测量误差基本知识PPT课件

式中：M2称为中误差平方。实际工作中，由于n
值总是有限的，故使用时M的估值常由中误差m
表达，即
m
n
式中： 2 1 2 2 2 3 . . .2 n
分析 中误差小，观测精度高。
[例] 已知：用甲乙两台仪器对同一角各观测 十次，其真误差为：
解：
ｍ１<ｍ２
二.相对误差
中误差和真误差是绝对误差。
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
作用 区别误差和错误的界限。
第三节 观测值的算术平均值及改正数
一. 算术平均值（最或然值、似真值）
设在相同的观测条件下对未知量观测了
n次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、
m2 ……mn，则其算术平均值（最或然值、
似真值）为
xl1l2ln l
第三章
测量误差的基本知识
第一节 测量误差的概念 第二节 评定精度的标准 第三节 观测值的算术平均值及改正数 第四节.观测值的精度评定（中误差） 第五节 误差传播定律及应用 第六节 权
第一节 测量误差的概念 一. 测量误差的发现 1.对同一量多次观测，其观测值不相同。 2.观测值之和不等于理论值 三角形 α+β+γ≠180° 闭合水准 ∑h≠0
误差出现在微小区间ｄ△中的概率
以ｋ倍中误差为区间中误差出现的概率
k=1 Ｐ(Δ ≤ m)=0.683=68.3% k=2 Ｐ(Δ ≤2m)=0.954=95.4% k=3 Ｐ(Δ ≤3m)=0.997=99.7%
通常以3倍中误差为真误差极限误差的估值，
即 Δ极≈3m 。
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然
二. 测量误差产生的原因
1. 仪器误差 2. 观测者感官的限制 3. 外界条件的影响
总称为观测条件（必要条件）。等精 度和不等精度观测。
三. 测量误差的分类与处理原则
根据观测误差的性质可分为：系统误 差、偶然误差。
（一）系统误差
又称累积误差。
在相同的观测条件下，对某一量作一系列 的观测，如果出现的误差无论在个体和群体上， 呈现出以下特性：在符号和大小上都相同，或 按一定的规律变化，这种误差就叫系统误差。
即
limx 0
n
n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。
二．观测值的改正值
算术平均值与观测值之差称为观测值的改
正值（v）：
v1=x-l1
仅用中误差衡量观测值的精度对某些 测量工作来说，还不能正确反映观测的质 量。
相对误差k 是中误差的绝对值 m 与相
应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式
来表示，称其为相对（中）误差。即
m k
1
D
D m
[例] 已知：D1=100m, m1=±0.01m
D2=200m, m2=±0.01m
求： K1, K2
大量的偶然误差具有统计性，或称之为 具有概率论的规律。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
解：
K1
m1
D1
0.01100
1 10000
K2
m2
D2
0.01200
1 20000
一般情况
角度，高差用m表示、钢尺量距用k表 示。
较差率
在距离量测中，常用往返测量结果的较差 率来进行检合。较差率为
D往D返 D 1
D平均
D平均 D平均
D
较差率是真误差的相对误差。较差率愈 小，观测结果愈可靠。
三.极限误差（容许误差） 定义 由偶然误差的特性知，在一定的 观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值。这个限值就是极限误差。
பைடு நூலகம்
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
出现的机会要多；（密集性、区间性）
（3） 绝对值相等的正、负误差出现的机 会大致相等，可相互抵消；（对称性）
（4) 同一量的等精度观测，其偶然误差 的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近 于零，即 lnim n0。（抵偿性）
若用图表示，偶然误差服从正态分布。 正态分布曲线的数学方程式
方差为偶然误差平方的理论平均值：
Δi＝X－li（i＝１，２…ｎ）
Δi —第i次观测的偶然误差 X—某一量的真值
li — 第i次观测值
从单个偶然误差看无规律，观察其大 量的偶然误差，就能发现隐藏在偶然性下 的必然性，统计数量越大规律性越明显。
偶然误差的特性： （1）在一定的观测条件下，偶然误差的
绝对值不会超过一定的限度；（有界性） （2） 绝对值小的误差比绝对值大的误差
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
◆ 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积 累。
例 钢尺：尺长、温度、倾斜改正 水准仪：i角 经纬仪：c角、i角
观测值的准确度 指观测值偏离真值的程度。 系统误差对其有较大的影响。
系统误差对观测值的影响具有一定的数学或 物理上的规律：积累性。
（二）偶然误差
在相同的观测条件下，对某一量作一系 列的观测，如果观测结果的差异在正负号及 数值上，都没有表现出一致的倾向， 即表面 上没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。 是由人力所不能控制的因素或无法估计的因 素共同引起的，其数值的正负、大小纯属偶 然