=====A r n 与αααΛ矛盾．）则),(1n A ααΛ=),,(1ααn k k ⋯=)(21n k ，，k k ⋯=ααβ=． 其中α为1⨯m 向量，β为n ⨯1向量． 18、令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T m T A ααM 1， ,1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T m T B βααM则0=Ax 的解都是0=Bx 的解（条件） 显然0=Bx 的解都是0=Ax 的解 （后者比前者少一个方程）)()(B r A r =∴（结构定理4.11）)()(T T B r A r =∴⇒),,(),,(11βααααm m r r ΛΛ= ∴β可由m αα,,1Λ线性表示19、令),,(),,,(11p n B A ββααΛΛ==，则矩阵方程B AX =有解∃⇔矩阵B AP P p n =⨯使得,∃⇔矩阵),(),(,11p n p n P a P ββαΛΛ=⨯使得⇔ 存在矩阵使得,)(p n ij p P ⨯=⎪⎩⎪⎨⎧++=++=n np p pn n p p p p ααβααβΛΛΛΛΛΛΛ1111111 p ββ,,1Λ⇔能由n ααΛ,1线性表示⇔ )()(A rank B A rank =M20、这里A 是实矩阵（否则未必成立，如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1i A ）考虑0=AX 与0)(=X A A T 的解由===⇒=0)()(0T T T A AX A X A A AX 0知0=AX 的解一定是0)(=X A A T 的解.下证：0=AX A T 的解也是0=AX 的解，设0=AX A T 则0=AX A X T T .AX 是实向量，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a AX M 1，则0),,()()(22111=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n T a a a a a a AX AX ΛM Λ．0),,(1==∴T n a a AX Λ，即X 是0=AX 的解，从而0)(=X A A T 的解也是0=AX 的解∴ 0)(=X A A T 与0=AX 同解 ∴ )()(A rank A A rank T =（定理4.11）21、有结论，对线性无关组k ββΛ，1，若k ＜n ，则可以从n αα,,1Λ中取一个向量j α，记作1+k β，使11,,+⋯⋯k k βββ线性无关（*），现用该结论证明本题：r Θ＜n ，可以取{}n j αααΛ,1∈ 使j r αββ,1Λ，线性无关 记j r αβ=+1，如果n r =+1，则证毕！如果1+r ＜n ，上述结论（*），可再从n αα,,1Λ中找k α使11+r ββΛ，，k α线性无关，如此进行下去，直到得到n ββΛ，1线性无关，此时从n αα,,1Λ中取了r n -个向量n r ββΛ，1+加入r ββΛ，1，使得n ββΛ，1线性无关（作为n R 的一组基）． P.S ．证明结论（*）向量组n αα,,1Λ不能用r ββΛ，1线性表示，否则由于n r <导致n ααΛ,1线性相关，矛盾∴存在某个j α不能用r ββΛ,1线性表示而k ββΛ,1，j α线性无关，记1+=r j βα即可.22、A 可由1A 线性表示，又1A 可由A 线性表示，于是1A 与A 等价，从而r A rank A rank ==)()(1,由定理4.7 知1A 为A 的最大线性无关组．23．（1）取11,,-m ααΛ的一个最大无关组)(,1个r ir i ααΛ，则r r m m m ==--),,,(),,(1111αααααΛΛ从而ir i ααΛ,1也是m ααΛ,1的最大无关组，显然它不包含m α（ir i αα,1ΛΘ是从11,,-m ααΛ中取出的！）（2）假设结论不成立，则A 有一个最大线性无关组ir i αα,1Λ，不包含m α,则包含在11,,-m ααΛ中，从而m α能表示为ir i αα,1Λ的线性组合，也能表示为11,,-m ααΛ的线性组合，矛盾.习题五2、若λ为A 的特征值，X 为相应的特征向量，即X AX λ=，于是X AX X A 22λλ==，又E A =2，则0)1(22=-⇒=X X X λλ，由于0≠X ，则1012±=⇒=-λλ.5、（反证）若21X X +为A 的属于λ的特征向量，则212121)()(AX AX X X A X X +=+=+λ0)()(22112211=-+-⇒+=X X X X λλλλλλ，由于21,X X 线性无关，则21λλλ==,矛盾. 7、X AX A x A X AX i i λλ==⇒=Λ（i 为自然数）.)()()(101010X f X a X a X a X A a AX a X a X A a A a E a X A f mm m m m m λλλ=++=++=++=⇒ΛΛΛ8、（1）)5)(5)(1(34430241-+-=----=-λλλλλλλE A ，A 的特征值为5,5,1321-===λλλ.（1.1）若求)det(100A ，由上题知A 100的特征值为：1 ， 5100， (-5)100,于是2001001001005)5(51)det(=-⨯⨯=A .（1.2）若求A 100，先将A 对角化：对11=λ，0)(0010011024440240=-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011X ; 对52=λ，0)5(0021101012404802445=-⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2122X ; 对53-=λ，0)5(00210101844202465=+⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213X .取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==120210121),,(321X X X P ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-120210505511P ，11110011551551551551500050001-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=P P P P P P A P P A AP P Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--100100100110010011005000501501551551P P P P .16、设n 阶正交阵A （n 为奇数）有特征值λ及相应特征向量X ，即X AX λ=，0)1()()(22=-⇒=⋅===X X X X X X AX AX AX A X X X T T T T T T T λλλλ，由于022221≠+++=n T x x x X X Λ，故,112±=⇒=λλ设A 的所有特征值为n λλλ,,,21Λ，则1det 21==A n λλλΛ，由于)1(1n i i ≤≤±=λ且n 为奇数，故必有某个,1=k λ又A E -的特征值为),,2,1(,1n i i Λ=-λ,从而0)1()1()1()det(1=---=-n k A E λλλΛΛ.17、设n n ββααΛΛ,,,11为n R 中两组单位正交基，从n αα,,1Λ到n ββ,,1Λ的过渡矩阵P=B A n n 1111),,(),,(--=记ββααΛΛ，由于A ，B 为正交阵，由正交阵性质知B A P 1-=为正交矩阵.20、（2）A 可逆，由AB BA AB BA BA A A A AB A ,~)()(11⇒==--与BA 有相同特征值.21、由16题证明知A 的特征值为1或-1，由于A 为上三角矩阵，其对角线上元素为特征值，即1±，再利用A 的任两列正交可得A 为对角阵. 另一证法可参见《学习指导》.22、存在正交矩阵Q ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T AQ Q λλλO 21，令QY X =，则：22111)(n n n T T T T y y Y Y Y AQ Q Y AX X λλλλ++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ΛO ，取{}n c λλ,,max 1Λ=，则X cX X Q X Q c Y cY y y c AX X T T T n T ===+≤--11221)()(Λ注：题目中)det(AX X T 应改为AX X T .24.由X AX ⋅==00知21,ξξ为A 的属于0的特征向量,且它们正交.由A 对称知A 的属于3的特征向量3ξ必与21,ξξ正交.现求3ξ.由于021222132132121=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x T T ξξ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210201212221得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1223321x x x x ，取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1223ξ，则21,ξξ，3ξ为A 的两两正交的三个特征向量，单位化：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=313232,323132,323231321ηηη，得正交阵[]321,,ηηη=Q , 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300AQ Q T ，于是 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122244244313112221222130012221222131300T Q Q A . 26、设λ为A 的特征值，X 为相应特征向量，则X AX λ=，X AX A X A 22)(λ==，由A A =2得000)(22=⇒=-⇒=-λλλλλX 或1，即A 的特征值为0或1，E+A 的特征值为1或2，故E+A 的所有特征值之积不为0，即0≠+A E ，从而E+A 可逆，或由A E A E E A A E A E A E 21)(2121)21)((12-=+⇒=-+=-+- 27、若B 与A 相似，即存在可逆阵P ，使AP P B 1-=，从而P A P B k k 1-=，因而01==-P A P B m m ，但对角阵Λ不满足0=Λm ，故A 不与对角阵Λ相似. 28、记),,,(21n diag B λλλΛ=则存在可逆阵,P 使k k B P A P B AP P =⇒=--11.设n n A a A a E a A f Λ++=10)(，则))(),(()(111101110111011101n n n nn nn n n nn f f diag a a a a a a a a E a p A P a AP P a E a P A f P λλλλλλλλλλΛΛO ΛO ΛO Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=---)(A f ⇒相似于)(),((1n f f diag λλΛ.29、由已知条件，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0112011A ，⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1103110A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300211002100111010303210230321021001110101A A30、由于A 为实对称阵，必与对角阵相似，要使A 与B 相似，只要A 与B 有相同特征值即可，B 的特征值为0,1,2，也为A 的特征值，A 的特征多项式为：λλλλλ---=-=11111)(yy x xE A f ，于是有0)2()1()0(===f f f ，即y x y x y y xx f =⇒=--==0)(11111)0(2 00201010)1(=⇒===x xy y y xx f 或0=y y x y x y y xx f -=⇒=+=---=0)(11111)2(2 31、用21,x x 分别表示市区，郊区居民数量，依题意有3:2:9.015.01.085.0212121=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x x习题六3、存在正交矩阵Q ，变换QY X =将二次型f 化为标准型，即：2222211)(n n T T T y y y Y AQ Q Y AX X f λλλ+++===Λ，取),2,1(n i e Y i Λ==则0==i f λ ),2,1(n i Λ=，（即此时取i Qe X =）.00011=⋅⋅=⇒=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇒-Q Q A AQ Q n T λλO6、二次型3231212322212245x x x x x x ax x x f --+++=的矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=a A 11112125，A 正定⇔A 的各阶顺序主子式).3,2,1(,0=>∆k k即,20211112125,011225,05321>⇒>-=----=∆>==∆>=∆a a a故当2>a 时，二次型f 正定.7、设n 阶实对称阵A 的n 个特征值为n λλλΛ,,21，则存在正交矩阵Q ，使T n n T Q Q A AQ Q ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλO O 2121 A正定⇒A 的n 个特征值nλλλ,,,21Λ全为正T n n Q Q A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒λλλλλλO O 2121B B A T =⇒，其中Tn Q B ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλO 21为满秩阵. 反之，若有n 阶满秩矩阵B ，使B B A T =.令BX Y =，则：22221)()())((n T T T T T y y y Y Y BX BX BX B X AX X f +++=====Λ，从而对任一0≠X ，有,00>⇒≠=f BX Y 所以f 正定.8、（1）)0(,0≠>=X AX X f T 取i e X =，则).,21(0010)010()(11111，n i a a a a a a a a e f ii nn n in ii i n i ΛM M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，=>=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=（2）与（1）类似可证.9、（1）对B A BX X AX X X B A X x f X T T T +⇒>+=+=≠0)()(,0正定（2）K K K T T K A A A A ⇒==)()(对称A 正定A ⇒的特征值n λλλΛΛ,,21全为正k A ⇒的特征值k n k k λλλΛΛ,,21全为正k A ⇒正定（3）设A 的n 个特征值为n λλλΛΛ,,21，则aE A +的n 个特征值为),2,1(,n i a i Λ=+λ，取{}i a λmax >，则),2,1(0n i a i Λ=>+λ即aE A +的n 个特征值全为正aE A +⇒正定.10、f 的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3030002aa A ，由标准型23222152y y y f ++=知A 的三个特征值为1，2，5. 由0)3)(3)(2(33002=---+-=--=-λλλλλλa a aa E A 知A 的三个特征值为a a -+3,3,2.于是2=a 或2-，不妨取2=a ，于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=320230002A 对⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=00011000122220001,11E A λ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1101ξ，单位化,212101⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=η 对22=λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-300210001202100002E A ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0012ξ，取22ξη=; 对53=λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-0001100012202200035E A ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103ξ，单位化⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=212103η，于是所用正交变换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010Q . 11、二次型f 的标准矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=λλλ111111A ，要f 正定，即要求A 正定，必须A 的各阶主子式：0>∆k ，)3,2,1(=k 即01>=∆λ，011122>-==∆λλλ，10)2()1(11111123>⇔>-+=--=∆λλλλλλ且202>⇔>-λλ. 故当2>λ时，二次型f 为正定. 12、A为正定矩阵，则A为对称矩阵，即,ij ji a a =因此ij j ij i i ji j ji b c a c c a c b ===，从而B 也为对称矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===n n n nn n n n n n j iji ij c c c A c c c c c c a a a a a a a a a c c c c a c b B OO O ΛΛΛΛΛΛO21212121222211121121)()(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒n n n n n n n n T x c x c x c A x c x c x c x x x c c c A c c c x x x BX X M ΛM O O Λ2211221121212121),,(),( (1)由于n c c c Λ,,21为非零实数，对021≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X M ，有02211≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n x c x c x c M ，又A 为正定矩阵，则（1）式右端大于0，从而对0≠X ,有0>BX X T ，故B 为正定矩阵.。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-复习笔记-第五章 定积分【圣才出品】
上任取一点 的乘积
，作函数值 ，并作出和
，记
，如果当 λ→0 时，这和
的极限总存在，且与闭区间[a，b]的分法及点 的取法无关，则称这个极限为函数 f(x)在
区间[a，b]上的定积分，记作
，即
其中，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b
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曲边梯形位于 x 轴的下方，定积分
表示上述曲边梯形面积的负值；
（3）在[a，b]上 f(x)既取得正值又取得负值时，函数 f(x)的图形某些部分在 x 轴的上
方，而其他部分在 x 轴下方（见图 5-1-1），此时定积分 面积减去 x 轴下方图形面积所得之差．
表示 x 轴上方图形
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称为积分上限，[a，b]称为积分区间．
（2）“ε－δ”表达式
设有常数 I，对于任意正数 ε，总存在一个正数 δ，使得对于区间[a，b]的任何分法，
不论 在
中怎样选取，只要
δ，总有
成立，则称 I 是 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
[a，b]上的一个原函数．
2．牛顿-莱布尼茨公式
就是
在
其中 F(x)是连续函数 f(x)在区间[a，b]上的一个原函数．
三、定积分的换元法和分部积分法 1．定积分的换元法 （1）定理
设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，函数
① =a, =b ；
② 域
，则有
满足条件： 上具有连续导数，且其值
该公式称为换元公式．
和
合起来，用过
三
《高等数学》 详细上册答案(一--七)
2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第五章 定积分【圣才出品】
5.2 课后习题详解习题5-1 定积分的概念与性质1．利用定积分定义计算由抛物线y ＝x 2＋1，两直线x ＝a 、x ＝b （b ＞a ）及x 轴所围成的图形的面积．解：因为函数f(x)＝x 2＋1在区间[a ，b]上连续，所以函数可积，为计算方便，不妨把[a ，b]分成n 等份，则分点为每个小区间长度为取ξi 为小区间的右端点x i ，则当n→∞时，上式极限为即为所求图形的面积．2．利用定积分定义计算下列积分：解：因为被积函数在积分区间上连续，所以把积分区间分成n等份，并取ξi为小区间的右端点，得到（1）（2）3．利用定积分的几何意义，证明下列等式：证：（1）根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y＝2x、x＝1及x轴围成的图形的面积，该图形是底边长为1、高为2的三角形，因此面积为1，即（2）根据定积分的几何意义，定积分表示的是由曲线以及x轴、y轴围成的在第I象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有（3）因为函数y＝sinx在区间[0，π]上非负，在区间[－π，0]上非正．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y＝sinx（x∈[－π，0]）与x轴所围成的图形D2的面积，显然图形D1与D2的面积是相等的，所以有（4）因为函数y＝cosx在区间上非负．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线与x轴和y轴所围成的图形D1的面积加上曲线与x轴和y轴所围成的图形D2的面积，而图形D1的面积和图形D2的面积显然相等，所以有4．利用定积分的几何意义，求下列积分：解：（1）根据定积分的几何意义，表示的是由直线y＝x，x＝t以及x轴所围成的直角三角形面积，该直角三角形的两条直角边的长均为t，因此面积为因此有（2）根据定积分的几何意义，表示的是由直线x＝－2，x＝4以及x轴所围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为梯形的高为4－（－2）＝6，因此面积为21．因此有（3）根据定积分的几何意义，表示的是由折线y＝|x|和直线x＝－1，x＝2以及x轴所围成的图形的面积．该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y＝－x，x＝－1和x轴所围成，其直角边长为1，面积为另一个由直线y＝x，x＝2和x轴所围成，其直角边长为2，面积为2．因此（4）根据定积分的几何意义，表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积，因此有5．设a＜b，问a、b取什么值时，积分取得最大值？解：根据定积分几何意义，表示的是由y＝x－x2，x＝a，x＝b，以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积．因此如果下方部分面积为0，上方部分面积为最大时，的值最大，即当a＝0，b＝1时，积分取得最大值．6．已知试用抛物线法公式求出ln2的近似值（取n＝10，计算时取4位小数）．解：计算y i并列表表5-2-1按抛物线法公式，求得7．设求解：（1）（2）（3）（4）8．水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力．已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p＝9.8h（kN／m2）．若闸门高H＝3m，宽L＝2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P．解：在区间[0，3]上插入n－1个分点，取ξi∈[h i－1，h i]，并记Δh i＝h i－h i－1，得到闸门所受水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为因为被积函数连续，而连续函数是可积的，因此积分值与积分区间的分法和ξi的取法无关．为方便计算，对区间[0，3]进行n等分，并取ξi为小区间的端点所以。
同济大学高等数学第七版上下册答案详解
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
练习1-5
练习1-6
练习1-7
练习1-8
练习1-9
练习1-10
总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
( 2)
2
(2 1)
1
(1 1)
1
(1 )
y
0
+
+
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(0 1)
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y
+
0
-
-
-
0
+
yf(x)
↗
拐点
↗
1
极大值
↘
拐点
↘
x
( 1)
-1
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总习题二
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练习 3-6
x
( 2)
y
y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
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练习 3-5
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练习 2-3
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同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(定积分的应用)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第六章定积分的应用习题6-1定积分的元素法本部分无课后习题．习题6-2定积分在几何学上的应用1．求图6-1中各阴影部分的面积：图6-1解：（1）解方程组，得到交点坐标为（0，0）和（1，1）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则y的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[y，y ＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为y－y2的窄矩形的面积，因此有（2）取x为积分变量，则易知x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为e－e x、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则易知y的变化范围为[1，e]，相应于[1，e]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为lny的窄矩形的面积，因此有（3）解方程组，得到交点坐标为（－3，－6）和（1，2）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[－3，1]，相应于[－3，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果用y为积分变量，则y的变化范围为[－6，3]，但是在[－6，2]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、宽为的窄矩形的面积，因此有由此可知以x为积分变量较易，因为图形边界曲线若分为上下两段，分别为y＝2x和y＝3－x2；若分为左右两段，分别为和，其中右段曲线的表示相对比较复杂，也就会导致计算形式复杂．（4）解方程组，得到交点坐标为（－1，1）和（3，9），同上，以x为积分变量计算较易．取x为积分变量，则x的变化范围为[－1，3]，相应于[－1，3]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为2x＋3－x2、底为dx的窄矩形的面积，则有2．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）与（两部分都要计算）；（2）与直线y＝x及x＝2；（3）与直线x＝1；（4）y＝lnx，y轴与直线y＝lna，y＝lnb（b＞a＞0）．解：（1）图6-2中，可先计算图形D1（阴影部分）的面积，易求得与x2＋y2＝8的交点为（－2，2）和（2，2）．取x为积分变量，则x的变化范围为[－2，2]，相应于[－2，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图形D2的面积为图6-2（2）图6-3中，取x为积分变量，则x的变化范围为[1，2]，相应于[1，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-3（3）图6-4中，取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-4（4）图6-5中，取y为积分变量，则y的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lnb]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为e y的窄矩形的面积，因此有图6-53．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点（0，－3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积．解：首先求得导数，因此抛物线在点（0，－3），（3，0）处的切线分别为y＝4x－3，y＝－2x＋6，容易求得这两条切线交点为（见图6-6）．因此所求面积为图6-64．求抛物线y2＝2px及其在点处的法线所围成的图形的面积．解：利用隐函数求导方法，抛物线方程y2＝2px两端分别对x求导，2yy′＝2p．即得，因此法线斜率为k＝－1，从而得到法线方程为（如图6-7），因此所求面积为图6-75．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）ρ＝2acosθ；（2）x＝acos3t，y＝asin3t；（3）ρ＝2a（2＋cosθ）．解：（1）（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线上的点为（x，y），因此（3）。
同济大学数学系《高等数学》第7版上册配套题库【课后习题(4-6章)】【圣才出品】
第四章不定积分习题4-1不定积分的概念与性质1．利用导数验证下列等式：解：2．求下列不定积分：（g是常数）；解：3．含有未知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程，其中为未知函数的导数，f（x）为已知函数．如果将函数y＝φ（x）代入微分方程，使微分方程成为恒等式，那么函数y＝φ（x）就称为这个微分方程的解．求下列微分方程满足所给条件的解：解：（1）因为，得C＝0，所以所求的解为，因为，得C1＝2，因此因为，得C2＝－2，所以所求的解为4．汽车以20m／s的速度行驶，刹车后匀减速行驶了50m停住，求刹车加速度．可执行下列步骤：（1）求微分方程满足条件及的解；（2）求使的t值；（3）求使s＝50的k值．解：（1），因为，得C1＝20，因此因为，得C2＝0，所以所求的解为（2）令，解得（3）根据题意，当时，s＝50，即解得k＝4，即得刹车加速度为－4m／s2．5．一曲线通过点（e2，3），且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．解：设曲线方程为y＝f（x），则点（x，y）处的切线斜率为f＇（x），由条件得因此f（x）为的一个原函数，得又根据条件曲线过点（e2，3），有f（e2）＝3解得C＝1，即得所求曲线方程为y＝lnx＋16．一物体因为静止开始运动，经t秒后的速度是3t2（m／s），问（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完360m需要多少时间？解：（1）设此物体自原点沿横轴正向由静止开始运动，位移函数为s＝s（t），则由假设可知s（0）＝0，因此s（t）＝t3，所以所求距离为s（3）＝27（m）．（2）因为t3＝360，得7．证明函数arcsin（2x－1），arccos（1－2x）和都是的原函数．证：因此结论成立．习题4-2换元积分法1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（例如：。
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练习 7-6
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总习题七
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总习题四
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练习 5-1
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练习 5-2
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练习 3-6
x
( 2)
y
y
+
yf(x)
↘
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2 0 +
17/5
(2 1) 1
+
+
+
0
↗ 6/5
(1 1) +
↗
1 0 0 2 拐点
(1 ) + +
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练习 6-3
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高等数学同济大学第七版上册答案
高等数学同济大学第七版上册答案选择题：1. 在平面直角坐标系中，异于原点的一组直线的斜率之积为 -1，则这组直线的方程分别是（）A. y = x, y = -xB. y = x, y = 1/2xC. y = x, y = 2xD. y = -x, y = -1/2x2. 若函数 y = f(x) 具有二阶导数，且有 f''(x) > 0，则函数 y = f(x)A. 在 x = 0 处取得极大值B. 在 x = 0 处取得最小值C. 在 x = 0 处取得拐点D. 无法确定3. 一阶行列式 |a b| = -3, |c d| = 2，行列式 |A| = |2a c| + |2b d| 的值为A. 1B. 2C. 3D. 44. 某圆锥的高为 12cm，底面直径为 8cm，底面圆的半径为 4cm，则该圆锥的侧面积为A. 48π cm^2B. 32π cm^2C. 16π cm^2D. 8π cm^25. 如果一组 n 个数据的算术平均值为 x¯，它们的总和为 S，那么这组数据中至少有一个数据小于或等于A. x¯-S/nB. x¯-(S/n-1)/nC. x¯-(S/n+1)/nD. x¯+S/n填空题：1. 设函数 y = x^3 - 3x + 2，则它的导数 y' = _________2. 将 x = 1/2e^(t/2) 代入 y = (x + 1)e^x，则 y = _________3. 设 2sin x - 3cos x = 5，则tan(x + π/6) = _________解答题：1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的单调增区间和单调减区间。
2. 已知 f(x) = sin x + cos x，求 f'(x) 和 f''(x)。
3. 已知一物体沿直线运动的速度为 v(t) = e^(2t-1) (m/s)，起点位于原点，求物体在 t = 0 到 t = 1 上的位移。