二次函数最值
二次函数最值问题解题技巧
二次函数最值问题解题技巧
二次函数是高中数学中一个重要的章节，其中最值问题是必然要涉及到的。
二次函数最值问题是指在二次函数中，寻找函数取得最大值或最小值的过程。
解决这类问题需要掌握一些技巧：
1. 将二次函数转化为标准形式：y = a(x - h)^2 + k。
这样可以清晰地看到顶点坐标(h, k)。
2. 根据二次函数的开口方向来确定最值。
如果a > 0，图像开口朝上，最小值就是顶点坐标；如果a < 0，图像开口朝下，最大值就是顶点坐标。
3. 利用平移的性质，将二次函数平移，使得顶点落在坐标轴上，这样最值就可以直接读取。
4. 利用最值的对称性，求出函数在顶点两侧的取值情况，从而得到最值。
5. 对于一些特殊的二次函数，如y = ax^2 + bx + c，可以通过求导数来解决最值问题。
求出导数为0的解即可得到最值点。
掌握这些技巧，就能够快速求解二次函数最值问题。
在解决问题的过
程中，也应该注重数学思维的培养和训练，提高自己的数学能力。
二次函数的最值问题
二次函数的最值问题一、引言在高中数学中，二次函数是一个很重要的概念，其中最值问题是一个很经典的问题。
二次函数的最值问题不仅在学习中产生了广泛应用，而且在日常生活中也与我们息息相关，如电商网站的销售、生产线的成本以及世界记录的突破等等。
在本文中我们将会深入探讨二次函数的最值问题，其解法及常见误区。
二、二次函数的最值问题二次函数的一般式为： $$y=ax^2+bx+c$$ 其中$a\ne0$。
其中$a$控制着二次函数的开口方向和大小，$b$控制了二次函数的对称轴位置和方向，$c$则控制了二次函数的纵坐标的位置。
在本文中，$a>0$表示二次函数开口向上，$a<0$则表示二次函数开口向下。
当我们研究二次函数的最值问题时，往往需要注意以下几点： 1、二次函数曲线的开口方向 2、二次函数曲线的平移变换 3、二次函数曲线的上下平移变换 4、二次函数曲线在坐标系内的位置三、解题思路1、求最值的位置在求二次函数最值前，我们需要知道函数的最值位置。
由于二次函数的对称轴是关于它的顶点，所以我们可以先求出对称轴的位置，然后求出它的最值。
对称轴的位置可以通过以下方式求得： $$x=-\frac b{2a}$$一旦对称轴的位置确定，可以通过以下两点来确定最值：当$a>0$时，二次函数最小值为对称轴上的函数值。
当$a<0$时，二次函数最大值为对称轴上的函数值，且此值为绝对值的最小值。
2、解决最值问题首先按照一般式将二次函数表示出来，并将其关于$x$进行配方： $$y=a(x+\frac b{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$$如果$a>0$，则二次函数最小值为对称轴的函数值，即： $$y_{min}=c-\frac{b^2}{4a}$$如果$a<0$，则二次函数最大值为对称轴的函数值的负值，即： $$y_{max}=-y_{min}=-(c-\frac{b^2}{4a})$$3、约束条件在实际问题中，我们往往需要根据约束条件来解决二次函数的最值问题。
二次函数最大值最小值公式
二次函数最大值最小值公式
二次函数应用范围很广泛，其函数曲线特性让它成为研究高等教育及资格考试
的重要分析工具。
学生可以通过分析二次函数的最大值最小值公式，实现梯度优化，进而改善成绩。
二次函数最大值最小值公式指的是求解一般格式为y=ax²+bx+c的函数中最小
和最大值的方法。
在该公式中，a,b,c都是整数，表示常数项；x是变量，表示函
数参数；y是函数值。
求解二次函数的最大值最小值的步骤如下:
1.先在表达式中观察：“若a>0，则该函数图像形式为顶点朝上的双曲线；若
a<0，则该函数图像形式为顶点朝下的双曲线”；
2.将表达式化简为二元一次方程，对其解析解，得到函数的最值；
3.将二元一次方程得出的极值代入原式，求得函数最值y。
解析上述步骤可以有效提升学生的学习效果，使其取得更优秀的成绩。
有针对
性的解析题，其优化的空间就会宽敞的多，且学习的效果也会有很大的提高，可以有效的掌握高校的学习离不开详细的解析。
二次函数的最大最小值可以帮助学生对概念有更深入的理解，让学生更加全面
的融入现代的高校学习环境，从而发挥出自我价值，从而实现学生的多元化发展。
尤其是在把握大考前的梯度优化中，利用二次函数的最大最小值，可以让学生在考试前进行有针对性地备考，使学习成绩得以提升，及时进入到理想的高校学习环境中。
二次函数 最大值
二次函数最大值
二次函数最大值是指在二次函数中的顶点，也就是二次函数图像的最高点。
通过对二次函数进行求导，可以得到二次函数的导数，然后将导数等于0的解带入原函数中，就可以求得二次函数的顶点，即最大值。
如果二次函数是一般式y=ax+bx+c，那么它的顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为y = c - b/4a。
如果二次函数是顶点式y=a(x-h)+k，那么它的顶点坐标为(h,k)。
通过求解二次函数的最大值，可以对二次函数的图像进行分析和应用，例如用于优化问题、最优化设计等方面的计算和决策。
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二次函数求最值的三种方法
二次函数求最值的三种方法一、引言在学习高中数学时，我们会学到二次函数，并学习如何求出这个函数的最值。
这是一个非常重要的问题，因为在实际生活中，很多问题都可以用二次函数来描述，例如：投射物的运动轨迹、拱桥的设计等。
为了更好地理解和掌握这一知识点，本文将分析三种常见的方法来解决二次函数求最值的问题。
这些方法包括：1.利用二次函数的顶点公式求最值2.利用二次函数的导数公式求最值3.利用求根公式解二次方程求最值在下文中，我们将详细展开上述三种方法的整体流程并进行详细描述。
二、利用二次函数的顶点公式求最值二次函数的标准形式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
我们可以通过求出顶点来确定二次函数的最值。
我们知道，对于标准二次函数，其顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。
使用这一公式，我们可以简单地找到二次函数的最值。
接下来，我们将细致地介绍如何使用顶点公式求二次函数的最值。
1. 将二次函数转换为标准形式。
我们有一个二次函数y=2x²+4x-5，我们可以将其转换为y=2(x²+2x)-5。
2. 现在，我们可以通过分离平方项来找到二次项x²的系数a和一次项x的系数b。
在本例中，二次项系数a为2，一次项系数b为4。
3. 接下来，我们可以使用顶点公式来计算出顶点的坐标。
根据公式，顶点的横坐标为-b/2a，若b为正数，顶点为函数的最小值，反之为最大值。
在本例中，由于一次项系数为正数，因此我们将使用公式-b/2a来计算横坐标。
(a) 横坐标=-b/2a=(-4)/(2*2)=-1(b) 将横坐标代入原函数中，可得纵坐标f(-1)=2*(-1)²+4*(-1)-5=-7(c) 顶点坐标为(-1,-7)。
4. 因其二次项系数为正数，所以这是一个开口向上的抛物线，并且其最小值为-7，在顶点的位置。
答案为f(x)=-7。
三、利用二次函数的导数公式求最值另一种方法是使用二次函数的导数公式来确定最值。
二次函数求最值的六种考法(含答案)
二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值． 【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0， 即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝5． 如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5． 则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2， 解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38； 故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2， 又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4， 解得a =−14， 故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2． 故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8． 故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为 ．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t， 解得{k =−12t =52， 故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152； （Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1， 故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4， 解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q， 解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t， 解得{a =1t =2， 故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为 ．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4． 故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是 ．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5， 故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）． 【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）． 【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ， 由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。
二次函数的最值-初中数学知识点
1 / 1 二次函数的最值
1．二次函数的最值
（1）当0a >时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当2b x a
=- 时,2
44ac b y a -= . （2）当0a <时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当2b x a
=- 时，2
44ac b y a -= ． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．。
二次函数的最值求解方法
二次函数的最值求解方法二次函数是高中数学中的重要内容之一，研究二次函数的最值求解方法对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
本文将介绍二次函数的最值求解方法，并通过实例进行说明。
我们来了解一下二次函数的基本形式。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于a的正负。
要求解二次函数的最值，首先需要找到函数的顶点。
由于二次函数的图像是一个抛物线，其最值就是抛物线的顶点。
求解二次函数的顶点的方法有两种：完成平方与配方法。
下面分别介绍这两种方法。
一、完成平方法：完成平方法是一种将二次函数转化为平方的方法。
步骤如下：1. 将二次函数f(x) = ax^2 + bx + c表示为f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中(h, k)为顶点的坐标。
2. 将二次函数右侧的常数项c移到等号右侧，并将二次项和一次项写成平方的形式。
3. 根据平方的性质，将平方项重新组合，并添加适当的常数项，使得二次项和一次项可以写成平方的形式。
4. 将等式两边进行整理，得到f(x) = a(x - h)^2 + k的形式。
5. 根据顶点的坐标(h, k)，求得二次函数的最值。
二、配方法：配方法是一种通过配方将二次函数转化为标准形式的方法。
步骤如下：1. 将二次函数f(x) = ax^2 + bx + c表示为f(x) = a(x - p)(x - q)的形式，其中p和q为实数，p不等于q。
2. 将二次函数右侧的常数项c移到等号右侧，并将二次项和一次项写成两个因式的形式。
3. 根据二次函数展开的结果，将二次项和一次项转化为两个因式相乘的形式。
4. 根据配方法的原理，将二次函数转化为标准形式f(x) = a(x - p)(x - q)。
5. 根据标准形式，求得二次函数的顶点，进而求得最值。
在实际应用中，求解二次函数的最值需要根据具体的问题进行分析和求解。
二次函数最值
二次函数最值 内容讲解：二次函数的最值问题，包括三方面的内容：自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=a x 2+bx+c=a （x+2b a ）2+244ac b a -．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a时，y 随x 增大而减小；当x>-2b a 时，y 随x•增大而增大；当x=-2b a时，y 取最小值244ac b a -．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而增大；当x>-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x=-2b a时，y 取最大值244ac b a -． 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析例1（2003年武汉选拔赛试题）若x-1=1223y z +-=，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（）． （A ）3（B ）5914（C ）92（D ）6 分析：设x-1=1223y z +-==t ，则x 2+y 2+z 2可用只含t 的代数式表示，通过配方求最小值． 解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t 2+10t+6=14（t+514）2+5914，所以最小值是5914． 评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k 法是解决等比问题最常用的方法．例2（1995年全国初中数学联赛试题）设x 为正实数，则函数y=x 2-x+1x的最小值是________．分析：先将原函数配方，再求最值。
解：y=x 2-x+1x =（x-1）2+（x+1x ）-1=（x-1）2+）2+1要求y的最小值，最好有（x-1）2=0）2=0，这时得到x=1．于是，当x=1时，y=x 2-x+1x 取最小值1． 评注：函数y=x 2-x+1x 含有1x，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、•最有效的方法仍然是配方法． 例3（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x 2+4│x │-1的最小值是________． 分析：对x 分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，•求二次函数最值问题．解：y=2（│x│+1）2-3=222(1)3,0,2(1)3,0.x xx x⎧+-≥⎪⎨--≤⎪⎩其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．答案：-1．评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．例4设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2│的最值．分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．•然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．【解】：如图，先作抛物线y=x2，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2-2x-1│的图象，对称轴是直线，方程x2x-1=02．由此可知，0与3•位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：f=|，而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f），∴最小值为1．评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），•转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．例5设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0得m≤23，x1+x2=2m，x1x2=22323m m+-，x12+x22=2（m-34）2+78=2（34-m）2+78，•∵m≤23，∴34-m≥34-23>0，从而当m=23时，x+x取得最小值，且最小值为2×（34-23）2+78=89．评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．例6求函数y=（4-x）分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．解：设，则u>0，且y=4+u．于是（u+x）2=4（x2+9），即3x2-2u·x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0，即u2≥27，故u≥y=4-x+2（当评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．例7（2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2，求（1）函数在-2<x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解．解：函数y=x2-x-2的图象如图．（1）当-2<a<12时，y min=y│x=a=a2-a-2；当a≥12时，y min=12|xy==-94．（2）当-2<a且a+2<12，即-2<a<-32时，y min=y│x=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a2+3a；当a<12≤a+2，即-32≤a<12时，y min=12|xy==-94．评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，•而数形结合的方法可以直观地帮助求解．例8（2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x2-2（2k-1）x+3k2-2k+6的最小值为m，则当m 达到最大时x=_______．分析：可通过配方法将原函数配成a（x+n）2+m的形式，再根据m的形式确定m的最大值．解：y=（x-2k+1）2-k2+2k+5，当x=2k-1时，y最小值是m=-k2+2k+5=-（k-1）2+6，所以当k=1时，m达到最大值．此时x=2k-1=1．评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值的最大值问题，可通过反复配方来确定．例9（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．分析：由条件可构造以x、y为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围．解：∵x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z2-5z+3．∴x、y是关于t的一元二次方程t2-（5-z）t+z2-5z+3=0的两实根．∵△=（5-z）2-4（z2-5z+3）≥0，即3z2-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0．∴z≤133，当x=y=13时，z=133．故z的最大值为13 3．评注：•利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方法称为判别式法．例10（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=a x2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x•轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为________．分析：应用二次函数y=a x2+bx+c过已知两点可确定a、b、c之间关系，并利用根的判别式求出b+c最值．解：由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），所以4,1, 421,32.a b c b aa b c c a-+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以△=b2-4ac>0，（-a-1）2-4a（3-2a）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a是正整数，故a>1，所以a≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c•的最大值为-4．评注：借助二次函数图象与x轴的交点是所对应二次方程的根，•通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法．例11（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a<0，b ≤0，c>0，•24b ac -，求b-4ac 的最小值．分析：由b 2-4ac 容易想到一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式，且b 2-4ac>0，故可构造抛物线y=ax 2+bx+c 来解．解：令y=ax 2+bx+c ， 由a<0，b ≤0，c>0，判别式△=b 2-4ac>0，•所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0），因为x 1x 2=c a<0，不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2，对称轴x=-2b a≤0，于是│x 1│=|242b b ac a -+-|=242b b ac a -=c ，所以244ac b a -≥c=242b b ac a --≥-242b ac a-，故b 2-4ac ≤4，当a=-1，b=0，c=1时，等号成立．所以b 2-4ac 的最小值为4。
二次函数最值问题
二次函数最值问题及应用二次函数最值问题长期以来都是困扰学生令学生头疼的问题，而从历年的高考出题情况来看，二次函数最值问题也是高考重点考察的问题之一，所以让很多学生苦恼，更严重的使不少学生在大学门前止步，也正因为如此对二次函数最值问题的解决是必要的，学生们也需要一套完整的解决二次函数最值问题的方法与策略.一、 二次函数的最值问题二次函数的一般表达式为：)0()(2≠++=a c bx ax x g ，我们知道这里函数图像的开口方向由a 的值的正负来决定的，a 正则开口向上，a 负则开口向下.所以a 的正负影响了最值的情况；又知道对称轴为ab x 2-=,所以，在给定区间上函数的最值还受到对称轴与区间关系的影响，这里)0()(2≠++=ac bx ax x g 与区间),(ed 共同制约着最值的情况，并且，二次函数表达式)0()(2≠++=a c bx ax x g 与区间),(e d 可能不固定，即区间可能不唯一确定，函数可能也不唯一确定，这就给我们解决二次函数最值问题带来了很大的困难，下面我们来分类讨论：1.1 若二次函数表达式与区间唯一确定例1 求二次函数54)(2--=x x x g 在区间)3,0(上的值域？解析54)(2--=x x x g2(5)(1)(2)9x x x =-+=--,可知54)(2--=x x x g 在坐标系内与x 轴有两个交点)0,1)(0,5(-；且知道其对称轴为2=x ,)3,0(2∈而2x 的系数为1为正，故54)(2--=x x x g 的图像开口向上，即有最小值在2=x 处取得为-9.最大值在0=x 处取得为-5.故54)(2--=x x x g 在)3,0(的值域为)5,9(--.上述为二次项系数大于0的情况,用同样的方法还可以求二次项系数小于0的情况.如 求二次函数54)(2++-=x x x g 在区间[]0,3上的值域？同理可求得其值域为)9,5(.1.2 若二次函数表达式不唯一确定，但区间唯一确定.例2 已知函数12)(2+-+-=t tx x x g 在区间]1,0[上的最大值)(t G 及最小值)(t H ；求最大值)(t G 及最小值)(t H 的表达式.解析12)(2+-+-=t tx x x g22()(1)x t t t =--+-+,显然)(x g 的对称轴为t x =,由化简后的表达式可知)(x g 的图像开口向下,函数在对称轴处取得最高点,则]1,0[∈x .① 若0≤t ,则函数)(x g 在]1,0[上递减，故有)(t G =1+-t ；)(t H =t .② 若1≥t ,则函数)(x g 在]1,0[上递增，故有)(t G =t ；)(t H =1+-t .③ 若]1,0[∈t ,可知当t x = 时取最大值：)(t G =12+-t t . '''11:[0,)(),2112:(),2213:(,1]()1,2t H t t t H t t H t t ⎧∈=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪∈=-⎪⎩时，最小值时，时， 上述为二次项系数小于0的情况，用同样的方法还可以求二次项系数大于0的情况。
二次函数最值公式
二次函数最值公式二次函数最大值和最小值的公式可以用以下两种方法进行推导：1. 完成平方形式二次函数可以写成以下形式：f(x) = ax^2 + bx + c我们要求它的最大值（或最小值），可以将它化为完全平方形式：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，h和k是待求的顶点坐标，具体求解方法如下：首先，将x的系数a提取出来：f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c然后，将括号内的两项平方相加减去平方项的一半，再加上这个差的平方，就得到完全平方：f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + cf(x) = a(x + b/2a)^2 - ab^2/4a^2 + cf(x) = a(x + b/2a)^2 + (4ac - b^2)/4a其中，顶点坐标为（-b/2a, (4ac - b^2)/4a），最大值为k = (4ac -b^2)/4a （当a > 0时），最小值为k = (4ac - b^2)/4a （当a < 0时）。
2. 利用导数另一种方法是利用导数求解。
因为最大值和最小值都在函数的极值点处取得，所以我们可以通过求函数的导数来找到它的极值点。
首先，求出f'(x)：f'(x) = 2ax + b然后，令f'(x) = 0，解出x的值：2ax + b = 0x = -b/2a这个x就是函数的极值点，同时也是顶点的横坐标。
将x代入原函数，就得到顶点的纵坐标：k = f(-b/2a) = a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + ck = (4ac - b^2)/4a按照前面的规律，当a > 0时，最大值为k，当a < 0时，最小值为k。
总结以上就是二次函数最大值和最小值的两种求解方法。
其中，通过平方完成形式的方法比较简单，但有时比较费时间。
而利用导数的方法更直观，但需要学习导数知识。
二次函数的最值
二次函数的最值二次函数是一种非常常见和重要的数学函数形式，具有许多应用和特点。
其中一个重要的特点就是它的最值。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括如何求解最值以及最值的应用。
一、最值的概念在数学中，最值是指一个函数在给定定义域上取得的最大值或最小值。
二次函数的最值是指二次函数在定义域内取得的最大值或最小值。
二、最值的求解求解二次函数的最值可以通过求导数或者求二次函数对称轴来实现。
1. 求导数法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过求导数来找到最值。
首先，对二次函数求一阶导数，然后令导数等于0，即求解方程ax^2 + bx + c = 0。
这样可以找到二次函数的驻点，将驻点代入二次函数，得到最值。
2. 对称轴法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过求其对称轴来找到最值。
二次函数的对称轴公式为x = -b / (2a)。
将对称轴的x值代入二次函数，即可得到最值。
三、最值的应用最值问题在实际应用中有着广泛的应用，尤其是二次函数的最值。
1. 经济学应用在经济学中，二次函数的最值问题常用于研究成本、利润或者效益等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助经济学家做出更合理的决策。
2. 物理学应用在物理学中，二次函数的最值问题常用于研究物体的运动轨迹、能量等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助物理学家预测和解释实验现象。
3. 工程学应用在工程学中，二次函数的最值问题常用于研究设计优化、材料选取等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助工程师在设计和实施工程项目时作出最佳决策。
四、例题演示假设有一个二次函数y = -x^2 + 2x + 3，我们来求解它的最值。
1. 求导数法首先，对二次函数求导数，得到y' = -2x + 2。
令导数等于0，即-2x + 2 = 0，解得x = 1。
将x = 1代入二次函数，得到y = 4。
所以，二次函数y = -x^2 + 2x + 3的最值为y = 4。
求二次函数的最值的四种方法
即Ｙ 最 小 值 ＝ｍ； 当ａ ＜ ０时 ， ） ， ≤ｍ（ ｍ 为常数 ） ， 即
下面分别用这 四种方法求此二次 函数的最
例 求二 次 函数 ｙ ：百 １ ： ＋３ ＋ 的最 小
值．
值．
分析 ： 求二 次 函数 ｙ ＝ ＋ｂ ｘ ＋ｃ （ ａ ≠０）
的最值 ， 一般有以下 四种方法． （ １ ） 配方 法 ： 将ｙ ： ＋ｂ ｘ ＋ｃ （ ａ ≠０） 通
江西省 宜黄县神 岗 中学 许生友
一
题 多解 ， 可 以发 挥 例 题 潜 在 的 多 种 价 值 ，
（ ４） 判别式法 ： 对 于 Ｙ＝毗。 － ４ － ｂ ｘ＋ｃ（ ０≠
， 可变 形 为 ｚ Ａ － ｂ ｘ － ４ － （ Ｃ －ｙ） ＝０ ． 因 为 为 使 同学们 能灵活运用所 学知识 解决问题 ，也 能 ０） 所 以Ａ ＞０ ｉ ． 当ａ ＞ ０时 ， ≥ｍ（ ｍ 为常数 ） ， 使 同学们 温故知新 ， 拓展 思维． 下面 以求 二次 函 实数 ， 数最值 问题为例进行说 明．
解法一 ： （ 配方法 ） ｙ ＝ １（ ＋ ） ＋ １＝
过 配 方 ， 化 成Ｙ ＝ 。 （ ＋ ｂ） ＋ 笼 ． 当
０ ＞ ０时 ， Ｙ最 小 值 ＝
．
｛ （ ４ － ６ ｘ ＋ ３ 。 一 ９ ） ＋ ＝ 吉 （ ＋ ３ ） 。 一 ４ ．
％
４×
２
ｂ （ － 去） ＋ ｃ ＝
；
解 法三 ： （ 直接法 ）此题 中 ， 口 ＝ ， ｂ ＝３ ，
（ ３ ） 直接法 ： 对于 ｙ ＝ａ ｘ ＋ｂ ｘ ＋ｃ （ ａ ＃０ ） ，
丢， 。 ． ‘ 口 ＝ 专 ＞ ｏ ． ， ， 有 最 小 值 ．
二次函数求最大值和最小值的公式
二次函数求最大值和最小值的公式二次函数在数学中具有重要的应用价值，特别是在求解实际问题中的最大值和最小值时，往往涉及到二次函数的最值问题。
在这篇文档中，我们将介绍如何通过求导数的方法来求解二次函数的最大值和最小值的公式。
二次函数的一般形式二次函数通常具有如下一般形式：y=ax2+bx+c，其中a eq0。
求二次函数的最值要求二次函数y=ax2+bx+c的最大值和最小值，可以通过以下步骤进行：1.首先，求出二次函数的导数。
对y=ax2+bx+c求导得到y′=2ax+b。
2.然后，令导数y′等于零，即2ax+b=0。
3.解以上方程可以得到导数为零时的横坐标 $x = -\\frac{b}{2a}$。
4.将横坐标 $x = -\\frac{b}{2a}$ 代入原二次函数y=ax2+bx+c中，即可求得纵坐标y。
5.最大值和最小值的判定：如果a>0，则二次函数开口向上，此时y=ax2+bx+c在 $x = -\\frac{b}{2a}$ 处取得最小值；如果a<0，则二次函数开口向下，此时y=ax2+bx+c在 $x = -\\frac{b}{2a}$ 处取得最大值。
举例说明以一个具体的例子来说明如何求解二次函数的最大值和最小值。
考虑二次函数y=x2−4x+3。
1.首先，求导数：y′=2x−4。
2.令导数y′=0，得到2x−4=0，解之得x=2。
3.将x=2代入原函数y=x2−4x+3，得到y=2。
4.由于a=1>0，所以二次函数y=x2−4x+3在x=2处取得最小值y=2。
结论通过以上步骤，我们可以得出二次函数求最大值和最小值的公式：对于二次函数y=ax2+bx+c，最小值为 $x = -\\frac{b}{2a}$ 时的函数值，最大值为 $x = -\\frac{b}{2a}$ 时的函数值（当a<0）。
这种方法对于求解二次函数的最值问题具有一定的普适性，能够帮助我们更好地理解二次函数的特性和性质。
二次函数的最值与应用
二次函数的最值与应用二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
在研究二次函数时，最值是其中一个重要的性质，它能帮助我们解决很多实际生活中的问题。
本文将深入探讨二次函数的最值原理及其应用。
一、二次函数的最值原理1. 最值的定义最值即函数在某个特定区间内取得的最大值或最小值。
二次函数的最值可以通过抽象函数形式来确定。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不为零，其图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
2. 最值的条件二次函数的最值可以通过一些条件来确定。
当二次函数开口方向为开口朝上时，其最值为最小值，当开口方向为开口朝下时，其最值为最大值。
此外，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，最值的横坐标为（-b/2a）。
二、二次函数最值的求解1. 最值的求解方法解决二次函数的最值问题可以通过图像、导数以及配方法来求解。
其中通过图像可以直观地确定最值点的位置，通过导数可以求得最值点的切线斜率为零，而通过配方法则是用完全平方式将二次函数转化为顶点形式，从而确定最值。
2. 图像法求最值图像法通过绘制二次函数的图像来确定最值点的位置。
对于开口朝上的二次函数，最小值点即为图像的顶点；对于开口朝下的二次函数，最大值点即为图像的顶点。
通过观察图像的形状，可以直观地判断出最值点的位置。
3. 导数法求最值导数法通过求二次函数的导函数（一次导数）来确定最值点的位置。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其导函数为y' = 2ax + b。
通过求导函数的解，可以得到最值点的横坐标，从而确定最值点的位置。
4. 配方法求最值配方法通过将二次函数用完全平方式转化为顶点形式来确定最值点的位置。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，通过完全平方式将其转化为y = a(x - h)^2 + k的形式，其中(h, k)为顶点的坐标。
通过转化后的函数形式，可以直接确定最值点的位置。
二次函数的最大最小值
解:
y x 2 2 x 3 ( x 1)2 2
对称轴x 1
(1) 当 t 1 1 即 t 0 时
y x 2 2 x 3 在 [t , t 1] 上单调递减
0 t
y
1 t+1
x
当x t 时
ymax t 2 2t 3
ymin=t2+2
上的最大值与最小值
2 a a 解： y x 2 ax 3 ( x ) 2 3 2 4 a 对称轴为 x 2
x
a 2
y
a (1) 当 1 即a 2时 2
y x 2 ax 3在[1， 1]上单调递增
当x 1时 ymin 4 a
解： y
x 2
y
2
( x 2) 3
-1
2 [1 , 2]
函数 y = f(x)在[-1，2]上为增函数
0
2
x
当x 1时
ymin
5 2
当x 2时 ymax 5
(3) y x 3x 2(3 x 1)
2
3 2 9 解： y ( x ) 2 2 4 3 2 1 (x ) 4 2 4
1 解：y ( x 5) 2 6 5
x 5
y
1
5 [3 , 1]
函数 y = f(x) 在[-3，1]上为减函数 26 当x 3时 ymax 5 6 当x 1时 ymin 5
-3
0
x
1 2 (2) y x 2 x 1(1 x 2) 2 1 2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
二次函数最值公式
二次函数最值公式
1 二次函数
二次函数常见形式为：y=ax²+bx+c(a≠0)，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数主要用来分析平面上物体的位置把握、研究加速度的变化等问题。
2 二次函数的最值问题
二次函数有最大值和最小值两种，而求出最大值和最小值的核心就是求函数的极值点，即求二次函数最值公式。
2.1 求出最值公式
当ax²+bx+c(a≠0)为二次函数时，最值公式如下：
极大值：x=-b/2a
极小值：x=-b/2a
此外，在求函数的极值点时，还可以根据a的正负号分析出极小值和极大值的存在性：
a>0时，极小值存在，极大值不存在；
a<0时，极小值不存在，极大值存在。
2.2 二次函数最值的应用
（1）在物理学中可以用来模拟波形，比如用来模拟圆周运动中小
球轨迹。
（2）二次函数也可以用来解释高考全国统一考试，因为考点水平
取决于年度基础知识，越近出题越难，可用一元二次函数拟合。
（3）二次函数最值还适用于经济学中分析企业销售的价格、产量，以及用于分析物价曲线和供求关系。
二次函数的最值公式
二次函数的最值公式
二次函数最值是指一个函数在某个时刻处于最高或最低点，其一般表示形式为f(x) = ax² + bx + c。
最值可以用 D=b2-4ac 来计算。
如果D>0，二次函数有两个极值，即最大值fmax和最小值fmin，分别满足fmax = (2a)对极值点的平方 + b 加上 b的符号积 - c，以及 fmin = (2a)对极值点的平方 + b 减去 b的符号积 - c。
而极值点则是满足 (2a)Xp+b=0的即
xp=(-b)/2a。
这意味着，当 a>0 时，函数的最大值出现在比 a 的值小的区域，而最小值出现在比 a 的值大的区域；当 a<0 时，正好相反。
有时，此处有定义域限制，我们可以通过定义域来判断最值。
综上可见，由二次函数的最值公式可以求出一个函数在某个特定点的最大最小值。
其中，D值的正负性可以判断函数是否存在无极值区间。
当然，D等于0时，意味着函数只有一个极值，即函数在某一点处呈现“拐点”，有可能是关于这一点对称的函数。
总而言之，二次函数的最值公式描述了一个函数在某一点处最大最小值的情况，是函数解析的重要内容。
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草 稿
合肥滨湖寿春中学精品课例集
二 次 函 数 例题 1 的最值条 件：a，对 称轴，取值 范围
板
演
区
例题 2
板 演 区
教学反思
合肥滨湖寿春中学精品课例集
本节课是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本 节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时 加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位， 达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。二次函数应用的教学后，比 我预想的效果要好一些，出现了几个点引人深思：
教学重点
教学难点：自变量有范围限制的最值问题。
教学难点
教学用具 多媒体课件。
合肥滨湖寿活动
学生活动
设计意图
情境引入 自主学习
（一）复习导入 以旧带
新
1、二次函数的一般形
式是什么？并说出它的开口
方向、对称轴、顶点坐标。
2、二次函数 y=－x²+4x
－3 的图象顶点坐标是
（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取最 值；
（2）如果自变量的取值范围不是全体实数，要根据具体范围加以 分析，结合函数图像的同时利用函数的增减性分析题意，求出函数的最 大值或最小值。
另：当给出了函数的一般形式时，不管自变量是否受限制，常常 要配方化为顶点式来求最值问题。
板书设计
二次函数的最值应用
教学目标 题、解决问题的能力，培养学生用数学的意识。 （三） 情感态度价值观 1、使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的
体验，建立学好数学的信心； 2、通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新
的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流 的重要性。
教学重点：实际问题中的二次函数最值问题。
充分讨论、发言，培养学生的
合作探究精神，可让学生感受
到成功的喜悦。
合作交流
2。直击中考：
例 2.某商店购进一批
单价为 20 元的日用品,如果
以单价 30 元销售,那么一个
月内可以售出 400 件.根据销 售经验,提高单价会导致销售 量的减少,即销售单价每提高 1 元,销售量相应减少 20 件. 售价提高多少元时,才能在一 个月内获得最大利润?
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学科
数学
课题
二次函数最值的应用
授课老师
李权峰
课题类型
复习课
教学课时
1
教学方法
启发式教学
一、教学目标 （一）知识与技能 1、会通过配方或公式求出二次函数的最大或最小值； 2、在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用
二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值； （二） 过程与方法 通过实例的学习，培养学生尝试解决实际问题，逐步提高分析问
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变式提升 勇于挑战
例题 3. 小明的家门前有 一块空地，空地外有一面 长 20 米的围墙，为了美化 生活环境，小明的爸爸准 备靠墙修建一个矩形花 圃，他买回了 32 米长的不 锈钢管准备作为花圃的围 栏，为了浇花和赏花的方 便，准备在花圃的中间再 围出一条宽为一米的通道 及在左右花圃各放一个 1 米宽的门（木质）．花圃的 长与宽如何设计才能使花 圃的面积最大？
（）
当
x
时，y 有
最
值，是______。
3、二次函数 y=x²+2x-4 学生先独立思
的图象顶点坐标
考，然后互相复
是（ ）当
述。最后上黑板
x
时，y 有 个人展示。
最
值，是______。
分析：由于函数的自变
量的取值范围是全体实数，所
以只要确定他们的图像有最
高点或最低点，就可以确定函
数有最大值或最小值。
小组交流合作，总 培养学生的自主
结方法，展示成 探究学习的能力。
果。并邀请一位同 3、问题的层次化
学到黑板上板演。
引导了学生数学 模型的建立。
4、要求学生把解
题过程规范写出
来，让学生在理解
知识内涵，掌握规
律的基础上规范
解题。
设计意图：让学生从已学的用
配方法或公式法求二次函数
的最值，在教学时，可让学生
1． 精心设计问题，引发学生思考建立数模 在《二次函数的应用》的教学过程中，复习旧知后，主要安排了一道例 1，以此 题为契机，培养学生的分析问题、解决问题的能力。本节课重点放在分析问题， 将实际问题转化为数学问题，建立数学模型解决问题。设计小问题，铺设小台 阶，引导学生探究，突破教学难点，带领学生寻找解决的方法。
学生根据老师提出的问题，小组讨论，同学间互相交流与补充，在教师的 引领下，发现本题就是转化为求二次函数的最大值问题，逐步将难点突破，帮 助学生建立数模解决问题。
2．数学来源于生活并运用于生活 例题 2 有较强的现实感，例题的选择增加数学教学的现实性，使学生体验 数学知识与日常生活的密切联系，从而培养学生喜爱数学，学好数学的情感。 3、不足之处 在本节课的教学中，教师引导学生较多，没有完全放开让学生自主探究学 习，获得新知；学生在数学学习中还是有较强的依赖性，教师要有意培养学生 自主学习的能力。 教师要想在开放的课堂上具有灵活驾驭的能力，就需要在备课时尽量考虑 周到，既要备教材，又要备学生，更需要教师具有丰富的科学文化知识，这样 才能使我们的学生在轻松活跃的课堂上找到学习的乐趣与兴趣。
1、通过用代数式、 方程等表述数量 关系的过程，体会 模型的思想，建立 符号意识； 2、通过自主学习，
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笆（平行于 BC）的矩 形花圃。设花圃的一 边 BC 为 x 米，面积为 y 平方米。 （1）求 y 与 x 的函数 关系式； （2）能否使所围矩形 花圃的面积最大？如 果能，求出最大的面 积；如果不能，请说 明理由。
1、让学生在训练 中反思基础，认识 规律，熟练掌握其 应用方法，明确应 用的条件
书面练习，学生独 2、通过黑板测验 立完成，上黑板， 激发学生的竞争 教师点评。各抒己 和动力，同时巩固 见，谈谈自己的看 本节课的内容。 法。最后达成共 识。
x
课堂小结
课堂小结，回顾提升 本节课我们研究了二次函数的最值问题，主要分两种类型：
设计意图：复习与本节课
有关的知识，可充分调动学生
思维的积极性，又为新课做好
准备。
（二）创设情境，
导入新课 例题 1、试一试：
例 1. 有长为 30 米得
篱笆，利用一面墙（墙
的长度不超过 10 米），
围成中间隔有一道篱
通过给学生 提供现实背景及 生活素材，激发学 生为解决问题而 生成的求知欲。并 体会数学来源于 生活。
1、以小组为单位 合作交流，分享收 获，互辩疑点。 2、共同实践，碰 撞火花，总结方 法，交流感想。
一方面培养学生 团队合作意识。另 一方面让学生在 讨论辨析中明辨 事理，突破疑点和 难点。
分析：解决实际问题时，应先 分析问题中的数量关系，列出 函数关系式，求出自变量的取 值范围，结合图像和二次函数 的性质求 w 的最大值。