变上限定积分及微积分基本定理

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变上限定积分及微积分基本定理

dx 1
d
x
xf (t)dt
d
x
tf (t)dt
dx 1
dx 1
d
x
x
f (t)dt
d
x
tf (t)dt
dx 1
dx 1
x
x
f (t)dt xf ( x) xf ( x) f (t)dt
1
1
第6页/共15页
推广1：若 f ( x)连续,( x)可导
则 d
(x)
f (t)dt
f [ ( x )] ( x )
dx a
推导：设( x)
(x)
f (t)dt
( x)u
u
f (t)dt
d
a
d du f (u)( x)
a
f [ ( x)] ( x)
dx du dx
推广2：
d ( x) f (t )dt f [ ( x )] ( x) f [ ( x )] ( x)
1 e t 2 dt
lim
x0Biblioteka cos xx2(0) 0
lim x0
ecos2 x ( sin x)
2x
1 2e
(
lim x
x et2dt)2
0
x e2t2dt
0
()
lim x
2
x et2dt
0
e x2
()
e2x2
lim x
2e x2 2x ex2
0
第8页/共15页
定理1（p119）（微积分基本定理）
证
x x
( x x) a f (t)dt
( x x) ( x)
( x)

微积分的基本公式_2022年学习资料

2.微积分基本公式-如果f∈C[a,b],则ftdt为fx在[a,b]上-的一个原函数-若已知Fx为fx的函数，则有-∫fdt=Fx+Co.-令x=a,则0=∫fdt=Fa+C,故C。=-Fa-取x=b,则得到fodufodx=ro-ra
定理-牛顿一莱布尼茨公式-若fx∈C[a,b],Fx为fx在[a,b]上的-一个原函数，则-["fxdx= x"=Fb-Fa.-将定积分的计算与求原数的计算联系起来了
定理2-若fx∈C[a,b,则Fx=∫fdt在[a,b]-上可导，且-F'=-fadr-fo-a≤x≤b.
定理3-若fx∈R[a,b],且在点x,∈[a,b]处连续-则Fx=ftdt在点x处可导，且F'xo=fx .-在端点处是指的左右导数
例1-easrdry-dIcosdr-cosx-Fx-cosxdx'=？-/-定积分与积分变量的记号无关. cosxdx'=cosx.
定积分的计算-问题转化为已-知函数的导函-数，求原来函数-的问题.
例5-sin x'=cosx,-π -[2cosxdx=sinx2=-sin 0=1.-问题的关键是如何求一 -函数的原函数，
例6-cnantn-unslan--兀-2-●-sinO=
例7-计算∫1+cos2xdx.-去绝对-值符号如果-是分段函数-解-o+cos2xdx=f2cosdx利用积分-的性质将积-分分成几个-怎么办？方201cos1dx-部分的和的-形式--cd+cd.x-=v2 inx-2sinx=2v2.
积分上限函数的几何意义-y-y-a-xx-b-X-曲边梯形的面积的代数和随x的位置而变化.
由积分的性质：fxdx=-∫公fxdx,有-∫fodr=-∫fodt.-所以，我们只需讨论积分上限函数.fdr称为积分下限函数

计算定积分的一般方法-微积分基本定理

§2计算定积分的一般方法
微积分基本定理
• 前面介绍了不定积分的概念与性质，指出了不定积分与定积分之间的区别。
• 牛顿和莱布尼兹最先发现了微分和积分的内在关系，找到了定积分与不定积分之间的联系，因此创立了微积分学。
2.1 微积分学基本定理
1
例1 计算 x4dx 0
例2 计算
3 dx 1 1 x2
2
例3 计算 sin2x cos xdx 0
① 变上限的定积分的定义
② 变上限定积分的性质
连续函数的原函数存在定理
• (1) 上述定理
③ 微积分基本定理的证明
例1 求
d
x
cos(1 t2)dt
dx 0
例2 求 d 1 1 tdt dx x
x
cos3 tdt
例3 求极限 lim 0 x0 2x
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx
-a
0
(2)若f (x)在[-a, a]上连续且为奇函数，则
a
f (x)dx 0
-a
定理2 定积分分部积分法
设u(x), v(x)在[a,b]上具有连续导数的函数，则
b
b
uvdx
(uv)
b a
uvdx
a
a
b
b
或
u
dv
(uv)
b a
vdu
a
a
这就是定积分的分部积分公式.
以下条件：
或t [, ]
(1) :() a, ( ) b, 且a (t) b, t [, ].
(2) : 在[, ]上有连续导数(t),则有定积分换元公式
b 或[， ]
f (x)dx f ((t))(t)dt.

变限积分的性质

变限积分的性质摘要变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。

本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。

通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。

关键词:变限积分;连续性;可微性;奇偶性;单调性;周期性;应用引言随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。

下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。

1. 变限积分的概念与理解1.1变限积分的定义[,]abxab,[,]ff[,]ax设在上可积，根据定积分的性质，对任何，在也可积，于是，由x,,,()(),[,]xftdtxab (1) ,a定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上x 限函数.类似地，又可定义变下限的定积分:b,,,(),(),[,].xftdtxab (2) ,x与统称为变限积分; 变量复合函数定义为: ,,uxbux()()ftdtftdtftdt(),(),(), ,,,avxvx()()[,],,,[,]abux()vx()ux()vx() 其中、是定义在上的函数且，.xfxdx() 注:在变限积分(1)与(2)中，不可再把积分变量写成(例如)，x,a 以免与积分上、下限的混淆。

微积分基本定理

0 f (t )dt
加函数.
证
d dx
x
0
tf
(t )dt
xf
( x),
dx
dx 0
f (t)dt
f ( x),
F(x)
xf
x
( x)0
f
(t )dt
x
f
x
( x)0 tf
2
(t )dt
0 f (t )dt
x
F(x)
f
(
x
)0 (
x
x
t
)
f (t
2
)dt
,
0 f (t)dt
f ( x) 0, ( x 0)
设 x>0, 求
x1
1 t dt
微积分基本定理应用例2
设 x>0,
x 1dt ln t x ln x ln1 ln x
1t
1
x 1 dt ln x
1t
微积分基本定理应用例3
回忆
y
1 1 x2
微积分基本定理应用例3
求蓝色部分面积
y
1 1 x2
微积分基本定理应用例3
蓝色部分面积
则F ( x) b( x) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a( x)
F( x) d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
例1
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解 d 1 et2 dt d cos x et2 dt,

变上限积分

x3 0 e2 x 3 |1 |0 3 2 e6 1 2 6
在该区间上它的原函数一定存在.
例 1 (1) 已知 ( x)
解

x
1
e dt , 求 (x).
t2
根据定理4. 1，得
( x)
e dt e
x t
2

x2
1
.
d x2 1 (2) 求 1 1 t 4 dt dx
d x2 1 1 2x 2 ' 解 1 1 t 4 dt 1 ( x2 )4 ( x ) 1 x8 dx

3
0
f ( x )dx
1
3
0
4 3
xdx e x dx
1
1
3
3 x 4
( e )
0
x
3 1
3 e2 1 3 . 4 e
请在草稿纸上练习书上例题：例4 求定积分解

1
0
(sin x 2e3 x )dx

1
0
(sin x 2e3 x )dx
a c
c
b
即当点 c 不介于 a 与 b 之间， c < a < b 或 a < b < c 时，结论仍正确.
补充例题
1
计算下列定积分.
ex (1) dx; ( 2) 4cos2 xdx . 1 1 e x 6 1 1 1 ex d(1 e x ) (1) dx 1 解 1 1 e x 1 ex
n
( x )dx
b
f1 ( x )dx f 2 ( x )dx f n ( x )dx.

6.2微积分基本定理

sin x ⋅ e = lim x→0 2x
1 = . 2e
例：求 y = ∫0
x
sin t 上的极值。上的极值 dt 在(-1,1)上的极值。 1+ t
sin x 解： ' = y , 令 y ' = 0, 得 x = 0. 1+ x
cos x(1 + x ) − sin x y '' = , y ''(0) = 1 > 0, 2 (1 + x )
2
(∫ 2 cos t dt )' = ( ∫ cos t dt + ∫ cos t 2 dt )' x x 0
2
0 2
2
x3
x3
= ( − ∫ cos t 2 dt + ∫ cos t 2 dt )&#os x 4 + 3 x 2 cos x 6 .
注： (∫v( x) f (t )dt )' = f (u( x))u'( x) − f (v( x))v '( x).
∫ 例：求 lim
x→ 0
1 cos x
e x
− t2 2
dt .
解：原式= 原式
0 ( 0 lim
x→0
∫
1
cos x
e dt )'
2
−t2
( x )'
− cos 2 x
= lim
x →0
−( ∫
cos x
1
e dt )'
−t2
2x
= lim
x→0
−e
⋅ (cos x )' 2x
− cos 2 x

26-微积分的基本公式

2 cos x d x
2 | cos x | d x
0
去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)
2 cos x d x 2
2 0

( cos x) d x
2
2sin x

2 0
2sin x

2
2 2.
2
故 F ( x) sin 2 x , G( x) cos2 x
都是 f ( x) sin 2 x 的原函数 .
验证 F ( x) G ( x) C :
sin 2 x ( cos2 x) sin 2 x cos2 x 1
即 C 1.
定理
若 f ( x) 在区间 I 上的原函数存在 , 则它
a
x
x [a, b] , 且 x x [a, b] , 则
( x) ( x x) ( x)

x x a
f (t ) d t f (t ) d t
a
x
x x x
f (t ) d t
又 f ( x) R([a, b]), 故 f ( x) 在 [a, b] 上有界： f ( x) | M . |
由 ( x) f (t ) d t 及 ( x) f ( x) 你会想到什么？
a
x
若 F ( x) 存在, 则 ( F ( x) C ) F ( x) f ( x) .
这样的 F ( x) 若存在, 则必有无穷多个.
若 F1( x) f ( x), F2( x) f ( x), 则 F1 ( x) F2 ( x) C.

微积分基本公式和基本定理

ln a
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
23
例11. 求
dx . x3 x
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例12 求
sin
x 2
cos
x 2
dx
.
解: 原式=
xdx,
于是
2 e xdx
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证明2e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
2
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式二、微积分基本定理三、不定积分
3
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
定理 2.1 ( Newton Leibniz公式)
b f (x)dx F(b) F(a) F(x) b
a
a
----微积分基本公式
4
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
解(1)
6
例2
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin
x
cos
x
x2 0

高数：定积分的概念与微积分基本定理

性质1
b[ a
f
(
x)

g(
x)]dx

b
a
f
(
x)dx

b
a
g(
x)dx
.
证
b
a[
f
(
x)

g(
x)]dx
n

lim
0
[
i 1
f
(i
)

g(i
)]xi
n
n

lim
0
i 1
f
(i )xi

lim
0
i 1
g(i )xi
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
x2
sin x ecos2 x
第八讲定积分的概念与微积分基本定理
1 定积分的概念与性质 2 变上限积分的概念与定理 3 牛顿-莱布尼茨公式 4 讨论或证明变上限积分的特性
1.1 问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2

0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2

1
lim
n
n i 1

高等数学定积分微积分学基本定理

b
证这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步:
a x0 x1 xn b, (1) 对任意分割 T：
I f ( x ) g( x )dx

i 1
b
n
xi x i 1
a n
f ( x ) g( x )dx
xi
i 1
xi 1
a
x
上处处可导,且 d x ( x ) f ( t )dt f ( x ), x [a , b]. dx a
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证 x [a , b], 当 Δx 0, 且 x Δx [a , b] 时,
Δ 1 x Δx f ( t )dt f ( x x ), 0 1. Δx Δx x
由于 f 在 x 处连续，因此
( x ) lim f ( x Δx ) f ( x ).
Δx 0
注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连续函数必存在原函数”这个重要结论.
前页后页返回
注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数, 所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为
§5 微积分学基本定理
本节将介绍微积分学基本定理, 并用以证明连续函数的原函数的存在性. 在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法. 一、变限积分与原函数的存在性二、换元积分法与分部积分法三、泰勒公式的积分型余项
前页后页返回
一、变限积分与原函数的存在性
设 f 在 [a, b] 上可积, 则 x [a, b], f 在 [a, x ] 上

i 1 x

2-1微积分学基本定理及基本积分公式.ppt

1
0
f ( x )dx ′ = f ( x ) ， ∫
d ∫ f ( x )dx = f ( x )dx
不定积分积分再求导先不定积分再求导 =本身本身
或
20
或
∫ f ′( x )dx = ∫ df ( x ) =
f ( x) + C ，
f ( x) + C ．
运算法则 ② 运算法则
10
20
∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫
∫ kf ( x ) dx = k ∫
f ( x )dx ±
（可加性（可加性） ∫ g ( x )dx ，可加性）
f ( x )dx ，（齐次性）齐次性）
∫∑k
i =1
n
i
f i ( x )dx =
∑k ∫
i =1 i
n
f i ( x )dx ．线性性质）（线性性质（线性性质）
1
1
例2
证：(1)
≤∫
−
2 1 2
e
− x2
dx ≤ 2 ；
π 1 sin x 2 2 (2) < ∫π dx < ． 2 x 2 4
例3
3∫
设 f ( x ) ∈ C[0, 1] , f ( x ) ∈ D(0, 1) ，且
1 2 f ( x )dx = 3
1]
f ( 0 ) ．证： ∃ ξ∈( 0 , 1) ，使 f ′( ξ ) = 0 ．
a
ξ
b
x
推广的积分中值推广的积分中值 Thm
上可积，若函数 f ( x ) ∈ C[ a , b ] ， g ( x ) 在 [a , b] 上可积，

可变上限积分

定积分换元公式: d F ((t)) F '((t)) '(t) f ((t)) '(t),
b
a
dt
f ( x)dx

f
t (t)dt.
(9)
证由于(9)式两边的被积分函数都是连续函数, 因此它们
的原函数都存在. 设F是f在[a,b]上的一个原函数,
由复合函数微分法,可见 F((t)) 是 f ((t)) '(t)的一个原函数.

4 lncos( t)dt
0
4
0
lncos (d)
4

4 lncos d,
0
它与上面第三个定积分相消.故得

4 ln 2dt ln 2.
0
8
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事实上,例3中的被积函数的原函数虽然存在,但难以用初等函数来表示, 因此无法直接使用牛顿——菜布尼茨公式. 可以像上面那样,利用定积分性质和换元公式(9), 消去了其中无法求出原函数的部分, 最终得出这个积分的值.
证若g为单调递减函数,令h(x)=g(x)-g(b),则
h为非负、递减函数。由定理9.11(ⅰ),存在 a,b,
使得
由于
b
af
x h x dx

h

a

a
f
( x)dx
g(a) g(b)

f ( x)dx.
a
b
b
b
f ( x)h( x)dx f ( x)g( x)dx g(b) f ( x)dx,
首页 ×
§5 (二) 定积分的计算
二、换元积分法与分部积分法对原函数的存在性有了正确的认识, 就能顺利

微积分中的定积分与变限积分

微积分是数学中非常重要的一个分支，它主要研究函数的变化率和区域的面积与体积等问题。

在微积分中，定积分和变限积分是两个基本的概念。

虽然它们都是积分的一种形式，但它们的应用场景和计算方法略有不同。

定积分是指对于一个已知的函数，通过一个有限区间上所有微小区间的面积（或曲线下的面积），从而求得该区间上整个区域的面积。

定积分的常用记法是∫f(x)dx，其中f(x)表示被积函数，dx表示无穷小的x的增量。

定积分的计算方法可以使用牛顿-莱布尼茨公式，将被积函数进行不定积分，然后通过两个端点的函数值之差来求得区间上的面积。

定积分的应用非常广泛，例如用于求解平面图形的面积、计算区域中的质量、计算物体的质心等。

而变限积分是指在定积分的基础上，将积分的上限和下限改为变量，得到另一个函数。

变限积分的常用记法是∫[a,b]f(x)dx，表示对于函数f(x)在区间[a,b]上进行的积分。

变限积分可以理解为定积分的一个特例，它的计算方法和定积分类似，只是要注意在计算时将积分的上限和下限带入到被积函数中，然后求得的结果是一个含有参数的函数。

变限积分在数学分析和工程应用中有着广泛的应用，例如在求极限、解微分方程、求函数的原函数等方面都有着重要的地位。

定积分和变限积分在微积分中都有着重要的作用，但是它们的应用场景和计算方法是不同的。

定积分主要用于求解一个函数在一个确定的区域上的面积或体积，计算方法是通过不定积分来实现。

而变限积分则是对定积分的一种推广，通过引入参数，可以将积分的上限和下限变为任意的数值，并得到一个含有参数的函数。

变限积分在函数的求解和极限的计算方面有着广泛的应用。

总之，微积分中的定积分和变限积分是两个重要的概念。

定积分主要用于求解一个确定区域上的面积或体积，而变限积分则是对定积分的一种推广，可以引入参数，得到一个含有参数的函数。

两者在微积分的理论和应用中都有着重要的地位，深入理解它们的概念和计算方法对于学习微积分和应用数学都有着重要的意义。

《变上限定积分》课件

直接法
总结词
直接法是利用微积分基本定理，将变上限定积分转化为定积分进行计算。
详细描述
直接法的基本思路是将变上限定积分$int_{a(x)} f(x,t) dt$转化为定积分$int_{a}^{b} f(x,t) dt$，其中$a(x)$和 $b$都是关于$x$的函数。然后利用微积分基本定理，将定积分转化为关于$x$的函数，从而求出变上限定积分的值。
积分与微分的关系
如果f(x)在[a, b]上可微，则∫(a→b) f'(x) dx = f(b) - f(a)。
变上限定积分与普通定积分的联系
当a和b均为常数时，变上限定积分退化为普通定积分。
普通定积分是变上限定积分的特殊情况，而变上限定积分是普通定积分的推广。
03
CATALOGUE
变上限定积分的计算方法
几何意义
变上限定积分可以理解为曲线y=f(x)与直线x=a，x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积随a和b的变化而变化。
变上限定积分的性质
积分区间的可加性
∫(a→c) f(x) dx = ∫(a→b) f(x) dx + ∫(b→c) f(x) dx。
线性性质
∫(a→b) [k*f(x) + m*g(x)] dx = k*∫(a→b) f(x) dx + m*∫(a→b) g(x) dx。
换元法
总结词
换元法是通过引入新的变量替换原变量，将变上限定积分转化为更容易计算的积分。
详细描述
换元法的基本思路是引入新的变量替换原变量，使得新的变量与原变量之间的关系更容易处理。通过这种方式，可以将变上限定积分转化为更容易计算的积分，从而简化计算过程。
分部积分法