高中数学必修1北师大版第二章二次函数的图像教案

合集下载

二次函数的图像与性质教案北师大版(优秀教案)

儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出
Hale Waihona Puke 来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！
如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自
二次函数的图像与性质（教案）
教学目标：一. 知识与技能：
. 通过对二次函数性质的复习，使学生懂得从图像中获取有关的性质信息。 . 使学生会通过图像求二次函数的解析式。二. 过程与方法：通过数形结合理解二次函数的性质。三. 情感态度与价值观：培养数形结合思想，体验函数具体解决现实问题的功能。教学重点：如何在图像中获取有用的信息。教学难点：如何建立一个恰当的直角坐标系来解应用题。教学过程：一. 引入：二次函数是函数问题中的主要内容，中考试题中年年考查，题型多以
作用 . 的正负决定抛物线的开口方向；
a0
说明开口向上
. a 决定抛物线开口大小
a0
开口向下
b2 4ac
b 4ac b2 ,
2a 4a
b b2 4ac 2a
决定对称轴的位置，对称轴
为直线 x
b
2a
确定抛物线与轴交点的位置，交点坐标（，）
决定抛物线与轴交点个数
决定顶点位置
决定抛物线与轴交点的横坐标
y ax2 a 0 ；
② 如图：若抛物线过原点，设 y ax2 c a 0 ； ③ 如图：若抛物线的顶点在轴上，设 y ax2 bx a 0 ；
④ 如图：若抛物线经过轴上一点 0,3 ，设 y ax2 bx 3 a 0 ；

北师大版高中数学必修1《二章函数 4 二次函数的再研究 4.1 二次函数的图像》优质课教案_28

§4.1二次函数的图像（高一必修1 北师大版）三维目标1、理解在二次函数中参数a，b，c，h，k对其图像的影响。

2、领会二次函数图像平移的研究方法，并能够迁移到其他函数图像的研究，从而提高识图和用图能力。

3、培养学生数形结合的思想意识，从特殊到一般的思想方法。

重点难点教学重点：二次函数图像的变换规律及应用。

教学难点：探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移变换规律求函数解析式，并能把平移变换规律迁移到其他函数。

教学方法：启发式教学教学手段：多媒体教学教学过程：Ⅰ、导入新课在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质。

复习回顾：师：①请回顾二次函数的定义？②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？研究二次函数的图像有哪几个方面？学生讨论，并得出结果：①一般地，函数y=ax2+bx+c ( a,b,c为常数且a≠0)叫作二次函数.②有三种形式：一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)；顶点式：y =a (x -h )2+k (a ≠0)，其中（h ,k ）是顶点坐标；交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2) (a≠0)，交点坐标为（x 1，0）（x 2，0）。

（任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有交点式。

） ③二次函数的图像是抛物线，一般从抛物线的开口方向、对称轴、顶点与两坐标轴的交点等特征进行研究。

Ⅱ、探索新知课堂探究一①下图中已作出y =x 2的图像，填写下表，并画出y =2x 2的图像.②如何由y =x 2的图像得到y =2x 2的图像？③如何由y =x 2的图像得到y =221x 和y =-2x 2的图像？ ④如何由y =x 2的图像得到函数y =ax 2(a ≠0)的图像？学生分组讨论，并得出结果抽象概括：1、二次函y =ax 2(a ≠0)的图像可由y =x 2的图像各点的纵坐标变为原来的a 倍得到；2、a 决定了图像的开口方向:a >0开口向上,a <0开口向下；3、a 决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a |越小，图像开口就越大。

关于二次函数的图像与性质的数学教案(9篇)

关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。

误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。

秋学期高中数学北师大版必修一二次函数的图像教案

§2. 4 .1 二次函数的图像 1一、学习目标:1．会用描点法画出二次函数与2()y a x h k =-+的图象；2．能结合图象确定抛物线与2()y a x h k =-+的开口方向、对称轴与顶点坐标；3．通过比较抛物线与2()y a x h k =-+同的关系，培养观察、分析、总结的能力;二、教学要点:重点：画出形如与2()y a x h k =-+的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点坐标. 难点:理解函数、2()y a x h k =-+与及其图象间的相互关系三、教学过程:教学活动设计补充完善一.创设问题情景，引入新课二次函数2axy =与c ax y +=2的图象都是轴对称图形，对称轴都是，有最大值或最小值，顶点都是，c ax y +=2的图象是函数2ax y =经过移动得到.那么函数2ax y =的图象能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有那些性质呢? 二、讲授新课（一）典例分析例1、（1）在同一直角坐标系中做出y=23x 与 y=23(1)x -的图象，并指出三者的相同点、不同点和联系。

（2）在上面的坐标系中作出二次函数y=23(1)2x -+的图象.并与二次函数y=3(x-1)2的图象的性质进行比较.例2、能否用移动的观点说明函数y=23x 与 y=23(1)x -的图象之间的关系？ y=23(1)x - 和y=23(1)2x -+的图像呢？点拨：上面三函数图像之间的关系.：它们的图像都是，并且相同，只是不同，将函数23y x =的图象平移个单位，就得到函数()231y x =-的图像；再平移个单位，就得到函数()2312y x =-+的图象.对应训练：1、求下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标（1）y=23(1)x + （2）y=23(2)4x --+ （3）21(5)32y x =+-2、试说明上述三个函数的增减性和最大值（最小值）§2.4 .1 二次函数的图象2一、学习目标: 1．能够正确说出c bx ax y ++=2图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。

2.4二次函数的图像教案秋学期高中数学北师大版必修一

二次函数的图像(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能够作出函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图像，并能理解它与y＝ax2的图像的关系．(2)掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k图像的开口方向、对称轴和顶点坐标及a，h，k对二次函数图像的影响．2．过程与方法经历二次函数y＝a(x－h)2＋k图像的形成过程，提高作图能力，学会观察比较，体验数形结合的数学思想．3．情感、态度与价值观(1)经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．(2)让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．●重点难点重点：二次函数图像的变换．难点：二次函数图像的上下左右移动．结合几何画板动态的演示函数图像的各种变换，让学生直观的感受到a，h，k对二次函数图像的影响．(教师用书独具)●教学建议二次函数是中学数学一个非常重要的函数，是初中和高中数学的一个知识的交汇点，是研究一般函数图像、性质的一个很典型的函数模板．从具体的二次函数的图像和性质方面去研究一些函数图像之间的变换特点和规律，进而引导学生对一般函数图像间的变换特点和规律的了解和掌握．从特殊到一般，再由普遍的一般规律去指导具体的函数问题．●教学流程导入新课，进一步研究二次函数⇒新知探究，回顾二次函数的定义及不同的表示方式⇒如何作出二次函数的图像，从感性理解三点一线一开口在二次函数中的作用⇒完成例1及其变式训练，强化三点一线一开口在作图中的作用⇒作出y ＝a (x －h )2＋k 的图像，探究它和y ＝ax 2的关系⇒完成例2、例3及其变式训练，熟练掌握a ，h ，k 对二次函数图像的影响⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正【问题导思】1．在初中已学习过二次函数，那么二次函数是如何定义的？它的定义域是什么？【提示】函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域为R. 2．由y ＝x 2的图像如何得到y ＝2x 2和y ＝－x 2的图像？【提示】把y ＝x 2图像上各点的纵坐标变为原来的2倍即可得到y ＝2x 2的图像；把y ＝x 2图像上各点的纵坐标变为原来的相反数，即可得到y ＝－x2的图像．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像可由y ＝x 2的图像各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．此时，a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．【问题导思】1．函数y＝x2的图像与函数y＝(x－1)2的图像有怎样的关系？如何由y＝x2的图像得到y＝(x－1)2的图像？【提示】它们的形状相同，位置不同．把y＝x2的图像向右平移1个单位就可得到y ＝(x－1)2的图像．2．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－1的图像？【提示】把y＝x2的图像向下平移1个单位．3．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－2x－1的图像？【提示】y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，故只需把y＝x2的图像先向右平移1个单位，再向下平移2个单位．1．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向左平移h个单位长度(h>0)，再向上平移k个单位长度(k>0)得到．2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向右平移|h|个单位长度(h<0)，再向下平移|k|个单位长度(k<0)得到．在二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图像的开口大小及方向．3．将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像.【思路探究】选取二次函数上的特殊点及特殊的直线确定函数的草图．【自主解答】y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x)－6＝2(x2－2x＋1－1)－6＝2[(x－1)2－1]－6＝2(x－1)2－8.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，故函数图像与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，画出直线x＝1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如图所示．画二次函数的图像重点体现图像的特征“三点一线一开口”：1．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；2．“一线”是指对称轴这条直线；3．“一开口”是指抛物线的开口方向．画出函数y＝x2－4x－12的图像．【解】y＝x2－4x－12＝(x－2)2－16.函数图像开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，－16)．令y＝0，即x2－4x－12＝0得x＝－2或x＝6.故图像与x轴的交点坐标为(－2,0)，(6,0)．图像如图所示：。

高中数学241二次函数的图像教学设计北师大版必修1(数学教案)

③写出一个开口向下，顶点为
－ 3，的二次函数的解析式，并画出其图像 . [ 来源 :
学. 科. 网]
讨论结果：① h， k 只改变函数图像的顶点位置，不改变图像形状．
轴的对称点，这两个点和顶点合起来组成“三点”．
提出问题
①画出 y＝ x2 的图像．并填写表 1.
表1
x … －3 －2 －1 0
1
2
3…
x2[ 来
源 : 学科
…
…
网]
2x2 … ②观察表 2，要得到 2x2 的值，只要把相应的
… x2 的值扩大为原来的几倍？这种情况是如
何在图像上表现的？ ③如何由 y＝ x2 的图像得到 y＝ 2x2 的图像？
＋k，从而就可以知道由 y＝ ax2 的图像如何平移得到 y＝ ax2＋ bx＋ c 的图像．
y＝a( x＋ h) 2
提出问题
①二次函数 y＝a x＋ h 2＋ k a
中， h，k 对函数的图像有何影响？
②二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c a
中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？
确定函数图像位置的参数是什么？
④如何由函数 y＝ f ( x) 的图像得到函数 y＝ Af( x)( A＞0， A≠1) 的图像？
讨论结果： ①如图 1 是 y＝x2 的图像，
2
图1
如表 2 为所填表格：
表2
x
…
－3 －2 －1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x 2
…
18
8
2
0
2
8

秋学期高中数学北师大版必修一二次函数的图像教案1

§4.1 二次函数的图像教学目的：1、知识目标（1）理解二次函数的图像中a,b,c, h,k 的作用；（2）领会二次函数图像图像变换；（3）领悟2y x =和2(0)y ax a =≠的图像之间关系，2(0)y ax a =≠ 和2(),(0)y a x h k a =++≠的图像之间关系，2(0)y ax a =≠，和2(0)y ax bx c a =++≠的图像之间2、能力目标：（1）通过体验二次函数图像平移的研究，能迁移到其他的函数的图像上；（2）培养对参数进行讨论的能力。

3、情感目标：通过学习进一步体会数形结合思想的作用，感悟到数与形的辩证统一教学重点：二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用教学难点：领会二次函数图像移动、伸缩变化的方法教学方法：探究、推进教学过程：一、复习引入1、二次函数定义？2、二次函数的解析式有几种形式？3、二次函数的图像是怎样的？4、说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点(1) y = (x +2)2-1， (2) y = - (x -1)2+2 ， (3) y = a (x +h )2+k二、问题探索探索问题1：2y x =和2(0)y ax a =≠的图像之间有什么关系？实践探究1：在同一坐标系中做出下列函数的图像; 2y x =； 22y x =； 212y x = 研究他们图像之间的联系？结论1:1．二次函数2(0)y ax a =≠的图像可由的2y x =图像各点纵坐标变为原来的a 倍得到.2．a 决定了图像的开口方向: a >0开口向上，a <0开口向下.3．a 决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小；|a |越小图像开口就越大巩固性训练一：1、下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为21()4f x x =; 21()2f x x =; 21()3f x x =-; 2()3f x x =- 2、说出函数21()2f x x =的图像如何变换可以得到函数22y x =的图像探索问题2：2(0)y ax a =≠ 和 2(),(0)y a x h k a =++≠的图像之间有什么关系？实践探究2：在同一坐标系中做出下列函数的图像：22y x = ； 22(1)y x =+； 22(1)3y x =+- 研究他们图像之间的联系？观察发现2：二次函数2(),(0)y a x h k a =++≠，a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；而且“a 正开口向上，a 负开口向下”；｜a ｜越大开口越小；h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”。

二次函数的图像说课稿(精选6篇)

二次函数的图像说课稿（精选6篇）二次函数的图像说课稿 1尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像》，这是北师大版必修1第二章的第四节课。

下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。

一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。

概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。

一方面，本节课是对初中有关内容的深化，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。

2、教学目标定位。

根据教学大纲要求、新课程标准精神和高一学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。

第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k、h的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。

3、教学重难点。

重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。

难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中h、k的正负取值对函数图像平移变换的影响。

二、教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。

新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §4 4.1 二次函数的图像

+ �� + ��
= =
1238,,解得
��
= =
3, 1,
所以f(x)=3(x+1)2+1, 即f(x)=3x2+6x+4.
答案:C
123456
4已知二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图像必经过
点
.
解析:∵a+b=0,
∴当x=1时,y=1+a+b=1,
∴函数图像过点(1,1).
答案:(1,1)
123456
5把函数y=4x2的图像上各点的纵坐标变为原来的
1 4
,横坐标不变,所
得图像的函数解析式为
.
答案:y=x2
题型一题型二
【变式训练2】把二次函数y=x2-3x的图像向右平移2个单位长度,
再向下平移3个单位长度所得图像的对应函数解析式
为
.
解析:y=x2-3x=
��-3 22源自−9 4,
将函数y=
��-
3 2
2 − 9 的图像向右平移
4
2 个单位长度,得到函数 y= ��- 3 -2 2 − 9 的图像,即 y= ��- 7 2 − 9
2
即
f(x)=
1 2
��2
−
��
−
4.
2.图像变换先将二次函数的解析式整理成顶点式y=a(x+h)2+k(a≠0),再由二次函数y=x2的图像经过下列的变换得到:
【做一做2】将函数y=4x2+2x+1写成y=a(x+h)2+k的形式,并说

北师大版高中数学必修1《二章函数 4 二次函数的再研究 4.1 二次函数的图像》优质课教案_1

《二次函数的图像》教案
【三维目标】
1．知识与技能：
理解二次函数中参数a，h，k对图像的影响，熟练掌握对二次函数解析式进行配方。

掌握图像变换规律。

2．过程与方法：
让学生通过学习二次函数的图像变换，借助图形直观认识函数图像的变换,找到一般的变换规律,体会从特殊到一般以及数形结合的数学思想。

3．情感、态度与价值观：
通过图像的变换，展示数学中的图形美陶冶学生的情操，通过探究问题培养学生良好的思维品质。

【学习重点与难点】
重点：二次函数图像变换规律及应用。

难点：二次函数的图形变换规律迁移到其他函数。

教学过程：
渭南中学
李卫娟2017年12月。

北师大版高中数学必修一课件第二章441二次函数的图像

【方法总结】二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当形式．(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2) 顶点式： y ＝ a(x － h)2 ＋ k(a≠0) ． (3) 两根式： y ＝ a(x － x1)(x － x2)(a≠0)．
已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像与 y ＝－12x2＋2x＋3 的形状相同，开口方向相反，与直线 y＝x－2 的交点坐标为(1，n)和(m，1)．求这个二次函数的解析式．
7 2
5
根据下列条件，求二次函数的解析式： (1)图像经过点(0，2)，(1，1)，(3，5)； (2)图像经过(－3，2)，顶点是(－2，3)； (3)二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)最大值为 8.
【解】 (1)设 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵二次函数经过三点(0，2)，(1，1)，(3，5)，
2．图像变换 (1)把 y＝ax2(a≠0)的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)移动|h|个单位长度，得到 y＝a(x＋h)2 的图像． (2)把 y＝ax2(a≠0)的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)移动|k|个单位长度，得到__y_＝__a_x_2_＋__k __的图像．
1．研究二次函数的图像一般应考虑哪些方面？答：二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是一条抛物线．研究图像时一般考虑开口方向，对称轴，顶点．可先将解析式转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式．
解：∵y＝ax2＋bx＋c 的图像与 y＝－12x2＋2x＋3 的形状相同，开口方向相反，
∴a＝12，则 y＝12x2＋bx＋c，又(1，n)，(m，1)两点均在 y＝x－2 上， ∴n1＝＝1m－－22，，解得mn＝＝－3，1，即点(1，－1)和(3，1)均在所求抛物线上，

数学ⅰ北师大版第二章二次函数的图像教案

数学ⅰ北师大版第二章二次函数的图像教案教学目的：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用；领会二次函数图像移动的方法教学重点：二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用教学难点：领会二次函数图像移动的方法教学方法：逐层推进教学过程：一．复习引入说出以下函数的开口方向、对称轴、顶点(1)y=(x+2)2-1，(2)y=-(x -2)2+2，(3)y=a(x+h)2+k二、问题探究探究问题1：2y x =和2(0)y ax a =≠的图像之间有什么关系？实践探究1：在同一坐标系中做出以下函数的图像;2y x =;22y x =;212y x = 观看发明1:１.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图像可由的y=x 2图像各点纵坐标变为原来的a 倍得到.２.a 决定了图像的开口方向:a>o 开口向上，a<0开口向下.3.a 决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大巩固性训练一以下二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为(4),(2),(3),(1). 21()4f x x =;21()2f x x =;21()3f x x =-;2()3f x x =- 探究问题2：2(0)y ax a =≠和2(),(0)y a x h k a =++≠的图像之间有什么关系？实践探究2：在同一坐标系中做出以下函数的图像：22y x =；22(1)y x =+；22(1)3y x =+- 观看发明2：二次函数y=a(x+h)2+k(a ≠0),a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；而且“a 正开口向上，a 负开口向下”；｜a ｜越大开口越小；h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”。

巩固性训练二：１.将二次函数y=3x 2的图像平行移动,顶点移到〔－３，２〕，那么它的解析式为Y=3(x+3)2+2。

高一数学北师大版必修1教学教案第二章4-2二次函数的性质

必修1《二次函数的性质再研究》教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》（北师大版）第二章第二节第二课时《二次函数的性质再研究》。

关于《二次函数的性质》在初中已经学习过，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为二节课（探究图象及其性质）。

二次函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习其他初等函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以二次函数性质应重点研究。

二、学生学习况情分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。

基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，利用单调性、对称轴及顶点坐标求函数值域，本节课在课本给出的一个例题基础上研究了含参数二次函数值域的求解。

本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

三、设计思想1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。

如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是采用数形结合的思想，利用二次函数的性质求值域。

本节课，力图让学生通过对参数的讨论，从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究解决含参数函数的值域求解的方法，让学生去体会这种研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

2.结合新课程实施的教学理念，在本课的教学中我努力实践以下两点：（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究尝试培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

（2）在教学过程中努力做到师生的互动，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法数形结合的思想.四、教学目标根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够根据二次函数的定义域、单调性，求函数值域的性质，提高学生理解和掌握知识的方法.2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。

高中数学第二章函数第4节4.1二次函数的图像课件北师大版必修1

求二次函数的解析式
根据下列条件，求二次函数 y＝f(x)的解析式． (1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)； (3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
设二次函数列出含参数解方写出解【精彩点拨】的解析式 → 的方程组 → 程组 → 析式
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) _________________ (2) ________________________________________________________
阶
阶
段
段
一
三
§4 二次函数性质的再研究
4．1 二次函数的图像
学
阶段二
业分层测
评
[基础·初探]
教材整理 1 函数 y＝x2 与函数 y＝ax2(a≠0)
的图像间的关系
阅读教材 P41～P42 第 2 自然段结束有关内容，完成下列问题．二次函数 y＝ax2(a≠0)的图像可由 y＝x2 的图像各点的纵坐标变为原来的
3．在二次函数 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图像的开口大小及方向．
[小组合作型] 二次函数图像间的变换
在同一坐标系中作出下列函数的图像． (1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x. 并分析如何把 y＝x2 的图像变换成 y＝2x2－4x 的图像. 【导学号：04100027】【精彩点拨】对每个函数列表、描点、连线作出相应的图像，然后利用图像分析 y＝x2 与 y＝2x2－4x 的关系．

高一数学北师大版必修1教学教案第二章4-2二次函数的性质(1)

第二章 4.2 二次函数的性质教材内容解析：二次函数是高中数学最常用的函数，在全国各地的高考中是常考内容，考题形式多变。

本节内容是北师大版高中数学必修一第二章第四节“二次函数的性质”。

它是学生在初中学习了二次函数的基础上，用数学语言通过实例具体分析、观察、归纳更深层次的刻画二次函数的性质。

在学习过程中结合二次函数的图像展开思维，突破难点，使学生更好的理解并应用二次函数的性质解决问题。

教学三维目标：知识与技能：掌握二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值的求法；培养学生的观察分析能力，由特殊到一般的归纳能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题。

过程与方法：用数形结合的方法总结二次函数的性质，并灵活应用分类讨论解决含参问题，引导学生思考、探索，在解决问题中建构新知。

情感、态度与价值观：通过新旧知识的认识，激发学生的求知欲；在合作学习过程中培养学生团结协作的思想品质。

学生学情分析：高一学生在初中已经初步认识并学习了二次函数的图像与性质，具备了一定的观察、分析及概括能力，为二次函数性质的再次学习奠定了基础。

但是高中数学与初中数学相比，知识的难易程度有很大的提高，所以学生在语言表述、解题过程的书写、知识的灵活应用、从直观到抽象的转变等，对他们来说有很大的困难。

教学策略分析与设计：在教学中本着“问题——探究——反思——提高”的过程，开展所要学习的内容。

1、在自主学习的问题情境中，通过旧知识再现分析、观察，归纳直观到抽象的规律，并在从易到难的教学过程中学以致用。

2、在开放的情境中，独学、群学相结合。

通过生生互动、师生互动，鼓励每个学生动口、动手、动脑，让每个学生积极主动参与到整个课堂的知识构建中，在展现获取知识和方法的思维过程中，突出探究、合作，提高学生学习的兴趣和热情，使学生由“学会”变成“会学”和“乐学”。

教学过程：板书设计《二次函数的性质》课堂检测编写人：审核人：编写时间：周次：_____班_____组姓名：__________ 组评：_________ 师评：__________ A1、函数)2()(--=x x x f 的单调增区间为________________。

数学高一2.4.1二次函数的图象学案北师大必修1

普通高中课程标准实验教科书 [北师版] –必修1第二章函数§2.4.1二次函数的图象（学案）[学习目标]1、知识与技能(1) 通过绘制二次函数图象，观察二次函数图象的特征；(2) 通过画出具体二次函数的图象,总结二次函数2x y =和2ax y =以及 ()k h x a y +-=2的图象之间的关系和变换特征.(3) 利用多媒体绘画技术演示各函数图象之间的关系并能直观认识. 2、过程与方法(1)通过学习二次函数的图象，借助图形直观认识函数图象的变换,找到一般的变换规律,完成从直观到抽象的转变.(2)了解运用多媒体技术制作演示函数函数图象,理解和研究二次函数的性质. 3、情感.态度与价值观通过学习感受到学习二次函数图象的必要性与重要性，增强学习函数的积极性和自信心.[学习重点]:二次函数图象的变换.[学习难点]：二次函数图象的绘制与想象以及发展到一般函数图象的变换结论． [学习用具]：直尺、多媒体和画图纸 [学习方法]：观察、思考、交流、总结. [学习过程] 【新课导入】 [互动过程1]我们初中学习过二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线,了解了抛物线的开口方向、对称轴、顶点等特征以及与系数之间的关系.请同学们回顾二次函数()02≠++=a c bx ax y 的开口方向与谁的取值有关?抛物线的对称轴的方程是什么?顶点的坐标是什么?怎样表示出?练习 1.回答二次抛物线（1）322+-=x x y 的对称轴方程_________和顶点坐标__________;（2）11622++=x x y 的对称轴方程_______和顶点坐标________. [提出问题] 1．2x y =和()02≠=a ax y 的图象之间有什么关系?2．()02≠=a ax y 和()()02≠++=a k h x a y 的图象之间有什么关系?3．()02≠=a ax y 和()02≠++=a c bx ax y 的图象之间有什么关系?这三个问题是本节课所要解决的问题.引出课题： 2.4.1二次函数的图象1．请同学们列表画出函数2x y =和22x y =的图像x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x y = … 9 4 1 0 1 4 9 … 22x y =…18822818…[互动过程2]从表中你发现了什么?从图像上发生这样的变化?它们相对应的点之间有什么关系? 从表中我们不难发现,要得到22x 的值,只要把相应的2x 的值扩大____倍即可,在图像上则可以看出把线段AB________为原来的____倍,即AC 的长度,得到当1=x时, 22y x =对应的值.同理,其余的x 的值对应的2x 的值,都_____为原来的___倍,就可以得到22y x =的图像了.请你用类似的方法画出221x y =和22x y -=的图像. 思考:（1）221x y =和22x y -=的图像与2x y =和22x y =的图像之间有什么关系? （2）二次函数()02≠=a ax y 与2x y =的图像之间有什么关系?请你总结出规律. 规律：二次函数()02≠=a ax y 的图像可以由2x y =的图像变化得到，横坐标____________，纵坐标__________________到原来的_____________倍. （3）二次函数()02≠=a ax y 中a 起什么作用?从图上可以看出，a 决定了图像的_________和__________________________. [互动过程3]请画出22y x =与()2213y x =++的图像,并回答下列问题:1．抛物线22y x =与()2213y x =++的顶点分别是______________.对称轴和开口方向_________________________那么开口大小呢？开口大小与谁有关呢？ 2．22y x =与()2213y x =++的图像有什么关系?抛物线22y x =的顶点为____________开口向_________, 对称轴为____________, ()2213y x =++的顶点是_________, 开口向________,对称轴为______________.从图上可以看出只要把22y x =向_________平移__________个单位长度, 再向__________平移___________个单位长度就可以得到()2213y x =++的图像.,它们的形状相同,位置不同. [互动过程4]1．你能说出由函数23x y -=的图像怎样得到函数 ()2321y x =---的图像吗?2．如果把函数25x y -=向右平移2个单位,再向上平移3个单位,你得到的是哪个函数的图像?请你写出解析式_______________________________.3．思考:对于二次函数()()20y a x h k a =++≠,a 的作用是什么?h 和k 分别代表什么含义?结论:一般地, 二次函数()()20y a x h k a =++≠,a 决定了二次函数图像的_________及___________;h 决定了二次函数图像的________平移,而且遵循的原则为“____________________”;k 决定了二次函数图像的__________平移,而且“_______________________”.4．思考:对于一个一般函数()y f x a b =++的图像与函数()y f x =的图像之间的关系怎样?你能由函数()y f x =的图像得到函数()y f x a b =++的图像吗? [互动过程5]1．你能写出函数2422-+=x x y 的顶点坐标吗?有哪些方法？请你把方程改写为 ()()20y a x h k a =++≠的形式吗？你能说出函数的图象是由22y x =的怎样进行平移的吗?2．请举出一例形如()02≠++=a c bx ax y 的函数改写为()()20y a x h k a =++≠形式的函数吗?试试看.3．你能写出函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点坐标吗?请你把函数改写为顶点式()()20y a x h k a =++≠的形式. 并说明函数的图象是怎样由()02≠=a ax y 的图象变来的.变化规律为: c bx ax y ++=2=_________________________,即把函数()02≠=a ax y 的图象向__________________________________平移_______________个单位,然后再向_________________平移________________个单位.4．二次函数()02≠++=a c bx ax y 中,确定函数图像开口大小和方向的参数是什么?确定函数图像位置的参数是什么?5．写出一个开口向下,顶点为(-3,1)的二次函数的解析式,并画出其图像.例1.二次函数()f x 和)(x g 的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数)(x g 的解析式和()f x 图像的顶点,写出函数()f x 的解析式.O xy（1）函数2)(x x g =,()f x 的顶点为(4,-7); （2）函数2)1(2)(+-=x x g ,()f x 的顶点为(-3,2)练习: 1．画出函数22y x =的图像,并由此图像得到函数2245y x x =-+的图像.练习: 2．不画函数的图像,你能说出由函数2y x =的图像怎样得到函数21232y x x =--的图像吗?练习: 3.画出函数1y x =的图像,怎样得到函数123y x =-+的图像?.练习: 4.画出函数2yx=-的图像,你能由函数2yx=-的图像,得到函数382xyx-=-的图像吗?[解决的问题]：1．2 3．4．〖课后练习〗P44练习1,2,3.〖课后作业〗P46习题1,2,3。

高一数学北师大版必修1教学教案第二章4-1二次函数的图像

教学设计4.1 二次函数的图像教学分析二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的。

而在初中，已经学习了二次函数的概念和二次函数的图像与性质，因此本课的教学是在学生学过二次函数的上，运用图像变换的观点把二次函数2y x =的图像经过伸缩变换和平移变换，而得到二次函数2()(0)y a x h k a =++≠的图像。

并将这种平移变换迁移到一般的函数,由y=f(x)的图像得到y=f(x+a)+b 的图像。

教学目标知识与技能：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用；能够熟练地对二次函数解析式配方，研究二次函数的平移运动，并将其迁移到其他的函数过程与方法：结合教材中“问题提出”“动手实践”等栏目，引导学生思考，探索，在解决问题中构建新知情感、态度与价值观：通过图像的变换和展示优美的函数图像来陶冶学生的情操，通过探究问题培养学生主动交流的合作精神，善于探索的思维品质重点：二次函数图像的变换难点：将二次函数图像的平移变换迁移到其他函数教学过程一．引入新课在初中，我们已经学习过二次函数，知道它的图像为抛物线，并了解了图像的开口方向，对称轴，定点等性质。

本节课将进一步研究二次函数的图像与性质，而函数的图像特征是研究其性质的有利工具，为了进一步研究二次函数的性质，本节课我们先探究二次函数图像间的关系。

二．新课探究提出问题：①请回顾二次函数的定义；②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出草图？讨论结果①一般地，函数2(a,,0)y ax bx c b c a =++≠为常数，叫作二次函数．其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数．②有三种形式：一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；顶点式：2()(0)y a x h k a =++≠,顶点（h,k ）;交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠,其中12,x x 是图像与x 轴交点的横坐标.注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有交点式．当且仅当二次函数的图像与x 轴相交时，二次函数的解析式才有交点式．③二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画．探究问题1：函数2y x =与2(0)y ax a =≠的图像之间有什么关系？[师生共同活动]请同学们用列表法在同一直角坐标系下画出222y x y x ==与的图像2所示，就是把AB 伸长为原来的2倍，即AC 的长度，得到当x ＝1时y ＝2x 2对应的值；将y ＝x 2的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的2倍得到y ＝2x 2的图像．[学生活动]请同学们用类似的方法画出函数221--22y x y x ==与的图像，讨论下列问题（1）上面二次函数的图像开口大小由谁来决定？（2）如何由22a (0)y x y x a ==≠的图像得到的图像？教师给出动画展示a 对2(0)y ax a =≠的图像的影响并给出总结：（1）a 决定了图像的开口方向，a>0开口向上，a<0开口向下；（2）a 决定了图像在同一直角坐标系下的开口大小，|a|越小开口越大；（3）2(0)y ax a =≠的图像可由2y x =的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a 倍而得到.探究问题2：函数2y ax =与2()(0)y a x h k a =++≠的图像之间有什么关系？[学生活动]在同一坐标系中画出22y x =与22(1)+3y x =+的图像，回答下列问题：（1）抛物线22y x =与22(1)+3y x =+的顶点分别是多少？开口的大小由谁决定？（2）观察图像，如何由的图像22y x =得到22(1)+3y x =+的图像？ [讨论结果]把22y x =的图像向左平移1个单位长度得到22(1)y x =+的图像，再把22(1)y x =+的图像向上平移3个单位得到22(1)+3y x =+的图像．（如图）[动手实践]1.你能说出函数23y x =-的图像怎样得到函数23(2)1y x =---的图像吗？2.如果把函数23y x =向右平移2个单位，再向上平移5个单位，你得到的是哪个函数的图像？请你写出解析式.3. 由2y ax =怎样得到2()(0)y a x h k a =++≠的图像？4.思考：对于二次函数2()(0)y a x h k a =++≠，a 的作用是什么？h 和k 又有什么作用.教师给出动画展示a,h,k 对2()(0)y a x h k a =++≠的图像的影响并给出总结：二次函数2()(0)y a x h k a =++≠中，a 决定了图像的开口大小及开口的方向；h 决定了图像的左右平移，h 正左移，h 负右移；k 决定了图像的上下平移，k 正上移，k 负下移.探究问题3：函数2y ax =与2(0)y ax bx c a =++≠的图像之间有什么关系？[学生活动]思考：函数22y x =与2241y x x =+-的图像之间有什么关系？讨论结果：将2241y x x =+-的解析式转化成它的等价形式顶点式22(1)3y x =+-，由此知可将22y x =向左移1个单位，再向下移3个单位.师生共同总结将一般式转化成顶点式的步骤：提取二次项系数；配方；整理；化简. 教师总结:一般地，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可得到它的恒等形式2()(0)y a x h k a =++≠，再由2y ax =的图像经过平移得到它的图像.[巩固训练]1.由23(2)4y x =++的图像经过怎样的平移变换，可以得到23y x =的图像？2.把函数22y x x =-的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得到的图像对应的函数解析式为___________________[教师总结]上面我们经历了由2y x =的图像得到2y ax =的图像，由2(0)y ax a =≠的图像得到2()(0)y a x h k a =++≠的图像的变换过程，那么由二次函数的平移变换，我们能否将它迁移到一般的函数呢？探究问题4：能否由y=f(x)的图像得到函数y=f(x+a)+b 的图像？让学生讨论上述问题，教师加以引导得到下列结论：应用举例例1.画出1y x =的图像，怎样得到函数11y x =+和121y x =-+的图像？设计意图：反比例型函数是后面经常碰到的函数，并将上面得到的结论加以应用. 解析：将1y x=的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 例2.二次函数f(x)和g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像上的点，求出函数f(x)的解析式：（1）函数2()g x x =,f(x)的顶点为（4，7）;（2）函数2()2(1)g x x =-+，f(x)的图像过点（0,2），（1，6）；设计意图：选择适当的解析式形式求二次函数的解析式.解析：（1）二次函数f(x)的图像与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，则设其解析式为f(x)＝(x ＋h )2＋k ，f (x )图像的顶点是(4，－7)，所以f (x )＝(x －4)2－7＝x 2－8x ＋9；（2）设2()2(0)f x x bx c a =-++≠，则(0)2(1)26f c f b c ==⎧⎨-=--+=-⎩所以26c b =⎧⎨=⎩ 则2()262f x x x =-++备选例题：画出2y x -=的图像，怎样得到351x y x -=-的图像？课堂小结：①a,h,k 对二次函数2()(0)y a x h k a =++≠图像的影响；②函数2y x =与函数2()(0)y a x h k a =++≠的图像变换规律；③函数y=f(x)与函数y=f(x+a)+b 的图像变换规律.布置作业：习题24 A 组47P 1,2,34.画出函数1y x -=的图像，怎样得到函数123y x -=-+的图像？板书设计：一.二次函数的定义二.探究的四个问题： ①2y x =2(0)y ax a =≠②2y ax =2()(0)y a x h k a =++≠③2y ax =2(0)y ax bx c a =++≠④()y f x =()y f x a b =++三.例题的讲解四.学生板书五.课堂小结六.布置作业本节课的教学设计中，主要涉及图像的移动，“形”十分突出，因此教师一定要注意用好“形”，但是，又不能仅仅满足于对“形”的认识，教材还设置了“抽象概括”，意在从形出发，然后升华为对一般的函数的平移变换认识．这在上课时由学生自己根据提供的资料悟出，然后根据将它加以应用。

2.4.1二次函数的图像教案秋学期高中数学北师大版必修1

2.4.1二次函数的图像一. 教学内容：二次函数的图像二. 教学要求：1. 掌握二次函数的对称性、单调性、最值公式及图象。

理解并掌握二次函数、二次方程与二次不等式的内在联系，能利用“数形结合”，“判别式”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况及二次不等式的解集。

2. 理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质。

3. 掌握指数与对数函数的概念，图象和性质，会用定义法证明指数函数与对数函数的单调性，能应用其性质解（证）相关问题。

三. 知识串讲（一）二次函数1. 形如f(x)＝ax 2+bx+c （a ≠0）的函数叫做二次函数。

（1）二次函数的解析式一般式：f x ax bx c a ()()=++≠2顶点式：，其中，为顶点坐标。

f x a x m n a m n ()()()()=-+≠20两根式：，其中，是二次式的根。

f x a x x x x a x x ()()()()=--≠12120（2）图象和性质直线为抛物线的对称轴，顶点坐标为，x b a b a ac b a =---22442()a xb a f x >∈-∞-02时，抛物线开口向上，，时，单调递减(]()x b a f x ∈-+∞[)()2，时，单调递增x b a y ac b a =-=-2442时，mina xb a f x <∈-∞-02时，抛物线开口向下，，时，单调递增(]()x b a f x ∈-+∞[)()2，时，单调递减x b a y ac b a =-=-2442时，max 2. 二次函数、二次方程与二次不等式y ax bx c a =++>20() ∆=-b ac 24∆>⇔++=<0021212ax bx c x x x x 有两个不等实根，（设）⇔=++抛物线与轴有两个交点，，，y ax bx c x x x 21200()() 则的解集为或ax bx c x x x x 2120++><>ax bx c x x x 2120++<<<的解集为∆=⇔++===-002212ax bx c x x b a 有两个相等实根⇔=++-抛物线与轴有一个交点，y ax bx c x b a 220() 则的解集为且ax bx c x R x b a 202++>∈≠-ax bx c 20++<∅的解集为∆<⇔++=002ax bx c 无实数根 ⇔=++抛物线与轴没有交点y ax bx c x 2则的解集为ax bx c R 20++>ax bx c 20++<∅的解集为如下图：y ax bx c a b ac =++>=-2204()∆3. 二次函数在闭区间上必有最大、最小值，它们只能在区间端点或顶点处取得。