(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理

[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.

知识点一 导数与定积分的关系

f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).

以路程和速度之间的关系为例解释如下：

如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).

思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；

(3)若f (x )＝1

x ，则F (x )＝ln x (x >0)；

(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；

(5)若f (x )＝a x

，则F (x )＝a x

ln a

(a >0且a ≠1)；

(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理

一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？

(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ 答案 (1)不唯一.

(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；

②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.

题型一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，

所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪

2

1

＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )

⎪⎪⎪

2

＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x

3

3′＝4x －x 2， 所以

(4x －x 2)d x ＝

⎝⎛⎭⎫2x 2－x 3

3⎪⎪⎪

3

－1

＝⎝⎛⎭⎫2×32－33

3－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.

(4)因为⎣⎡⎦⎤1

6(x －1)6′＝(x －1)5， 所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪

2

1

＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16

. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：

①有时需先化简，再求积分；

②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )

有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛a

b f (x )d x

＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积

分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1

x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1

x 2d x ＝⎠⎛1

2⎝

⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛1

2x 2d x ＋⎠⎛1

22d x ＋⎠⎛1

21x

2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 2

1 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪

21

＝1

3×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296

. (2)⎠⎛4

9x (1＋x )d x

＝⎠⎛4

9(x ＋x )d x

＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪

9

4

＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋1

2×42 ＝2716

. 题型二 求分段函数的定积分 例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，

2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.

解 由定积分的性质知：

⎠⎛03

f (x )d x ＝⎠⎛01

f (x )d x ＋⎠⎛12

f (x )d x ＋⎠⎛2

3

f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛2

32x d x

＝x 44⎪⎪⎪

1

0＋x 33⎪⎪⎪

2

1＋2x ln 2⎪⎪⎪

3

2