不等式的应用(带答案)

不等式（组）的实际应用

1.某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示

A B

进价(万元/套) 1.5 1.2

售价(万元/套) 1.65 1.4

该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元。

(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套?

(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍。若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套?

解答：

(1)设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，

{1.5x+1.2y=660.15x+0.2y=9，

解得：{x=20y=30，

答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套；

(2)设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，

1.5(20−a)+1.2(30+1.5a)⩽69，

解得：a⩽10，

答：A种设备购进数量至多减少10套。

2.2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将会给乘客带来美的享受。星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方。已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨。

(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨?

(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案?

解答：

(1)设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，

{2x+3y=315x+6y=70，

解得{x=8y=5.

即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；

(2)由题意可得，

设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为x辆、y辆，

x+y=208x+5y⩾148y⩾2，

解得{x=18y=2或{x=17y=3或{x=16y=4，

故有三种派车方案，

第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；

第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；

第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆。

3.某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人。

(1)该班男生和女生各有多少人?

(2)某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生?

解答：

(1)设该班男生有x人，女生有y人，

依题意得：{x+y=42x=2y−3,解得：{x=27y=15.

∴该班男生有27人，女生有15人。

(2)设招录的男生为m名,则招录的女生为(30−m)名，

依题意得：50m+45(30−m)⩾1460，即5m+1350⩾1460，

解得：m⩾22，

答：工厂在该班至少要招录22名男生。

4.为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A. B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元。已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨。

(1)求A. B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨?

(2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少?

解答：

(1)设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，

{x+2y=6402x+3y=1080

解得,{x=240y=200

即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；(2)设购买A型污水处理设备x台,则购买B型污水处理设备(20−x)台，

则{12x+10(20−x)⩽230240x+200(20−x)⩾4500

解得，12.5⩽x⩽15，

第一种方案：当x=13时，20−x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；

第二种方案：当x=14时，20−x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；

第三种方案；当x=15时，20−x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；

即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元。

5.有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价。

(1)求该什锦糖的单价。

(2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克?

解答：

(1)根据题意得：

15×40+25×40+30×20100=22(元/千克).

答：该什锦糖的单价是22元/千克；

(2)设加入丙种糖果x千克,则加入甲种糖果(100−x)千克，根据题意得：

30x+15(100−x)+22×100200⩽20，

解得：x⩽20.

答：加入丙种糖果20千克。

6.某商场计划购进A. B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元。

(1)求A. B两种商品的进价分别是多少元?

(2)若购进A. B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件?

解答：

(1)设A两种商品的进价是a元，B两种商品的进价是b元，

根据题意得：{20a+15b=38015a+10b=280，

解得：⎧⎩⎨⎪⎪a=16b=4 ，

答：A两种商品的进价是16元，B两种商品的进价是4元；

(2)设购进A种商品x件,则购进B种商品(100−x)件，

根据题意得：16x+4(100−x)⩽900，

解得：x⩽4123，∵x为整数，

∴x的最大整数解为41，

∴最多能购进A种商41件