(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理
选修2-2——微积分基本定理
1.6 微积分基本定理1.问题导航(1)微积分基本定理的内容是什么? (2)定积分的取值符号有哪些? 2.例题导读 通过P 53例1,学会利用微积分基本定理求简单定积分的步骤和方法,通过P 53例2的学习,理解定积分的几何意义和定积分的取值符号.1.微积分基本定理(1)内容:一般地,如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )=f (x ),那么⎠⎛ab f (x )d x=F (b )-F (a ).这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.(2)表示:为了方便,常常把F (b )-F (a )记成F (x )⎪⎪⎪b a ,即⎠⎛ab f (x )d x =F (x )⎪⎪⎪ba =F (b )-F (a ). 2.定积分的符号由定积分的意义与微积分基本定理可知,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(如图1),定积分的值取正值,且等于曲边梯形的面积.(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(如图2),定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积的相反数.(3)当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时(如图3),定积分的值为0,且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积..1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)微积分基本定理中,被积函数f (x )是原函数F (x )的导数.( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时,为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时,被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )答案:(1)√ (2)√ (3)√2.若a =⎠⎛01(x -2)d x ,则被积函数的原函数为( )A .f (x )=x -2B .f (x )=x -2+C C .f (x )=12x 2-2x +CD .f (x )=x 2-2x答案:C3.⎠⎛0πsin x d x =________.解析:⎠⎛0πsin x d x =-cos x ⎪⎪⎪π0=(-cos π)-(-cos 0)=2.答案:21.应用微积分基本定理求定积分的注意事项(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系,揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系,为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F (x )在积分区间上的增量.(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F ′(x )=f (x )的函数F (x )再计算F (b )-F (a ).(3)利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简被积函数,再求定积分. 2.常见函数的定积分公式(1)⎠⎛ab C d x =Cx ⎪⎪⎪ba (C 为常数). (2)⎠⎛ab x n d x =1n +1x n +1⎪⎪⎪ba (n ≠-1).(3)⎠⎛a b sin x d x =-cos x ⎪⎪⎪ba .(4)⎠⎛ab cos x d x =sin x ⎪⎪⎪ba . (5)⎠⎛ab 1xd x =ln x ⎪⎪⎪ba (b >a >0). (6)⎠⎛a b e x d x =e x⎪⎪⎪ba. (7)⎠⎛ab a x d x =a x ln a ⎪⎪⎪ba(a >0且a ≠1).利用微积分基本定理求定积分求下列定积分的值. (1)⎠⎛12(x +1)(x -2)d x ;(2)⎠⎛14x (1+x )d x ;(3)∫π20sin 2x d x ;(4)⎠⎛24x 2-x +1x -1d x . [解] (1)⎠⎛12(x +1)(x -2)d x=⎠⎛12(x 2-x -2)d x=⎝⎛⎭⎫13x 3-12x 2-2x ⎪⎪⎪21 =⎝⎛⎭⎫13×23-12×22-2×2-⎝⎛⎭⎫13×13-12×12-2×1 =-76.(2)⎠⎛14x (1+x )d x=⎠⎛14(x +x )d x =⎝⎛⎭⎫23x 32+12x 2⎪⎪⎪41=⎝⎛⎭⎫23×432+12×42-⎝⎛⎭⎫23×132+12×12=736. (3)∫π2sin 2x d x =∫π21-cos 2x2d x =12∫π20(1-cos 2x )d x =12⎝⎛⎭⎫x -12sin 2x ⎪⎪⎪π2=π4. (4)⎠⎛24x 2-x +1x -1d x =⎠⎛24x (x -1)+1x -1d x =⎠⎛24⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x -1d x =⎝⎛⎭⎫12x 2+ln (x -1)⎪⎪⎪42 =⎝⎛⎭⎫12×42+ln 3-⎝⎛⎭⎫12×22+ln 1=6+ln 3.(1)当被积函数为两个函数的乘积(分式)时,一般要先化简被积函数将其转化为和的形式,便于求得函数F (x ),再计算定积分,具体步骤如下:第一步:求被积函数f (x )的一个原函数F (x ); 第二步:计算函数的增量F (b )-F (a ).(2)利用微积分基本定理求定积分的关键是找出被积函数的原函数,若被积函数的原函扫一扫 进入91导学网()微积分基本定理1.(1)若⎠⎛01(kx +1)d x =2,则k 的值为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B.⎠⎛01(kx +1)d x =⎝⎛⎭⎫12kx 2+x ⎪⎪⎪10=12k +1=2. ∴k =2.(2)⎠⎛12x -1x2d x =________. 解析:⎠⎛12x -1x 2d x =⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x -1x 2d x =⎝⎛⎭⎫ln x +1x ⎪⎪⎪21=⎝⎛⎭⎫ln 2+12-()ln 1+1=ln 2-12. 答案:ln 2-12求分段函数的定积分求下列定积分的值. (1)⎠⎛-12|x -1|d x ;(2)⎠⎛-12e |x |d x ;(3)若f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≤0cos x -1,x >0求∫π2-1f (x )d x .[解] (1)⎠⎛-12|x -1|d x=⎠⎛-11|x -1|d x +⎠⎛12|x -1|d x=⎠⎛-11(-x +1)d x +⎠⎛12(x -1)d x=⎝⎛⎭⎫-12x 2+x ⎪⎪⎪1-1+⎝⎛⎭⎫12x 2-x ⎪⎪⎪21=2+12=52.(2)⎠⎛-12e |x |d x =⎠⎛-10e |x |d x +⎠⎛02e |x |d x=⎠⎛-10e -x d x +⎠⎛02e x d x=-e -x ⎪⎪⎪0-1+e x ⎪⎪⎪2=e -1+e 2-1=e 2+e -2.(3)∫π2-1f (x )d x =⎠⎛-1f (x )d x +∫π20f (x )d x =⎠⎛-1x 2d x +∫π20(cos x -1)d x=13x 3⎪⎪⎪-1+(sin x -x )⎪⎪⎪π2=13+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-π2=43-π2.求分段函数的定积分(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同,所以被积函数是分段函数时,常常利用定积分的性质(3),转化为各区间上定积分的和计算.(2)当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段函数的定积分再计算.2.(1)设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,0≤x <1,2-x ,1<x ≤2,则⎠⎛02f (x )d x =( )A.23B.34C.45D.56 解析:选D.⎠⎛02f (x )d x =⎠⎛01x 2d x +⎠⎛12(2-x )d x=13x 3⎪⎪⎪10+⎝⎛⎭⎫2x -12x 2⎪⎪⎪21 =13+12=56. (2)⎠⎛0π|cos x |d x =________.解析:⎠⎛0π|cos x |d x =∫π20|cos x |d x +∫ππ2|cos x |d x=∫π20cos x d x +∫ππ2(-cos x )d x=sin x ⎪⎪⎪π20-sin x ⎪⎪⎪⎪ππ2=1+1=2.答案:2(3)计算⎠⎛02|x 2-x |d x .解:∵|x 2-x |=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+x ,0≤x ≤1,x 2-x ,1<x ≤2,∴⎠⎛02|x 2-x |d x =⎠⎛01(-x 2+x )d x +⎠⎛12(x 2-x )d x=⎝⎛⎭⎫-13x 3+12x 2⎪⎪⎪10+⎝⎛⎭⎫13x 3-12x 2⎪⎪⎪21 =16+56=1.微积分基本定理的综合应用(1)已知x ∈(0,1],f (x )=⎠⎛01(1-2x +2t )d t ,则f (x )的值域是________.[解析] ⎠⎛01(1-2x +2t )d t =[(1-2x )t +t 2]⎪⎪⎪10 =2-2x ,即f (x )=-2x +2,因为x ∈(0,1],所以f (1)≤f (x )<f (0),即0≤f (x )<2,所以函数f (x )的值域是[0,2).[答案] [0,2)(2)已知⎠⎛01[(3ax +1)(x +b )]d x =0,a ,b ∈R ,试求ab 的取值范围.[解] ⎠⎛01[(3ax +1)(x +b )]d x=⎠⎛01[3ax 2+(3ab +1)x +b ]d x=⎣⎡⎦⎤ax 3+12(3ab +1)x 2+bx ⎪⎪⎪10 =a +12(3ab +1)+b =0,即3ab +2(a +b )+1=0.法一:由于(a +b )2=a 2+b 2+2ab ≥4ab .所以⎝⎛⎭⎪⎫-3ab +122≥4ab ,即9(ab )2-10ab +1≥0,得(ab -1)(9ab -1)≥0,解得ab ≤19或ab ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,19∪[1,+∞). 法二:设ab =t ,得a +b =-3t +12,故a ,b 为方程x 2+3t +12x +t =0的两个实数根,所以Δ=(3t +1)24-4t ≥0,整理得9t 2-10t +1≥0,即(t -1)(9t -1)≥0,解得t ≤19或t ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,19∪[1,+∞). [互动探究] 本例(1)中原已知条件改为f (t )=⎠⎛01(1-2x +2t )d x ,则f (t )=________.解析:f (t )=⎠⎛01(1-2x +2t )d x=[(1+2t )x -x 2]⎪⎪⎪1=2t . 答案:2t含有参数的定积分问题的处理办法与注意点 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查,先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.(2)计算含有参数的定积分,必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念.3.(1)设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0),若⎠⎛01f (x )d x =f (x 0),0≤x 0<1,则x 0的值为________.解析:⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01(ax 2+c )d x =13ax 3+cx ⎪⎪⎪10 =a 3+c =ax 20+c ,又0≤x 0<1,∴x 0=33. 答案:33(2)已知f (a )=⎠⎛01(2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值.解:∵⎠⎛01(2ax 2-a 2x )d x=⎝⎛⎭⎫23ax 3-12a 2x 2⎪⎪⎪1=23a -12a 2, ∴f (a )=23a -12a 2=-12⎝⎛⎭⎫a 2-43a +49+29 =-12⎝⎛⎭⎫a -232+29.∴当a =23时,f (a )有最大值为29.数学思想 利用函数的奇偶性巧解定积分问题已知⎠⎛-11(x 3+ax +3a -b )d x =2a +6,且f (t )=⎠⎛0为偶函数,求a ,b .[解] ∵f (x )=x 3+ax 为奇函数, ∴⎠⎛-11(x 3+ax )d x =0.∴⎠⎛-11(x 3+ax +3a -b )d x =⎠⎛-11(x 3+ax )d x +⎠⎛-11(3a -b )d x=0+(3a -b )[1-(-1)]=6a -2b . ∴6a -2b =2a +6,即2a -b =3.① 又f (t )=⎣⎡⎦⎤x 44+a 2x 2+(3a -b )x ⎪⎪⎪t0 =t 44+at 22+(3a -b )t 为偶函数, ∴3a -b =0.②由①②,得a =-3,b =-9. [感悟提高](1)在求对称区间上的定积分时,应该首先考虑函数性质与积分的性质,使解决问题的方法尽可能简便.(2)奇、偶函数在区间[-a ,a ]上的定积分:①若奇函数y =f (x )的图象在[-a ,a ]上连续,则⎠⎛-aaf (x )d x=0. ②若偶函数y =g (x )的图象在[-a ,a ]上连续,则⎠⎛-aag (x )d x =2⎠⎛0a g (x )d x ,如本例为偶函数,可用该结论计算.1.下列各式中,正确的是( )A.⎠⎛ab F ′(x )d x =F ′(b )-F ′(a )B.⎠⎛a b F ′(x )d x =F ′(a )-F ′(b )C.⎠⎛ab F ′(x )d x =F (b )-F (a ) D.⎠⎛ab F ′(x )d x =F (a )-F (b )答案:C2.⎠⎛12(e x -1)d x =________.解析:⎠⎛12(e x-1)d x =(e x-x )⎪⎪⎪21=(e 2-2)-(e 1-1) =e 2-e -1.答案:e 2-e -13.求定积分∫π20cos 2xsin x +cos xd x 的值.解:∫π20cos 2xsin x +cos xd x=∫π20cos2x -sin 2x cos x +sin xd x=∫π20(cos x -sin x )d x=()sin x +cos x ⎪⎪⎪π2=⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2+cos π2-()sin 0+cos 0=0.[A.基础达标]1.⎠⎛1e 1xd x 的值为( ) A .1 B .2 C .ln 2D .e 2解析:选A.⎠⎛1e 1x d x =ln x ⎪⎪⎪e1=ln e -ln 1=1.2.⎠⎛1e x d x 的值为( )A .eB .e -1 C.1eD .1解析:选B.⎠⎛01e x d x =e x ⎪⎪⎪10=e 1-e 0=e -1. 3.已知⎠⎛1m (2x -1)d x =2,则m 的值为( )A .5B .4C .3D .2解析:选D.∵⎠⎛1m (2x -1)d x =(x 2-x )⎪⎪⎪m1=m 2-m =2, ∴m 2-m -2=0,∴m =-1(舍去)或m =2.4.⎠⎛23x x -1d x =( ) A .5+ln 2 B .5-ln 2 C .1+ln 2 D .1-ln 2解析:选C.⎠⎛23xx -1d x =⎠⎛23x -1+1x -1d x=⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x -1d x =[]x +ln (x -1)⎪⎪⎪32 =(3+ln 2)-(2+ln 1)=1+ln 2.5.若f (x )=x 2+2⎠⎛01f (x )d x ,则⎠⎛01f (x )d x =( )A .-1B .-13C.13D .1解析:选B.∵⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01x 2d x +⎠⎛01⎣⎡⎦⎤2⎠⎛01f (x )d x d x=13x 3⎪⎪⎪10+⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎠⎛01f (x )d x x ⎪⎪⎪10=13+2⎠⎛01f (x )d x , ∴⎠⎛01f (x )d x =-13.故选B.6.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,(x ≤0)e x ,(x >0)则⎠⎛-12f (x )d x =________.解析:∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,(x ≤0)e x ,(x >0).∴⎠⎛-12f (x )d x =⎠⎛-10x d x +⎠⎛02e x d x=12x 2⎪⎪⎪0-1+e x ⎪⎪⎪2=-12+e 2-1=e 2-32.答案:e 2-327.设f (x )=kx +b ,若⎠⎛01f (x )d x =2,⎠⎛12f (x )d x =3.则f (x )的解析式为________.解析:由⎠⎛01(kx +b )d x =2,得⎝⎛⎭⎫12kx 2+bx ⎪⎪⎪1=2, 即12k +b =2,① 由⎠⎛12(kx +b )d x =3,得⎝⎛⎭⎫12kx 2+bx ⎪⎪⎪21=3, 即(2k +2b )-⎝⎛⎭⎫12k +b =3.∴32k +b =3,② 由①②联立得,k =1,b =32,∴f (x )=x +32.答案:f (x )=x +328.⎠⎛03x 2-4x +4d x =________.解析:⎠⎛03x 2-4x +4d x =⎠⎛03(x -2)2d x=⎠⎛03|x -2|d x=⎠⎛02|x -2|d x +⎠⎛23|x -2|d x=⎠⎛02(2-x )d x +⎠⎛23(x -2)d x=⎝⎛⎭⎫-12x 2+2x ⎪⎪⎪20+⎝⎛⎭⎫12x 2-2x ⎪⎪⎪32=2+12=52. 答案:529.计算⎠⎛02x1+x 2d x .解:∵f (x )=1+x 2的导函数为f ′(x )=x 1+x 2. ∴⎠⎛02x 1+x 2d x =1+x 2⎪⎪⎪20=5-1. 10.若f (x )是一次函数,且⎠⎛01f (x )d x =5,⎠⎛01xf (x )d x =176.求⎠⎛12f (x )xd x 的值. 解:设f (x )=kx +b ,k ≠0,则⎠⎛01(kx +b )d x =⎝⎛⎭⎫k 2x 2+bx ⎪⎪⎪10=k 2+b =5.① ⎠⎛01xf (x )d x =⎠⎛01(kx 2+bx )d x =⎝⎛⎭⎫kx 33+bx 22⎪⎪⎪10=k 3+b 2=176,② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧k =4.b =3. ∴f (x )=4x +3.则⎠⎛12f (x )x d x =⎠⎛124x +3x d x =⎠⎛12⎝⎛⎭⎫4+3x d x =(4x +3ln x )⎪⎪⎪21 =(8+3ln 2)-(4+3ln 1)=4+3ln 2.[B.能力提升]1.若S 1=⎠⎛12x 2d x ,S 2=⎠⎛121x d x ,S 3=⎠⎛12e x d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( ) A .S 1<S 2<S 3 B .S 2<S 1<S 3C .S 2<S 3<S 1D .S 3<S 2<S 1解析:选B.S 1=⎠⎛12x 2d x =13x 3⎪⎪⎪21=73, S 2=⎠⎛121x d x =ln x ⎪⎪⎪21=ln 2, S 3=⎠⎛12e x d x =e x ⎪⎪⎪21=e 2-e =e(e -1)>e>73, 所以S 2<S 1<S 3,故选B.2.若函数f (x ),g (x )满足⎠⎛-11f (x )g (x )d x =0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数: ①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x +1,g (x )=x -1;③f (x )=x ,g (x )=x 2. 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( )A .0B .1C .2D .3解析:选C.对于①,⎠⎛-11sin 12x ·cos 12x d x=⎠⎛-1112sin x d x =12⎠⎛-11sin x d x =12(-cos x )⎪⎪⎪1-1=12(-cos 1+cos 1)=0. 故①为区间[-1,1]上的一组正交函数;对于②,⎠⎛-11(x +1)(x -1)d x =⎠⎛-11(x 2-1)d x =⎝⎛⎭⎫13x 3-x ⎪⎪⎪1-1=13-1-⎝⎛⎭⎫-13+1 =23-2=-43≠0, 故②不是区间[-1,1]上的一组正交函数;对于③,⎠⎛-11x ·x 2d x =⎠⎛-11x 3d x =⎝⎛⎭⎫14x 4⎪⎪⎪1-1=0. 故③为区间[-1,1]上的一组正交函数,故选C.3.若⎠⎛0t cos θd θ=32,且t ∈(0,2π),则t 的值为________. 解析:∵⎠⎛0t cos θd θ=sin θ⎪⎪⎪t 0 =sin t =32, ∵t ∈(0,2π),∴t =π3或23π. 答案:π3或23π 4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -1,x ≤11-ln x x 2,x >1,则⎠⎛0e f (x )d x =________. 解析:∵f (x )=⎩⎨⎧x -1,x ≤11-ln x x 2,x >1, ∴⎠⎛0e f (x )d x =⎠⎛01(x -1)d x +⎠⎛1e 1-ln x x 2d x =⎝⎛⎭⎫12x 2-x ⎪⎪⎪10+ln x x ⎪⎪⎪e 1=-12+1e =2-e 2e. 答案:2-e 2e5.已知f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,⎠⎛01f (x )d x =-2,求a 、b 、c 的值.解:由f (-1)=2,得a -b +c =2,①又f ′(x )=2ax +b ,∴f ′(0)=b =0,② 而⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01(ax 2+c )d x =⎝⎛⎭⎫13ax 3+cx ⎪⎪⎪10 =13a +c =-2,③ 联立①②③得a =6,c =-4.6.设f (x )是一次函数,且⎠⎛01f (x )d x =1,求证:⎠⎛01f 2(x )d x >1. 证明:设f (x )=kx +b (k ≠0,b ,k 为常数).⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01(kx +b )d x =⎝⎛⎭⎫k 2x 2+bx ⎪⎪⎪10=k 2+b , 即k 2+b =1,k =2(1-b ). ⎠⎛01f 2(x )d x =⎠⎛01(kx +b )2d x =⎠⎛01(k 2x 2+2kbx +b 2)d x =⎝⎛⎭⎫13k 2x 3+kbx 2+b 2x ⎪⎪⎪10=13k 2+kb +b 2 =43(1-b )2+2b (1-b )+b 2=13(b -1)2+1>1. 即⎠⎛01f 2(x )d x >1得证.。
高中数学选修2-2微积分基本定理课件
3 dx
-1 1 + x2
= arctanx
3 -1
= arctan 3 - arctan -1
=
π 3
-
-
π 4
=
7 12
π
新知探究
例2. 计算
3 1
2x
-
1 x2
dx
解: 因为x2来自'=2x,
1 x
'
=
-
1 x2
,
由微积分基本定理得:
3
1
2x
-
1 x2
dx
=
3
2xdx -
课前导入
学习微积分,数学和思维水平都将进入一个新的阶段,能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地 说,不学或未学懂微积分,思维难以达到较高的水平,难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本定理,我们就能轻松解决首页的问题.
课前导入
学习微积分的意义 微积分是研究各种科学的工具,在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.恩格斯称之为“17 世纪自然科学的三大发明之一”. 微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一,它引入了若干极其成功的、对 以后许多数学的发展起决定性作用的思想.” 微积分的建立,无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响,充分显示 了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.
新知探究
变速直线运动
如图,一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知,它在任意时刻t的
速度
v t = y' t .设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s,你能分别用y(t),v(t)表示s吗?
高中数学人教A版选修2-2课件 第一章 1.6 微积分基本定理
当堂检测
π
1.
2
-π2
A.0
(sin
x+cos
x)dx 的值是( B.���4���
) C.2
D.4
π
������
解析:
2
-π2
(sin
x+cos
x)dx=(sin
x-cos
x)|-2���2���=(1-0)-(-1-0)=2.
答案:C
2.计算定积分
1 -1
(x2+sin
x)dx=
.
解析:
目录 退出
解:(1)由于|x-3|=
3-x,x∈[2,3), x-3,x∈[3,5],
所以
5 2
|x-3|dx=
3 2
|x-3|dx+
5 3
|x-3|dx
=
3 2
(3-x)dx+
5 3
(x-3)dx=
3x-
1 2
x2
|23 +
1 2
x2
-3x
|35
=9-92-6+2+225-15-92+9=52.
么
������ ������
f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿—莱
布尼茨公式. (2)为了方便,我们常常把 F(b)-F(a)记成 F(x)|ab,即
������ ������
f(x)dx=F(x)|ab
=F(b)-F(a).
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预习交流 1
思考:(1)满足 F'(x)=f(x)的函数 F(x)是唯一的吗?这影响微积分
(3)
1 0
高中数学北师大版选修2-2第4章2《微积分基本定理》ppt课件
在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一条切线,使之与曲线 以及 x 轴所围成图形的面积为112.试求切点 A 的坐标以及过切点 A 的切线方程.
[解析] 如图所示,设切点 A(x0,y0), 由 y′=2x,过 A 点的切线方程为 y-y0= 2x0(x-x0),即 y=2x0x-x20.令 y=0,得 x =x20,记切线与 x 轴的交点为 Cx20,0.设 由曲线和过点 A 的切线 x 轴所围成图形的
0
5. (2)由于 x3 的导函数是 3x2,根据微积分基本定理可得53x2dx
2
=x3|52=53-23=117.
(3)由于-cosx 的导函数是 sinx,根据微积分基本定理可得π 0
sinxdx=(-cosx)|π0=(-cos π)-(-cos0)=2. (4)由于 lnx 的导函数是1x,根据微积分基本定理可得31xdx
第四章 定积分
第四章 §2 微积分基本定理
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 4 课时作业
课前自主预习
• 1.通过实例,直观了解微积分基本定理的含义及意 义.
• 2.会用微积分基本定理求函数的定积分.
• 3.会用定积分求相关图形的面积、变速直线运动的 路程及变力做功问题.
• 本节重点:微积分基本定理.
a
的面积.
1.(2015·湖南理,11)2(x-1)dx=________. 0
[答案] 0 [解析] 2(x-1)dx=(x22-x)|20=2-2=0.
0
2.已知自由下落的物体的运动速度 v=gt(g 为常数),则当
t∈[1,2]时,物体下落的距离为( )
A.12g
B.g
[解析] 图形如图所示,
人教B版高中数学选修2-2第三章6《微积分基本定理》ppt课件
4) (cos x )' sin x
b sin xdx
a
-
cos x |ba
5) (ln x )' 1
x
b 1 dx ax
ln|x ||ba
6) (e x )' e x
b e x dx
a
e x |ba
7) (ax )'
ax lna
b ax dx
这个结论叫微积分基本定理(fundamental theorem of calculus),又叫牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibniz Formula).
牛顿-莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的 基本方法,即求定积分的值,只要求出被积函数
f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数在区间 [a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定
n
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s '(ti1)t.
取极限i1 ,由定i1积分的i1 定义得 i1
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
进而得出微积分基本定理.
从定积分角度来看:如果物体运动的速度函数为v=v(t), 那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示 为
x3
'
3x2 ,
1
'
x
1 x2
原式
3
3x2dx
31 dx
3
3x2dx
3 1 dx
1
x 1
2
数学:16《微积分基本定理》课件新人教选修2-2
(3) 2 (x3 - 2x)dx;
4
(4)
5
dx;
0
0 x2
(5) 2 (x2 1 )dx;
(6) (x cos x)dx;
1
x
0
(7) cos 2xdx;
(8) 2 sin2 xdx.
0
0
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19
小结
微积分基本公式
b
a f (x)dx = F(b) - F(a)
Sn = f (x1)Dx f(x 2)Dx f(x n )Dx
如果 Dx 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那
么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记
作: S = b f(x)dx . a
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5
问题情景
比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便=有13 效, 的但
T2 v(t)dt
T1
=
T2 T1
s(t
)dt
=
s(T2
)
-
s(T1
).
8
对于一般函数 f (x) ,设 F(x) = f (x)
是否也有
b
f (x)dx =
b
F(x)dx = F(b) - F(a).
a
a
若上式成立,我们就找到了用 f (x的) 原函数
即满足 F(x) = f (x)) 的数值差 F(b) - F(a)
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16
例:计算
2 0
f
( x)dx,其中
f
(x)
=
2x,
(北师大版选修2-2)课件:第4章 2 微积分基本定理
求简单函数的定积分
计算下列定积分:
1
(1)0(2x+3)dx;
0
(2)-π(cos
x+ex)dx;
(3)312x-x12dx.
[思路点拨] 先求被积函数的原函数,然后利用微积分基 本定理求解.
解:(1)∵(x2+3x)′=2x+3, ∴10(2x+3)dx=(x2+3x)|10=1+3=4. (2)∵(sin x+ex)′=cos x+ex, ∴- 0 π(cos x+ex)dx=(sin x+ex)|0-π=1-e-π.
π
(2)0 (sin x-cos x)dx
π
π
= 0
sin
xdx- 0
cos
xdx=(-cos
x)|π0-sin
x|π0
=-cos π-(-cos 0)-sin π+sin 0=2.
(3)21x+1xdx=21xdx+121xdx =12x2|21+ln x|21=12×22-21×12+ln 2-ln 1
【点评】 (1)当被积函数中含有参数时,必须分清参数和 自变量,再进行计算,以免求错原函数.另外,需注意积分下 限不大于积分上限.
(2)当积分的上(下)限含变量x时,定积分为x的函数,可以 通过定积分构造新的函数,进而可研究这一函数的性质,解题 过程中注意体会转化思想的应用.
1
3.(1)若0(k-2x)dx=2 013,则 k=________.
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(3)∵x2+1x′=2x-x12, ∴312x-x12dx=x2+1x|31=7+13=232. 【点评】 应用微积分基本定理求定积分时,首先要求出 被积函数的一个原函数,在求原函数时,通常先估计原函数的 类型,然后求导数进行验证,在验证过程中要特别注意符号和 系数的调整,直到原函数F(x)的导函数F′(x)=f(x)为止(一般情 况下忽略常数),然后再利用微积分基本定理求出结果.
高中数学选修2-2讲义:第一章 4 2 微积分基本定理 含答案
1.4.2 微积分基本定理已知函数f (x )=2x +1,F (x )=x 2+x , 问题1:f (x ) 和F ′(x )有何关系? 提示:F ′(x )=f (x ).问题2:利用定积分的几何意义求⎠⎛02(2x +1)d x 的值. 提示:⎠⎛02(2x +1)d x =6. 问题3:求F (2)-F (0)的值. 提示:F (2)-F (0)=4+2=6.问题4:⎠⎛02(2x +1)d x 与F (2)-F (0)有什么关系? 提示:⎠⎛02f (x )d x =F (2)-F (0).1.微积分基本定理如果F ′(x )=f (x ),且f (x )在[a ,b ]上可积,则⎠⎛a bf (x )d x =F (b )-F (a ),其中F (x )叫做f (x )的一个原函数,由于[F (x )+c ]′=f (x ),F (x )+c也是f (x )的原函数,其中c 为常数.2.微积分基本定理的表示形式一般地,原函数在[a ,b ]上的改变量F (b )-F (a )简记作F (x )|b a ,因此,微积分基本定理可以写成形式:⎠⎛a bf (x )d x =F (x )|ba =F (b )-F (a ).1.微积分基本定理表明,计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )=f (x )的函数F (x ),通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x ).2.微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系,最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法.3.定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x =k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数);(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x =⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x ;[对应学生用书P28](3)⎠⎛a bf (x )d x =⎠⎛a cf (x )d x +⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b ).[例1] 求下列定积分:(1)⎠⎛12(x 2+2x +3)d x ; (2)⎠⎛-π0 (cos x -e x )d x ;(3)⎠⎛2πsin 2x 2d x .[思路点拨] (1)(2)先求被积函数的原函数F (x ),然后利用微积分基本定理求解;(3)则需先对被积函数变形,再计算.[精解详析] (1)⎠⎛12(x 2+2x +3)d x =⎠⎛12x 2d x +⎠⎛122x d x +⎠⎛123d x=x 33|21+x 2|21+3x |21=253. (2)⎠⎛-π0(cos x -e x )d x =⎠⎛-π0cos x d x -⎠⎛-π0e x d x=sin x |0-π-e x |0-π=1e π-1.(3)sin 2x 2=1-cos x 2,而⎝⎛⎭⎫12x -12sin x ′=12-12cos x , ∴⎠⎛02πsin 2x 2d x =⎠⎛02π⎝⎛⎭⎫12-12cos x d x =⎝⎛⎭⎫12x -12sin x 02π=π4-12=π-24. [一点通]由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时,一般要转化为和的形式,便于求得函数F (x ),再计算定积分,具体步骤如下.[对应学生用书P28]第一步:求被积函数f (x )的一个函数F (x ); 第二步:计算函数的增量F (b )-F (a ).1.⎠⎛241x d x 等于( )A .-2ln 2B .2ln 2C .-ln 2D .ln 2解析:⎠⎛241x d x =(ln x )|42=ln 4-ln 2=ln 2. 答案:D2.计算下列定积分:(1)⎠⎛01(x 3-2x )d x ;(2)⎠⎛02π(x +cos x )d x ;(3)⎠⎛121x (x +1)d x .解:(1)⎠⎛01(x 3-2x )d x =⎝⎛⎭⎫14x 4-x 2|10=-34. (2)⎠⎛02π(x +cos x )d x =⎝⎛⎭⎫12x 2+sin x 02π=π28+1. (3)f (x )=1x (x +1)=1x -1x +1,取F (x )=ln x -ln (x +1)=ln xx +1, 则F ′(x )=1x -1x +1,所以⎠⎛121x (x +1)d x =⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x -1x +1d x =lnx x +1|21=ln 43.3.计算定积分⎠⎛03|x 2-1|d x .解:⎠⎛03|x 2-1|d x =⎠⎛01(1-x 2)d x +⎠⎛13(x 2-1)d x=⎝⎛⎭⎫x -13x 3|10+⎝⎛⎭⎫13x 3-x |31=223.4.已知f (x )=⎩⎨⎧4x -2π,x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,cos x ,x ∈⎝⎛⎦⎤π2,π.求定积分⎠⎛0πf (x )d x .解:⎠⎛0πf (x )d x =⎠⎛02πf (x )d x +⎠⎛2ππf (x )d x , 又(2x 2-2πx )′=4x -2π,(sin x )′=cos x ,所以⎠⎛02π(4x -2π)d x +⎠⎛2ππcos x d x =(2x 2-2πx )2π+sin x2ππ=π22-π2-0+0-1=-π22-1. ∴⎠⎛0πf (x )d x =-π22-1.[例2] 求抛物线y 2=2x 和直线y =-x +4所围成的图形的面积. [思路点拨] 结合图形,先求出两曲线的交点坐标.思路一:选x 为积分变量,将所求面积转化为两个积分的和求解; 思路二:选y 作积分变量,将所求面积转化为一个积分的计算求解.[精解详析] 先求抛物线和直线的交点,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2x ,y =-x +4,求出交点坐标为A (2,2)和B (8,-4).法一:选x 为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割成两部分(如图1),则面积为 S =S 1+S 2=2⎠⎛022x d x +⎠⎛28(2x -x +4)d x =423x 32|20+⎝ ⎛⎭⎪⎫223x 32-12x 2+4x |82 =18.图1 图2法二:选y 作积分变量,则y 的变化区间为[-4,2],如图2所求的面积为 S =⎠⎛-42⎝⎛⎭⎫4-y -y 22d y =⎝⎛⎭⎫4y -12y 2-16y 3|2-4 =18.[一点通] 利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤: (1)画出图形.(2)确定图形范围,通过方程组求出交点的横坐标,确定积分上限和积分下限. (3)确定被积函数及积分变量,确定时可以综合考察下列因素:①被积函数的原函数易求;②较少的分割区域;③积分上限和积分下限比较简单. (4)写出平面图形的面积的定积分表达式.(5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.5.求曲线y =e x ,y =e -x 及直线x =1所围成的图形的面积.解:如图,由⎩⎪⎨⎪⎧y =e x,y =e -x ,解得交点为(0,1), 所求面积为S =⎠⎛01(e x -e -x )d x =(e x+e -x )|10=e +1e-2. 6.计算曲线y =x 2-2x +3与直线y =x +3所围成图形的面积.解:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +3,y =x 2-2x +3,解得x =0或x =3.如图.从而所求图形的面积S =⎠⎛03(x +3)d x -⎠⎛03(x 2-2x +3)d x =⎠⎛03[(x +3)-(x 2-2x +3)]d x=⎠⎛03(-x 2+3x )d x =⎝⎛⎭⎫-13x 3+32x 2⎪⎪⎪30=92.[例3] (12分)已知f (x )是二次函数,其图像过点(1,0),且f ′(0)=2,⎠0f (x )d x =0,求f (x )的解析式.[精解详析] 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), ∴a +b +c =0.①(2分) ∵f ′(x )=2ax +b , ∴f ′(0)=b =2.②(4分)∵⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01(ax 2+bx +c )d x=⎝⎛⎭⎫13ax 3+12bx 2+cx |10 =13a +12b +c =0.③(6分) 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a =-32,b =2,c =-12,(10分)∴f (x )=-32x 2+2x -12.(12分)[一点通]含有参数的定积分问题的处理办法(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查,先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.(2)计算含有参数的定积分,必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念.7.(湖南高考)若⎠⎛0Tx 2d x =9,则常数T 的值为________.解析:∵⎠⎛0Tx 2d x =13T 3=9,T >0,∴T =3. 答案:38.设f (x )是一次函数,且⎠⎛01f (x )d x =5,⎠⎛01xf (x )d x =176,则f (x )的解析式为________. 解析:设f (x )=kx +b ,⎠⎛01f (x )d x =⎝⎛⎭⎫k 2x 2+bx |10=⎝⎛⎭⎫k 2+b -0=k 2+b , ⎠⎛01xf (x )d x =⎠⎛01(kx 2+bx )d x =⎝⎛⎭⎫k 3x 3+b 2x 2|10 =k 3+b 2. ∴⎩⎨⎧k2+b =5,k 3+b 2=176,∴⎩⎪⎨⎪⎧k =4,b =3.∴f (x )=4x +3.答案:f (x )=4x +39.已知f (x )=⎠⎛-a x(12t +4a )d t ,F (a )=⎠⎛01[f (x )+3a 2]d x ,求函数F (a )的最小值.解:∵f (x )=⎠⎛-a x(12t +4a )d t =(6t 2+4at )|x-a =6x 2+4ax -(6a 2-4a 2) =6x 2+4ax -2a 2,∴F (a )=⎠⎛01[f (x )+3a 2]d x =⎠⎛01(6x 2+4ax +a 2)d x=(2x 3+2ax 2+a 2x )|1=a 2+2a +2=(a +1)2+1≥1, ∴当a =-1时,F (a )最小值=1.1.求定积分的一些常用技巧: (1)对被积函数,要先化简,再求积分.(2)求被积函数是分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号后才能积分.2.在利用定积分求平面图形的面积时,要注意f (x )≥0的条件.当恒有f (x )<0时,定积分⎠⎛a bf (x )d x 为负值,从而曲边梯形的面积为⎠⎛a bf (x )d x 的相反数.1.(陕西高考)定积分⎠⎛01(2x +e x )d x 的值为( )A .e +2B .e +1C .eD .e -1解析:⎠⎛01(2x +e x )d x =(x 2+e x )10=(1+e)-(0+e 0)=e ,因此选C.答案:C2.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ≥0,2x ,x <0,则⎠⎛-11f (x )d x 的值是( )A.⎠⎛-11x 2d x B.⎠⎛-112xd x C.⎠⎛-10x 2d x +⎠⎛012x d x D.⎠⎛-102x d x +⎠⎛01x 2d x 解析:⎠⎛-11f (x )d x =⎠⎛-102x d x +⎠⎛01x 2d x .答案:D3.(山东高考)直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A .2 2 B .4 2 C .2D .4解析:由4x =x 3,解得x =0或x =2或x =-2(舍去),根据定积分的几何意义可知,直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x -x 3)d x =⎝⎛⎭⎫2x 2-14x 4|20=4.[对应课时跟踪训练(十一)]答案:D4.若⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫2x +1x dx =3+ln 2,则a 的值是( ) A .6 B .4 C .3D .2解析:⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫2x +1x d x =(x 2+ln x )|a1=(a 2+ln a )-(1+ln 1)=(a 2-1)+ln a =3+ln 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1=3,a >1,a =2,∴a =2.答案:D5.(江西高考)计算定积分⎠⎛-11(x 2+sin x )d x =________.解析:⎠⎛-11(x 2+sin x )d x =⎝⎛⎭⎫x 33-cos x |1-1=23. 答案:236.由y =x 2,y =14x 2及x =1围成的图形的面积S =________.解析:图形如图所示:S =⎠⎛01x 2d x -⎠⎛0114x 2d x =⎠⎛0134x 2d x =14x 3|10=14. 答案:147.计算下列定积分:(1)⎠⎛-2-1(2+x 2)2d x ;(2)3ππ⎰cos ⎝⎛⎭⎫x -π6d x ;(3)⎠⎛-4 0|x +3|d x .解:(1)因为(2+x 2)2=4+4x 2+x 4, 又⎝⎛⎭⎫4x +43x 3+15x 5′=4+4x 2+x 4, 所以⎠⎛-2-1(2+x 2)2d x =⎠⎛-2-1(4+4x 2+x 4)d x=⎝⎛⎭⎫4x +43x 3+15x 5|-1-2 =⎝⎛⎭⎫-4-43-15-⎝⎛⎭⎫-8-323-325 =29315. (2)因为cos ⎝⎛⎭⎫x -π6=32cos x +12sin x , 所以3ππ⎰cos ⎝⎛⎭⎫x -π6d x =3ππ⎰⎝⎛⎭⎫32cos x +12sin x d x =323ππ⎰cos x d x +123ππ⎰sin x d x =32sin x 3ππ-12cos x 3ππ=-32sin π3-12⎝⎛⎭⎫cos π-cos π3 =-34+12+14=0.(3)因为f (x )=|x +3|=⎩⎪⎨⎪⎧-x -3,x <-3,x +3,x ≥-3,所以⎠⎛-40|x +3|d x =⎠⎜⎛-4-3(-x -3)d x +⎠⎛-30(x +3) d x=⎝⎛⎭⎫-12x 2-3x --34+⎝⎛⎭⎫12x 2+3x |0-3=5.8.在曲线y =x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.求切点A 的坐标以及切线方程.解:由题意可设切点A 的坐标为(x 0,x 20),则切线方程为y =2x 0x -x 20,可得切线与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫x 02,0.画出草图,可得曲线y =x 2,直线y =2x 0x -x 20与x 轴所围图形如图所示.故S =S 1+S 2 =020x ⎰x 2d x +[02x x ⎰x 2d x -02x x ⎰ (2x 0x -x 20)d x ]高中数学课程11 =13x 3020x +13x 3002x x -(x 0x 2-x 20x ) 002x x=x 3012=112, 解得x 0=1,所以切点坐标为A (1,1), 所求切线方程为y =2x -1.。
人教A版高中数学选修2-2课件微积分基本定理
灿若寒星整理制作
复习回顾 定积分的定义 定积分的几何意义 定积分的性质 导数的几何意义
利用定积分的定义计算
1 x3dx 0
2 1dx
1x
难,繁 不能求出
简单计算方法?
一个作变速直线运动的物体运动规律是s=s(t).由导数的 概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=s(t).设这个物体在 时间段[a,b]内的位移为s,你能分别用s(t),v(t)表示s吗?
Si hi tan DPC t s'ti1 t
s s(ti)
△si
s(ti-1)
s=s(t)
D hi
P
△t C
O
ti-1
ti
t
n
n
n
n
S Si hi v ti1t s'ti1t
i 1
i 1
i 1
i 1
s
B
dt
b
a
s'
t
dt
S
b
a
vt dt
b
a
s' t
dt
sb
sa
微积分基本定理
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F(x)=f(x),那
么
b
a
f
xdx
F b
F a
又叫牛顿-莱布尼兹公式
记
Fb Fa
F
b a
b
a
f
xdx
那么
b
a
f
xdx
F b
F a
作业
课本第55页习题1.6A组题1,2
人教版高中数学选修2-2第5讲:定积分的概念与微积分基本定理(教师版)
性质 4
b
c
f ( x) d x
a
a
b
(f )x d x
c
( f ) x其d中(x
acb
(定积分对积分区间的可加性)
b
说明:①推广: a [ f1( x) f 2( x)
b
b
f m( x)] dx a f1( x)dx a f2 (x)dx
b
c1
c2
②推广 : f ( x)dx f ( x) dx f ( x)dx
b
f ( x) d x F( b) F( a)
a
若上式成立, 我们就找到了用 f ( x) 的原函数 (即满足 F (x)
f (x) )的数值差 F (b)
计算 f (x) 在 [ a,b] 上的定积分的方法。
注: 1:定理 如果函数 F ( x) 是 [a,b] 上的连续函数 f (x) 的任意一个原函数,则
a
a
c1
b
f ( x)dx
ck
③性质解释:
b
a fm(x)
y
性质 1
y=1
y A
性质 B4
C
Oa
b
x
M
O
a
N P bx
S曲边梯形 AMNB
S曲边梯形 AMPC
S曲边梯形 CPNB
2
二、微积分基本定理:
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) ( v(t) o ),
证明:因为
b
f ( x) dx F (b) F (a)
a
x
( x) = f (t )dt 与 F (x) 都是 f (x) 的原函数,故 a
高中数学 1.6《微积分基本定理》 新人教B版选修2-2
s'
ti1 Δt
ppt课件
bas' n
ti1.②ຫໍສະໝຸດ 从几何意义上看 图 1 .6 2 , s
设曲线 s s t 上与 t i1对应的
sst
点为 P ,PD 是 P 点处的切线 ,由 sti
D
导数的几何意义知 , 切线 PD
的斜率等于 s ' ti1 ,于是
ΔSi
sti1
P Δt
hi C
Δ S i h i tan DPC Δ t
a,b等分n成个小区:间
t0,t1,t1,t2,ti1,ti,tn1,tn,
当 每Δ个 t很小 小区 ,在 时间 ti1,的 ti上 长 ,vΔ度 tt的 t均 i 变 t为 i1化 b,很 可 na.小 以认为
体近似地以 vti速 1作度 匀速,运 物动 体所作的
ΔSi hi
vti1
Δt
分就是物体s的 b位 sa移 .
ppt课件
一般,如 地果 fx是区a间 ,b上的连续 ,并函且 F'数 x
fx,那么 abfxdxFbFa.这个结论 微积叫做
分基本定理 (fundamlethnetaoroefcmalcu)l,us
又叫牛 做顿 莱布尼(兹 Ne公 w式 tLoenibni
Formula).
为 了 ,我 方 们 便 F 常 b F a 常 记F 把 x 成 |b a,即
a bfxd xF x|b aF b F a .
微 积 分 基 本 定,理 计表 算明 定
积abf分 xdx的
关
键
是 找 到 满F'足 xfx的 函 数 Fx.通 常,我 们 可 以
运 用 基 本 初 等 函导数公的式求和 导 数 的算四 则
数学北师大版高中选修2-2微积分基本定理
word 格式整理参考资料 学习帮手一、学习目标1.了解连续函数,原函数的概念.2.理解微积分基本定理的推导过程.3.能够利用微积分基本定理求简单的定积分.二、自学导引1、如果函数y =f (x )的图像是不间断的,称函数y =f (x )是( ).A.导函数B.原函数C.连续函数D.分段函数 2、如果)()(x f x F =',函数)(x F y =称为f (x ) 的( ) A.导函数 B.原函数 C.连续函数 D.幂函数 3、下列函数不是连续函数的为( )A.2x y =B.xy 2= C.x y sin = D.]0,1(,0]1,0(,10122-∈=∈⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x x x y 4、写出下列函数的一个原函数:①c y =(c 为常数)的一个原函数为:________________. ②)1(-≠=ααx y 的一个原函数为:________________. ③xy 1=的一个原函数为:________________. ④xe y =的一个原函数为:________________.⑤xa y =(10≠>a a 且)的一个原函数为:____________.⑥x y sin =的一个原函数为:________________. ⑦x y cos =的一个原函数为:________________.⑧xy 2cos 1=的一个原函数为:________________. 5、如果)(x F y =是y =f (x )的原函数,下列函数中不是f (x )的原函数的是( )A. 2)(+=x F yB. 2)(-=x F yC. )(2x F y =D. c x F y +=)( 6、若物体走过的路程S 是时间t 的函数)(t S S =,走此路程的速度V 是时间t 的函数)(t V V =。
①)(t V 与)(t S 的关系_________. ② 与⎰badt t V )(表示的意义不符合的选项是( ) A. 1S 的面积 B. 2S 的面积C.])()()([lim 1100t t V t t V t t V n t ∆++∆+∆-→∆D.)]()([)]()([)]()([1121--++-+-n t S b S t S t S a S t S ③)()(__________)(a S b S dt dt t V b a baba-===⎰⎰7、速度的积分等于____________,线密度的积分是__________. 8、微积分基本定理,如果)()(x f x F =',则⎰=badx x f )(( )A.)()(a f b f -B.)()(b F a F -C.)()(a F b F -D.)()(a F b F '-'三、双基训练1、计算下列定积分: ①=⎰dx x 212( )A .1 B.2 C.3 D. 4②=⎰-dx x 112( )A .0 B.31 C. 331x D. 32 ③=⎰-dx x 22cos ππ( )A .1 B.2 C.π D.0 ④=⎰dx ex1_______________2、若==⎰⎰dx x f A dx x f ab ba)()(,则_________四、典例剖析例1 求定积分: (1)dx x ⎰13(2)dx xe⎰11跟踪训练:求定积分: (1)dx x⎰11 =_________(2)dx xae⎰1=__________ 例2 (1)求定积分dx x ⎰πcos ,并解释其意义。
1.6微积分基本定理-人教版高中数学选修2-2课件
一、引入
1.比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便有13 效,的但
方法求定积分呢?
2 x2dx 8
0
3
1(t2 2)dt 5
0
3
2 (t2 2)dt 22
0
3
s(b)
s(a)
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
b
b
a v(t)dt a s'(t)dt
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 (微积分基本定理)
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b
a f (x)dx
F(b)
F(a )
或
b a
n
n
n
S Si hi v(ti1)t s'(ti1)t
i1
i1
i1
i1
当n越大,即t越小时,区间[a, b]的划分就越细,
n
n
v(ti1)t s'(ti1)t与S的近似程度就越好。
i1
i1
由定积分的定义
S
lim
n
n i1
b
n
a
v(ti1)
lim
n
n i1
b n
a
s' (ti1 )
5.若f (x) ax,则f '(x) ax ln a
6.若f (x) ex,则f '(x) ex
7.若f
(x)
loga
x,则f
'(x)
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[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一 导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )=f (x ))在积分区间[a ,b ]上的改变量F (b )-F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下:如果物体运动的速度函数为v =v (t ),那么在时间区间[a ,b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s =v (t )d t .另一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数为s =s (t ),那么在时间区间[a ,b ]内物体的位移为s (b )-s (a ),所以有v (t )d t =s (b )-s (a ).由于s ′(t )=v (t ),即s (t )为v (t )的原函数,这就是说,定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ,b ]上的增量s (b )-s (a ).思考 函数f (x )与其一个原函数的关系: (1)若f (x )=c (c 为常数),则F (x )=cx ; (2)若f (x )=x n (n ≠-1),则F (x )=1n +1·x n +1;(3)若f (x )=1x ,则F (x )=ln x (x >0);(4)若f (x )=e x ,则F (x )=e x ;(5)若f (x )=a x,则F (x )=a xln a(a >0且a ≠1);(6)若f (x )=sin x ,则F (x )=-cos x ; (7)若f (x )=cos x ,则F (x )=sin x . 知识点二 微积分基本定理一般地,如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )=f (x ),那么f (x )d x =F (b )-F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一?(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么? 答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差;②用求导公式找到F (x ),使得F ′(x )=f (x ); ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)3d x ;(2)(2x +3)d x ; (3) (4x -x 2)d x ;(4)(x -1)5d x . 解 (1)因为(3x )′=3,所以3d x =(3x )⎪⎪⎪21=3×2-3×1=3. (2)因为(x 2+3x )′=2x +3, 所以(2x +3)d x =(x 2+3x )⎪⎪⎪2=22+3×2-(02+3×0)=10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2-x33′=4x -x 2, 所以(4x -x 2)d x =⎝⎛⎭⎫2x 2-x 33⎪⎪⎪3-1=⎝⎛⎭⎫2×32-333-⎣⎡⎦⎤2×(-1)2-(-1)33=203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x -1)6′=(x -1)5, 所以 (x -1)5d x =16(x -1)6⎪⎪⎪21=16(2-1)6-16(1-1)6=16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤: ①求f (x )的一个原函数F (x ); ②计算F (b )-F (a ). (2)注意事项:①有时需先化简,再求积分;②若F (x )是f (x )的原函数,则F (x )+C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化,f (x )有无穷多个原函数,这是因为F ′(x )=f (x ),则[F (x )+C ]′=F ′(x )=f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x=[F (x )+C ]|b a =[F (b )+C ]-[F (a )+C ]=F (b )-F (a )=F (x )|b a ,所以利用f (x )的原函数计算定积分时,一般只写一个最简单的原函数,不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分: (1)⎝⎛⎭⎫x +1x 2d x ;(2)x (1+x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x +1x 2d x =⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2+2+1x 2d x =⎠⎛12x 2d x +⎠⎛122d x +⎠⎛121x2d x =13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21=13×(23-13)+2×(2-1)-⎝⎛⎭⎫12-1 =296. (2)⎠⎛49x (1+x )d x=⎠⎛49(x +x )d x=⎝⎛⎭⎫23x x +12x 2⎪⎪⎪94=⎝⎛⎭⎫23×9×3+12×92-⎝⎛⎭⎫23×4×2+12×42 =2716. 题型二 求分段函数的定积分 例2 求函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ∈[0,1),x 2,x ∈[1,2),2x ,x ∈[2,3]在区间[0,3]上的定积分.解 由定积分的性质知:⎠⎛03f (x )d x =⎠⎛01f (x )d x +⎠⎛12f (x )d x +⎠⎛23f (x )d x =⎠⎛01x 3d x +⎠⎛12x 2d x +⎠⎛232x d x=x 44⎪⎪⎪10+x 33⎪⎪⎪21+2x ln 2⎪⎪⎪32=14+83-13+8ln 2-4ln 2 =3112+4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ,b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式,即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分: (1)⎠⎛02|x 2-1|d x ;(2) ⎠⎜⎛0π21-sin 2x d x .解 (1)∵y =|x 2-1|=⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2,0≤x <1,x 2-1,1≤x ≤2,∴⎠⎛02|x 2-1|d x =⎠⎛01(1-x 2)d x +⎠⎛12(x 2-1)d x=⎝⎛⎭⎫x -x 33⎪⎪⎪10+⎝⎛⎭⎫x 33-x ⎪⎪⎪21=⎝⎛⎭⎫1-13+⎝⎛⎭⎫83-2-⎝⎛⎭⎫13-1 =2.(2) ⎠⎜⎛0π21-sin 2x d x=⎠⎜⎛0π2|sin x -cos x |d x=⎠⎜⎛0π4 (cos x -sin x )d x +⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x -cos x )d x =(sin x +cos x )⎪⎪⎪π4+(-cos x -sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4=⎝⎛⎭⎫22+22-1+(-1)-⎝⎛⎭⎫-22-22 =22-2.题型三 定积分的简单应用例3 已知f (a )=⎠⎛01 (2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3-12a 2x 2′=2ax 2-a 2x ,∴⎠⎛01 (2ax 2-a 2x )d x =⎝⎛⎭⎫23ax 3-12a 2x 2⎪⎪⎪10 =23a -12a 2, 即f (a )=23a -12a 2=-12⎝⎛⎭⎫a 2-43a +49+29 =-12⎝⎛⎭⎫a -232+29, ∴当a =23时,f (a )有最大值29.反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系,可以通过积分构造新的函数,进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查,解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,⎠⎛01f (x )d x =-2,求a 、b 、c 的值.解 由f (-1)=2,得a -b +c =2.① 又f ′(x )=2ax +b ,∴f ′(0)=b =0,② 而⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01 (ax 2+bx +c )d x=⎝⎛⎭⎫13ax 3+12bx 2+cx ⎪⎪⎪10 =13a +12b +c , ∴13a +12b +c =-2,③ 由①②③式得a =6,b =0,c =-4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x +sin x d x 等于( )A.2(2-1)B.2+1C.2-1D.2-2答案 C解析 结合微积分基本定理,得⎠⎜⎛0π4cos 2x -sin 2xcos x +sin x d x =⎠⎜⎛0π4 (cos x -sin x )d x =(sin x +cos x )⎪⎪⎪π40=2-1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x +1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x =12x 2⎪⎪⎪ 10=12,⎠⎛01(x +1)d x =⎝⎛⎭⎫12x 2+x ⎪⎪⎪ 10=12+1=32,⎠⎛011d x =x ⎪⎪⎪10=1,⎠⎛0112d x=12x ⎪⎪⎪10=12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2-23x d x = . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2-23x d x =⎠⎛02x 2d x -⎠⎛0223x d x =x 33⎪⎪⎪20-x 23⎪⎪⎪20=83-43=43. 4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,0≤x <1,3-x ,1≤x ≤2,则⎠⎛02f (x )d x = .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x =⎠⎛01(x 2+1)d x +⎠⎛12(3-x )d x=⎝⎛⎭⎫x 33+x ⎪⎪⎪10+⎝⎛⎭⎫3x -x 22⎪⎪⎪21=176.5.已知函数f (x )为偶函数,且⎠⎛06f (x )d x =8,则⎠⎛-66 f (x )d x = .答案 16解析 因为函数f (x )为偶函数, 且⎠⎛06f (x )d x =8,所以⎠⎛-66f (x )d x =2⎠⎛06f (x )d x =16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数,要先化简,再求积分.(2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值,也可取负值,还可以取0,而面积是正值,因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和,而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y =⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.-sin xC.cos x -1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′=cos x ,⎠⎛0x cos x d x =sin x ⎪⎪⎪x0=sin x ,故选A. 2.若F ′(x )=x 2,则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )=13x 3B.F (x )=x 3C.F (x )=13x 3+1D.F (x )=13x 3+c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )=x 3,则F ′(x )=3x 2,这与F ′(x )=x 2不一致,故选B. 3. ⎠⎛-40|x +2|d x 等于( )A. ⎠⎛-40 (x +2)d xB. ⎠⎛-40 (-x -2)d xC.⎠⎛-4-2(x +2)d x +⎠⎛-202(-x -2)d xD.⎠⎛-4-2(-x -2)d x +⎠⎛-20 (x +2)d x答案 D解析 ∵|x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,-2≤x ≤0,-x -2,-4≤x <-2,∴⎠⎛-40|x +2|d x =⎠⎛-4-2(-x -2)d x +⎠⎛-20 (x +2)d x .故选D.4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,-1≤x ≤0,1,0<x ≤1,则⎠⎛1-1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.-23 答案 B解析 ⎠⎛-11f (x )d x =⎠⎛-1x 2d x +⎠⎛011d x =⎪⎪x 330-1+x |10=13+1=43,故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2-1 C.2 D.π-24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x =⎠⎜⎛0π21-cos x 2d x =⎪⎪12(x -sin x )π20=π-24,故选D. 6.若S 1=⎠⎛12x 2d x ,S 2=⎠⎛121x d x ,S 3=⎠⎛12e x d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( )A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D. S 3<S 2<S 1答案 B 解析 S 1=⎠⎛12x 2d x =13x 3⎪⎪21=73,S 2=⎪⎪⎪⎠⎛121x d x =ln x 21=ln 2<1,S 3=⎠⎛12e x d x =e x ⎪⎪⎪21=e 2-e =e(e -1)>73,所以S 2<S 1<S 3,选B.二、填空题7.⎠⎛-11 (1-x 2+x )d x = .答案 π2解析 ⎠⎛-11 (1-x 2+x )d x =⎠⎛-111-x 2d x +⎠⎛-11x d x ,根据定积分的几何意义可知⎠⎛-111-x 2d x 等于半径为1的半圆的面积, 即⎠⎛-111-x 2d x =π2,⎠⎛-11x d x =12x 2|1-1=0,∴⎠⎛-11 (1-x 2+x )d x =π2.8.若⎠⎛0T x 2d x =9,则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x = 13x 3⎪⎪⎪t 0=13T 3=9,即T 3=27,解得T =3. 9.设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0),⎠⎛01f (x )d x =f (x 0),0≤x 0≤1,则x 0= .答案33解析 由⎠⎛01f (x )d x =f (x 0),得⎠⎛1(ax 2+c )d x =⎝⎛⎭⎫13ax 3+cx ⎪⎪⎪10=13a +c =ax 20+c ,∴a 3=ax 20,∵a ≠0,∴x 20=13,又0≤x 0≤1,∴x 0=33.故填33. 10.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg x ,x >0,x +⎠⎛0a 3t 2d t ,x ≤0.若f [f (1)]=1,则a = .答案 1解析 因为x =1>0,所以f (1)=lg 1=0.又x ≤0时,f (x )=x +⎠⎛0a 3t 2d t =x +t 3⎪⎪⎪a=x +a 3,所以f (0)=a 3.因为f [f (1)]=1,所以a 3=1,解得a =1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数,且⎠⎛01f (x )d x =5,⎠⎛01xf (x )d x =176,求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数,设f (x )=ax +b (a ≠0),则 ⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01(ax +b )d x =⎠⎛01ax d x +⎠⎛01b d x =12a +b =5, ⎠⎛01xf (x )d x =⎠⎛01x (ax +b )d x =⎠⎛01(ax 2)d x +⎠⎛01bx d x =13a +12b =176. 由⎩⎨⎧12a +b =5,13a +12b =176,得⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =3.即f (x )=4x +3. 12.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ∈[0,1],x ,x ∈(1,2],2x ,x ∈(2,3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解 由积分的性质,知:⎠⎛03f (x )d x =⎠⎛01f (x )d x +⎠⎛12f (x )d x +⎠⎛23f (x )d x=⎠⎛01x 3d x +⎠⎛12x d x +⎠⎛232x d x=x 44⎪⎪⎪⎪10+23x 3221⎪⎪+2x ln 232 =14+432-23+8ln 2-4ln 2 =-512+432+4ln 2.13.求定积分⎠⎛-43|x +a |d x .解 (1)当-a ≤-4即a ≥4时,原式=⎠⎛-43(x +a )d x =⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22+ax 3-4=7a -72. (2)当-4<-a <3即-3<a <4时, 原式=⎠⎛-4-a [-(x +a )]d x +⎠⎛-a3 (x +a )d x=⎝⎛⎭⎫-x 22-ax ⎪⎪-a-4+⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22+ax 3-a =a 22-4a +8+⎝⎛⎭⎫a 22+3a +92 =a 2-a +252.(3)当-a ≥3即a ≤-3时,原式=⎠⎛-43[-(x +a )]d x =⎝⎛⎭⎫-x 22-ax ⎪⎪⎪3-4=-7a +72. 综上,得⎠⎛-43|x +a |d x =⎩⎪⎨⎪⎧7a -72(a ≥4),a 2-a +252(-3<a <4),-7a +72(a ≤-3).。