连续系统的时域分析
连续时间系统的时域分析经典法
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL
第二章 连续系统的时域分析
du (t ) 整理方程组得：d 2u2 (t ) + 7 2 + 6u2 (t ) = 6e(t ) dt 2 dt 特征方程：a2+7a+6=0 特征根：a=-1, a=-6 齐次解：rh(t) = A1e-t +A2e-6t
5
第二章 连续系统的时域分析
② 选定特解后，将它代入到原微分方程，即得到一个由 yh(t)及其各阶导数以及激励共同组成的一个非齐次微 分方程，依据此方程求出待定系数，然后可确定方程 的特解。
3. 求系统的全响应y(t)
y(t)＝方程的全解y(t)＝齐次解yh(t) + 特解 yP(t)
＝自由响应+强迫响应 将上面方程的全解代入系统的初始条件即可得齐次解中 的待定系数，从而进一步得到系统的全响应。此时， 方程的齐次解yh(t)为系统的自由响应，特解yP(t)为系 统的强迫响应（固有响应）。
解: 由原方程可得
dh 2 (t ) dh(t ) +3 + 2h(t ) = 2δ ′(t ) + 3δ (t ) 2 dt dt
(t ≥ 0)
特征方程: λ2+3λ+2 = 0 特征根: λ1= -1，λ2= -2，且n > m
h (t ) = Ae − t u (t ) + e −2 t (t ) u(t)
20
第二章 连续系统的时域分析
式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程 式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激 响应为 h(t ) = e − t u(t ) + e −2 t (t )
21
第二章 连续系统的时域分析
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。
通过时域分析，可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。
本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。
一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：通过解析方法可以得到系统的解析表达式，从而分析系统的时间响应特性。
常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。
- 微分方程法：对于线性时不变系统，可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程，然后求解微分方程来得到系统的时间响应。
- 拉普拉斯变换法：通过对系统进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数，进而分析系统的时间响应。
- 傅里叶变换法：通过对系统输入和输出进行傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号，从而分析系统的频率响应。
2. 数值法：当系统的解析表达式难以获得或无法求解时，可以通过数值方法进行时域分析。
常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。
- 欧拉法：通过差分近似，将微分方程转化为差分方程，然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。
- 中点法：在欧拉法的基础上，在每个时间步长内，通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值，从而提高精度。
- 四阶龙格-库塔法：在中点法的基础上，通过对导数进行多次计算和加权平均，从而进一步提高精度。
二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外，还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。
1. 零点：系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。
2. 极点：系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。
3. 零极点图：零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。
4. 频率响应：频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。
连续时间系统的时域分析实验报告
连续时间系统的时域分析实验报告实验目的本实验旨在通过对连续时间系统的时域分析，研究信号在时域上的特性，包括信号的时域图像、平均功率、能量以及系统的时域响应。
实验原理连续时间系统是指输入输出都是连续时间信号的系统。
在时域分析中，我们关注的是信号在时间上的变化情况。
通过观察信号的时域图像，我们可以了解信号的波形和时域特性。
实验装置与步骤实验装置•函数发生器•示波器•连接线实验步骤1.将函数发生器和示波器连接起来，并确保连接正常。
2.设置函数发生器的输出信号类型和幅度，选择合适的频率和幅度。
3.打开示波器并调整合适的触发方式和触发电平。
4.观察示波器上的信号波形，并记录下观察到的时域特性。
实验数据与分析实验数据根据实验装置和步骤，我们得到了如下的实验数据：时间（ms）电压（V）0 01 12 23 14 05 -1实验分析根据实验数据，我们可以绘制出信号的时域图像。
从图像中可以看出，信号在时域上呈现出一个周期性的波形，且波形在[-1, 2]范围内变化。
由此可知，输入信号是一个连续时间周期信号。
接下来，我们可以计算信号的平均功率和能量。
平均功率表示信号在一个周期内平均消耗的功率，而能量表示信号的总能量大小。
首先，我们计算信号的平均功率。
根据公式，平均功率可以通过信号在一个周期内的幅值的平方的平均值来计算。
在本实验中，信号的周期为5ms，幅值范围为[-1, 2]，所以信号的平均功率为：平均功率= (∫[-1, 2] x^2 dx) / T由此可知，信号的平均功率为(1^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2) / 5 = 1.2。
接下来，我们计算信号的能量。
根据公式，信号的能量可以通过信号在时间上的幅值的平方的积分来计算。
在本实验中，信号在整个时间范围内的幅值范围为[-1, 2]，所以信号的能量为：能量= ∫[-1, 2] x^2 dx由此可知，信号的能量为(1^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2) = 7。
第2章连续系统的时域分析
信号与线性系统 令 t 0 ，可得
2.2 LTI连续系统的响应
1 uC (0 ) uC (0 ) C
0
0
iC ( )d 0
如果 iC ( t ) 为有限值，则
此时
0 0
iC ( )d 0
uC (0 ) uC (0 )
如果 iC ( t ) ( t ) ，则
y( t ) 2e
2 t
e
3 t
2 cos( t
4
),
t 0
瞬态响应
2-13
稳态响应
信号与线性系统
二、初始条件的确定
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
认为换路在 t=0时刻进行
x(0 ) x(0 )
x(t)
0－ 0＋
：换路前一瞬间 ：换路后一瞬间
x(0 ) x(0 )
2-18
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
(3)初始条件的确定
这里我们介绍用冲激函数匹配法来确定 0 状态的
值，它的基本原理根据 t 0 时刻微分方程左右两端
的 ( t ) 及其各阶导数应该平衡相等。
2-19
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
例2-2：如果描述系统的微分方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 3 ( t ) ，给 定 0 状态起始值为 y(0 ) ，确定它 0 的状态 y(0 ) 。
2-4
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
信号与线性系统 (1)齐次解是齐次微分方程
2.2 LTI连续系统的响应 的解。
y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
第二章LTI系统的时域分析ppt课件
注意：为方便起见，对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。
y( t ) a0 y当( tf)(t b)0f (t()t )时 h( t ) a0h( t ) b0 ( t )
2、h(t)的求解方法 （1） 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解
此方法适用于简单电路，前提是阶跃响应g(t)简单易求。
y( t ) yh( t ) yp( t )
1、齐次解yh(t)
y( n )( t ) an1 y( n1 )( t ) a1 y( t ) a0 y( t ) 0
特征方程
的解
n n1 a1 a0 0
➢ 齐次微分方程的特征根：特征方程的 n 个根λi (i=1，2，…，n) ； ➢ 齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定；
零状态 系统
y f ( t ) h( t )
yf(t)= g(t)
➢ 零状态系统：在激励 f(t) 的作用下将产生零状态响应yf(t)；
➢ 如果激励是单位冲激信号δ(t)，产生的响应称为单位冲激响应，用h(t)表示。 ➢ 如果激励是单位阶跃信号ε(t)，产生的响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。
n
m
ai y(k i) bj f (k j)
i0
j0
(an 1, m n)
差分方程的经典解分为齐次解yh(k)和特解yp(k)。
y(k) yh (k) yp (k)
1、差分方程的齐次解
n阶前向齐次差分方程 y(k n) an1y(k n 1) a1y(k 1) a0 y(k) 0
i1
y( t
)
yh( t
)
yp( t
)
C
1e
C2 t
ie
第二章 连续时间系统的时域分析 重要公式
零状态响应 rzs ( t ) 的求解有两种方法 方法一：直接求解微分方程 步骤： （1）求出通解；
(k ) (0 + ) = r (k ) (0 + ) − r (k ) (0 − ) 确定 n 个待定常数。 （2）由跳变量 rzs
方法二：卷积积分法 步骤： （1）先求冲激响应 h(t ) ； （2）再利用 rzs (t ) = h(t ) ∗ e(t ) 求零状态响应。 五、冲激响应 h ( t ) 和阶跃响应 g ( t ) 1、冲激响应 h ( t ) 的定义 定义： 系统在单位冲激信号 δ ( t ) 的激励下产生的零状态响应， 称为冲激响应。 冲激响应 h ( t ) 满足的微分方程为：
4
方法一：比较系数（等式两端奇异函数项相平衡）法求 h ( t ) 步骤：a. 先求特征根，直接写出冲激响应的函数形式； b. 再用冲激函数平衡法确定系数 Ak 。 方法二：利用系统的线性时不变特性求 h ( t ) 对于 h ( t ) 满足的微分方程
dn d n −1 d h(t ) + a n −1 n −1 h(t ) + + a1 h(t ) + a 0 h(t ) n dt dt dt
dn d n −1 d ( ) r t a + r (t ) + + a1 r (t ) + a 0 r (t ) n −1 n n −1 dt dt dt
= bm dm d m −1 d ( ) e t b e(t ) + + b1 e(t ) + b0 e(t ) + m −1 m m −1 dt dt dt
dn d n −1 d ( ) h t a h(t ) + + a1 h(t ) + a 0 h(t ) + n −1 n n −1 dt dt dt
第2章连续系统的时域分析
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2.2 卷积的图解机理
y( t ) f ( t ) h( t )
f ( )h(t )d
①变量替换t→τ
f (t ) f ( )
h(t ) h( )
11
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2 卷积积分
2.2.3 卷积的性质
性质1：卷积代数 交换律：
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t )
结合律：
f1 ( t ) f 2 ( t ) f3 ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) f3 ( t )
f ( )h(t )d
④相乘
f h t
⑤扫描积分
f h t d
13
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2.2 卷积的图解机理 替换 翻转 平移 相乘 积分
14
2013年8月13日8时12分
(t mT )
f ( t mT )
f ( t ) T ( t )
m
f ( t
f (t ) A
…
… …
…
-3T -2T -T o T 2T 3T
- 0 1
1
t
- 2T T
o
T
2T
t
第二章_连续时间系统的时域分析
2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质
1
重点和难点
重点： 连续时间系统的零输入响应和零状态响应的含义和求解； 理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法；
R1i ( t ) v C ( t ) e ( t ), t 0
4 6 5 14 5 A
e (0 ) v C (0 )
1 d d i (0 ) e (0 ) v C (0 ) dt R1 d t dt d
1/C iC(0+)
10 B 4 4 B 8 5
12
(4)
完全响应
i ( t ) A1 e
2 t
A2 e
5t
8/5
d dt i(0 )
(5)
确定换路后的 i ( 0 ) 和
13
§2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 一、初始条件的求解——根据电路求
激励e(t)在t=0时刻加入，系统的响应区间为 0 t
d dt
n 1
n 1
r ( 0 )]
求解方法：根据系统的起始状态、激励信号情况以及元 件约束和网络拓扑约束求。
14
求初始条件
（1）首先求出vC(0-)和iL(0-)，即电容上的起始电压和 电感中的起始电流。 （2）根据能量连续性原理： a)当没有冲激电流（或阶跃电压）作用于电容C 有
v C (0 ) v C (0 )
6
a) 求齐次解rh(t)：系统固有的响应
1.连续系统的时域分析模型
一、连续系统的时域分析1.连续系统的时域分析模型在系统的时域分析方法，连续系统的基本数学模型是用微分方程来表示。
引入特殊的算子(即运算符号)后，可以根据系统的微分方程得到连续系统另外一种重要的时域模型，称为传输算子。
此外，系统还可以用图形化的模型来表示其内部结构和功能,称为系统的方框图。
这里还将借助于算子得到系统方框图的算子模型（1）微积分算子在连续系统中，对连续信号的求导和求积分分别用微分算子p和积分算子1/p表示，强调一点，用微积分算子表示信号的微积分时，算子必须写在信号的前面，例如pf(t)不能写为f(t)p。
（2）连续系统的算子模型将系统微分方程中的求导用微分算子表示后，得到系统的算子方程，进一步得到系统的传输算子H(p)。
传输算子是系统时域分析中采用的基本数学模型，本章介绍系统的零输入响应和单位冲激响应都是根据系统的传输算子直接求解，而不是用数学方法通过微分方程求解。
2.连续系统的方框图方框图是用一些基本运算单元的组合表示系统对输入信号的运算和变换功能，是系统一种图形化的模型。
必须熟悉连续系统中各基本运算单元的表示符号及其代表的运算，能正确分析方框图中各信号之间的运算关系。
为了对系统进行分析，求解其响应，必须根据方框图求得系统的数学模型(传输算子、微分方程等)。
为了简化数学模型的求取，将方框图中所有的基本运算单元用其算子模型表示，从而得到方框图的算子模型。
其中主要是将方框图中的所有积分器用1/p表示。
3.连续系统的零输入响应零输入响应指的是在系统当前输入为零时，由t=0~时刻系统的初始状态引|起的响应。
系统的初始状态一般以零输入响应yx(t)及其各阶导数在t=0-时刻的取值表示,即y x(0-)、y’x(0-)、y’’x(0-)...这些取值作为已知数据，用于确定零输入响应中的待定系数。
零输入响应的具体函数形式完全决定于系统的特征根。
特征根根据系统传输算子的分母多项式求得。
每个特征根决定零输入响应中的一项，具体根据特征根是单根还是重根,按以下两式得到零输入响应函数表达式，即4.连续系统的单位冲激响应单位冲激响应简称单位响应，指的是在单位冲激信号d (t)作用下系统的零状态响应，记为h(t)。
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析
MATLAB与信号实验-——-连续LTI系统的时域分析在信号处理中，MATLAB是一个强大的工具，它提供了许多功能，使我们能够模拟和分析各种信号系统。
对于连续LTI系统，时域分析是一个重要的方法，它允许我们直接观察系统的输入和输出信号之间的关系。
下面是一个关于连续LTI系统的时域分析的实验。
一、实验目的本实验的目的是验证连续LTI系统的时域响应，通过使用MATLAB模拟系统，我们可以观察到不同的输入信号产生的输出信号，从而了解系统的特性。
二、实验步骤1.定义系统：首先，我们需要定义我们的连续LTI系统。
这可以通过使用MATLAB中的lti函数来完成。
我们需要提供系统的传递函数，它描述了系统的输入和输出之间的关系。
2.设置输入信号：为了观察系统的行为，我们需要设置一个合适的输入信号。
在MATLAB中，我们可以使用square函数来生成一个方波信号，该信号具有固定的频率和幅度。
3.模拟系统：使用MATLAB的lsim函数，我们可以模拟我们的连续LTI系统。
这个函数将输入信号和系统的传递函数作为参数，然后计算出系统的输出信号。
4.分析结果：我们可以使用MATLAB的图形功能来观察输入和输出信号。
这可以帮助我们理解系统的行为，并验证我们的模型是否正确。
三、实验结果与分析在实验中，我们使用了不同的输入信号（如方波、正弦波等）来测试我们的连续LTI系统。
对于每种输入信号，我们都观察了系统的输出信号，并记录了结果。
通过对比不同的输入和输出信号，我们可以得出以下结论：1.对于方波输入，系统的输出信号是带有延迟的方波，这表明系统对突变信号的响应是瞬时的。
2.对于正弦波输入，系统的输出信号是与输入信号同频同相位的正弦波，这表明系统对正弦波的响应是具有稳定性的。
这些结果验证了连续LTI系统的基本特性：即对于单位阶跃函数（突变信号）的输入，系统的响应是瞬时的；而对于周期性输入（如正弦波），系统的响应具有稳定性。
这些结果与我们在理论上学到的知识相符，从而验证了我们的模型是正确的。
实验三 线性时不变(LTI)连续系统的时域分析
执行结果
实验任务 1：LTI系统的微分方程y''(t)+2y'(t)+y(t)=f'(t)+2f(t)，激励f (t)=e-2tε(t)，
（1） 利用 impulse 函数获得冲激响应； （2） 利用 lsim 函数求取零状态响应； （3） 用卷积分析法计算其零状态响应； 要求：在一个图形窗口里以 3 个子图形式绘制冲激响应和两种方法得到的零状 态响应的波形。 （4）改变系统的 a 系数矩阵，观察冲激响应和零状态响应时域波形的变化情况。 建议 a 系数向量分别如下取值讨论。
用。
一、实验目的
1. 掌握系统时域分析常用函数的使用方法； 2. 理解系统特征根对系统时域特性的影响；
二、实验原理及内容 2.1 连续系统的时域分析 2.1.1 连续系统时域分析的几个常用函数
设 LTI 连续时间系统的微分方程为
a 2 y''(t)+a 1 y'(t)+a 0 y(t)=b 2 f''(t)+b 1 f'(t)+b 0 f(t)
将积分变量离散化即将用n替代d用替代只要时域取样间隔足够小上式可近似为再把观察响应时刻离散化即将t用k替换只要足够小通常将fn简记为fnhkn简记为hknyk简记为yk这样上式便可表示为因此两个连续信号ft和ht的卷积yt可用ft和ht的取样信号f均取整数
实验三 线性时不变（LTI）连续系统的时域分析
2.1.2 连续信号卷积的近似计算
连续系统的零状态响应 y(t)可通过输入信号 f(t)与系统冲激响应 h(t)的卷积求 得；但是计算机只能处理数字信号，不能直接处理模拟信号，因此，卷积积分不 能直接用计算机计算。为了解决这个问题，可以将连续信号用取样信号来近似表 示，利用卷积和近似求得卷积积分。下面就连续信号卷积积分的近似计算进行简 单推导。
第二章 连续时间系统的时域分析
19
2.3 起始点的跳变(初始条件的确定）
分析 激励加入：t=0时刻
响应区间：t≥0+
0
0
0
t
起始状态（0-状态）：激励加入之前瞬间的状态。
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
9
n阶线性时不变系统的模型
一个线性系统，其激励信号 e(t ) 与响应信号 r (t ) 之间的关 系，可以用下列形式的微分方程式来描述
d n r (t ) d n 1 r (t ) d r (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m 1 e(t ) d e(t ) E0 E1 Em 1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt
dt
21
[ 例 ] 如 图 所 示 ， 已 知 R1=1Ω, R2=3/2Ω, e2(t)=4V,
e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t<0时开关S处于1的位置而 且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。
建立i(t)的微分方程并求解i(t)在t>0时的变化。
解 ： (1) 由 元 件 的 约
k
初始条件（0+状态/导出的起始状态）：
k
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
由于用经典法求解微分方程时，是考虑了激励作用以 (k ) 后的解， 时间范围是 0 t 所以要利用r (0 ) 确定系 数Ai,而不是利用 r ( k ) (0 ) 。 20
连续时间系统的时域分析
四．求解系统微分方程旳经典法
分析系统旳措施：列写方程，求解方程。
列写方程 : 根据元件约束,网络拓扑约束
经典法
解方程零输入零 零响状 输应态 入和::利可零用利状卷用态积经响积典应分法法求求解解
变换域法
求解方程时域经典法就是：齐次解 + 特解。
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
a ic
vt
b
代入上面元件伏安关系，并化简有
C
d2 vt
dt2
1 R
d vt
dt
1 L
vt
d iS t
dt
这是一种代表RLC并联电路系统旳二阶微分方程。
三．n 阶线性时不变系统旳描述
一种线性系统，其鼓励信号 e(与t) 响应信号 之r(t间) 旳 关系，能够用下列形式旳微分方程式来描述
一．物理系统旳模型
•许多实际系统能够用线性系统来模拟。 •若系统旳参数不随时间而变化，则该系统能够用 线性常系数微分方程来描述。
二．微分方程旳列写
•根据实际系统旳物理特征列写系统旳微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特征约束和网络拓扑 约束列写系统旳微分方程。
元件特征约束：表征元件特征旳关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自旳电压与电流旳关系以及四 端元件互感旳初、次级电压与电流旳关系等等。
第二章 连续时间系统旳时域分析 §2.1 引言
系统数学模型旳时域表达
时域分析措施:不涉及任何变换，直接求解系统旳 微分、积分方程式，这种措施比较直观，物理概念比 较清楚，是学习多种变换域措施旳基础。
输入输出描述 : 一元 N 阶微分方程 状态变量描述 : N 元一阶微分方程
本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。
实验一 连续系统时域响应分析实验报告
实验一 连续系统时域响应分析（硬件实验）一、实验目的1． 熟悉系统的零输入响应与零状态响应的工作原理。
2． 掌握系统的零输入响应与零状态响应特性的观察方法。
3． 观察和测量RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化对响应状态的影响。
4． 掌握有关信号时域的测量方法。
二、实验内容与原理内容：1． 用示波器观察系统的零输入响应波形。
2． 用示波器观察系统的零状态响应波形。
3． 用示波器观察系统的全响应波形。
4． 用示波器观察欠阻尼、临界阻尼和过阻尼状态的阶跃响应波形。
5． 用示波器观察欠阻尼、临界阻尼和过阻尼状态的冲激响应波形 原理：1． 系统的零输入响应和零状态响应系统的响应可分解为零输入响应和零状态响应。
在图1-1中由RC 组成一阶RC 系统，电容两端有起始电压Vc(0-)，激励源为e(t)。
图1-1 一阶RC 系统则系统的响应：1()01()(0)()tt t RCRCC c V t eV e e d RC -τ=-+ττ⎰ （1-1）Re (t)上式中第一项称之为零输入响应，与输入激励无关，零输入响应(0)tRCc e V -是以初始电压值开始，以指数规律进行衰减。
第二项与起始储能无关，只与输入激励有关，被称为零状态响应。
在不同的输入信号下，电路会表征出不同的响应。
系统的零输入响应与零状态响应电路原理图如图1-2所示。
实验中为了便于示波器观察，用周期方波作为激励信号，并且使RC 电路的时间常数略小于方波信号的半周期时间。
电容的充、放电过程分别对应一阶RC 系统的零状态响应和零输入响应，通过加法器后得到系统的全响应。
图1-2 零输入响应与零状态响应电路原理图2． 系统的阶跃响应和冲激响应RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应电路原理图如图1-3所示，其响应有以下三种状态：1） 当电阻R >2） 当电阻R =3） 当电阻R <图1-3 阶跃响应与冲激响应原理图冲激信号是阶跃信号的导数，所以对线性时不变系统冲激响应也是阶跃响应的导数。
连续时间系统的时域分析
优化后，再次进行仿真分析，对比优化前后的性能指标， 评估优化效果。
06
CHAPTER
连续时间系统的鲁棒性分析
鲁棒性的定义与分类
鲁棒性定义
系统在一定范围内抵御外部干扰或变 化的能力。
鲁棒性分类
强鲁棒性、弱鲁棒性、不连续鲁棒性 等。
鲁棒性分析的方法与工具
数学分析方法
通过建立数学模型，利用微分方程、差分方程等工具 进行分析。
动态性能的定义与评价标准
动态性能的定义
连续时间系统的动态性能是指在系统 输入激励下，系统输出随时间变化的 特性。
评价标准
评价连续时间系统的动态性能时，通 常需要考虑系统的响应速度、超调量 、调节时间和稳定性等指标。
动态性能的仿真与分析
仿真方法
通过建立连续时间系统的数学模 型，利用仿真软件或编程语言进 行动态时间系统的时域分析将朝着更加高效、精确和智能化的方向发展。例如，随着计 算机技术的进步，数值积分方法将更加精确和高效；随着人工智能技术的发展，基于数据的方法和模型预测控制 方法将更加广泛地应用于连续时间系统的时域分析中。
02
CHAPTER
连续时间系统的基本概念
系统的定义与分类
定义
系统是由若干相互关联和相互作用的元素组成的整体，具有特定功能的综合体 。在信号处理中，系统通常被视为输入信号和输出信号之间的数学关系。
分类
连续时间系统可以根据其特性分为线性时不变系统和线性时变系统。线性时不 变系统是指系统的数学模型不随时间变化的系统，而线性时变系统则是指系统 的数学模型随时间变化的系统。
通信系统案例
分析通信系统的鲁棒性， 如无线通信网络、卫星通 信系统等。
07
CHAPTER
第2章连续系统的时域分析ppt课件
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
例2―7描述某线性非时变连续系统的微分方程为 y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t) ， 已 知 系 统 的 初 始 条 件 是 y(0)=y′(0)=0，输入激励f(t)=e-tu(t)，试求全响应y(t)。
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
例2―5求微分方程y″(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 解由特征方程λ2+1=0解得特征根是一对共轭复数 λ1,2=±j，因此，该方程的齐次解
yh(t)=c1cost+c2sint 2. 特解的函数形式与激励函数的形式有关。表2―1 列 出 了 几 种 类 型 的 激 励 函 数 f(t) 及 其 所 对 应 的 特 征 解 yp(t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其 待定系数Pi，就可得出特解。
y(t)=yx(t)+yf(t)
(2―17)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
在零输入条件下，式(2―7)等式右端均为零，化为 齐次方程。若其特征根全为单根，则其零输入响应
n
yx(t) cxieit
i1
(2―18)
式中cxi为待定常数。 若系统的初始储能为零，亦即初始状态为零，这
时式(2―7)仍为非齐次方程。若其特征根均为单根，则 其零状态响应
连续时间系统的时域分析实验报告
连续时间系统的时域分析实验报告连续时间系统的时域分析实验报告引言：时域分析是研究信号在时间上的变化规律，是连续时间系统分析的基础。
本实验旨在通过实际操作，探究连续时间系统的时域特性，并对实验结果进行分析和总结。
实验目的：1. 了解连续时间系统的时域分析方法和技巧；2. 掌握连续时间系统的单位冲激响应和单位阶跃响应的测量方法；3. 理解连续时间系统的零极点分布对系统特性的影响；4. 分析和总结实验结果，得出结论。
实验设备和材料：1. 信号发生器2. 示波器3. 连续时间系统实验箱4. 电缆、连接线等实验步骤：1. 连接信号发生器输出端和连续时间系统实验箱的输入端，调节信号发生器的频率和幅度，观察输出信号的波形，并记录数据；2. 改变信号发生器的频率和幅度，重复步骤1，记录不同条件下的输出信号数据；3. 切换到连续时间系统实验箱的单位冲激响应模式，输入单位冲激信号，观察输出信号的波形，并记录数据；4. 切换到连续时间系统实验箱的单位阶跃响应模式，输入单位阶跃信号，观察输出信号的波形，并记录数据；5. 根据实验数据，绘制系统的幅频响应曲线、相频响应曲线、零极点分布图等；6. 对实验结果进行分析和总结，得出结论。
实验结果分析：通过实验数据的记录和分析，我们可以得出以下结论：1. 连续时间系统的幅频响应曲线和相频响应曲线可以反映系统的频率特性，通过观察曲线的变化，可以判断系统的增益和相位变化情况。
2. 单位冲激响应是连续时间系统的重要特性之一，通过观察单位冲激响应的波形，可以了解系统的时域特性，如系统的稳定性、响应时间等。
3. 单位阶跃响应是连续时间系统的另一个重要特性，通过观察单位阶跃响应的波形，可以了解系统的阶跃响应情况，如系统的超调量、上升时间、调节时间等。
4. 零极点分布图可以直观地展示连续时间系统的零点和极点位置，通过观察分布图的形状，可以判断系统的稳定性和阻尼情况。
结论：通过本次实验，我们深入了解了连续时间系统的时域分析方法和技巧。
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析连续时间系统是一种基础性的数学模型，用于描述物理系统、电路和控制系统等的行为。
在实际应用中，我们经常需要对连续时间系统进行时域分析，以更好地理解它们的行为特性和设计控制系统。
时域分析是指在时间域上通过观察时域响应，分析系统的动态特性和稳态特性，进而对系统行为进行描述和分析的一种方法。
对于连续时间系统，一般采用微分方程或者传递函数的形式来描述系统，从而进行时域分析系统的微分方程形式为：$$\frac{d^n y(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_m\frac{d^mx(t)}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$其中，$y(t)$代表系统的输出，$x(t)$代表系统的输入，$a_i$和$b_j$是系数。
时域分析的主要目的是求解系统在单位施加输入的情况下的输出响应$y(t)$。
为了简单起见，我们这里主要关注一阶和二阶连续时间系统。
$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：其中，$G(s)$代表系统的传递函数，$s$代表变换域变量。
通过求解系统的传递函数，我们可以得到系统的单位施加输入下的响应，进而进行时域分析，研究系统的动态和稳态特性。
$$\frac{d^2y(t)}{dt^2}+2\xi \omega_n\frac{dy(t)}{dt}+\omega_n^2 y(t)=x(t)$$其中，$\omega_n$代表系统的固有频率，$\xi$代表系统的阻尼比。
应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：。
信号与系统(连续系统的时域分析)实验报告1
信号与系统(连续系统的时域分析)实验报告1本次实验内容是关于连续信号和系统的时域分析，我将按照实验操作流程、实验结果、实验分析和实验总结四个方面进行本次实验报告。
实验操作流程：1、根据实验指导书，找到实验需要使用的硬件设备和软件平台。
3、进行连续信号的产生和输入，根据实验指导书中的要求，选择不同的信号类型，改变其频率、振幅、相位等参数。
5、通过实验软件平台对产生的信号和系统进行采样和采集，并进行大量的数据处理和分析。
6、根据实验结论和实验指导书中的要求，编写实验报告。
实验结果：在本次实验中，我成功产生了三种不同类型的连续信号，分别是正弦信号、方波信号和三角波信号，同时我也成功搭建了两种不同类型的连续系统，分别是低通滤波器和高通滤波器，随着不同的输入信号对系统的测试，产生了一系列不同的实验结果。
主要的实验结果如下：首先是正弦信号的生成和输入，通过改变其频率和幅值，观察到了信号的变化过程及其在系统中被处理的效果，在低通滤波器中，信号的频率被截止，经过系统后的信号相比于输入信号更加平滑；在高通滤波器中，信号的低频部分被丢弃，经过系统后的信号比输入信号更加尖锐。
其次是方波信号的生成和输入，由于方波信号富含基频及其谐波，我们可以在低通滤波器中观察到对基频和谐波的处理效果，在低通滤波器中，我们可以观察到基频及其谐波被通过，而高于截止频率的谐波则被丢掉；在高通滤波器中，方波信号的低频部分被丢掉，越高的谐波被通过，产生重音类的声音。
最后是三角波信号的生成和输入，我们发现三角波信号的频率变化相对于方波信号更加平缓，变化更加连续，因此在经过低通滤波器进行处理的时候，我们可以观察到频率更加平滑，而高通滤波器将产生一个类似于单谐波的效果，快速上升和下降的部分被丢掉，产生一个非常平滑的信号。
实验分析：通过本次实验，我们了解了连续信号和系统的时域分析方法，对不同类型的信号和系统有了更深入的了解，同时也提升了我们对实验平台的掌握能力和实际操作的经验。
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[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y '(t) 8y(t) f (t), t 0 初始条件y(0)=1, y '(0) 2 , 输入信号 f (t) et (t) ，
求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
求解 性质
本章重点：
1、求系统的零输入响应和零状态响应 2、求系统冲激响应； 3、用卷积积分法求零状态响应。 4、卷积积分的相关性质
二阶常系数微分方程的解
y(t) a1y(t) a0 y(t) b2 f (t) b1 f (t) b0 f (t)
微分方程的全解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成
求系统的完全响应y(t)。
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f(t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y '(t) 8y(t) f (t), t 0 初始条件y(0)=1, y '(0) 2 , 输入信号 f (t) et (t) ，
求系统的完全响应y(t)。
解:(3) 求方程的全解
y(t)
yh (t)
yp (t)
Ae 2t
Be 4t
1 et 3
y(0) A B 1 1
y'
(0)
2
A
3 4B
1
2
解得 A=5/2，B= 11/6
3
y(t) 5 e2t 11 e4t 1 et , t 0
2
6
3
1) 若初始条件不变，输入信号f(t) = sin t u(t)，则系 统的完全响应 y(t) = ？
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4齐次解yh( Nhomakorabea)yh (t) K1e2t K 2e3t t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y '(t) 8y(t) f (t), t 0 初始条件y(0)=1, y '(0) 2 , 输入信号 f (t) et (t) ，
本书结构
信号与系统的基本概念
扩展
时域分析 转换
连续系统 离散系统
扩展
频域分析
连续系统 离散系统
s域分析 连续系统
特例
系统函数
z域分析 离散系统
特例
第二章 连续系统的时域分析
LTI连续系统的响应
1.5节的延展 数学模型 —＞ 方程的解 时域上的运算（自变量t）
冲激响应
输入信号为冲击函数
卷积积分
Pe t (不等于特征根） （P1t P0 )e t (等于特征单根） （Prtr Pr1tr1 P0 )e t (等于r重特征根）
cos t 或 sin t
P1 cos t P2 sin t
第二章 连续系统的时域分析
LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分 方程。
已知y(0-)=1，y’(0-)= －1，f(t)=δ(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：
• 将输入 f (t) (t) 代入微分方程右端得
y``(t) 2 y`(t) y(t) ``(t) 2(t) （1）
系数匹配法
则
y``(t) a``(t) b`(t) c(t)+r0 (t) 2 y`(t) 2a`(t) 2b(t) r1(t)
特征方程
s2 a1s a0 0 特征值 s1 s2
齐次解
y(t) C1es1t C2es2t y(t) (C1 C2t)es1t
s1 s2 s1 s2
特解
激励f(t)
F(常数)
tm
e t
特解yp(t)
P(常数)
Pmtm Pm1tm1 P1t P0 (特征根均不为0）
tr (Pmtm Pm1tm1 P1t P0 )(有r重为0的特征根）
三、关于0-和0+初始值(初始条件的确定)
在系统分析问题中，初始条件要根据激励接入瞬时 系统的状态决定。
一）初始状态
在激励接入之前的瞬时系统的状态 在激励接入之后的瞬时系统的状态 二）初始条件的确定
y(k) (0 )
y(k) (0 )
例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 2y’(t) + y(t) = f ”(t) + 2f(t)
2) 若输入信号不变，初始条件 y(0) = 0, y '(0) = 1, 则系统的完全响应 y(t) = ？
经典法不足之处
若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。
y(t) yh (t) yp (t)
✓ 齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； ✓ 特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
齐次解
y(t) a1y(t) a0 y(t) 0
y(t) a(t) r2 (t)
带入（1）式，比较等号两端δ(t)项的系数，得
a＝1,b=-2,c=5
故y”(t) =δ” (t) -2δ’(t)+5δ(t) +r0(t) y’(t) =δ’ (t) -2δ(t)+r1(t) y(t)= δ (t) +r2(t)
• 对y”(t) 、y’(t) 在无穷小区间[0-，0+]积分：
0 0
y
''(t)dt
y,(0 )
y,(0 )
5
y’(0+) = y’(0-) + 5 =4
0
0 y '(t)dt y(0 ) y(0 ) 2 y(0+) =-1
由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各
阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。
2.1 LTI连续系统的响应
一、连续线性非时变(LTI)系统的描述
LTI系统用n阶常系数线性微分方程描述
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y '(t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) b1x '(t) b0 x(t)
ai 、 bj为常数。