第7章 电磁感应

第8章 气体动理论
一、目的与要求
1．了解物质的微观结构及气体分子热运动的图象，掌握理想气体的微观模型。

2．了解宏观量的统计性质，理解统计平均的概念，掌握统计平均值的计算方法。

3．理解气体压强的统计意义和温度的微观本质，掌握理想气体压强公式和温度公式。

4．理解速率分布函数的概念和麦克斯韦速率分布律，掌握最概然速率、平均速率、
方均根速率的概念和计算方法。

5．理解玻尔兹曼能量分布律，掌握等温气压公式。

6．了解自由度的概念，掌握能量均分定理和理想气体内能的计算。

7．理解分子的平均自由程和平均碰撞频率的概念，掌握平均自由程和平均碰撞频率
的计算。

二、内容提要
1．气体的状态方程
描述系统平衡态的各状态参量之间的函数关系，称作气体的状态方程。

理想气体状态方程 RT pV ν=
nkT p =
式中ν为理想气体的摩尔数，n 为气体分子数密度。

2．理想气体压强公式
t n n p εμ3
2
32==
v 其中μ为分子质量，t ε为理想气体分子热运动的平均平动动能。

3．温度的统计意义
kT t 2
3=
ε 温度是大量分子热运动的集体表现，是分子热运动平均平动动能的量度。

4．分子的自由度
确定分子空间位置所需的独立坐标数，称作分子的自由度。

单原子分子的自由度为3，
刚性双原子分子自由度为5，刚性多原子分子的自由度为6。

5．能量均分定理
平衡态时，分子每个自由度的平均动能为
kT 2
1 自由度为i 的分子所具有的总平均动能为
kT i 2
ν摩尔的理想气体（刚性分子）的内能为
RT i
E ν2
=
6．速率分布函数和麦克斯韦速率分布律
速率分布函数)(v f 表示处平衡态时，气体分子速率在v 附近，单位速率间隔内的分
子数v
d d N
占总分子数N 的比率，即
v
v d d )(N N
f =
麦克斯韦速率分布律
kT
kT
f /22/32
e )π2(
π4)(v
v v μμ
-=
7．三种速率 最概然速率 M RT
P 2=
v 平均速率
M RT
π8=
v
方均根速率
M RT
32=
v 式中M 为气体分子的摩尔质量。

8．玻耳兹曼能量分布律
平衡态时，能量为ε的某状态区间中的粒子数
kT N /e d ε-∝
重力场中粒子按高度的分布
kT gh n n /0e μ-= 等温气压公式
kT gh p p /0e μ-=
9．气体分子的平均碰撞频率和平均自由程 平均碰撞频率
n d Z v 2π2=
平均自由程
p
d kT
n d 2
2π2π21==λ 式中d 为分子的有效直径。

三、例题
8-1 容积分别为1V 和2V 的两容器中，各贮有压强为0p ，温度为0T 的同种理想气体，
用一容积可忽略的细管连通两容器，将1V 置于100℃的沸水中，2V 置于0℃的冰水中，如图所示。

求稳定时容器内气体的压强。

分析 这是一个应用理想气体状态方程的题目。

根据气体系统总质量不变可求解之
题。

解 初态1V 中的气体摩尔数为 01
01RT V p =
ν 初态2V 中的气体摩尔数为
202RT V p =ν
设末态时气体的压强为p ，则末态时1V 中气体的摩尔数为0
1
01RT V p =
ν。

末态时2V 中气体的摩尔数为2
2
2
RT pV ='ν 由于1V 和2V 中的气体总质量不变，所以有
2121
νννν+='+' 即
)()(
210
022
11V V T p T V T V p +=+ 所以
212100*********
373T p V V V V T p T V T V V V p ++=++=
说明 在求解一些具体问题时，通常需要同时应用状态方程和质量守恒。

8-2 一热气球的容积为3
m 2500
=V ，气球本身和负载的总质量kg 700=m 。

若大气压强为Pa 1001.150⨯=p ，大气的温度为K 2930=T ，要使热气球上升，其内部空气最低要加热到多少度？（空气的摩尔质量为kg/mol 10293-⨯=M ）
分析 这是一个涉及到浮力和气态方程的题目。

以热气球内部的气体为研究对象，在
加热气球内部气体的过程中，气球的容积及气体的压强不变，气体的质量从气球中逸出不断减少，因而，当达到一定温度时，热气球所受的浮力就会大于等于热气球系统整体所受的重力。

解 设开始时，热气球中气体的质量为1m ，则热气球所受浮力为g m F 1=浮。

设热气球中气体的温度被加热到T 时，热气球中的气体质量为2m ，要使气球开始上浮，则
g m m F )(2+=浮 即
g m m g m )(21+≥
(1)
根据理想气体状态方程，初态时有
001RT V
Mp m =
(2)
末态时有
2
02RT V
Mp m =
(3)
将（2）、（3）两式代入（1）式有
2
000RT V
Mp m RT V Mp +
≥ 所以
350
02102925001001.129331.87001293
1-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=-
≥pVM
mRT T T
C 109K
382
== 说明 （1）在解本题时，分析清楚具体发生的过程非常重要。

（2）在初态时，气球内的气体与气球外的空气密度相同，因而气体所受浮力为g m F 1=浮。

（3）由（1）式可以看出，若m m <1则热气球中的气体无论温度多高都不会上升。

8-3 在一容器中有氮气和氢气的混合气体。

当温度为T 时，氮气全部分离成原子，而氢气基本上没有分离（即氢气的分离可忽略），此时的压强为p 。

当温度升高到T 3时，两种气体全部分离成原子，容器中的压强为p 4。

求混合气体中氮和氢的重量比。

分析 这是一个应用混合气体理想气体状态方程的题目，当气体发生分解时，系统的摩尔数增加，将理想气体状态方程应用于始末两态即可求解。

解 设分解前氮气的摩尔数为1ν，氢气的摩尔数为2ν，则初态时，有
RT pV )2(21νν+= 末态时，有
RT pV )22(3421νν+=
两式相除，有
2
1212)
22(34νννν++=
即
21216648νννν+=+
所以
21νν=
所以
142
1
221121===M M M M m m νν
说明 在气体发生化学反应（如分解或合成）时，气体系统的总摩尔数将发生变化，
掌握化学反应中摩尔数变化的规律，是解这类问题的基础。

8-4 一容积为3
3m 1038.1-⨯=V 的真空系统在室温(K 293=T )下抽到
m m H g 100.15-⨯的真空。

为了提高真空度，将它放到500K 的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，而后进一步抽真空。

若烘烤后压强增为mmHg 100.12-⨯，试求器壁释放出的分子数。

分析 由理想气体状态方程nkT p =分别求出两个状态下的总分子数。

末态分子数减初态分子数即为器壁释放的分子数。

解 由理想气体状态方程，有
kT
p
n =
所以，器壁释放的分子数为 k
V T p T p V kT p V kT p N N N )(1122112212-=-=
-=∆ 233
25221038.11038.1)2931033.1100.15001033.1100.1(----⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=
171066.2⨯=(个)
说明 由此题可看出，在条件允许的情况下，加热系统对系统的抽真空是非常重要的。

8-5 一个容器中有16g 氧气（刚性分子），温度为100℃，试求：
（1）分子的平均平动动能；（2）分子的平均转动动能；（3）分子的平均动能；（4）
氧气的内能。

分析 这是一个用能量均分定理求解的题目，刚性分子振动自由度为零。

解 （1）分子的平均平动动能为
21231072.73731038.12
3
23--⨯=⨯⨯⨯==
kT t ε（J ） （2）氧气为双原子分子，转动自由度为2，所以分子的平均转动动能为
21231015.53731038.1--⨯=⨯⨯==kT t ε （J ）
（3）刚性分子，振动自由度0=s ，所以分子的平均动能为
201029.12
5
-⨯==
+=kT r t k εεε（J ）
（4）氧气的内能为 RT M
m RT NkT N E k 252525===
=νε
31087.3322373
31.8165⨯=⨯⨯⨯⨯=
（J ）
说明 在应用能量均分定理求解问题时，关键是确定分子的自由度。

气体温度很低时，
气体分子仅有平动自由度，在室温附近一般振动自由度为零（即刚性分子），只有在比较高的温度时，振动自由度才不为零。

8-6 试求由质量g 00.21=m 的氦气，g 0.142=m 的氮气和g 00.63=m 的水蒸气组
成的混合气体在常温下的定体摩尔热容。

分析 这是一个涉及到求混合气体平均摩尔质量和定体摩尔热容的题目。

氦气是单原
子分子，自由度为3=i ，在常温下，分子的振动自由度对气体的热容没有影响，因而，对双原子和多原了分子可看作是刚性分子，这样，氮为双原子分子其自由度为5=i ，水蒸气为3原了分子，自由度为6=i ，根据能量均分定理可分别求出三种气体的定体摩尔热容，根据平均摩尔质量的概念可进一步求出混合气体的定体摩尔热容。

解 根据能量均分定理，氦气的定体摩尔热容为
R C V 23
1=
氮气的定体摩尔热容为
R C V 252=
水蒸气的定体摩尔数为
R R C V 32
6
3==
设混合气体的平均摩尔质量为M ，则
3
3
2211321M m M m M m M m m m +
+=++ 根据摩尔热容的定义，设混合气体的定体摩尔热容为V C ，则
321332211321V V V V C M m C M m
C M m C M m m m ++=++
所以
3
322
113
322113
21M m M m M m C M m C M m
C M m C V V V V ++++=
18
00
.6280.14400.231800
.625280.1423400.2++⨯+⨯+⨯=R R R
1
1K m o l J 7.184
9--⋅⋅==R
说明 在实验中经常会遇到混合气体，例如空气就是混合气体。

搞清楚混合气体的组
份，求出平均摩尔质量，可以解决很多问题。

在这方面确切地理解平均摩尔质量的概念非常重要。

8-7 在一封闭容器内装有温度为K 3000=T ，密度为3kg/m 0.40=ρ的氧气，容器
以m/s 150=v 的速率作匀速直线运动。

若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为气体热运动的动能，试求当平衡后气体的温度T 和压强p 。

分析 这是一个涉及系统宏观运动的机械能向系统热运动内能转化的题目。

对每个分
子而言都有一个随容器运动的平动动能，将此能量转化为一个分子所具有的平均热运动动能，求出气体温度的增量，进而由理想气体状态方程可求出气体的压强。

解 氧气分子随容器一起运动，一个氧气分子所具有的平动动能为
222121v v A
k N M ==
με 将此能量全部转化为气体热运动动能，则气体温度的增量T ∆为
2
2125v A
k N M T k =∆=
∆ε 即
3.1731.851501032552
322=⨯⨯⨯===∆-R M kN M T A v v （K ）
所以，气体的温度为
3.3173.173000=+=∆+=T T T （K ）
由理想气体状态方程有 3
10323
.31731.80.40-⨯⨯⨯===
M RT V RT M m p ρ
6
103.3⨯=（Pa ）
说明 在室温情况下，氧气可看作是刚性双原子理想气体，分子的自由度5=i 。

8-8 试计算氢气、氮气的方均根速率等于地球表面的逃逸速率时所需要的温度。

分析 根据力学知识求出地球表面的逃逸速率II v ，再根据能量均分定理算出气体的
温度。

解 在地球表面，根据机械能守恒有
0212
II =-e
e R M G μμv 式中e M 和e R 分别为地球的质量和地球的平均半径。

故
e e
e
e gR R M G 22II ==
v 将2m/s 8.9=g ，km 6370=e R 代入上式，有
3II 102.11⨯=v m/s
对于氢气，有
12
II H 2H 2
3212122kT ==v v μμ 所以
R
M k T 332
II
H 2
II
H 122
v v =
=
μ
42
331001.131
.83)102.11(102⨯=⨯⨯⨯⨯=
-(K) 同理，对于氮气有
52332
II
N 21041.181
.33)102.11(102832⨯=⨯⨯⨯⨯==
-R
M T v (K)
说明 从此题的计算结果可以看出，方均根速率要达到地球表面的逃逸速率，所需的
温度很高。

请读者考虑，若情况不是这样，所需温度仅为几百K ，将会怎样？
8-9 某些恒星的温度达到K 108
的数量级，在这样的温度下原子已不存在，只有质子
存在，试求：（1）质子的平均平动动能；（2）质子的方均根速率。

分析 由能量均分定理求质子的平均平动动能，再由平均平动动能公式求方均根速
率。

解 （1）由能量均分定理有 823101038.12
3
23⨯⨯⨯==
-kT k ε
15
10
07.2-⨯=（J ）
（2）由平均平动动能公式22
1
v με=
k ，有
M
RT
N kT
N kT
A A k
33322==
=
=
μ
μ
μ
εv
II 63
8141)m/s (1058.110
11031.83v =⨯=⨯⨯⨯=- 式中3II 102.11⨯=v m/s 是地球表面的逃逸速度。

说明 （1）能量均分定理不仅适用于分子、原子系统，也适用于质子，中子、电子、
等离子体等系统。

（2）恒星上质子的热运动非常剧烈，有很大的速度，因而恒星表面也必然有很大的引力场，否则恒星会因热运动而离散消失。

8-10 有N 个粒子，其速率分布如图所示。

试求：
（1）速率分布函数；（2）由N 和0v 确定常量C ；（3）在005.1~5.0v v 区间内的分
子数。

（4）在05.1~0v 区间内粒子的平均速率。

分析 根据速率分布函数的定义v
v d d )(N N
f =
，求速率分布函数；由速率分布函数的归一化条件确定常量C ；根据速率分布函数的意义和平均速率的概念，求粒子数和平均速率。

解 （1）由图可得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<≤<-≤=v
v v v v v v v v v v v v 000000
0202)
2()(N C N C f （2）由归一化条件有
⎰
⎰=-+0
000
200
01d )2(d v v v v v v v v v v N C N C
由此可得
v N C =
故分布函数可写成
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<≤<-≤=v
v v v v v v v v v v v v 0000200
20202)
2(1
)(f （3）在005.1~5.0v v 区间内的分子数为
⎰
⎰-+=∆0
000
5.05.102020
d )2(1d v v v v v v v v v v v
N N N )]49(21)5.1(2)41(2
1[2
020*********v v v v v v v v ---+-=N
N 4
3
=
（4）在05.1~0v 速率区间内分子的平均速率
⎰
⎰=00
0510
510]
5.1,0[)d ()d (v v v v
v v v v v ..f f
⎰⎰⎰⎰-+-+=
000000
510200205102002
20)d 2(1
d d )2(1d 1v v v v v v v v v v v v v v
v v v v v v v ..
00
2119
872419v v ==
说明 （1）本题亦可用几何的方法求解（1），（2），（3）问。

（2）求某一速率区间的
平均速率时注意其计算公式为⎰
⎰=
2
1
21d )(d )(v v v v v
v v
v v v f f ，注意此时分母部分不等于1。

8-11 在金属导体中，自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动。

设导体中有N
个自由电子，电子的最大速率为f v （称作费米速率）。

电子的速率分布函数为
⎪⎩⎪⎨
⎧<≤≤=v
v v v v v f f A f 0
0)(2
式中A 为常量，试求：（1）用N 和f v 确定常数A ；（2）自由电子的平均速率和方均根速率。

分析 根据归一化条件可确定常数A ，根据速率分布函数的概念，由电子的速率分布
函数可求出电子的平均速率和方均根速率。

解 （1）根据归一化条件，有
⎰
=f
d A v v v 0
21
积分后，有
13
13=f A v 所以
33f
A v =
（2）电子平均速率为
⎰⎰==+∞
f
A f v v v v v v v 0
30
d d )(=
f f A v v 4
3414= 电子的方均根速率为
2/1042
/10
22
][]
d )([⎰⎰==+∞
f
d A f v v v v v v v =f f
f A v v v 5
3
535125== 说明 统计的方法不仅适用于气体，也可适用于其它由大量微观粒子组成的系统。

8-12 对处于平衡态的理想气体，试计算（1）P P v v 01.1~；（2）P P v v 01.2~2；
（3）P P v v 01.3~3速率区间的分子数占总分子数的百分比。

分析 应用麦克斯韦速率分布律可求解此题。

在速率区间比较小时，可近似地认为在该区间内速率分布函数值不变。

解 理想气体的最概然速率为
μ
kT
P 2=
v
代入到麦克斯韦速率分布中，消去温度T ，有 kT
kT
f 2/22/32
e )π2(
π4)(v
v v μμ
-=
2
2/23π
4P
e
P v v v v --=
（1）速率在P P v v 01
.1~区间内的分子数占总分子数的百分比为 P P P P f f N N P P v v v v v v v v v 01.0e π4)(d )(1
2301.11⨯=∆==∆--⎰
%83.0e π
04.01
==-
（2）速率在P P v v 01
.2~2区间内的分子数占总分子数的百分比为
P P P P f f N N P P v v v v v v v v v 01.0e )(2π4)2(d )(42301.222⨯=∆≈=∆--⎰
%16.0e π
16.04
==-
（3）速率在P P v v 01.3~3区间内的分子数占总分子数的百分比为 P P P P f f N N P P
v v v v v v v v v 01.0e )(3π
4)3(d )(923
01.333⨯=∆≈=∆--⎰
%0025.0e π
36.09
==- 说明 从此题可以看出，将P v 代入麦克斯韦速率分布律中可使计算简化。

本题的计算结果表明，分子速率v 偏离P v 越大，在该速率附近单位速率区间的分子数占总分子数的比率就越小。

8-13 用统计的概念和麦克斯韦速率分布律求理想气体单位时间打到器壁单位面积上
的分子数。

分析 这是一个涉及到分子运动方向的统计问题。

下面用球坐标系分析这个问题。

根据统计规律，平衡态时，总分子数为N 的气体沿单位立体角方向运动的分子数为π
4N
，因而运动方向在立体角为ϕθθd d sin d =Ω范围的分子数为
π4N ϕθθd d sin π
4d N =Ω。

很明显，由于0d →Ω，即0d →θ，0d →ϕ，因而可近似地认为这些分子有相同或相反速度方向，即对应分子的速度方向平行于由球坐标),(ϕθ确定的方向。

解 设器壁垂直于z 轴，在器壁上取一小面元A d ，如图所示。

由分析可知，容器内气体分子运动方向介于θθθd ~+，ϕϕϕd ~+之间的分子数为
ϕθθd d sin π
4N
结合麦克斯韦速率分布律，在容器里单位体积中，速率v 介于v v v d ~+之间，速度方向满足上述条件的气体分子数为 v v v d d d sin )
(π4),,(ϕθθϕθV f N n =
v v d d d sin )(π
4ϕθθf n
= 式中)(v f 为麦克斯韦速率分布函数。

在速度方向介于θθθd ~+，ϕϕϕd ~+之间，速率v 介于v v v d ~+之间的所有
分子中，在t d 时间内能与A d 面相碰的分子一定是位于以A d 为底，
t d v 为母线的斜柱体中的那部分，对应的这部分的分子数为A t n d d cos ),,(θϕθv v 。

所以，速度方向介于
θθθd ~+，ϕϕϕd ~+之间，速率v 介于v v v d ~+之间的分子在单位时间内能碰上
单位面积器壁的数目为
v v v v d d d cos sin )(π
4),,(d ϕθθθϕθf n
N =。

由于2
π
>
θ的分子不可能与面元A d 相碰，故在计及所有可能碰到器壁的分子时只需将上式作以下积分 ⎰⎰⎰∞+=∆02π
0π
20
d )(d cos sin d π4v v v f n N θθθϕ
v 4
n =
式中 ⎰+∞
=0
d )(v v v v f 是分子的平均速率。

说明 本题亦可用麦克斯韦速度分布律求解，而且方便。

本题是在已知速率分布的条
件下进行，因而利用统计方法分析气体分子的速度分布是求解本题的关键。

8-14 在一个被抽成真空，体积为V 的容器上开一个面积为s 的小孔，这样大气中的
分子就会通过小孔进入容器。

设大气的压强和温度恒定，分子的平均速率为v 。

试求开了小孔后，经过多长时间容器中的压强增至外界大气压的二分之一。

分析 由于容器上的孔很小，容器起初为真空，因而进入容器的气体可很快达平衡态，而且气体温度不变。

根据上题的结论，同时考虑t 时刻容器外和容器内气体分子对s 的碰撞，此题即可求解。

解 设大气的压强为0p ，温度为T ，t 时刻容器中气体的压强为0p 。

根据理想气体状态方程，大气分子的数密度为
kT
p n 0
0= t 时刻容器中气体分子的数密度为
kT
p
n =
根据上题结果，在t 时刻，t d 时间内大气分子碰撞小孔s 进入容器的分子数为 t s n N d 41
d 01v =
t kT
s p d 40v = 在t 时刻t d 时间内容器中气体分子碰撞小孔s 跑出容器的分子数为
t kT
s p t s n N d 4d 41
d 112v v ==
式中1v 为容器中气体分子的平均速率。

由于容器中气体的温度不变与大气温度相同，因而
v v =1。

这样在t 时刻，t d 时间内容器中净增加的分子数为
t p p kT
s
N N N d )(4d d d 021-=-=v
(1)
对于容器中的气体，有
nkT p =
对上式两边求微分，有
N V
kT
n kT p d d d =
= 即容器中每增加p d 的压强，分子数增加N d ，将（1）式代入，化简后有
t p p V
s
p d )(4d 0-=
v 分离变量，得
t V
s
p p p d 4d 0v =-
两边积分
t V
s p p p t P d 4d 0210
00⎰⎰
=-v
故
s
V t v 2
ln 4=
说明 此题只适合孔很小的情况，否则容器中的气体不能看作是平衡态，结论不成立。

8-15 一容积为3
2
m 100.1-⨯的容器装有氩气，其压强为Pa 100.17
⨯，温度为300K ，
氩的原子量为40，如果在器壁上开一个2
2cm 100.1-⨯=s 的小孔，试求这容器中的原子个数减少到最初数值的
e
1
要经过多少时间（假设容器中气体温度不变）？ 分析 根据例题8-13的结论并假设碰到小孔上的分子都能逸出容器，即可求解。

解 设t 时刻容器中的分子数为N ，在t d 时间内离开容器的分子数为N d ，则
t s V
N
N d 41d v =
- 式中的负号表示容器中气体分子减少，整理后，有
t V
s
N N d 41d v -= 积分
t V s N N
t N
N d 41d 00⎰⎰-=v 得
t V
s N N v 41ln
0-= 将
e 0
=N
N 代入，有
141=t V s
v 故 s
V t v 4=
将M
RT
π8=v 代入，有
300
31.881040π10101048π43
4
22⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==
----RT M s
V t
100=(s)
说明 在本题中假设碰到小孔上的分子都能逸出容器是必须的，在容器中的压强甚大于外界压强时，这个假设是正确的，在此情况下，以外进入容器的大气分子亦可忽略。

8-16 已知尘埃的质量kg 1021-=μ，飘浮在空气中。

试求尘埃浓度改变为01.0n ，对
应的空气层厚度（设空气的温度均匀，K 300=T ）。

分析 应用玻耳兹曼分布律即可求解。

解 由玻耳兹曼分布律，在重力场中尘埃按高度的分布为
kT gh n n /0e μ-= 亦即 kT
gh
n n μ-
=0ln 故
m 97.09.01ln 8
.9103001038.1ln 21
230=⨯⨯⨯==--n n g kT h μ
说明 对于大量的微粒系统，当它在保守场中处于平衡态时，其粒子数密度按高度的
分布符合玻耳兹曼分布律，随着高度的增加粒子数密度按指数规律减小。

8-17 假定海平面上的大气压是5
10013.1⨯Pa ，气温为300K ，忽略气温随高度的变
化，试求（1）地处海拔约为3600m 的拉萨的大气压强。

（已知空气的摩尔质量kg/mol 10293-⨯=M ）；（2）若某人在海平面上每分钟呼吸18次，他在拉萨应呼吸多少次才能吸入同样质量的空气？
分析 应用等温气压公式和理想气体状态方程即可求解此题。

解 （1）根据等温气压公式，有 RT Mgz kT gz p p p /0/0e e --==μ
300
31.8/36008.910295
3e
10013.1⨯⨯⨯⨯--⨯=
5
10672.0⨯=Pa
（2）设人每次呼吸吸入的空气容积为0V ，在拉萨每分钟呼吸x 次才能吸入与在海平
面上吸入的空气质量相同，则
)()18(000xV p V p =
故
1.27180
==
P
p x 1.2710672.010013.1185
5
=⨯⨯⨯=（次） 说明 等温气压公式表明，在重力场中，压强随高度按指数规律减少。

它可以用来近
似的估计某高度处的大气压强，或根据测量的压强估算高度。

8-18 大气温度随高度的变化可近似地表述为
y T T α-=0
其中0T 为海平面处的温度，α为一常量。

（1）求大气压强随高度的变化关系。

（2）若水平面处的大气压强为Pa 10013.150⨯=p ，温度K 3000=T ，珠穆朗玛峰峰顶海拔为8848m ，温度为221K ，试求α的值和峰顶的大气压强。

分析 在大气中取一竖直柱体，根据流体静力学原理可得出大气压强与高度之间的微分关系；在局部的非常小的范围内，理想气体状态方程nkT p =成立，代入到微分关系中解微分方程即可求出压强随高度的变化关系。

解 在大气中取一竖直的空气柱体，建立如图所示的坐标，以海平面为坐标原点，向上为y 轴正方向。

根据流体力学原理，当高度由y 变为y y d +时，压强的增加量为
y g p d d ρ-= 式中ρ为y 处气体的密度，假设该处粒子的数密度为n ，则μρn =，所以
y g n p d d μ-=
将nkT p =代入，消去n ，有
y p kT
g
p d d μ-
=
分离变量，有
y y T R Mg y kT g p p d )
(d d 0αμ--=-= 两边积分
⎰⎰--=y P
P y y T R Mg
p p 00d )(d 0α 解得
00ln
ln
T y
T R Mg p p αα-= 整理后，有
0ln 0e
T y
T R Mg p p αα-=
（2）将K 3000=T ，K 221=T ，m 8848
=y 代入y T T α-=0有
α8848300221-=
故
K/m 1093.83-⨯=α
将Pa 10013.150⨯=p 和以上数据代入到压强和高度的关系中，可得珠穆朗玛峰峰顶的压
强为
300
1093.88848300ln
31
.810
93.88
.9102953
3
3e 10013.1---⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=p
Pa 10314.05
⨯=
8-19 容器中盛有氮气，在标准状态下（K 15.273=T ，Pa 10013.15
⨯=p ），已知
氮分子的有效直径m 1076.310
-⨯=d 。

试求（1）单位体积中的分子数；（2）分子间的平
均距离；（3）分子的平均速率；（4）平均碰撞频率和平均自由程。

分析 本题涉及到与气体热运动有关的一些物理量。

根据题意正确地选用计算公式即
可求解。

解 （1）根据状态方程，有
)m (1068.22731038.110015.112523
5
--⨯=⨯⨯⨯==kT p n （2）分子均匀分布在容器中，分子间的平均距离l ，则
13=n l
故
93
25
31034.31068.21
1-⨯=⨯=
=n
l （m ）
（3）分子的平均速率为
)m/s (454102814.3273
31.88π83
=⨯⨯⨯⨯==
-M RT v
（4）平均自由程为 5
2
10232
10
013.1)1076.3(14.32273
1038.1π2⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
=
--p
d kT λ
8
109.5-⨯= m
平均碰撞频率为
)s (107.719-⨯==
λ
v
Z
说明 本题为分子动理论中常用公式的直接应用。

通过本题的结果可以看到在标准状
态下，分子的热运动非常复杂，分子碰撞频繁，平均自由程非常短。

四、练习题
8.1 两个半径分别为1r 和2r 的球形容器，分别装有相同质量的氮气和氧气，用一玻璃细管相连通，管的正中有一小滴水银，如图所示。

试求：（1）如果两容器内气体的温度相同，k 27021==T T ，为使水银滴保持平衡，则21/r r 的值为多少？（2）如果将氮气的温度保持为k 3501='T ，氧气的温度保持为k 2802='T ，为使水银滴保持平衡，则21/r r 的值为多少？（3）如果21r r =，要使水银滴在两容器温度变化时保持平衡，则氮气和氧气的变化应遵从什么规律？
8.2 一净质量为0m 、容积为V 的气球，其中充有温度为1T ，压强为1p ，体积为V 9
8
的氢气。

在气球上升的过程中，氢气可通过气球下面的小孔跑出。

求（1）当气球上升到压强为2p ，温度为2T 的高空处，从气球下面的小孔跑出的氢气的质量？（2）气球受到的升力改变了多少？
8.3 一个容积为3
2
m 100.1-⨯=V 的密封容器，温度始终保持在25℃，将
kg 100.13-⨯的氢和kg 100.12-⨯的氧装入容器，
当氢全部与氧化合成水蒸气后，试求：（1）容器中的总分子数；（2）混合气体的压强；（3）各成份的分压强。

8.4 一体积为3
cm 10电子管，当温度为300K 时，用真空泵把管内空气抽成压强为mmHg 1056-⨯的高真空，试求：
（1）管内空气分子的个数；（2）管内空气分子的平均平动动能的总和；（3）管内空气分子的平均转动动能的总和。

(4）管内空气分子的平均动能的总和。

（空气分子可看作是刚性双原子分子）
8.5 容积为3
3
m 100.20-⨯=V 的容器以速率1
s m 200-⋅=v 匀速运动，容器中充有质量为g 100=m 的氦气。

若容器突然停止，气体分子的全部定向运动动能都变为了气体的热运动动能。

试求平衡后氦气的温度、压强及内能各增加多少？
8.6 试计算温度为K 373=T 时氮气分子和氩气分子的方均根速率。

8.7 某气体的密度为33kg/m 1000.5-⨯=ρ，当气体分子的方均根速率等于地球表面
处的逃逸速率时，试求：（1）气体的压强；（2）若气体的温度为K 1001.14
⨯=T ，气体的分子量。

8.8 有N 个粒子，某速率分布函数为
⎩⎨
⎧<≤≤=)(0
)0()(00v v v v v c
f 试求：（1）由N 和0v 表示常量c 。

（2）粒子的平均速率v 。

（3）粒子的方均根速率。

8.9 若引入无量纲量P
u v v
=，试证明麦克斯韦速率分布率可表示为
u u u u f u d e π
4d )(2
2-= 并由此说明P v v <的分子数与总分子数之比和温度无关。

8.10 设氧气的温度为293K 。

试求速率在385m/s 到395m/s 之间的分子数与速率在
473m/s 到483m/s 之间的分子数的比。

8.11 一容器中装有摩尔质量为M 的气体，其温度为T ，器壁上开有一面积为s 的小
孔，已知某时刻测得一秒钟内从小孔逸出的气体质量为m ，试求该时刻气体的压强。

8.12 容器内装有某种理想气体，已知在温度为300K ，压强为Pa 100.13
⨯时，其密
度为3
2
kg/m 1024.1-⨯，试求：（1）气体的摩尔质量和种类。

（2）气体分子的平均速率v 和
方均根速率2
v 。

8.13 一容器内盛有mol 1ν氢气和mol 2ν氦气，经混合后，温度为T 。

试计算混合气
体分子的平均速率。

8.14 假定在海平面上大气压是Pa 100.15
⨯，气温是300K ，忽略气温随高度的变化，
试求珠穆朗玛峰海拔8848m 处的气体分子数密度和大气压强。

（已知空气的摩尔质量为
kg/mol 10293-⨯）
8.15 在半径为R 的球形容器中贮有分子有效直径为d 的气体，试求该容器中最多可容纳多少个分子，才能使分子的平均自由程λ大于容器半径R ？。