《函数的最大值与最小值》ppt课件
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高数数学必修一《3.2.1.2函数的最大(小)值》教学课件
几何意义
f(x)图象上最高点的 ___纵_坐_标_____
f(x)图象上最低点的 ___纵_坐_标_____
微点拨❶
(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝ x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必 须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成 立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ ②通过观察图1你能发现什么？
(2)观察下面两个函数的图象，回答下列问题．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？ ②通过观察图3你能发现什么？
提示：①题图3中函数f(x)＝x2的图象有一个最低点． 题图4中函数y＝x的图象没有最低点． ②对任意x∈R，都有f(x)≥f(0)．
M].( × )
2.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值和最
小值分别为( )
A．3，0
B．3，1
C．3，无最小值 D．3，2
答案：C 解析：由图可知，f(x)在[－2，＋∞)上的最大值为3，最小值取不到．故选C.
3．已知函数y＝2x，x∈[1，2]，则此函数的最大值是____2____，最小 值是____1____．
课堂小结 1.函数最大值、最小值的定义． 2．求函数最值的方法．
提示：(1)最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)不一定，需要考虑函数的单调性．
例2 已知f(x)＝2xx++11. (1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值．
第三节函数的最大值和最小值PPT课件
(3)求底半径与高之比.
由
y
V x 2
和
3
x
V 2
可以算得
y
V
3V 2
2
3
V 2
2
2x.
因此，当底半径与高之比为 1 ，即当其直径
2
与高相等时，茶缸的表面积最小.
第4页/共9页
例 4 某厂有一个圆柱形油罐，其直径为 6 m，高为 2 m，想用吊臂长为 15 m 的吊车 (车身高 1.5 m) 把油罐吊到 6.5 m 高的平台 上去，试问能吊上去吗？
第1页/共9页
例 3 设圆柱形有盖茶缸容积 V 为常数，求表 面积为最小时，底半径 x 与高 y 之比.
解 (1)建立目标函数． 茶缸容积为 V = x2 y，设表面
积为 S，则 S = 2x2 + 2x y，
因为
V
为常数，所以，y
V x 2
,
由此可得目标函数 —— 茶缸
y x
表面积的表达式
S(
x)
第7页/共9页
由实际问题可知 h 的最大值是存在的，
而 0在,
2
内目标函数的驻点又只有一个， 所以可以断言
当 j 54 时h，取得最大值， 且最大值为
h |j 54 15sin 54 – 3tan 54 – 2 6 (m).
由于车身高 1.5 m，因此实际可以将油罐吊 到约 7.5 m 的高度，因而肯定能将它吊到 6.5 m 高 的平台上去.
解 f (x) = 12x3 - 48x2 + 60x – 24
= 12(x - 1)2(x - 2)， 令 f (x) = 0，得驻点 x = 1， x = 2，它们为 f (x) 可 能的极值点， 算出这些点及区间端点处的函数值：
5.3.2函数的极值与最大(小)值课件(人教版)
最小值．
高中数学
探究新知
问题4 最大（小）值与极值有什么区分和联系？
最大（小）值与极值的区分是：
1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数
的整体性质；
高中数学
探究新知
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值
是唯一的；
高中数学
探究新知
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不
一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函
解: 函数定义域为(∞，+∞).
1
3
因为 f(x)= x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).
令 f′(x)=0，解得x=2或x=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
高中数学
知识应用
x (∞，2) 2
f′(x)
+
0
f(x) 单调递增
(2，2)
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）.
高中数学
探究新知
问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数m满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值
0
+
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当x=1时，f(x)取得最小值.
1
所以f(x)≥f(1)=0. 即 1+lnx≥0.
1
所以当x>0时，1 ≤lnx.
高中数学
知识应用
小结 求函数在某区间上的最大（小）值，
高中数学
探究新知
问题4 最大（小）值与极值有什么区分和联系？
最大（小）值与极值的区分是：
1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数
的整体性质；
高中数学
探究新知
2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值
是唯一的；
高中数学
探究新知
3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不
一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函
解: 函数定义域为(∞，+∞).
1
3
因为 f(x)= x34x+4，所以f′(x)=x24=(x+2)(x2).
令 f′(x)=0，解得x=2或x=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示
高中数学
知识应用
x (∞，2) 2
f′(x)
+
0
f(x) 单调递增
(2，2)
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值
（maximum value）.
高中数学
探究新知
问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在
实数m满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)∃x0∈I，使得f(x0)=m．
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值
0
+
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以，当x=1时，f(x)取得最小值.
1
所以f(x)≥f(1)=0. 即 1+lnx≥0.
1
所以当x>0时，1 ≤lnx.
高中数学
知识应用
小结 求函数在某区间上的最大（小）值，
《函数的最大(小)值》函数的概念与性质PPT
有几个?举例说明.
1
提示:一个函数不一定有最值,例如y= 在定义域内没有最大值也
没有最小值.有的函数可能只有一个最大(或小)值,例如y=2x+1,x∈[-1,+∞).如果一个函数存在最值,那么函数的最大值和最
小值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个,如y=x2,x∈[-2,2],
最大值只有一个为4,而取最大值的x有x=±2两个.
提示:点C是图象的最高点,即对定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成
立.
(4)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对
∀x∈I,都有f(x)≤M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.
其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.
第2课时
函数的最大(小)值
-1-
首页
课标阐释
1.理解函数的最大值和最小值的
概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性,求
一些简单函数的最值(或值域).
3.能利用函数的最值解决有关的
实际应用问题.
思维脉络
课前篇
自主预习
一
二
一、函数的最大(小)值的定义
1.(1)如图所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图
(5)类比函数最大值的定义,请你给出最小值的定义及其几何意义.
提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①∀x∈I,都有f(x)≥M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.
1
提示:一个函数不一定有最值,例如y= 在定义域内没有最大值也
没有最小值.有的函数可能只有一个最大(或小)值,例如y=2x+1,x∈[-1,+∞).如果一个函数存在最值,那么函数的最大值和最
小值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个,如y=x2,x∈[-2,2],
最大值只有一个为4,而取最大值的x有x=±2两个.
提示:点C是图象的最高点,即对定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成
立.
(4)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对
∀x∈I,都有f(x)≤M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.
其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.
第2课时
函数的最大(小)值
-1-
首页
课标阐释
1.理解函数的最大值和最小值的
概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性,求
一些简单函数的最值(或值域).
3.能利用函数的最值解决有关的
实际应用问题.
思维脉络
课前篇
自主预习
一
二
一、函数的最大(小)值的定义
1.(1)如图所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈[-1,+∞)、y=f(x)的图
(5)类比函数最大值的定义,请你给出最小值的定义及其几何意义.
提示:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①∀x∈I,都有f(x)≥M;
②∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.
函数的最大值和最小值的求解方法省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数；
a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
题型二 复合函数旳单调性
【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减
函数旳区间是
(D )
A.(3,6)
B.(-1,0)
C.(1,2)
D.（-3,-1）
思维启迪 先求得函数旳定义域,然后再结合二次 函数、对数函数旳单调性进行考虑.
f '(x)
( x2 1)2
a( x2 1) ax 2x
( x2 1)2
ax2 a 2ax2 (x2 1)2
a(1 x2 (x2 1)2
)
.
当a>0时，∵-1<x<1,
a(1 x2 ) (x2 1)2 0, 即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.
同理，当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
探究提升 对于给出详细解析式旳函数，判断或证明 其在某区间上旳单调性问题，能够结合定义（基本步 骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函 数则能够利用导数解之.
知能迁移1
试讨论函数
f
(x)
ax x2 1,
x∈(-1,1)旳单
调性（其中a≠0）.
解 措施一 根据单调性旳定义求解.
设-1<x1<x2<1,
则f
( x1 )
f
(x2 )
ax1 x12 1
ax2 x22 1
a(x2 x1)(x1x2 1) . (x12 1)(x22 1)
∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,
函数的最大值和最小值PPT优秀课件
-1函 (-1,0) 数 0 (0最 ,2) 2小 1(2,a 46) 值 b 4 3 为 29
+a2 b3 当 ff(/(xx)x ) 可 能 小 a0 时 2.最 30 -大 可 能 小3 ， 值 - 求 -b 为 10-23 9.得 2
五已、知练函习数题: yx33x29xa
一般地,在闭区间[a,b]上连续的 函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最 小值.
如何求函数在闭区间上的最大值 和最小值?
问题 如果函数f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)内可导,那么如何求f(x) 在[a,b]内的最大值和最小值呢?
三、求函数的最大值与最小值的步骤:
①函数f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a),f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
当 若在x 区 间 [-22 ，时 2]上,f的( 最2 大)值 为2 20 ，a， .
y 当 求/它 x在 该3 x 区22 间时 上6 ,x 的f 最(9 2小 )值 ？3 ( 2x 2 1 )ax ,( 3 ) 0 xf (1 2 、 )xf3.(2)
时，
．
所以值域为 1 5 2+b在区间
［－1，2］上的最大值为3，最小值为 －29，求实数a、b的值.(a>0)
当 x 1 时 ,f( 1 ) 7 a b ， .
y/当 3 a x2 x 2 1 时 a2 , fx 3 (a 2)( x x 1 4) a 60 b, x 0、 fx ( 1 4). f(2)
（1）函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,
但有间断点,或定义在开区间(a,b)上但连 续是否就一可定能没有有最最大大或或最最小小值值! 呢?
+a2 b3 当 ff(/(xx)x ) 可 能 小 a0 时 2.最 30 -大 可 能 小3 ， 值 - 求 -b 为 10-23 9.得 2
五已、知练函习数题: yx33x29xa
一般地,在闭区间[a,b]上连续的 函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最 小值.
如何求函数在闭区间上的最大值 和最小值?
问题 如果函数f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)内可导,那么如何求f(x) 在[a,b]内的最大值和最小值呢?
三、求函数的最大值与最小值的步骤:
①函数f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a),f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
当 若在x 区 间 [-22 ，时 2]上,f的( 最2 大)值 为2 20 ，a， .
y 当 求/它 x在 该3 x 区22 间时 上6 ,x 的f 最(9 2小 )值 ？3 ( 2x 2 1 )ax ,( 3 ) 0 xf (1 2 、 )xf3.(2)
时，
．
所以值域为 1 5 2+b在区间
［－1，2］上的最大值为3，最小值为 －29，求实数a、b的值.(a>0)
当 x 1 时 ,f( 1 ) 7 a b ， .
y/当 3 a x2 x 2 1 时 a2 , fx 3 (a 2)( x x 1 4) a 60 b, x 0、 fx ( 1 4). f(2)
（1）函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,
但有间断点,或定义在开区间(a,b)上但连 续是否就一可定能没有有最最大大或或最最小小值值! 呢?
高中数学 1.3.1函数的最大值、最小值课件 新人教版必修1
第2课时 函数的最大值、最小值
ppt精选
1
1.通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特 征。 2.会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小 值的概念。 3.了解函数最值在实际中的应用，会求简单的函数的最 值。
ppt精选
2
观察下列函数的图象，如找何出使函用数函图数象的上解的析最式高和点数或学者语言 刻画函数图象的最低点和最高点？
8
探究点3 例题解析
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制地面的高度h m与时 间t s之间的关系为 h(t)4.9t214.7t18，那么烟花 冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多 少（精确到1 m）？
分析：烟花的高度是时间的二次函 数，根据题意就是求出这个二次函 数在什么时刻达到最大值，以及这 个最大值是多少。
值。
【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一 次函数，再根据k>0,k<0时函数的单调性进行解答。 【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2； k>0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k<0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.
ppt精选
15
4.求函数 f(x)x2 2ax在区间[0,4]上的最小值。
ppt精选
9
解：画出这个函数 h(t)4.9t214.7t18
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，顶点 的纵坐标就是距地面的高度。
根据二次函数的知识，对于函数
h(t)4.9t21 我4们.7t有 ：18
当t 14.7 1.5时，函数有最大值 2(4.9)
2[(x2 1)(x1 1)] 2(x2 x1) .
ppt精选
1
1.通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特 征。 2.会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小 值的概念。 3.了解函数最值在实际中的应用，会求简单的函数的最 值。
ppt精选
2
观察下列函数的图象，如找何出使函用数函图数象的上解的析最式高和点数或学者语言 刻画函数图象的最低点和最高点？
8
探究点3 例题解析
例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制地面的高度h m与时 间t s之间的关系为 h(t)4.9t214.7t18，那么烟花 冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多 少（精确到1 m）？
分析：烟花的高度是时间的二次函 数，根据题意就是求出这个二次函 数在什么时刻达到最大值，以及这 个最大值是多少。
值。
【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一 次函数，再根据k>0,k<0时函数的单调性进行解答。 【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2； k>0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k<0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.
ppt精选
15
4.求函数 f(x)x2 2ax在区间[0,4]上的最小值。
ppt精选
9
解：画出这个函数 h(t)4.9t214.7t18
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，顶点 的纵坐标就是距地面的高度。
根据二次函数的知识，对于函数
h(t)4.9t21 我4们.7t有 ：18
当t 14.7 1.5时，函数有最大值 2(4.9)
2[(x2 1)(x1 1)] 2(x2 x1) .
函数的最大(小)值课件
次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
函数的最大值与最小值》课件
最优决策
在资源分配、投资决策等场景中，企业需要找到 最优决策，这通常涉及到最大化或最小化某个目 标函数。
在物理中的应用
能量最小化
01
在物理问题中，能量通常是最小化的目标，例如在弹性力学中，
物体的变形能就是最小化的目标。
振动分析
02
在分析物体的振动时，通常需要找到振幅的最大值和最小值，
这涉及到求函数的极值问题。
率至关重要。
电流的最大值和最小值取决 于电路中的电阻、电压和电
感等参数。
通过分析电路中的电流最大值 和最小值，工程师可以优化电 路设计，提高电路的性能和稳
定性。
THANKS
感谢观看
凹凸性判定法
在极值点处，函数的凹凸性发生改变。
如果函数在某点之前为下凸，之后为上凸，则该点为极大值点；如果函数在某点之前为上凸，之后为下 凸，则该点为极小值点。
凹凸性可以通过绘制函数图像或计算二阶导数来判断。
特殊函数的极值判定法
对于一些特殊函数，如常数函数、一次函数、二次函数等，可以根据函数的特性直接判断极值点。
商品价格的最优策略分析
在商品价格最优策略分析中，企业需要确定商品 价格的最大值和最小值，以实现利润最大化。
企业பைடு நூலகம்以根据市场需求、竞争状况、成本等因素， 制定最优的商品价格策略。
商品价格的最优策略需要考虑市场需求的变化、 竞争对手的价格策略以及成本等因素。
电路中的电流最大值与最小值分析
在电路分析中，电流的最大值 和最小值对于电路的安全和效
二阶导数判定法
01
二阶导数大于0的点可能是极 小值点，二阶导数小于0的点 可能是极大值点。
02
在二阶导数等于0的点两侧， 判断函数的凹凸性，如果凹凸 性发生改变，则该点为极值点 。
在资源分配、投资决策等场景中，企业需要找到 最优决策，这通常涉及到最大化或最小化某个目 标函数。
在物理中的应用
能量最小化
01
在物理问题中，能量通常是最小化的目标，例如在弹性力学中，
物体的变形能就是最小化的目标。
振动分析
02
在分析物体的振动时，通常需要找到振幅的最大值和最小值，
这涉及到求函数的极值问题。
率至关重要。
电流的最大值和最小值取决 于电路中的电阻、电压和电
感等参数。
通过分析电路中的电流最大值 和最小值，工程师可以优化电 路设计，提高电路的性能和稳
定性。
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凹凸性判定法
在极值点处，函数的凹凸性发生改变。
如果函数在某点之前为下凸，之后为上凸，则该点为极大值点；如果函数在某点之前为上凸，之后为下 凸，则该点为极小值点。
凹凸性可以通过绘制函数图像或计算二阶导数来判断。
特殊函数的极值判定法
对于一些特殊函数，如常数函数、一次函数、二次函数等，可以根据函数的特性直接判断极值点。
商品价格的最优策略分析
在商品价格最优策略分析中，企业需要确定商品 价格的最大值和最小值，以实现利润最大化。
企业பைடு நூலகம்以根据市场需求、竞争状况、成本等因素， 制定最优的商品价格策略。
商品价格的最优策略需要考虑市场需求的变化、 竞争对手的价格策略以及成本等因素。
电路中的电流最大值与最小值分析
在电路分析中，电流的最大值 和最小值对于电路的安全和效
二阶导数判定法
01
二阶导数大于0的点可能是极 小值点，二阶导数小于0的点 可能是极大值点。
02
在二阶导数等于0的点两侧， 判断函数的凹凸性，如果凹凸 性发生改变，则该点为极值点 。
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2
.. 导. 学 固思
利用导数解决恒成立问题
已知函数 f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8. (1)求函数 f(x)的极值; (2)若对任意的 x∈[0,+∞)都有 f(x)≥g(x),求实数 a 的取值范围.
【解析】(1)f'(x)=3x +4x+1,令 f'(x)=0,解得 x1=-1,x2=- .
3 3 1
3 2 2
1
3
4
[0,3]上的最大值是 4,最小值是- .
3
4
.. 导. 学 固思
利用函数的最值求参数的范围
函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取 值范围是( B ).
A.0≤a<1 C.-1<a<1
B.0<a<1 D.0<a<
1 2
【解析】由题意 f'(x)=3x -3a 的图像在(0,1) 内与 x 轴有交点,且函数图像由下到上与 x 轴相交. ∴ f'(0) < 0, 得 0<a<1. f'(1) > 0,
.. 导. 学 固思
已知函数 f(x)=2x3-6x2+a 在[-2,2]上有最小值-37. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)在[-2,2]上的最大值.
e 4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.. 导. 学 固思
4
设 f(x)=ax3-6ax2+b 在区间[-1,2]上的最大值为 3, 最小值为-29,且 a>0,求 a,b 的值.
【解析】f'(x)=3ax -12ax=3ax(x-4), 令 f'(x)=0,得 x=0 或 x=4, 则函数 f(x)在[-1,2]上的单调性及极值情况如下表所示:
.. 导. 学 固思
问题1 函数的最值
函数的最值分为函数的最大值与最小值,函数的最大值 和最小值是一个整体性概念, 最大值 必须是整个区间上所有 函数值中的最大者, 中的最小者.
问题2 函数的最值与极值的区别
最小值 必须是整个区间上的所有函数值
(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得 出的,极大值、极小值是比较
.. 导. 学 固思
1
下列说法正确的是( D
).
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
【解析】最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后 得到的.
.. 导. 学 固思
2
函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f'(x)( A ).
3 2a -4 3 2a -4 3
.
时,f'(x)<0;
2a -4
时,f'(x)>0,
2a -4 3
∴当 x∈(0,+∞)时,F(x)min=F( 即(
2a -4 3
)≥0,
)3+(2-a)(
2a -4 3
)2+4≥0,
解不等式得 a≤5,∴2<a≤5. 当 x=0 时,F(x)=4 满足题意. 综上所述,a 的取值范围为(-∞,5].
(1)求f(x)在开区间(a,b)内所有使 及 端点 的函数值,其中最大的一个为
f'(x)=0 的点.
(2)计算函数f(x)在区间内使f'(x)=0的所有点
最大值 ,最小
的一个为
最小值 .
问题4 利用导数可以解决以下类型的问题:
(1)恒成立问题;(2)函数的
零点 即方程根的问题;(3)不等
式的证明问题;(4)求参数的取值范围问题.
第3课时
函数的极值
.. 导. 学 固思
1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.掌握求在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的最大值和最小
值的方法和步骤.
.. 导. 学 固思
如图,设铁路线 AB=50 km,点 C 处与 B 之间的距离为 10 km,现将货物从 A 运往 C,已知 1 km 铁路费用为 2 元,1 km 公路费用为 4 元,在 AB 上 M 处修筑公路至 C,使运费由 A 到 C 最省,求 M 的具体位置.
极值点 附近的函数值得出的; 一 个;
(2)函数的极值可以有多个,但最值只能有 (3)极值只能在区间内取得,最值可以在
端点处取得;
.. 导. 学 固思
(4)有极值未必有最值,有最值也未必有极值; (5)极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得,那
么最值必定是 极值 .
问题3
求函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:
【解析】 f'(x)=x -4,令 f'(x)=0,即 x -4=0,因为 f'(x)>0 时,x<-2 或 x>2,f'(x)<0 时,-2<x<2,所以在[0,3] 上,当 x=2 时,f(x)取极小值,极小值为 f(2)=- . 又由于 f(0)=4,f(3)=1,因此,函数 f(x)= x -4x+4 在
x
f'(x) f(x)
2
[-1,0)
+ ↗
0
0 极大值
(0,2]
↘
∴f(0)=b=3. 又∵f(-1)=-a-6a+3=-7a+3, f(2)=8a-24a+3=-16a+3<f(-1), ∴f(2)=-16a+3=-29, ∴a=2.
.. 导. 学 固思
利用导数求函数的最值
求函数 f(x)=3 x -4x+4 在[0,3]上的最大值与最小值.
A.等于 0 C.小于 0
B.大于 0 D.以上都有可能
【解析】由题意知函数在闭区间上所有函数值 相等,故其导数为 0.
3
函数 y=x·e 在 x∈[2,4]上的最小值为
【解析】y'=
-x
-x
4 e4
.
e x -xe x 1-x ex 2
=
ex
,当 x∈[2,4]时,y'<0,即
函数 y=x·e 在 x∈[2,4]上单调递减,故当 x=4 时, 函数有最小值为 4 .
3
2
1
当 x 变化时,f'(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
f'(x) f(x)
(-∞,-1)
+ 递增
-1
0 极大值 递减 0 极小值 + 递增
∴当 x=-1 时,f(x)取得极大值为-4; 当 x=- 时,f(x)取得极小值为1 112
.
.. 导. 学 固思
(2)设 F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4, F(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立 ⇔F(x)min≥0,x∈[0,+∞). 若 2-a≥0,即 a≤2,显然 F(x)min=4>0. 若 2-a<0,即 a>2,f'(x)=3x2+(4-2a)x, 令 f'(x)=0,解得 x=0 或 x= 当 0<x< 当 x>