2021高考第一讲 集合的概念及运算

第一讲集合的概念及运算考点解读【基础性考点知识突破】一、集合的含义及表示方法1．元素与集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象．2．集合中元素的性质集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性．(1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征．(2)集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素．(3)在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序．3．集合的表示集合的表示有三种方法，分别是列举法、描述法和Venn图法．一般地，表示有限集合常用列举法；表示无限集合常用描述法；描述抽象集合常用Venn图法．正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征．4．元素与集合的关系“属于”或“不属于”，记为“ ”或“∉”．二、集合与集合之间的关系1．集合与集合之间的关系(1)包含关系子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A，显然A⊆A，∅⊆A.(2)相等关系如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，反过来，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B.对于两个集合A与B，如果A⊆B，同时B⊆A，那么集合A与集合B相等，记作A=B．(3)真子集关系对于两个集合A 与B ，若A ⊆B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或B A .显然有下面的结论：①对于集合A 、B 、C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，则A C ．(4)不包含关系用 表示2．空集不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集．3．有限集的子集、真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集的个数有2n 个，非空子集的个数有（21n -）个；真子集的个数有（21n -）个；非空真子集的个数有（22n -）个，三、集合的交、并、补集的运算1．交集(1)定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A ∩B ，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }.(2)性质：A ∩A =A ；A ∩B =B ∩A (交换律)；A ∩∅=∅；(A ∩B )⊆A ；(A ∩B )⊆B ；若A ⊆B ，则A ∩B =A ．2．并集(1)定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }.(2)性质：A ∪A =A ；A ∪B =B ∪A (交换律)；A ∪∅=A ；A ⊆(A ∪B )；B ⊆(A ∪B )；若A ⊆B ，则A ∪B =B ．3．补集(1)定义：在研究某一集合问题的过程中，所有集合都是一个给定集合的子集，这个给定的集合就称为全集，记作U ．设A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在集合U 中的补集，记作U A ，即U A ={x |x ∈U 且x ∉A }（如图）．(2)性质：A ∪(U A )=U ；A ∩(U A )=∅，U (U A )=A ，U ∅=U , U U =∅．4．集合运算中常用的结论(1)U (A ∩B )=(U A )∪(U B )，U (A ∪B )=(U A )∩(U B )(2)A ⊆B ⇔A ∩B =A ；A ⊆B ⇔A ∪B =B .【培优性方法技巧综合】1．在处理有关集合的问题时首先确定集合中的元素是点集还是数集，然后明确集合中的元素所满足的条件，理解并正确掌握集合的相关术语及符号表示是解决集合问题的关键．2．判断两集合间的关系①化简集合，从表达式中寻求两集合间的关系； ②用列举法表示两集合，从元素中寻求关系．3．根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到．【提示】①题目中若有条件B ⊆A ，则应分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论． ②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、V enn 图帮助分析．③两集合之间的关系与运算可以相互转化，即A B AB B A B B ⊆⇔=⇔=． 4．应当考虑空集的几种情况：在⊆A B ，A B ，=AB A ，=A B B ，都应当考虑到=∅A 时的情况．5．要注意表示集合的语言、文字、符号、图形的沟通与转化，对于某些集合运算的问题，文字描述较为抽象，可借助于Venn 图及坐标轴，利用几何图形的直观性，以“形”助“数”．同时加强与其他章节的渗透，在复习中要控制难度．考点分类精讲考点1 集合的概念1．集合概念的准确理解．2．集合的表示方法的准确把握与灵活运用．3．集合中元素的性质的灵活运用．【例1】已知集合22{23,2,log }a M a a a =-+，若1M ∈，则实数a 的取值集合为A ．{0,1}B ．{0,2}C ．{2}D ．{1}【解析】由1M ∈，可知2231a a -+=或 21a =或 2log 1a =．(1)若2231a a -+=，则有2220a a -+=，显然2(2)41240∆=--⨯⨯=-<，所以该方程无解，即2231a a -+=不成立；(2)若21a =，解得0a =，此时2log a 无意义，所以21a=不成立；(3)若2log 1a =，解得2a =，此时24a =，222322233a a -+=-⨯+=，集合{3,4,1}M =，满足题意．综上，实数a 的取值集合为{2}，故选C ．点拨：根据1M ∈，建立参数a 的三个方程，求得a 的值之后要注意检验，一是检验对数是否有意义，二是根据a 的值写出集合M 中的所有元素，然后检验元素是否符合互异性．【例2】集合{0,2,}A a =，2{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】∵{0,2,}A a =，2{1,}B a =，{0,1,2,4,16}A B ==2{0,1,2,,}a a ，∴2164a a ⎧=⎨=⎩，∴4a =，故选D ．点拨：解决集合的有关问题，首先要明确集合元素的构成形式；其次要注意集合元素性质（即元素的三性：确定性、互异性、无序性）的灵活运用，它既是解决有些题的切入点，也是问题解决之前的检验点．【例3】若集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则a ＝( )A ．92B ．98C ．0D ．0或98【解析】若集合A 中只有一个元素，则方程2320ax x -+=只有一个实根或有两个相等实根．当0a =时，32x =，符合题意； 当0a ≠时，由2(3)80a ∆=--=得98a =， 所以a 的取值为0或98． 点拨：由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想．考点2 集合之间的关系1．集合间的相等、子集、真子集关系的确定．2．已知集合的包含关系，确定有关参数的取值范围．3．求有关集合的子集的个数．【例4】已知集合1{|,}6A x x a a Z ==+∈，1{|,}23b B x x b Z ==-∈，{|2c C x x == 1,}6c Z +∈，则A ，B ，C 之间的关系 A ．A =B C B ．A B =C C ．A B C D ．B C =A【解析】解法一：简单列举集合中的元素；171319{,,,,,}6666A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅，1127{,,,,,}3636B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，12710{,,,,,}6366C =⋅⋅⋅⋅⋅⋅， ∴A B ，B =C ，即A B =C ，故选B ．解法二：判断集合中元素的共性和差异．61{|,}6a A x x a Z +==∈，32{|,}6b B x x b Z -==∈，31{|,}6c C x x c Z +==∈ ∵323(1)1b b -=-+，b Z ∈，∴A B =C ，故选B ．点拨：辨析集合之间的关系应该从集合中元素的特点入手，可将元素列举出来直观分析，也可从描述法中认识集合中元素具备的特性，定性分析，以上两种思想是解决此类问题的通法，应根据问题的具体情况合理选择．【例5】集合{,,,,}S a b c d e =，包含{,}a b 的S 的子集共有( ).A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个【解析】解答本题可以一一列举出所有子集，还可以用排列组合的知识求解．下列用组合方法求解，在每个集合包含,a b 时，,,c d e 三个元素可任选0、1、2、3个，所以共有∅，{},{},{}c d e ，{,},{,},{,}c d c e d e ，{,,}c d e 8（个）．故选D ． 点拨：解决集合的子集的个数的问题，应注意利用列举法来分析解决问题．考点3 集合的运算1．进行具体集合的交、并、补运算．2．利用集合的运算性质解决问题．3．与集合运算有关的开放性问题．【例6】(1)(2019年全国Ⅲ卷)已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=，≤，则AB =A ．{}1,0,1-B ．{0,1}C ．{}1,1-D ．{0,1,2} (2)(2018天津)设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-<R ≤， 则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4} 【解析】(1)解法一 由题意得集合{|11}B x x =-≤≤，则{1,0,1}A B =-．故选A ．解法二 将集合A 中的元素分别代入21x ≤进行检验，可得{1,0,1}AB =-．故选A ． (2)由题意{1,0,1,2,3,4}A B =-，∴(){1,0,1}A BC =-，故选C ．【例7】(2017全国卷Ⅱ)设集合{1,2,4}A =，2{|40}B x x x m =-+=．若{1}AB =，则B =A ．{1，-3}B ．{1，0}C ．{1，3}D ．{1，5}【解析】因为{1}A B =，所以1B ∈，所以1是方程240x x m -+=的根，所以140m -+=，3m =，方程为2430x x -+=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B =，选择C ．点拨：关于集合及其运算问题，首先要从本质上认识集合，即集合中的元素是什么(如数、点、图形等)，有什么样的特征，进而采取什么样的策略解决问题．【例8】已知集合{||2|}A x x a =-≤，2{|540}B x x x =-+≥．若A B =∅，求实数a 的取值范围．【解析】当0a <时，A =∅，显然A B =∅．当0a ≥时，A ≠∅，{||2|}A x x a =-≤={|22}x a x a -+≤≤,2{|540}B x x x =-+≥={|1x x ≤或4}x ≥，由A B =∅，画出示意图如图得21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪⎩≥，解得01a <≤．综上所述，a 的取值范围为{|1,}a a a R <∈．点拨：解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【例9】设全集I R =，已知集合2{|(3)0}M x x =+≤，2{|60}N x x x =+-=．(1)求()I M N ；(2)记集合A ＝()I M N ，已知集合{|15,}B x a x a a R =--∈≤≤，若 B A A =，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵2{|(3)0}M x x =+≤＝{3}-，2{|60}N x x x =+-=＝{3,2}-，∴{|I M x x R =∈且3}x ≠-，∴()I M N ＝{2}． (2)A ＝()I M N ＝{2}，∵B A A =，∴B A ⊆，∴B =∅或B ＝{2}，当B =∅时，15a a ->-，∴3a >；当B ＝{2}时，1252a a -=⎧⎨-=⎩解得3a =， 综上所述，所求a 的取值范围为{|3}a a ≥．点拨：B A A =时，B =∅的情况．考点4 集合的综合运用1．集合运算的逆向问题．2．集合与函数、方程、不等式的综合问题．3．集合的开放问题与实际应用问题．【例10】(2016北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种．【解析】设第一天售出的商品为集合A ，则A 中有19个元素，第二天售出的商品为集合B ，则B 中有13个元素，第三天售出的商品为集合C ，则C 中有18个元素，由于前两天都售出的商品有3种，则A ∩B 中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则B ∩C 中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种，这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品可以有17种，即A ∩C 中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2 +14 +3+1+9 =29种．【例11】已知{|(1,0)(0,1),}P m m R ==+∈a a ，{|(1,1)(1,1),}Q n n R ==+-∈b b 是两个向量集合，则P Q =A ．{(1,1)}B ．{(1,1)}-C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}【解析】因为(1,)m =a ，(1,1)n n =-+b ，令=a b ，得1m =，0n =，故{(1,1)}P Q ⋂= 故选A ．点拨：解答集合的运算类试题必须彻底弄清楚参与运算的集合的意义，即参与运算的集合是由哪些元素组成的，不然就会得出错误的答案，本题这样设计还不至于有多大问题，如果本题中集合Q 改为{|(1,1)(1,1),}Q m m R ==+-∈b b ，就可能出现得到的方程组是111m m m=-⎧⎨=+⎩，而这个方程组无解，就可能认为P Q =∅，这就是没有理解集合的意义所致，实际上本题中的集合P ，Q 都可以看做坐标平面上的点集，集合P 是直线1x =上的点的集合，集合Q 是直线2x y +=上的点的集合，所求的交集就是这两条直线的交点坐标．【例12】某试验班有21个学生参加数学竞赛，17个学生参加物理竞赛，10个学生参加化学竞赛，他们之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，问需要预订多少张火车票？【解析】该班参加竞赛的学生如图所示，集合A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 中的任何两个无公共元素，其中G 表示三科全参加的学生集合，card(G )=2，∵既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人．∴card(D )= 12-2= 10．同理，得card(E ) =6-2 =4，card(F ) =5-2 =3．又∵参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21、17、10．∴card(A ) =21-2-10-4 =5，card(B ) =17-2-10-3 =2，card(C ) =10-3-2-4 =1．∴需预定火车票为5 +2+1+10+4+3+2=27（张）．点拨：解决有些集合问题，若充分利用Venn 图，可以使有些问题得到快速地解决．【例13】定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}1,2A =，{}0,2B =，则集合A B *的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．6【解析】z xy =，{1,2}x ∈，{0,2}y ∈，故0,2,4xy =，从而*{0,2,4}A B =，所以集合A B *的所有元素之和为6，故选D ．点拨：本题是属于创新型的概念理解题，准确地理解A B *是解决本题的关键所在，并且又考查了集合元素的互异性，因此要准确理解集合含义，明确题目所要解决的问题，才能使问题得以解决，从而培养学生分析问题、解决问题的能力． 本专题试题训练详见《试题精练》物理数学化学G F E D C B A。