青岛版初二上学期知识点总结
青岛版八年级数学上册重难点
青岛版八年级数学上册重难点青岛版数学八年级上册重难点汇总第一章全等三角形1.1全等三角形教学重点：全等三角形的性质。
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。
1.2如何确定三角形的同余教学重点：掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法。
教学难点：探究满足“两边一角”对应相等的两个三角形是否全等，如何画出相应的图形。
1.3直尺和量规图纸教学重点：轴对称与轴对称图形的概念及识别。
教学难点：轴对称与轴对称图形的区别和联系。
第二章图形的轴对称性2.2轴对称的基本性质教学重点：了解轴对称的基本性质，绘制轴对称图形，以及关于坐标轴对称点的坐标。
教学难点：在直接坐标系中，会求已知点关于坐标轴的对称点坐标。
2.3轴对称图形教学重点：理解连接对应点的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。
教学难点：能够使用轴对称特性制作对称点、对称图形、对称轴等。
2.4线段的垂直平分线教学重点：掌握直线段垂直平分线的性质。
能够利用直线段垂直平分线的性质来解决简单的实际问题。
教学难点：能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。
能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
2.5角平分线的性质教学重点：重点是角平分线的性质。
教学难点：角平分线性质的由来与应用。
2.6等腰三角形教学重点：掌握等腰三角形的性质，等边三角形的性质。
教学难点：等腰三角形性质的探索。
第三章分数3.1分式的基本性质教学重点：分数的定义。
教学难点：分式有意义、值为零的条件的应用。
3.2减少分数教学重点：找到分子分母中的公因式，并利用分式的基本性质约分。
教学难点：分子、分母是多项式的分式的约分。
3.3分数的乘法和除法教学重点：探索分式的乘除法的法则。
教学难点：多项式分子或分母分数的乘法和除法及应用问题。
3.4分式的通分教学重点：确定最简单的公分母。
教学难点：分母是多项式的分式的通分。
3.5分数的加减法教学重点：同分母分数的加减法的法则，进行异分母分式的加减运算。
(完整word版)青岛版八年级数学上册各章知识要点归纳,推荐文档
青岛版八年级数学上册知识要点多边形多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图2，BD为四边形ABCD 的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n 边形共有条对角线。
多边形的内角和公式公式：边形的内角和为.可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°。
多边形的外角和公式公式：多边形的外角和等于360°. 它与边数的多少无关。
全等三角形一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2、全等三角形有哪些性质（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4、证明两个三角形全等时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角” 、“公共边”、“对顶角”5、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
青岛版八年级上册知识清单
第一章全等三角形一、知识要点：（一）全等变换：只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括以下三种：1、平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
2、对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
3、旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
（二）全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
（三）全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
二、题型分析：题型一：考察全等三角形的定义例题：下列说法正确的是（）A、全等三角形是指形状相同的两个三角形C、全等三角形的周长和面积分别相等C、全等三角形是指面积相等的两个三角形D、所有的等边三角形都是全等三角题型二：考察全等三角形之间的关系——传递性例题：如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等，如果△ABC和△DEF不全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）题型三：根据三角形全等求角例1：△ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______．二：三角形全等的判定（一）三角形全等的判定公理及推论有：1、“边角边”简称“SAS”2、“角边角”简称“ASA”3、“边边边”简称“SSS”4、“角角边”简称“AAS”5、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。
注：边边角和角角角不成立。
（二）证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)（三）证明两个三角形全等的基本思路：方法指引证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边----找第三边(SSS)找夹角（SAS)(2):已知一边一角---已知一边和它的邻角找是否有直角(HL)已知一边和它的对角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角(AAS)找一角(AAS)已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角---找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS)三尺规作图1.限定只能使用圆规和没有刻度的直尺作图2.作线段作角作线段的垂直平分线过一点作已知直线的垂线作角平分线3.顶点三边◆考点聚焦1.掌握基本作图，尺规作图的要求与步骤.2.利用基本作图工具画三角形、四边形、圆以及简单几何体的三视图，对简单的作图能叙述作法.3.运用基本作图、结合相关的数学知识(平移、旋转、对称位似)等进行简单的图案设计.4.运用基本作图解决实际问题.◆备考兵法1.熟练掌握基本作图.2.在画几何体的三视图时，要注意其要求，即“长对正”“高平齐”“宽相等”.3.认真分析题意，善于把实际问题转化为基本作图.第二章轴对称与轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对折后图形上能够互相重合的点叫做对称点。
青岛版数学八上第一章复习指南
第1章轴对称与轴对称图形复习总体要求：复习首先要熟悉课本，认真的看几遍课本后，一定要做到，合上课本，能知道本章共几节，每节都有哪些定理和定义。
1.1 我们身边的轴对称图形复习要求：1.知道轴对称图形和两个图形关于某条直线成轴对称的定义；2.知道上述两定义的联系和区别；3.能判断一个图形是否是轴对称图形本节关键：1.常见图形中的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、长方形、菱形、正多边形和圆，其中线段有两条对称轴，分别是它的垂直平分线（也称中垂线）和它本身所在的直线；角有一条对称轴，是它的角平分线所在的直线；等腰梯形有一条对称轴，正n边形有n条对称轴；圆有无数条对称轴。
2.注意课本7页第4题的图（1）中的两幅图案并不关于直线l成轴对称。
3. 轴对称图形和两个图形关于某条直线成轴对称的区别：轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；两个图形关于某条直线成轴对称是指两个图形的特殊的形状和位置关系。
联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称；如果把两个关于某直线成轴对称的图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形。
1.2 线段的垂直平分线一.复习要求：1.知道什么是线段的垂直平分线；2.能熟练运用线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等. 二.本节关键：(一). 线段垂直平分线的性质定理的应用格式:PD ABPA PB=∴ 垂直平分(二). 线段垂直平分线的性质定理的作用:1.在计算题或证明题中用来证明两条线段相等.例1如图1,等腰△A BC 中,A B ＝AC ,A B +BC ＝13,A B 边的垂直平分线MN 交AC 于点D ,求△BC D 的周长.分析:第一步:我们首先来看本题的已知条件: A B ＝AC ,A B +BC ＝13, MN 垂直平分AB ,由其中的“MN 垂直平分A B ”,我们还可以立刻得到DA ＝DB ;第二步:然后来看一下本题的未知,即要求解的东西: △BC D 的周长,即BC +C D +BD第三步:找已知和未知的联系:本题未知和已知的联系比较直接, △BCD 的周长＝BC +C D +BD = BC +C D +A D = BC +AC= BC + A B ＝13. 解: MN 垂直平分MN ∴DA ＝DB∴于是△BC D 的周长＝BC +C D +A D = BC +AC = BC + A B ＝13.反思:本题的解决所用到的知识点主要是线段垂直平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想和整体思想,例如将BD 转化为A D ,然后将C D +AD 转化为AC ,再将AC 转化为 AB ,进一步将BC +AC 转化为BC + A B ,最终求得结果.收获: (1)通过本题,我们知道,对线段垂直平分线的性质定理要熟悉其内容和应用格式;(2)再一个,看到已知条件应立刻想到可以推得的结论,这样利于我们找到已知和未知之间的联系,至少可以让已知和未知离的更近一些;(3)本题所体现的转化思想我们也应该认真体会领悟,很多题目就是在这样不断转化当中得到答案的;(4)本题的解答中还运用了整体思想,求解△BC D 的周长,我们并没有一条边一条边的去求解,而是将整个三角形的周长当做一个整体一起求,这也应该当做一个经验储存起来,以后碰到类似的问题也可以采用相同的方法.图1 B N MDCA相应练习:①.如图,已知ABC ∆中,A B=AC ,D 是A B 的中点,且DE ⊥AB ,已知B C E ∆的周长为8cm,且AC =BC +2cm,求A B ,BC 的长.②.如图,已知ABC ∆中,A B =AC ,DE 垂直平分A B 交A B 于D ,交AC 于E ,若ABC ∆的周长为28,BC =8,求BCE ∆的周长.①分析:第一步:已知条件: A B=AC , DE 垂直平分A B , BCE ∆的周长=BE +CE +BC =8 cm, AC =BC +2cm,由“DE 垂直平分A B ”可立刻推得AE =BE . 第二步:未知结论: A B ,BC 的长第三步:找已知和未知联系:由 A B=AC 可知,要求A B ,只需求出AC 即可;故本题可转化为求AC ,BC ;因为AC = BC +2cm,所以我们需要找出AC 和BC 之间另外的关系,这样我们就可以得到关于AC ,BC 的二元一次方程组,进而求出AC ,BC .看来我们需要再看一下本题的另外两个条件, BCE ∆的周长=BE +CE +BC =8 cm,在这个等式中有BC ,我们可以看一下BE 和CE 是否和AC 有关系,不难发现, BE +CE= AE +CE=AC ,即AC +BC =8 cm. 解答:,8D E AB AD BDAE BEBE C E BC AE C E BC AC BC ⊥==++=++=+=∴∴联立AC =BC +2可得:825cm ,3cmAC BC AC BC AC BC +=⎧⎨=+⎩==解得：反思: 本题的解决所用到的知识点主要是线段垂直平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想(所谓方程思想,就是通过设未知数,寻找已知和未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化的一种思想方法),当然构造方程的目的其实还是方便进行转化.收获:我们看到,很多时候解决和几何图形有关的问题时,需要借助于方程思想,本题本身就有一个方程AC =BC +2,但只这一个不够,这使我们想到去构造另一个方程以和它组成方程组.以后在解决类似的问题时,我们也可以考虑用方程思想;当然,本题也反复应用了转化思想.② BCE ∆的周长=18(自己分析解答)先分析,再解答,完了之后进行反思,并争取有所收获. 2.用来作图①（1）如图，用尺规分别作出线段AB 与BC 的垂直平分线； （2）在（1）中，如果线段AB 与BC 的垂直平分线 交于点P ，那么PA 与PC 相等吗？为什么？②如图，要在任庄A ，李村B ，菜屯C 三个村庄之间修一座变电站O ，使它到三个村庄的距离相等，你能在图中找出点O 的位置吗？解答:只需连接AC ,AB ,然后作它们的中垂线12,l l ,两条中垂线的交点既是点O 的位置.(三)易混淆知识点1.三角形三边垂直平分线的交点( )A.必在三角形的内部 B 必在三角形的外部 C 必在三角形的一边上 D 以上都有可能 解答:此题最容易选A 选项,实际上应该选D.反思:对于涉及几何图形的题目,当题目不给出图形时,我们就应该自己画出所有可能的图形,然后针对每种图形进行分析解答,像本题,没有明确指出(画出)三角形到底是什么样的三角形,我们至少应该画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一个,并分别画出它们三边的垂直平分线,然后看看到底交点在哪里.这实际上是在运用分类讨论的思想(分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.)解决问题.收获:当以后再碰到没有几何图形的几何题目时,我们也应该考虑分类讨论.2.在ABC ∆内部有一点P ,到ABC ∆三个顶点的距离相等,即,PA PB PC ==则点P 一定是( )A.三角形三边中线的交点B.三角形三遍高的交点C.三角形三边垂直平分线的交D.三角形三个角的平分线的交点 解答:这个题很容易选成D,实际上选C.反思:在学习角平分线性质定理之前,这个题倒不容易做错,学了之后就容易做错,三角形三边垂直平分线的交点是到三角形各顶点的距离相等,而三角形各内角平分线的交点是到三角形各边的距离相等.其实,这个题也容易做对,你只需要将两幅图形画在一起,认真的进行对比,找出它们在形式上的不同(其实差别还是很多的),然后再搞清它们实质上的区别即可(一个是利用了线段的垂直平分线性质定理,一个是利用了角平分线的性质定理).收获:对数学上的一些相似的定理,要放在一起对比学习一下,这样有利于分清它们各自的条件和结论,可以有效避免这个定理的条件推出那个定理的结论,俗话说的“不怕不识货，就怕货比货”,我们在数学上不妨拿来用一下. 3.平面上到三点A 、B 、C 距离相等的点（ ）A.只有一个B.有两个C.三个或三个以上D.有一个或者一个都没有 解答:这个题容易选A,实际上应选 D.反思:这里还是分类讨论的问题,这里没说三个点是否在同一条直线上,我们就应该分三个点在同一条直线上和不在同一条直线上两种情况解答.收获:永远记住,没有几何图形的几何问题,一般需要分类讨论.实际上1题和3题还告诉我们一个道理,那就是考虑问题要全面一些. (四)线段的垂直平分线的性质定理深入研究思考题:如图,PD AB 垂直平分,请找出图中所有相等的量,并一一给以证明. 解答:,,,,,AD P BD P AD P BD PPA PB AD BD A B AD P BD P APD BPD S S C C ∆∆∆=∆==∠=∠∠=∠∠=∠=(1),90PD ABAD BD AD P BD P ∴=∠=∠=︒垂直平分(2)PD ABPA PB=∴ 垂直平分大家都看到了,,,AD BD ADP BDP PA PB =∠=∠=很容易证明,而且,ADPBD P A D P B D P S S C C ∆∆∆=∆=也容易证明,但,A B ∠=∠APD BPD ∠=∠该如何证明呢?(3)分析:要证明,A B ∠=∠只需证明PA PB =即可.证明: PD ABPA PBA B=∠=∠∴∴ 垂直平分(4)分析:要证明A P D B P D ∠=∠,我们可以先证明,A B ∠=∠,ADP BDP ∠=∠然后利用内角和证明.证明:180,180180,18090PD ABPD ABPA PB A BA AD P APDB BD P BPD APD A AD P BPD B BD PAPD BPDAD P BD P ⊥∴=∴∠=∠∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠∠=∠∴∴∴∠=∠=︒垂直平分这里,大家想一想,还有没有其他的方法来证明A P D B P D ∠=∠?这里我再提供一种思路:证明:,PD ABPA PBPA PB PD AB APD BPD==⊥∠=∠∴∴ 垂直平分大家可以想一想,这是运用了什么定理?收获:通过对垂直平分线性质定理的的深入研究,我们不难发现,数学中的定理是彼此有着千丝万缕的联系的,这不正像这个我们生活着的大千世界吗?这也是学习数学的乐趣之一,当你能够通过认真思考,总结将所学的知识融会贯通之时,你就更能游刃有余的解决那些所谓的难题,谁能说这里面没有无穷的乐趣呢? APD BPD ∠=∠的证明还告诉我们,解决同一个问题,可以有不同的方法,希望同学们致力于一题多解,这样可以开阔你们的思路,帮助你们更好的熟悉定理,锻炼数学思维,当你只有一种武器对付敌人时,你是受限制的,当你有两种或更多的武器对付敌人时,你已经进入了自由的毫无拘束的世界!1.2 角的平分线一.复习要求：1.知道角平分线性质定理的内容；2.能熟练运用角平分线的性质定理:角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.二.本节关键：(一). 角平分线的性质定理的应用格式:,O P AO B PA O A PB O B PA PB∠⊥⊥=∴ 平分注意: (1)在角平分线性质定理的应用格式中,“,PA OA PB OB ⊥⊥”是必不可少的,因为“,P A O A P B O B ⊥⊥”可以表明,PA PB 是垂线段,而点P到直线,OA OB 的距离正好是指P 到直线,OA OB 的垂线段的长度;(2)另一方面,只是O P A O B ∠平分并不足以说明PA PB =,如下图:OP AOB∠平分,但PA PB ≠(3)当然,只有,P A O A P BO B ⊥⊥也不足以证明PA PB=,如下图:,PA OA PB OB⊥⊥,但PA PB ≠(4)上一节课学的线段的垂直平分线的性质定理也有同样的问题:正确的应用格式如下:PD ABPA PB=∴ 垂直平分①只是P D A B ⊥不足以证明PA PB =,如下图:PD AB⊥,但PA PB ≠②只是P D 平分A B 也不足以证明PA PB =,如下图:P D平分A B ,但PA PB ≠(二). 角平分线的性质定理的作用:1.在计算题或证明题中用来证明两条线段相等.例1如图,△A BC 中,B D 平分,90,6,15A B C A A D B C ∠∠=︒==,求△BCD 的面积.分析:我们首先来看本题的已知条件: B D 平分,90,6,15A B C A A D B C ∠∠=︒==,由B D 平分A B C ∠,我们立刻可以想到点D 到A B C ∠两边的距离相等,这样就可以得到B C 边上的高等于A D ,即等于6,又B C 已知,这样就可以求出△BCD 的面积了. 解:如下图,作D E B C ⊥于点E,6111564522BD CBD ABC D A BA D E BCD ED A S BC DE ∆∠⊥⊥===⋅⋅=⨯⨯=∴∴ 平分反思:本题的解决所用到的知识点主要是角平分线的性质定理,所用到的思想方法主要是转化思想.收获: (1)通过本题,我们知道,角平分线的性质定理要熟悉其内容和应用格式; (2)本题的辅助线需要用虚线作出来,而且在证明的第一步就需要将作了什么辅助线说出来. 相应练习:①.如图,在△A BC 中,A D 平分,5,3,B AC A B A C ∠==则_____.ABD AC DS S ∆∆=分析:三角形的面积等于底乘以高的一半,故要求面积比,需先确定底边和高,因为,A B A C已知,不妨将它们确定为底边,这样就需要将它们上面的高作出来,如下图,,DE DF 即分别为,AB AC 上的高,从而有:11555221133322ABD AC DAB DE DES D E S DFAC DFDF∆∆⋅⋅⨯⨯====⋅⋅⨯⨯.解答:作,DE AB E DF AC F ⊥⊥于点于点,11555221133322ABD AC DAD BAC D E AB D F ACD E D FAB D E D ES D E S D FAC D FD F∆∆∠⊥⊥=⋅⋅⨯⨯====⋅⋅⨯⨯∴∴平分反思:本题用到的知识点主要是角平分线性质定理和三角形面积公式,以后碰到类似的问题,我们也应该想到去作高,然后结合角平分线性质定理和三角形面积公式来解决.另外“作,DE AB E DF AC F ⊥⊥于点于点”还是要列在解答过程中. 追问:____B DC D=请同学们思考上述问题,我只是把图画在下面,请同学们根据图的提示自己解答.②.如图,已知B D 平分,,36,18,12ABC ABC D E AB S AB BC ∆∠⊥===则___.DE =分析:先看已知,由B D 平分A B C ∠,我们不难想到这个题很可能要过点D 向B C 作垂线以得到一条垂线段(如下图,不妨设为D F ),并且本题很可能会用到D E D F =;由36ABC S ∆=可知整个三角形的面积为36,结合D E D F =,我们不妨将ABC S ∆分解为()()111111181236222222ABDCB DS S A B D E B C D F A B D E B CD E D E A BB C D E ∆∆+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=+=从而求得125D E =解答:作DF BC F ⊥于点()(),111122221118123622125ABC ABD C BD B D A B C D E A B D F B CD E D FS S S A B D E B C D F A B D E B C D ED E A B B C D E D E ∆∆∆∠⊥⊥==+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=+==∴∴∴ 平分反思:解答本题用到的知识点主要是角平分线性质定理和三角形面积公式,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想,如将D F 转化为D E ,将ABC S ∆转化为ABD C BD S S ∆∆+等都是转化,D E的求出则是借助于建立了方程.收获:自己想想通过解这个题,你都是得到了那些经验,好好总结一下,每做完一个题,都反思一下本题用到了哪些知识点,用到了什么思想方法,以及你是怎么想到用这些知识点的,你又怎么想到了用这样的思想方法,久而久之,你自然就会成为解题高手,而不是那个腋下只有一个玉米的狗熊.③.如图,在△A BC 中,A D 平分,//,//,B A C P E A B P F A C ∠请问点D 到,PE PF 的距离相等吗?解答:如下图,作,DM PE M DN PF N ⊥⊥于点与点A D平分B A C ∠12//13//243434,P E A BP F A CD M PE D N P FD MD N∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠⊥⊥=∴∴∴∴∴注意:在本题的证明中,必须作出,DM DN ,因为没有它们,根本谈不上点D 到,PE PF 的距离;另外34∠=∠的证明也必须严格按照上面的过程证明,绝对不可以像下面这样证明:,//,//AD BAC PE AB PF ACPD EPF∠∠∴ 平分平分首先没有这样的定理,其次,虽然道理上讲是对的,但跨度太大,省略了太大步骤,就好比一个人是没办法从一楼直接上三楼一样.④.如图,四边形A B C D 中,90,//,,A AD BC DP ADC CP BCD ∠=︒∠∠平分平分,请问点P 是边A B 的中点吗?为什么?解答:如下图,作PE DC E ⊥于点,//1801801809090,D P AD C PA D A PE D CPA PEAD BCB A B AC P BCD PB C B PE C DPB PE PA PB ∠⊥⊥=∠+∠=︒∠=︒-∠=︒-︒=︒∠⊥⊥==∴∴∴∴∴ 平分平分∴P是边A B 的中点注意:在本题的证明中,90∠=︒的证明,只能用“两直线平行,同旁内角互补”来证B明,不可错用“两直线平行,内错角相等”或“两直线平行,同位角相等”来证明,因为,A B∠∠根本不是内错角,也不是同位角.2.用来作图①.如图,某校学生开运动会,要选一起点C,两名运动员先从C点出发分别到E,F 两处取物品,然后负重回到C,再分别将物品送到O A,O B的路上,你能找到一个公平的点C吗？两运动员又应沿怎样的路线走？解答:只需连接E F,并作它的垂直平分线m,然后作A O B∠的平分线,n m n与的交点即为C.②如图,直线n,,表示相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条k,m公路的距离相等,则可供选择的地址有（）处.A.一处B.两处C.三处D.四处解答:如下图,有四处点,,,A B C D处都可以做为中转站.③如图所示, 在△A BC 中,20,30,40,AB BC CA O ===为其三条角平分线的交点,则________.AO B AO CS S ∆∆=分析:如下图,由点O 为其三条角平分线的交点可知,其道三角形各边的距离相等,从而其面积比可以转化为边长比.即:112122AO B AO CAB O DS AB S ACAC O F∆∆⋅⋅===⋅⋅(三)易混淆知识点1.三角形三个内角平分线的交点( )A.必在三角形的内部 B 必在三角形的外部 C 必在三角形的一边上 D 以上都有可能解答:此题选A 选项,不要误选 D.反思:这个题目容易同“三角形三边垂直平分线交点”相混淆,注意辨别. 2.在ABC ∆内部有一点P ,到ABC ∆三个边的距离相等,则点P 一定是( ) A.三角形三边中线的交点 B.三角形三遍高的交点C.三角形三边垂直平分线的交D.三角形三个角的平分线的交点 解答:这个题选D,不要误选为C. (四)角平分线性质定理的深入研究思考题:如图,,,PO AOB PA OA PB OB ∠⊥⊥平分,请找出图中所有相等的量,并一一给以证明.解答:,90,,,AOP BOP OAP OBP PA PB OPA OPB OA OB ∠=∠∠=∠=︒=∠=∠= (1),90,AOP BOP OAP OBP PA PB ∠=∠∠=∠=︒=都非常容易证明; (2)O P A O P B ∠=∠的证明可以用三角形的内角和定理:180,180180,180,90AO P O AP O PA BO P O BP O PB O PA AO P O AP O PBBO P O BPAO P BO P O AP O BP O PA O PB∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠∠=∠∠=∠=︒∠=∠∴∴(3)如何证明O A O B =呢?可以运用角平分线的性质定理:如下三幅图,我们对原题逐步进行改造(按图1,图2,图3)之后就可以证明了:12,O A PA O B PB O A O B∠=∠⊥⊥=∴追问: 如图,原题的条件为,,PO AOB PA OA PB OB ∠⊥⊥平分,现在再连接A B ,则: (1)PAB PBA ∠=∠吗?为什么? (2)O A B O B A ∠=∠吗?为什么? (3)O P 垂直平分A B 吗?为什么?(1)(2)问自己证明,(3)问的证明如下:,,90180180180180,O P AO B PA O A PB O BPA PBPA O A PB O BO AP O BP AO P O AP O PA BO P O BP O PB O PA AO P O APO PB BO P O BPO PA O PBPA PB O PA O PBPO AB∠⊥⊥=⊥⊥∠=∠=︒∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠∠=∠=∠=∠∴∴∴∴∴ 平分垂直平分追问之对应练习:①.如图,OP 平分A O B ∠,P A O A ⊥,P B O B ⊥,垂足分别为A ,B ,下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．P O 平分APB ∠C ．O A O B =D ．A B 垂直平分O P解答:选D,好好想想为什么.②.如图,在△A BC 中,90,,,,A AB AC BD ABC DE C ∠=︒=∠⊥平分证明△DEC 的周长等于B C 的长.解答:略,靠自己的力量解决. 链接中考:1.如图,在四边形A B C D 中,A B B C =,B F 是A B C ∠的平分线,A F D C ∥,连接,A C C F .求证:C A 是D C F ∠的平分线.分析:由A B B C =,B F 是A B C ∠的平分线可得B F 所在的直线垂直平分A C ,从而有F A F C =,从而有F A C F C ∠=∠,又由A F D C ∥可得F A C A C ∠=∠,从而有AC D FC A ∠=∠,即C A 是D C F ∠的平分线.2.如图,在△A BC 中,∠A ＝α.∠A BC 与∠AC D 的平分线交于点A 1,得∠A 1;∠A 1BC 与∠A 1C D 的平分线相交于点A 2,得∠A 2; ……;∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平分线相交于点A 2009,得∠A 2009 .则∠A 2009＝ .解答:20092α希望同学们能认真系统的复习角平分线性质定理,我相信你们肯定能很好的掌握好角平分线性质定理.BACDA 1A 2A D FB C1.4等腰三角形一.复习要求：1.知道等腰三角形的对称轴;2.能熟练运用“等边对等角”解决问题;3.能熟练运用“三线合一”解决问题;4.充分意识到等腰三角形的“求角的度数”和“求边长周长”都容易出现两种情况(这实际上是在运用分类讨论思想解决问题),同时必须得意识到“求边长周长”时的两种情况中有时会有一种情况构不成三角形;5.意识到“面积法”是解决三角形问题的一种非常重要的方法;6.充分意识到等腰三角形有锐角等腰三角形、等腰直角三角形和钝角等腰三角形三种,不要一自己画图时,就只画一个锐角等腰三角形.7.会用等边三角形的每个内角都等于60︒解决问题.8.会利用几种基本作图作等腰三角形.二.本节关键：(一).知道等腰三角形是轴对称图形:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是底边的垂直平分线.它的对称轴还可以描述为(1)顶角平分线所在的直线;(2)底边上的高所在的直线;(3)底边上的中线所在的直线.但以下的一些说法是错误的:(1)顶角的平分线(×) 因为顶角的平分线是一条射线,而对称轴必须是直线(2)高所在的直线(×) 因为这里的高有可能不是底边上的高(二).知道“等边对等角”、“三线合一”和“等边三角形的每个内角都等于60︒”的应用格式:1.等边对等角的应用格式:AB ACB C =∠=∠∴2.三线合一的应用格式:(建议学习这个定理的应用格式之前,先看一下“动态演示三线合一”)(1)如果碰到这样的题目:如图, △A BC 中,,,AB AC AD BAC =∠平分那么A D B C ⊥吗?B D C D =吗?我们的解答就是:,,AB AC AD BACAD BC BD C D =∠⊥=∴ 平分注意1:当然,有时候,我们只需要得到A D B C ⊥这个结论,这时我们的解答就变成了:,AB AC AD BACAD BC =∠⊥∴ 平分也有时候,我们只需要得到B D C D =(或者说“A D 是B C 边上的中线”、“点D 是B C 边的中点”)，这时我们的解答就变成了:,AB AC AD BACBD CD =∠=∴ 平分注意2:“,A D B C B D C D ⊥=”是我们通过“,AB AC AD BAC =∠平分”推出的结论,这个结论实际上表明了A D 垂直于B C 且平分了B C ,或者换句话说A D 是垂直平分B C 的.当有的题目要求我们证明某条线垂直平分另一条线时,我们就经常采用证明“某条线”是等腰三角形的顶角的平分线,而“另一条线”则恰好是等腰三角形的底边的方法.(2)如果碰到这样的题目:如图, △A BC 中,,,AB AC BD CD ==那么A D B C⊥吗?,AD BAC ∠平分吗?我们的解答就是:,,AB AC BD C DAD BC AD BAC ==⊥∠∴ 平分(3)如果碰到这样的题目:如图, △A BC 中,,,AB AC AD BC =⊥那么B D C D =吗?AD BAC ∠平分吗?我们的解答就是:,,AB AC AD BCBD C D AD BAC =⊥=∠∴ 平分注意:[1]在(1)(2)(3)三种情况中,条件“,AB AC AD BAC =∠平分”、“ ,AB AC BD CD ==”或“,AB AC AD BC =⊥”中都有“A B A C =”,这是必不可少的,因为一般的三角形是不具备“三线合一”的,只有等腰三角形具备“三线合一”,所以在条件中必须通过“A B A C =”表明等腰三角形的身份;[2]当然了,在条件“,AB AC AD BAC =∠平分”中,“AD BAC ∠平分”也是必不可少的; 在条件“ ,AB AC BD CD ==”中,“B D C D =”同样必不可少;在条件“,AB AC AD BC =⊥”中,“A D B C ⊥”同样必不可少.[3] “A B A C =”除了表明三角形是等腰三角形之外,还恰到好处的表明了,AB AC 就是等腰三角形的腰,互相重合的就应该是A ∠的平分线、B C 边上的高和B C 边上的高.因为等腰三角形底角的平分线和腰上的高、腰上的中线并不重合,如下图:所以在用“三线合一”证明问题时,必须在条件中以“A B A C =”这样的方式表明谁是腰,而不只是笼统的说“三角形是一个等腰三角形”,如下面的证明就是错误的证明,至少是不准确的证明:A B A C =,BD C DAD BC AD BACABC =⊥∠∴∴ 平分三角形是等腰三角形 3.“等边三角形的每个内角都等于60︒”的应用格式:60AB BC CAA B C ==∠=∠=∠=︒∴注意:有时我们可能只需要A ∠60=︒,这时我们可以这样写:60AB BC CAA ==∠=︒∴(三). 等边对等角的应用:例题 1 如图, △ABC 中,,,AB AC BC BD AD ===求△ABC 中各个角的度数.分析:根据题目中的已知条件“,AB AC BC BD AD ===”,我们可以得到很多对相等的角,从而可以比较的容易得到图形中各角之间的关系,我们不妨设其中的一个角为x ,将与其有关系的角用含x 的代数式表示出来,最后看是否能利用三角形的内角和定理得到关于x 的一个方程,从而将x 求出来,进而求出△ABC 中各个角的度数.解答:A B A CA B C CB D B CB DC CB D A D A B D A=∠=∠=∠=∠=∠=∠∴∴∴设A x ∠=,则A B D A x ∠=∠=,B DC ∠ 是△ABD 的外角2BD C A ABD x x x ∠=∠+∠=+=∴ 22180221803636,272C BD C xABC C xA C ABC x x x x A ABC C x ∠=∠=∠=∠=∠+∠+∠=︒++=︒=︒∠=︒∠=∠==︒∴∴∴∴∴ 反思:本题的解决所用到的知识点主要是“等边对等角”、“三角形的内角和定理”、和“等边对等角”,所用到的思想方法主要是转化思想和方程思想,如将等边转化为等角,将A ABD ∠+∠转化为B D C ∠,再将B D C ∠转化为C ∠,再将C ∠转化为A B C ∠,方程思想就不必说了.收获:在求角的题目中,“三角形的内角和定理”、“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”、“等边对等角”是经常会用到的定理,另外像“两直线平行,同位角相等内错角相等以及同旁内角互补”、“同角的补角相等,同角的余角相等”、“垂直会推出直角”、“邻补角”、“n 边形的内角和为()2180n -⋅︒,外角和为360︒”等定理或定义也经常用到,要熟悉这些定理或定义的内容,这样求角时才能做到游刃有余.当然了,求角的度数绕不开转化,甚至是不停的转化,有时可能还需要作平行线或连接两点的线段等辅助线.方程思想有时也是必不可少的.希望同学们在解题的同时多反思,不断积累经验.相应练习:1.①如图, △ABC 中,,,,___.AB AC BC BD AD DE EB A ====∠=则解答:45︒,自己解决.②如图,在△ABC 中,,,75,___.AB AC BD ABC BDC A =∠∠=︒∠=平分则解答:40︒,自己解决2.一些难度较小的练习:①.如图,在A B C △中,点D 是B C 上一点,80B A D ∠=°,AB AD D C ==,则C ∠=___ 度.②.如图,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点P 在小量角器上对应的度数为65°,那么在大量角器上对应的度数为__________°（只需写出0°～90°的角度）．解答:①25︒②50︒例题 2 △ABC 中,,20,,___.AB AC BAD AE AD CDE =∠=︒=∠=则分析:由A B A C =可知B C ∠=∠,由AE AD =可知A D E A E ∠=∠,但B C ∠=∠与AD E AED ∠=∠好像暂时起不到什么作用,可以先记着点;C D E ∠与B A D ∠之间的关系并不直接,看来需要借助于B C ∠=∠与AD E AED ∠=∠等条件转化一下.不妨尝试A CB D 80①题图。
青岛版八年级数学上学期期末复习资料
（三）针对学生的易错点进行题组训练
19
概念的理解（开平方、平方根、算术平方根、 立方根、无理数、实数）
• 错例： （1）16的平方根是4； 16 4 （2）将36开平方： 6, 36 6 36 2 （3）若 x 4 ，则x=2 （4） 16 的平方根是4或±4 （5）把 当有理数.
（4）一次函数与代数、几何知识的综合
Ⅰ 、函数与方程（组）、不等式（组）的综合运 用，掌握两类题：
1、建立函数模型运用函数图象及方程，不等 式知识解决有关通讯、购物、租车等问题中最省 钱的问题。 2、运用一次函数的增减性，解决有关调运、 配送等问题中最佳方案问题。
Ⅱ 、函数与几何知识的综合 以八一中学期中试卷25题为例，说明几何与 函数知识的综合，培养学生在平面直角坐标系 中识别几何图形，进行计算、证明的能力。
2
36 6
数学符号和数学文字的表示不能统一
20
• 题组训练 详见“第十三章《实数》复习建议” 一、填空题 1. “4的平方根”用数学式子表示为 ______， “4的算术平方根”用数学式子表示为___， 2. －8的立方根是________，
3 3. 3 的立方根是_______， 8
4. 已知 25x 2 36 0, y 3 8 0, 则 x y的值是____________.
例1．如图所示，EFGH是一矩形的台球台面，有 黑、• 两球分别位于A、B两点的位置上， 白 试问：怎样撞击白球，使白球先 H 撞击边EF• 弹后再击中黑球？ 反 A
B E
7
G
F
专题二：在平面直角坐标系中研究轴对称
例2. 已知点A（－2，3）和点B（3，2），点 C是x轴上的一个动点，当AC＋BC的值最小 时，求点C的坐标. 例3. 在平面直角坐标系中，求直线y=2x+3 关于y轴对称的直线解析式。
初二数学上册(青岛版)分式基础知识梳理及经典例题分析
第三章分式一、基础知识梳理（本章主要与分数、四则运算、幂、方程式、分解因式等结合学习） 1、分式的概念: 一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且除式B 中含有字母，那么式子 叫分式。
解析：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；分式A/B 有意义，则B=0(2)分式的分母的值不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；反之，若分式A/B 无意义，则B=0(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．反之，若分式A/B=0，则A=0，且B ≠0 分式的相关概念：分式的约分：指把一个分式的分子与分母的公因式约去。
分式约分的根据是 分式的基本性质分式约分的主要步骤是：(1)把分式的分子与分母化为积的形式;(2)约去分子与分母的公因式 约分的关键是确定公因式。
确定公因式分三步：⑴确定因式（如果分母是多项式要首先分解因式）：选择所有因式中出现的相同因式；⑵确定指数：选择相同因式中指数最低的次数；⑶确定系数：求各个系数的最大公约数。
最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．分式的通分：指把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 相等 的 同分母 的分式.分式通分的根据是分式的基本性质通常取各分母的所有因式的 最高次幂的积作公分母，这样的公分母，叫做最简公分母.确定最简公分母分三步：⑴确定因式（如果分母是多项式要首先因式分解）：选择各个分母中出现的所有因式；⑵确定指数：选择各个因式中指数最高的次数；⑶确定系数：求各个系数的最小公倍数。
2、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． 特别提示：(1)在解题过程中，分母不为0是作为隐含条件给出的．若是分式，则说明分母中的字母一定能满足使分母不为0；(2)在运用分式的基本性质时，一定要重点强调C≠0这个条件，没有给出的，要讨论是否等于0．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如：（1）BA B A B A B A --=--=--=（2）b a b a b a -=-=-；（3）b aba -=---. 但要注意下面的错误：y x y x yx y x ++-=++-=-1是错误的，应该是y x yx y x y x y x y x +--=+--=++-)(. 3、分式的运算：分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。
青岛版八年级上册知识树
分式 方程 应用
调查及取 样
平均数、 中位数、 众数 定 理 判定 直角 三角 形
分式 方程
算术平 方根 平 方 根
提公因 式法
因式 分解
分式 性质 及运 用
第三章 分式
第四章 样本与估 算
勾 股 定 理
方 根
完全平 方公式公式平 Nhomakorabea 差公 式 轴对称图 形及成轴 对称图形 性质 图案设 计
第二章 乘法公 式与因 式分解 第一章 轴对称 与轴对 称图形
平分 线 等腰 三角 形
线段垂 直平分 线
第五章 实数
立 方 根 实数
轴对 称与 成轴 对称
镜面对称 角平 分线
八 年 级 数 学 上 册 知 识 树
第六章 一元一 次不等 式
一元一 次不等 式组
不等关 系和不 等式
一元一 次不等 式
青岛版-数学-八年级上册-知识点解读：角平分线的性质
初中-数学-打印版知识点解读：角平分线的性质一、掌握作已知角的平分线的方法作已知角的平分线属于最基本的作图之一，同时又是几何作图的重要依据， 作法略．二、理解并掌握角的平分线的性质1．性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．用几何符号语言表示：如图1，∵点P 在∠A0B 的平分线上，且PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∴PD =PE ． 2．注意事项：（1）性质中的“距离”是指“点到直线的距离”，因此在应用时必需含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等． 如图1中，如果没有PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，那么就不能得到PD =PE ．（2）本性质可用来证明线段相等． 但要克服用全等三角形的思维定势． 例1 利用角平分线的性质，找到△ABC 内部距三边距离相等的点． 考点：角平分线的性质．分析：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此作答．解答：解：△ABC 内部距三边距离相等的点应该是三个内角平分线交点． 点评：此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、理解并掌握角的平分线的判别方法1．判别方法：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．也就是说，一个点只要到角的两边距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上．用几何符号语言表示：如图2，A OPC BE D（图1）A OP C BED（图2）初中-数学-打印版∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， PD =PE ， ∴点P 在∠A C B 的平分线上．例2 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，其理论依据是全等三角形判定定理（ ）A ．SASB ．HLC ．AASD ．ASA考点：角平分线的性质；全等三角形的判定．分析：作出图形，利用“角角边”证明全等三角形的判定即可． 解答：解：如图，∵OP 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOP=∠BOP ，∵PA ⊥OA 于A ，PB ⊥OB 于B ， ∴∠PAO=∠PBO=90°， 在△AOP 和△BOP 中，∠AOP ＝∠BOP ，∠PAO ＝∠PBO ＝90°，OP ＝OP ∴△AOP ≌△BOP （AAS ）． 故选C ．点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出图形更形象直观．例3 如图3，P 是∠AOB 的平分线上一点． PC ⊥AO 于C ，PD ⊥OB 于D ， 写出图中一组相等的线段 ．（只需写出一组即可）解析：本题有一定的开放性，答案不唯一． 由角的平分线的性质，可得P C = PD ； 由△ODP ≌△O C P ，可得O C = OD ．（图3） AOC BDP。
青岛版八年级数学上册期中必背知识点：因式分解
青岛版八年级数学上册期中必背知识点：因
式分解
因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④
因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)
公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。
②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
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数学期中复习知识：初二年级上册数学
初二年级上册数学期中等腰三角形复习知识：浙教版。
新青岛版八年级上册数学教材内容
新青岛版八年级上册数学教材内容第一篇：新青岛版八年级上册数学教材内容新青岛版八年级上册数学教材内容第一章全等三角形1.1全等三角形1.2怎样判定三角形全等1.3尺规作图第二章图形的轴对称2.1 图形的轴对称2.2 轴对称的基本性质2.3 轴对称图形2.4线段的垂直平分线2.5角平分线的性质2.6等腰三角形第三章分式3.1分式的基本性质3.2分式的约分3.3分式的乘法于除法3.4分式的通分3.5分式的加法与减法3.6比和比例3.7可化为一元一次方程的分式方程第四章数据分析4.1加权平均数4.2中位数4.3众数4.4 数据的离散程度4.5方差4.6用计算器计算平均数和方差第五章几何证明初步5.1定义与命题5.2 为什么要证明5.3什么是几何证明5.4平行线的性质定理和判定定理5.5三角形内角和定理5.6几何证明举例第二篇：青岛版八年级数学上册教学计划八年级上学期数学教学计划一、学情分析本学期担任八年级5、6班的数学教学，从上学期期末成绩来看，学生数学基础非常差，虽然学生基本形成数学思维模式，具备一定的应用数学知识解决实际问题的能力，但在知识灵活应用上还是很欠缺。
八年级是初中学习过程中的过渡时期，学生成绩的好坏，直接影响到九年级的学习，进而影响将来是否能升学。
根据上学年学生学习的分析情况来看，有部分学生基础特差，问题较严重。
在本学期获得进步，必须要付出更大努力，进一步查漏补缺，充分发挥学生学习的主体作用，注重教学方法，培养能力。
二、指导思想以《初中数学新课程标准》为指导，贯彻党的教育方针，开展新课程教学改革，对学生实施素质教育，切实激发学生学习数学的兴趣，掌握学习数学的方法和技巧，建立数学思维模式，培养学生探究思维的能力，提高学习数学、应用数学的能力。
三、教学目标1．通过具体事例，认识图形的全等，理解全等三角形的概念，识别全等三角形的性质；探索判定三角形全等的方法，初步运用判定方法进行推理，能用尺规作图，了解作图的道理，掌握基本的作图技能。
青岛版(新)数学八年级上册 2.2轴对称的基本性质
青岛版（新）数学八年级上册 2.2 轴对称的基本性质1. 轴对称的定义轴对称是平面上的一个重要概念，指的是图形的一个特定部分可以通过一个直线对折，对折后的两个部分完全重合。
在数学中，这条直线被称为轴线。
轴对称是对称性的一种表现，它存在于许多图形和物体中。
2. 轴对称图形的性质轴对称图形具有许多特征和性质，以下是一些基本性质：•性质一：轴对称图形可以通过轴线将图形分成两个完全相同的部分。
这意味着轴对称图形的两个部分是镜像对称的。
•性质二：轴对称图形中任意一点关于轴线的对称点仍在轴对称图形中。
这意味着轴对称图形关于轴线具有对称性。
•性质三：轴对称图形中任意两点关于轴线的距离相等。
•性质四：轴对称图形的轴线是唯一的。
也就是说，一个轴对称图形只能有一个轴线。
3. 轴对称图形的例子以下是一些常见的轴对称图形的例子：•正方形：正方形的四条边相等且相互平行，具有四条轴对称线。
•矩形：矩形具有两对平行边，且具有两条轴对称线。
•圆：圆具有无数条轴对称线，因为它的每一条直径都是一条轴对称线。
•心形：心形具有一个轴对称线，可以通过垂直分割线将它分成两个完全相同的部分。
4. 轴对称图形的判断方法在平面几何中，如何判断一个图形是否是轴对称的呢？以下是一些判断方法：•方法一：观察图形是否对称。
如果一幅图形可以通过一个轴将图形划分为两个完全重合的部分，则这个图形是轴对称的。
•方法二：观察图形是否具有对称性。
如果一幅图形的每个点关于轴线的对称点仍然在图形中，则这个图形是轴对称的。
•方法三：观察图形中任意两点关于轴线的距离是否相等。
如果图形中任意两点关于轴线的距离相等，则这个图形是轴对称的。
•方法四：利用数学知识进行求解。
对于某些特定的图形，我们可以利用数学知识进行计算和推导，判断一个图形是否是轴对称的。
5. 轴对称的应用轴对称不仅是数学中的一个重要概念，也广泛应用于其他领域。
在视觉艺术中，轴对称的图形常常被用于创造一种和谐、平衡的感觉。
青岛版八年级数学知识点
青岛版八年级数学知识点推荐文章苏教版八年级数学知识点热度：初中八年级数学知识点热度：初中八年级数学知识点总结热度： 2022八年级数学知识点总结热度：初中八年级数学知识点整理热度：知识是一座宝库，而实践就是开启宝库的钥匙。
学习任何学科，不仅需要大量的记忆，还需要大量的练习，从而达到巩固知识的效果。
下面是小编给大家整理的一些八年级数学知识点，希望对大家有所帮助。
1、全等三角形的对应边、对应角相等2、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5、边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等6、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等7、定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等8、定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上9、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合10、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)11、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边12、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合13、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°14、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)15、推论1三个角都相等的三角形是等边三角形16、推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形17、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半18、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半19、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等20、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上21、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合22、定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形23、定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线24、定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上25、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称26、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^227、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形28、定理四边形的内角和等于360°29、四边形的外角和等于360°30、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、不等关系1、一般地,用符号"<"(或"≤"),">"(或"≥")连接的式子叫做不等式.2、要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.3、准确"翻译"不等式,正确理解"非负数"、"不小于"等数学术语.非负数<===>大于等于0(≥0)<===>0和正数<===>不小于0 非正数<===>小于等于0(≤0)<===>0和负数<===>不大于0二、不等式的基本性质1、掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac2、比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式)一般地:如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;如果a即:a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=0aa-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三、不等式的解集:1、能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2、不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3、不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四、一元一次不等式:1、只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.2、解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3、解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4、一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax①当a>0时,解为;②当a=0时,且b<0,则x取一切实数;当a=0时,且b≥0,则无解;③当a<0时,解为;5、不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审:认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如"大于"、"小于"、"不大于"、"不小于"等含义;②设:设出适当的未知数;③列:根据题中的不等关系,列出不等式;④解:解出所列的不等式的解集;⑤答:写出答案,并检验答案是否符合题意.自学能力的培养是深化学习的必由之路在学习新概念、新运算时，老师们总是通过已有知识自然而然过渡到新知识，水到渠成，亦即所谓“温故而知新”。
青岛版初二年级数学上册期中必背知识点：分式方程
青岛版初二年级数学上册期中必背知识点：
分式方程
分式方程
1.分母里含有未知数的有理方程叫分式方程.
2.使分式方程分母为零的未知数的值即为增根;分式方程的增根有两个特征：
(1)增根使最简公分母为零;
(2)增根是分式方程化成的整式方程的根.
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初二上册数学期中考知识点：多边形的内角和
初二年级上册数学期中考试资料：分式的通分。
(完整版)青岛版八年级数学上册各章知识要点归纳,推荐文档
直线对称。
2、等边三角形的判定：
5、用坐标表示轴对称小结：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于 y 轴
②有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
对称的点我横坐去标人互为也相反就数有,纵坐人标！相等为. UR扼腕入站内信不存在向你三偶角形同中的意中调位线剖沙龙课反倒是龙卷风前一天我分页符ZNBX吃噶
5、全等变换
(2)n 边形共有 多边形的内角和公式
条对角线。
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种：
公式： 边形的内角和为
.
可见多边形内角和与边数 n 有关，每增加 1 条边，内角和增加 180°。 多边形的外角和公式 公式：多边形的外角和等于 360°. 它与边数的多少无关。
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直 角）。
4.轴对称的性质 ①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的
③等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则 b <a 2
1 ○7 负指数幂的概念：a－p＝ ap
（a≠0，p 是正整数）
三角形中位线定理的作用：
任何一个不等于零的数的－p（p 是正整数）指数幂，等于这个数的 p 指数幂
位置关系：可以证明两条直线平行。
的倒数．
数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
n p m p 也可表示为： m n （m≠0，n≠0，p 为正整数）
初中数学青岛版八年级上册高效课堂资料回顾与总结
初中数学青岛版八年级上册高效课堂资料第5章几何证明初步（回顾与总结）学习目标：1.识别定义、命题、公理、定理，会区分命题的条件和结论，理解原命题和逆命题的关系。
2.会使用三角形内角和与外角和定理；AAS；HL；角平分线的性质与判定；线段垂直平分线的性质与判定；等腰三角形、等边三角形的性质与判定等解决有关问题。
3.学会综合法证明的格式，会使用反证法。
重点：知道利用反例可以判断一个命题是错误的；学会用综合法证明的格式，会利用全等三角形证明角平分线和线段垂直平分线的定理，以及等腰三角形和直角三角形的性质定理和判定定理。
难点：区分命题的条件和结论，推理证明能力的培养，以及反证法是本章的难点。
学习过程：【温故知新】1、八条公理：2、命题是由_______________和______________两部分组成.命题分真命题和___________。
请你举一个真命题的例子：____ ____；一个假命题的例子：______________________。
3、请写出互为逆命题的两个命题：________________,_________________________4、几何证明的过程包括①________________________________________;②________________________________________;③________________________________________.5、三角形内角和定理：____________ ___；三角形外角和定理______________________。
6、线段垂直平分线的判定定理：____________；角平分线的判定定理:_____________。
7、等腰三角形的性质定理：______________；等边三角形的判定定理：_______________。
8、两个全等三角形的对应高________。
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初二上学期知识点总结三角形几何A级概念:（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)几何B 级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识:1.三角形中,第三边长的判断: 另两边之差<第三边<另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即:若C Ｄ⊥A Ｂ,BE ⊥C Ａ，则ＣD ·AB=ＢＥ·C Ａ．４．三角形能否成立的条件是:最长边<另两边之和.5.直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.6.分别含３０°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.７．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即:（1) A Ｃ·C Ｂ=ＣD ·AB ； （２）∠１=∠B ,∠2=∠A ．８．三角形中,最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.９.全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所A BCE DA BC D 12对的边是对应边．１0．等边三角形是特殊的等腰三角形.11.几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明.12.符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析:(1）分析综合法；（２)方程分析法；(3）代入分析法；（4)图形观察法.1４.几何基本作图分为:（1）作线段等于已知线段;(2）作角等于已知角；(3）作已知角的平分线;（４）过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6）过已知点作已知直线的平行线.15.会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAＳ”、“SSＳ”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16.作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17.几何画图的类型：（1)估画图;（2）工具画图；（3)尺规画图.※18.几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则:①构造特殊图形,使可用的定理增加；②一举多得;③聚合题目中的分散条件,转移线段，转移角;④作辅助线必须符合几何基本作图．（2)已知角平分线.（若ＢD是角平分线)(３）已知三角形中线（若AD是BＣ的中线)(4) 已知等腰三角形ABC中,AB=AC(５)其它分式1. 分式的定义：如果Ａ、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
2. 分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件:分式的分母等于0。
3. 分式值为零的条件：当分式的分子等于０且分母不等于０时，分式的值为0。
(分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的,所以使分式错误!为０的条件是Ａ=0，且B ≠０.）(分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0,二者缺一不可。
首先求出使分子为０的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时,就是所要求的字母的值。
)4. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
用式子表示为 (0≠C ),其中A 、B 、Ｃ是整式注意：(1)“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件; (2）应用分式的基本性质时,要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子(或分母)的错误； （3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时,要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一 整式C;(4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分：和分数类似,利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值，把几个异分母分式化成C B C A B A ⋅⋅=CB C A B A ÷÷=相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点： （１)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2）如果各分母的系数都是整数时,通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3)如果分母是多项式,一般应先分解因式。
6．分式的约分:和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
（1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时,通常将分子、分母分解因式,然后再约分; （2)找公因式的方法：① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；②当分子、分母都是多项式时,先把多项式因式分解。
易错点:（1)当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体,易出现漏乘（或漏除以）；(2)在式子变形中要注意分子与分母的符号变化,一般情况下要把分子或分母前的“—” 放在分数线前;(3)确定几个分式的最简公分母时,要防止遗漏只在一个分母中出现的字母;7.分式的运算:分式乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
分式除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
用式子表示是：提示:（1)分式与分式相乘，若分子、分母是单项式,可先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式，化为最简分式;若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式,看能否约分，然后再相乘；(２)当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;(３)分式的除法可以转化为分式的乘法运算；(4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。
①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理,可先确定积的符号；③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
用式子表示是: （其中ｎ是正整数) 注意：(1）乘方时,一定要把分式加上括号;(2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即正分式的任何次幂都为正;负分式的偶次幂为正,奇次幂为负；（3)分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方,再算乘除,有多项式时应先分解因式,再约分。
分式的加减法则:法则：同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减。
用式子表示为:＼F(a ，b) ± 错误!= 错误!法则:异分母的分式相加减,先通分,转化为同分母分式，然后再加减。
用式子表示为: a b ± c d=错误!± 错误!=错误! 注意：(1)“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减,即各个分子应先加上括号后再加减,分子是单项式时括号可以省略;（2)异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减,要注意分子的整体性；（3）运算时顺序合理、步骤清晰；(4）运算结果必须化成最简分式或整式。
分式的混合运算：分式的混合运算，关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样,先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。
n nn ba b a )(8、 分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法： (1)解分式方程的基本思想方法是:分式方程 --－－－→ 整式方程. (2）解分式方程的一般方法和步骤：①去分母:即在方程的两边都同时乘以最简公分母,把分式方程化为整式方程,依据是等式的基本性质；②解这个整式方程;③检验：把整式方程的解代入最简公分母,使最简公分母不等于０的解是原方程的解,使最简公分母等于０的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。
注意:① 去分母时,方程两边的每一项都乘以最简公分母,不要漏乘不含分母的项；② 解分式方程必须要验根,千万不要忘了！9、解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(３)解整式方程；(4)验根．分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。
10、.含有字母的分式方程的解法：在数学式子的字母不仅可以表示未知数,也可以表示已知数,含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母,解整式方程，检验这三个步骤,需要注意的是要找准哪个字母表示未知数,哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。
计算结果是用已知数表示未知数,不要混淆。
11、.列分式方程解应用题的步骤是:(1)审：审清题意;(2)找: 找出相等关系;（3)设:设未知数;（4)列：列出分式方程;(5）解:解这个分式方程;(6）验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意;(7)答:写出答案。
应用题有几种类型;基本公式是什么?基本上有五种： （１）行程问题 基本公式:路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题．(2)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法．(３）工程问题 基本公式:工作量=工时×工效.(4）顺水逆水问题 v 顺水=v 静水+v 水． v 逆水=v 静水－v 水.去分母 转化数据的分析ﻫ１.加权平均数:加权平均数的计算公式。
权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
学会权没有直接给出数量,而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。
2.将一组数据按照由小到大（或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(mｅdiａn)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。