第7章 电磁感应

第8章 气体动理论

一、目的与要求

1．了解物质的微观结构及气体分子热运动的图象，掌握理想气体的微观模型。 2．了解宏观量的统计性质，理解统计平均的概念，掌握统计平均值的计算方法。 3．理解气体压强的统计意义和温度的微观本质，掌握理想气体压强公式和温度公式。

4．理解速率分布函数的概念和麦克斯韦速率分布律，掌握最概然速率、平均速率、

方均根速率的概念和计算方法。

5．理解玻尔兹曼能量分布律，掌握等温气压公式。

6．了解自由度的概念，掌握能量均分定理和理想气体内能的计算。

7．理解分子的平均自由程和平均碰撞频率的概念，掌握平均自由程和平均碰撞频率

的计算。

二、内容提要

1．气体的状态方程

描述系统平衡态的各状态参量之间的函数关系，称作气体的状态方程。 理想气体状态方程 RT pV ν=

nkT p =

式中ν为理想气体的摩尔数，n 为气体分子数密度。 2．理想气体压强公式

t n n p εμ3

2

32==

v 其中μ为分子质量，t ε为理想气体分子热运动的平均平动动能。 3．温度的统计意义

kT t 2

3=

ε 温度是大量分子热运动的集体表现，是分子热运动平均平动动能的量度。 4．分子的自由度

确定分子空间位置所需的独立坐标数，称作分子的自由度。单原子分子的自由度为3，

刚性双原子分子自由度为5，刚性多原子分子的自由度为6。

5．能量均分定理

平衡态时，分子每个自由度的平均动能为

kT 2

1 自由度为i 的分子所具有的总平均动能为

kT i 2

ν摩尔的理想气体（刚性分子）的内能为

RT i

E ν2

=

6．速率分布函数和麦克斯韦速率分布律

速率分布函数)(v f 表示处平衡态时，气体分子速率在v 附近，单位速率间隔内的分

子数v

d d N

占总分子数N 的比率，即

v

v d d )(N N

f =

麦克斯韦速率分布律

kT

kT

f /22/32

e )π2(

π4)(v

v v μμ

-=

7．三种速率 最概然速率 M RT

P 2=

v 平均速率

M RT

π8=

v

方均根速率

M RT

32=

v 式中M 为气体分子的摩尔质量。 8．玻耳兹曼能量分布律

平衡态时，能量为ε的某状态区间中的粒子数

kT N /e d ε-∝

重力场中粒子按高度的分布

kT gh n n /0e μ-= 等温气压公式

kT gh p p /0e μ-=

9．气体分子的平均碰撞频率和平均自由程 平均碰撞频率

n d Z v 2π2=

平均自由程

p

d kT

n d 2

2π2π21==λ 式中d 为分子的有效直径。

三、例题

8-1 容积分别为1V 和2V 的两容器中，各贮有压强为0p ，温度为0T 的同种理想气体，

用一容积可忽略的细管连通两容器，将1V 置于100℃的沸水中，2V 置于0℃的冰水中，如图所示。求稳定时容器内气体的压强。

分析 这是一个应用理想气体状态方程的题目。根据气体系统总质量不变可求解之

题。

解 初态1V 中的气体摩尔数为 01

01RT V p =

ν 初态2V 中的气体摩尔数为

202RT V p =ν

设末态时气体的压强为p ，则末态时1V 中气体的摩尔数为0

1

01RT V p =

ν。 末态时2V 中气体的摩尔数为2

2

2

RT pV ='ν 由于1V 和2V 中的气体总质量不变，所以有

2121

νννν+='+' 即

)()(

210

022

11V V T p T V T V p +=+ 所以

212100*********

373T p V V V V T p T V T V V V p ++=++=

说明 在求解一些具体问题时，通常需要同时应用状态方程和质量守恒。

8-2 一热气球的容积为3

m 2500

=V ，气球本身和负载的总质量kg 700=m 。若大气压强为Pa 1001.150⨯=p ，大气的温度为K 2930=T ，要使热气球上升，其内部空气最低要加热到多少度？（空气的摩尔质量为kg/mol 10293-⨯=M ）

分析 这是一个涉及到浮力和气态方程的题目。以热气球内部的气体为研究对象，在

加热气球内部气体的过程中，气球的容积及气体的压强不变，气体的质量从气球中逸出不断减少，因而，当达到一定温度时，热气球所受的浮力就会大于等于热气球系统整体所受的重力。

解 设开始时，热气球中气体的质量为1m ，则热气球所受浮力为g m F 1=浮。 设热气球中气体的温度被加热到T 时，热气球中的气体质量为2m ，要使气球开始上浮，则

g m m F )(2+=浮 即

g m m g m )(21+≥

(1)

根据理想气体状态方程，初态时有

001RT V

Mp m =

(2)

末态时有

2

02RT V

Mp m =

(3)

将（2）、（3）两式代入（1）式有

2

000RT V

Mp m RT V Mp +

≥ 所以

350

02102925001001.129331.87001293

1-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=-

≥pVM

mRT T T

C 109K

382

== 说明 （1）在解本题时，分析清楚具体发生的过程非常重要。（2）在初态时，气球内的气体与气球外的空气密度相同，因而气体所受浮力为g m F 1=浮。（3）由（1）式可以看出，若m m <1则热气球中的气体无论温度多高都不会上升。

8-3 在一容器中有氮气和氢气的混合气体。当温度为T 时，氮气全部分离成原子，而氢气基本上没有分离（即氢气的分离可忽略），此时的压强为p 。当温度升高到T 3时，两种气体全部分离成原子，容器中的压强为p 4。求混合气体中氮和氢的重量比。

分析 这是一个应用混合气体理想气体状态方程的题目，当气体发生分解时，系统的摩尔数增加，将理想气体状态方程应用于始末两态即可求解。

解 设分解前氮气的摩尔数为1ν，氢气的摩尔数为2ν，则初态时，有

RT pV )2(21νν+= 末态时，有

RT pV )22(3421νν+=

两式相除，有

2

1212)

22(34νννν++=

即

21216648νννν+=+