第一章利息的基本概念ppt课件
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利息ppt课件解说
赎回风险
债务人提前赎回债券，导 致投资者无法获得预期收 益。
流动性风险
交易对手风险
交易对手可能无法履行合同义务 ，导致交易失败或亏损。
资金流动性风险
市场资金流动性不足，可能导致投 资者无法及时买卖证券。
自身流动性风险
投资者自身资金不足，无法应对突 发的资金需求。
06
利息的应用场景
个人理财
个人储蓄
发行债券
企业可以发行债券向投资者募集资金，需要支付 固定利息回报给投资者。
租赁融资
企业可以通过租赁融资方式获得设备或资产的使 用权，并支付租金作为使用费用。
国家宏观调控
货币政策
国家通过调整利率等货币政策工具，影响市场利率水平，进而调 控经济运行。
财政政策
国家通过财政政策，如发行国债、调整税收政策等，影响市场利率 水平，促进经济发展。
不同类型的贷款，如短期贷款、中长 期贷款和消费贷款，其利率和计息方 式也有所不同。
其他利息
其他利息是指除存款利息和贷 款利息之外的其他形式的利息 收入。
其他利息包括但不限于债券利 息、投资收益、租赁收入等。
其他利息的多少取决于投资或 租赁的种类、金额、期限和利 率水平等因素。
03
利息的计算方法
简单利息计算
其他税收政策
其他税收政策包括印花税、房产税、车船税等，这些税种可能会对利息 产生影响。
印花税是对经济合同、产权转移书据等凭证征收的一种税，利息相关的 凭证可能需要缴纳印花税。
房产税和车船税等其他税收政策可能会对个人或企业的财产产生影响， 从而间接影响利息。
05
利息的风险管理
市场风险
01
02
03
计算公式为：A = P × (1 + r)^n ，其中A为本金和利息之和，P为 本金，r为年利率，n为时间（以
1-1利息基本函数
(1) (1 i(m) )m (1 d( p) )p
m
p
(2) i(m) d(m) i(m) d(m) mm mm
.
33
例11：有以下两种5年期的投资选择， A：年利率7%，每半年计息一次； B：年利率7.05% 每年计息一次；
比较两种选择的收益。
解：法一：比较等价的年实利率
i(2 ) 7 % iA ( 1 , 7 2 % )2 1 7 .12 % i 2 B 7 3 .0% 5
a(t)= A(t) / A(0) ，t≥0
.
7
且总量函数A(t)在时间[t1,t2]内的变化量称 为利息,记为It1,t2,则
I t1,t2 =A(t1)-A(t2) 利率——一定的货币量在一段时间计息期内的
变化量利息与期初货币量的比值，即
利率 = 利息 / 期初本金
这里定义的利率被称为实利率；通常计息期为
.
9
三、单利和复利
在实际金融活动中通常用到的两种计息方式 分别为单利和复利
假设在期初投资1个单位的本金，在每一
个时期中都得到完全相同的利息金额，即利息
为常数
a(t) = 1+ i t，t≥0
这种类型的利息产生方式称为单利，i 称为单
利率。
.
10
说明：
(1)相应单利的累积函数为时间的线性函数 (2)常数的单利率并不意味着常数的实利率
.
4
二、累积函数
本金——初始投资的资本金额 累积值——过一定时期后收到的总金额 利息——累积值与本金之间的金额差值 累积函数——假设在初始时刻0投资了1个单
位的本金则在时刻t的累积值，记为a(t)
.
5
累积函数a(t)是关于时间的函数,且满足 (1) a(0)=1 (2)a(t)关于时间严格单调递增,即当t1<t2时,
保险精算第二版复习ppt
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
金融学课件：利息和利率
➢ 对于特定债券而言，公式
=
(1 + )
中的终值F、现值P和n
都是事前确定了的，唯一不确定的是贴现率i，通过数学计算可
以得到贴现率 i 。
➢ 根据逆运算法则，此时的r还是投资者从债券购买日起到债券到
期日止实际得到的年收益率，该收益率就是著名的到期收益
率，一般用yTM
P
表示，则有：
F
(1 yTM ) n
在信用活动中，在不改变货币所有权的前提下，货币所有者将
货币使用权在一定时期内让渡给货币需求者，从而在借贷期满
时从货币需求者那里得到一个超出借贷本金的增加额，这个增
加额就是利息。
第一节 货币的时间价值与利息
一、货币的时间价值——体现（利息）
第一节 货币的时间价值与利息
一、货币的时间价值——体现（利息）
率。
第二节 利率的分类
五、实际利率与名义利率
➢ 实际利率是指物价水平不变从而货币的实际购买力不变时的利
率。
➢ 名义利率是指包含物价变动 （主要指通货膨胀）因素的利率。
➢ 设名义利率为i，实际利率为r，通货膨胀率为π，则两者关系如
下：
1 + = （1 + ) + (1 + ) = (1 + )(1 + ) = 1 + + r +
➢ “利滚利”&“驴打滚”。
➢ 第一年末投资的总价值为
为
，第二年末投资的总价值
，……以此类推，第n 年末投资的总价值增长为：
➢ 在复利准则下，利息额以几何级数增长【每年增长量为
】。
第一节 货币的时间价值与利息
三、金融交易与货币的时间价值
=
(1 + )
中的终值F、现值P和n
都是事前确定了的，唯一不确定的是贴现率i，通过数学计算可
以得到贴现率 i 。
➢ 根据逆运算法则，此时的r还是投资者从债券购买日起到债券到
期日止实际得到的年收益率，该收益率就是著名的到期收益
率，一般用yTM
P
表示，则有：
F
(1 yTM ) n
在信用活动中，在不改变货币所有权的前提下，货币所有者将
货币使用权在一定时期内让渡给货币需求者，从而在借贷期满
时从货币需求者那里得到一个超出借贷本金的增加额，这个增
加额就是利息。
第一节 货币的时间价值与利息
一、货币的时间价值——体现（利息）
第一节 货币的时间价值与利息
一、货币的时间价值——体现（利息）
率。
第二节 利率的分类
五、实际利率与名义利率
➢ 实际利率是指物价水平不变从而货币的实际购买力不变时的利
率。
➢ 名义利率是指包含物价变动 （主要指通货膨胀）因素的利率。
➢ 设名义利率为i，实际利率为r，通货膨胀率为π，则两者关系如
下：
1 + = （1 + ) + (1 + ) = (1 + )(1 + ) = 1 + + r +
➢ “利滚利”&“驴打滚”。
➢ 第一年末投资的总价值为
为
，第二年末投资的总价值
，……以此类推，第n 年末投资的总价值增长为：
➢ 在复利准则下，利息额以几何级数增长【每年增长量为
】。
第一节 货币的时间价值与利息
三、金融交易与货币的时间价值
利息理论第一章 1 优质课件
注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
《利息的基本概念》课件
流量
4 利息税是必须考虑的因素之一
利息的分类
固定利息 稳健型利息
浮动利息 高风险利息
利率和利率变动的影响
1 利率和现金流量的关 2 利率的变动对债券价 3 利率趋势的预测 定义和原理
2 税前收益和税后收益的计算
3 实际利率和税后利率的区别
结论
1 利息是带有成本的借贷资产收益
2 利息包含简单利息和复合利息
3 利率的变动会影响债券价格和现金
《利息的基本概念》PPT 课件
这个PPT课件将带你深入了解利息的基本概念。让我们一起探索什么是利息， 利息的计算公式，以及利率和利率变动的影响。
什么是利息?
利息是借贷资产所产生的收益 记录在资产负债表上的负债一侧
通常会以百分比形式计算
利息的计算公式
简单利率: I=P×r×t
复合利率: F=P×(1+r)^t-P
4 利息税是必须考虑的因素之一
利息的分类
固定利息 稳健型利息
浮动利息 高风险利息
利率和利率变动的影响
1 利率和现金流量的关 2 利率的变动对债券价 3 利率趋势的预测 定义和原理
2 税前收益和税后收益的计算
3 实际利率和税后利率的区别
结论
1 利息是带有成本的借贷资产收益
2 利息包含简单利息和复合利息
3 利率的变动会影响债券价格和现金
《利息的基本概念》PPT 课件
这个PPT课件将带你深入了解利息的基本概念。让我们一起探索什么是利息， 利息的计算公式，以及利率和利率变动的影响。
什么是利息?
利息是借贷资产所产生的收益 记录在资产负债表上的负债一侧
通常会以百分比形式计算
利息的计算公式
简单利率: I=P×r×t
复合利率: F=P×(1+r)^t-P
《利息与利率》课件
经济周期对利率的影响
总结词
经济周期对利率的影响主要体现在不同阶段的经济发展状况对借贷成本的影响上。在经 济扩张期，利率可能较低；在经济衰退期，利率则可能较高。
详细描述
经济周期是指经济发展过程中出现的繁荣、衰退、萧条和复苏四个阶段。在不同的阶段 ，利率水平也会相应调整。在经济繁荣期，经济增长加速，投资机会增多，借贷需求增 加，可能导致利率下降。相反，在经济衰退期，经济增长放缓或出现负增长，借贷需求
企业融资中的利息与利率
融资成本
企业融资需要支付利息， 利率的高低直接影响企业 的融资成本。
投资回报
企业利用财务杠杆进行投 资时，利率水平影响企业 的投资回报率。
经营风险
利率波动可能给企业带来 经营风险，如利率敏感性 缺口等。
国家政策中的利息与利率
货币政策工具
利率是国家货币政策的重要工具 ，通过调节利率水平来影响经济
01
利息与利率的基本概念
利息的定义与计算
利息的定义
利息是借款人因使用货币而支付给贷款人的报酬。它是基于货币的时间价值而 产生的。
利息的计算方式
利息的计算通常采用复利或单利的方式。复利是指在每个计息周期结束后，将 利息计入本金，并重新计算利息；单利则是在整个计息期间，本金产生的利息 不再计息。
利率的种类与作用
减少，市场上的资金供应相对过剩，央行可能会提高利率以刺激经济增长。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
利率的风险与回报
利率风险的定义与种类
利率风险定义
利率风险是指由于利率变动而给 经济主体造成损失或收益的可能 性。
利率风险的种类
利息理论第一章 利息的基本概念
A′(t ) a′(t ) δt = = A(t ) a(t )
称 δ t 该投资在t时的利息强度，即 δ t 为利息在时刻t一 该投资在t 为利息在时刻t 种度量，通过如上定义可将 δ 表示为如下形式：
t
d d δ t = ln A(t ) = ln a (t ) dt dt
对两边积分可得，
A(t ) ∫0 δ s ds = ∫0 d ln A(s) = ln A(s) | = ln A(0)
利息理论
绪论
利息是债务人（borrower） 利息是债务人（borrower）对债权人 （lender）因为资金被借用而牺牲了当前消费， lender） 以及对其面对的机会成本的一种补偿。不同经济 学以及货币银行学等课程讨论利息是如何形成的 以及分析决定利息大小的具体因素，在本门课程 中假定存在于债权人和债务人之间的利息是一种 既定的事实，并在此基础上分析债权人和债务人 之间的权利与义务的关系。
假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后， （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后， 张三将还给银行100元。 张三将还给银行100元。 由此可见，实际利率和实际贴现率反映的 是一个先后付息的问题。
就是只有本金生息，本金产生的利息并不积累 生息。 （2）如果单位投资在t时的积累值为： ）如果单位投资在t a(t)=(1+i)t )=(1+i) 那么，则称该笔投资以每期复利i计息, 那么，则称该笔投资以每期复利i计息,并将 这样产生的利息称为复利。实际上，复利就是 指民间俗称的“利滚利”，即当其产生的利息 计入本金，在下一期可以生息。
第一章讲义_资金的时间价值ppt课件
例题2：数据如例1，如果按复利计算，试计算各年利息和本利和。
利息周期 （年） 1 2 3 4
年初借款 累计 1000 1060
1123.60 1191.02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
年末应付利息 1000 × 0.06=60 1060× 0.06=63.60 1123.6×0.06=67.42 1191.02×0.06=71.46
大小 流向 时间点
四、利息的种类
单利 复利
（一）单利利息的计算方法
1、含义 ——使用本金计算利息，不计算利息的利息，即通
常所说的“利不生利”的计息方法。
2、计算公式： 设：I——利息
则计算公式：
P——本金 n ——计息期数 i——利率
I = P ·i ·n F=P（1+ i ·n）
F ——本利和（本金加利息）
3000 3000
3000 6
3000 6
货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的大小有关， 而且与发生的时间有关。由于货币的时间价值的存在，使不同 时间上发生的现金流量无法直接加以比较，这就使方案的经济 评价变得比较复杂了。
以下图为例，从现金流量的绝对数看，方案E比方案F好;但 从货币的时间价值看，方案F似乎有它的好处。如何比较这两个 方案的优劣就构成了本课程要讨论的重要内容。这种考虑了货 币时间价值的经济分析方法，使方案的评价和选择变得更现实 和可靠。
现金流入
200 200
300 200
01
2
34
现金流出
时间
400
作图方法： 1. 水平线是时间标度，时间的推移是自左向右，
每一格代表一个时间单位（年、月、日）； 2. 箭头表示现金流动的方向：
利息理论课件 (1)
(1-4)
n≥1 为整数 (1-5)
例1-1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问：第一年、第二 年银行存款的实质利率分别是多少?
例1-2 某人借款10000元，为期一年，年实质 利率为 10% 。问：一年后，此人需要还款 多少？其中利息为多少？
例1-7 重新考虑例1-1中存款，所述的事件 不变，求第一、第二年的实质贴现率。
“等价”
对于同一笔业务，用不同的率去度量，其结 果是“等价”的。
等价 关系式
i=d/(1-d) i-id=d d(1+i)=i d=i/(1+i) d=iv d= i/(1+i)=1-1/(1+i) =1-v v=1-d d =iv=i(1-d) =i-id i-d=id (1-12A) (1-12B) (1-12C) (1-12D) (1-12E) (1-12F) (1-12G) (1-12H) (1-12I)
d (m) d ( m ) m 1 (1 ) 贴现： m m
d ( m) d ( m) m2 (1 ) m m
d (m) d (m) (1 ) m m
d (m) 1 m
d ( m) m ) 余额： 1 d (1 m
d ( m ) m 1 (1 ) m
…
d (m) 2 (1 ) m
d (m) 1 m
1
图(1-2B) 名义贴现率图
例1-9 （ 1 ）求与实质利率 8% 等价的每年计息 2 次的年 名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率； （2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%， 求等价的实质利率； （3）已知i(3/2)=8%，求等价的d(12)。
利息的基本概念
方法一：比较等价的年实质利率： iA2=7%
于是
iA
=
1+
7% 2
2
1=7.1225%>iB
=7.05，%应选择A。
方法二：比较实际收益：
aA
5
1
7% 2
10
1.4106
aA
5
aB
5
aB 5 1 7.05%5 1.4058
应选择A。
41
课堂练习2答案
由题意知
iA2 =7%
所以 解得
an a n 1 An An 1 I n in a n 1 An 1 An 1
如果利息计算时期与基本时间单位相同，此时的 利率就是实际利率。
8
三、利息的累积方式
线形积累
单利（Simple Interest） 仅在本金上生息
a n __1___i__n__
i
in _1___(_n____1_)_i
5%复贴现率计息
10000(1－5%)2 9025
期初投资9025元，两年后获得10000元
两年共现象
在现实的金融市场中，人们常常将各种收益率称 为利息率，但它们的含义会有所不同。
以美国市场为例，在短期债券中以美国财政部 （United States Treasury）发行的短期国券库“Tbills”（Treasury Bill）为主，期限通常为三个月 （13周）、六个月（26周）和十二个月（52周）。 三月期和六月期的每星期一发行，十二月期的每 月第四个星期发行。它们的利息通常是用贴现率 表示的。
d (4) 4
3
d (4) 2
1
4
1 d (4) 4
1
1 d
利息理论第一章.ppt
7
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)
复利数学第一章讲义
(1-4)
n≥1 为整数 (1-5)
例1-1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问：第一年、第二 年银行存款的实质利率分别是多少?
例1-2 某人借款10000元，为期一年，年实质 利率为10%。问：一年后，此人需要还款 多少？其中利息为多少？
例1-7 重新考虑例1-1中存款，所述的事件 不变，求第一、第二年的实质贴现率。
“等价”
对于同一笔业务，用不同的率去度量，其结 果是“等价”的。
等价 关系式
i=d/(1-d) i-id=d d(1+i)=i d=i/(1+i) d=iv d= i/(1+i)=1-1/(1+i) =1-v v=1-d d =iv=i(1-d) =i-id i-d=id (1-12A) (1-12B) (1-12C) (1-12D) (1-12E) (1-12F) (1-12G) (1-12H) (1-12I)
一般用字母I表示利息, In表示第n期上的 利息
In=A(n)-A(n-1)=P×a(n)-P×a(n-1) = P×[a(n)-a(n-1)] 对整数n≥1 (1-2A) 而n个时期上总的利息金额则为 I=A(n)-A(0)=P×a(n)-P×a(0) =P×[a(n)-1]=I1+ I2+…+ In (1-2B)
图(1-2A) 名义利率图
名义贴现率
用符号d(m) 记每一度量期付m次利息的名义贴 现率。所谓名义贴现率d(m)，是指每1/m个度量 期支付利息一次，而在每1/m个度量期上的实 质贴现率为d(m)/m。 如d是对每个度量期初支付的利息的度量一样， 名义贴现率d(m)是一种对1/m个度量期初支付的 利息的度量。
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现额（贴息）。
.
18
▪ 例如，1 000元本金经过1年投资成为1 100
元。理解利息和贴息。
▪ 思考：贴息和利息的区别？
▪ 利息是在本金基础上的增加额； ▪ 贴息是在累积额基础上的减少额。
问：若在复利假设下实际利率为常数，则实际贴现率是否也 是常数？
.
19
四、贴现率
▪ 贴现率是单位货币在单位时间内的贴息。单位时间
1
a t？ ×a t
-t
现值
1 0
累现积值值
图1 现值和累积值
a t
t
累积值
.
16
常数复利下
1 1 i n … 1 1 i 1 1 i … 1 i n
1 a n … 1 a 1 1 a 1 … a n
0-n …… n--11 n0 1 … n
图2 复利下的现值和累积值
.
17
利率就是实际利率。
.
8
三、利息的累积方式
▪ 线形积累
▪ 单利（Simple Interest）
▪ 仅在本金上生息
a n __1___i__n__
i
in _1___(_n___1__) i_
▪ 指数积累
▪ 复利（Compound Interest）
▪ 在本金加利息上计 息
an ___1___i__n _
▪ 影响利息大小的三要素
▪ 本金（Principal）/积累值（Accumulated Value） ▪ 利率（The Rate of Interest） ▪ 时期长度 ▪ 累积方式
.
3
二、利息的度量函数
▪ 总额函数 A (t)
▪ 累积函数
a (t)
▪ 贴现函数
a 1(t)
▪ 第n期利息
I (n )
以年度衡量时，称为年实际贴现率。
▪ d n 表示第n年的贴现率，当常数复利时：
a (n ) an 1 1 in 1 in 1 i
d n a (n ) 1 in
iv@ d 1 i
▪ 可见：v 1 d i d i 1d v i d
1 i
1 i
1 d
计算上例中利率和贴现率分别为多少？
.
5
课堂思考
▪ 已知累积函数atkt2m，其中k 和 m 为常
数。如果在时刻0投资100元，到时刻3可以积 累到181。那么，如果在时刻5投资200元，到 时刻10的积累值是多少？ (A. 600 B. 615 C. 650)
.
6
答案：B
提示： at0.09t21
A0 200
3.25
2000.091021615
计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复 利计息。
.
11
例1.1
▪ 某人以1万元本金进行5年投资，前2年的利
率为5％，后3年的利率为6％，分别以单利 和复利计算5年后的累计积累值。
.
12
例1.1答案
单利 A (5) 1 0 0 0 0 (1 2 5 % 3 6 % )
12800 复利 A (5) 1 0 0 0 0 (1 5 % )2 (1 6 % )3
in _____i______
？
.
9
单/复利场合累积函数示图
a 5
4
3
2
1 0
1
2
3
Hale Waihona Puke t.10单复利计息之间的相关关系
▪ 单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保
持恒定。
▪ t 1 时，相同单复利场合，单利计息比复利
计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单 利计息。
▪ t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利
.
20
五、利率与贴现率的关系
▪ 利率与贴现率的本质差别在于：
▪ 利息按期初金额计算而在期末支付； ▪ 贴息按期末金额计算而在期初支付。
▪ 在实务中，如果可以利用实际利率和实际贴
现率来同时度量某一投资过程，则它们反映 同一个问题的两个不同的侧面。实际利率用 来度量借款人到期偿还利息额的大小，而实 际贴现率用来度量借款人为了到期清偿本金， 而在借款之初支付的利息。
.
21
五、利率与贴现率的关系
初始值
1. 总额函数 A t
▪ 例如：如果某年用于投资的本金为10 000元，
经过两年后增值为12 000元。则 A 0 、 A t 分
别为多少？
2.
累积函数 a t
At A0
▪ 累积函数是单位本金经过t时期后的增值额函数，
因此
a 0 。 1
▪ 累积函数可以是增函数也可以是减函数。
▪ a 1 t 称为贴现函数。 贴现是累积的逆运算！
第一章
利息的基本概念
1
第一章
利息 的基本概念
利息及其度量 实际利率与实际贴现率
名义利率与名义贴现率 利息力
利息问题求解
.
2
一、利息的定义
▪ 定义
▪ 利息（Interest）产生在资金的所有者和使用者不统一 的场合，它的实质是资金的使用者（Borrower）付给资 金所有者（Lender）的租金，用以补偿所有者在资金租 借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。
三、贴现的概念
0
1
2
n-1
n
1 1 i n 1 1 in1 1 1 in2 …
1 1 i
1
vn
v n1
v n2
v
图3 复利下资金贴现过程
▪ 1单位元时期为1年在复利下的现值通常同 v 表示。 ▪ v 1 称为贴现因子。
1 i
▪ 如果将应在未来某时期支付的金额提前到现在支付，
则支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额称为贴
13130
.
13
第一章
利息 的基本概念
利息及其度量 实际利率与实际贴现率 名义利率与名义贴现率 利息力 利息问题求解
.
14
一、定义式
▪ 期末计息——利率
▪ 第n期实际利率
in
I (n) A(n 1)
▪ 期初计息——贴现率
▪ 第n期实际贴现率
!
I ( n )
d n A (n)
.
15
二、现值和累积值
▪ 第n期利息率
in ?
K----------------------------- A(t)
1 -----------------------------a (t )
a 1(t)----------------------------1
0
t
I(n )A (n )A (n 1 )
.
4
二、利息的度量函数
3.25
.
7
二、利息的度量函数
3. 利息率 i n ▪ 利息率（或利率）是衡量资金生息水平的指标，
它表示单位本金在单位时间内所滋生的利息。
▪ 例如：如果某年用于投资的本金为10 000元，经
过两一年后增值为11 000元，求利息率。
a n a n 1 A n A n 1 In in a n 1 A n 1 A n 1 ▪ 如果利息计算时期与基本时间单位相同，此时的