连续系统的时域分析

特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t) K1e2t K 2e3t t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y '(t) 8y(t) f (t), t 0 初始条件y(0)=1, y '(0) 2 , 输入信号 f (t) et (t) ，
y(t) yh (t) yp (t)
✓ 齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； ✓ 特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
齐次解
y(t) a1y(t) a0 y(t) 0
0 0
y
''(t)dt
y,(0 )
y,(0 )
5
y’(0+) = y’(0-) + 5 =4
0
0 y '(t)dt y(0 ) y(0 ) 2 y(0+) =-1
由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各
阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将 发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。
求系统的完全响应y(t)。
解:(3) 求方程的全解
y(t)
yh (t)
yp (t)
Ae 2t
Be 4t
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1 et 3
y(0) A B 1 1
y'
(0)
2
A
3 4B
1
2
解得 A=5/2，B= 11/6
3
y(t) 5 e2t 11 e4t 1 et , t 0
2
6
3
1) 若初始条件不变，输入信号f(t) = sin t u(t)，则系 统的完全响应 y(t) = ？
y(t) a(t) r2 (t)
带入（1）式，比较等号两端δ(t)项的系数，得
a＝1,b=-2,c=5
故y”(t) =δ” (t) -2δ’(t)+5δ(t) +r0(t) y’(t) =δ’ (t) -2δ(t)+r1(t) y(t)= δ (t) +r2(t)
• 对y”(t) 、y’(t) 在无穷小区间[0-，0+]积分：
已知y(0-)=1，y’(0-)= －1，f(t)=δ(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：
• 将输入 f (t) (t) 代入微分方程右端得
y``(t) 2 y`(t) y(t) ``(t) 2(t) （1）
系数匹配法
则
y``(t) a``(t) b`(t) c(t)+r0 (t) 2 y`(t) 2a`(t) 2b(t) r1(t)
Pe t (不等于特征根） （P1t P0 )e t (等于特征单根） （Prtr Pr1tr1 P0 )e t (等于r重特征根）
cos t 或 sin t
P1 cos t P2 sin t
第二章 连续系统的时域分析
LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分 方程。
求解 性质
本章重点：
1、求系统的零输入响应和零状态响应 2、求系统冲激响应； 3、用卷积积分法求零状态响应。 4、卷积积分的相关性质
二阶常系数微分方程的解
y(t) a1y(t) a0 y(t) b2 f (t) b1 f (t) b0 f (t)
微分方程的全解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成
2.1 LTI连续系统的响应
一、连续线性非时变(LTI)系统的描述
LTI系统用n阶常系数线性微分方程描述
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y '(t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) b1x '(t) b0 x(t)
ai 、 bj为常数。
三、关于0-和0+初始值(初始条件的确定)
在系统分析问题中，初始条件要根据激励接入瞬时 系统的状态决定。
一）初始状态
在激励接入之前的瞬时系统的状态 在激励接入之后的瞬时系统的状态 二）初始条件的确定
y(k) (0 )
y(k) (0 )
例：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 2y’(t) + y(t) = f ”(t) + 2f(t)
2) 若输入信号不变，初始条件 y(0) = 0, y '(0) = 1, 则系统的完全响应 y(t) = ？
经典法不足之处
若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。
求系统的完全响应y(t)。
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f(t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y '(t) 8y(t) f (t), t 0 初始条件y(0)=1, y '(0) 2 , 输入信号 f (t) et (t) ，
本书结构
信号与系统的基本概念
扩展
时域分析 转换
连续系统 离散系统
扩展
频域分析
连续系统 离散系统
s域分析 连续系统
特例
系统函数
z域分析 离散系统
特例
第二章 连续系统的时域分析
LTI连续系统的响应
1.5节的延展 数学模型 —＞ 方程的解 时域上的运算（自变量t）
冲激响应
输入信号为冲击函数
卷积积分
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y '(t) 8y(t) f (t), t 0 初始条件y(0)=1, y '(0) 2 , 输入信号 f (t) et (t) ，
求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
特征方程
s2 a1s a0 0 特征值 s1 s2
齐次解
y(t) C1es1t C2es2t y(t) (C1 C2t)es1t
s1 s2 s1 s2
特解
激励f(t)
F(常数)
tm
e t
特解yp(t)
P(常数)
Pmtm Pm1tm1 P1t P0 (特征根均不为0）
tr (Pmtm Pm1tm1 P1t P0 )(有r重为0的特征根）