六年级奥数.数论.整除问题

数的整除

知识框架

一、整除的定义：

当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a 叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.

二、常见数字的整除判定方法

1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；

2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；

一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整

除；

4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、

11或13整除；

5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；

6.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有

两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被

7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

8.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13

整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

9.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被

17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

10.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被

19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

11.若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

12.若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除.

13.若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

三、整除性质

性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．

性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．

性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．

例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．

性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；

四、其他重要结论

1、能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。我们可

以概括成一个性质：未n 位数能被2n (或5n )整除的数，本身必能被2n (或5n )整除；反过来，末n 位数不能被2n (或5n )整除的数，本身必不能被2n (或5n )整除。例如，判断19973216、91688169能否能被16整除，只需考虑未四位数能否被16（因为16=42）整除便可，这样便可以举一反三，运用自如。

2、 利用连续整数之积的性质：

任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可被2整除；

任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。

这个性质可以推广到任意个整数连续之积。

3、 一个奇位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数，一个偶位数，原序数与反序数的差一定是9的倍

数。

4、 100113117=⨯⨯；abcabc abc =⨯1001，abcabc 这样的数一定能被7、11、13整除。

5、 9992737;111337;117913;1337481;719133;71391=⨯=⨯=⨯⨯=⨯=⨯=等等。

数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。

【例 1】 975935972⨯⨯⨯□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框最小应填什么数？

【巩固】

从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？

重难点

例题精讲