信号与系统第6章 连续信号的复频域分析

ຫໍສະໝຸດ Baidu开始，从而得
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例 6.1.5 求单边指数信号 f（t）= e-atu（t）（ 实数 a >0）的单边拉普拉斯变换 F（s）。
解 由定义求得
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例 6.1.6 求双边指数信号 f（t）= e-a|t|（实数 a >0）的单边拉普拉斯变换 F（s）。 解 由定义求得
6.2.3 尺度变换性质
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与傅里叶变换的尺度变换性质不同，这里要求 a >0。如果 a <0，并且 f（t）为因果信号，则 f（at）为反因果信号，其单边拉普拉斯变换恒为零 。
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6.2.4 复频移性质
6.2.5 时域微积分性质
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6.2.6 复频域微积分性质
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例 6.2.2 求如图 6.2.1（a）和图 6.2.1（b）所 示信号的拉普拉斯变换。
解 根据定义得到 f1（t）和 f2（t）的拉普拉斯 变换分别为
显然结果是错误的。其主要原因在于 f1（t） 为双边信号。
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图 6.2.1 例 6.2.2图
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图 6.1.1 s平面、零极点图与收敛域
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例 6.1.2 求反因果信号 f（t）= - e-atu（ - t）（ 实数 a >0）的拉普拉斯变换 F（s）。 解 根据拉普拉斯变换的定义得到
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式（6.2.8）称为复频域微分性质，式（6.2.9 ）称为复频域积分性质。
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6.2.7 时域卷积性质
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时域卷积性质说明，在时域中两个信号的卷积 运算，等价于在复频域中将两个信号的拉普拉斯变 换直接相乘，从而将时域中的卷积运算化简为复频 域中的代数运算。时域卷积性质是系统复频域分析 方法的理论基础之一。
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6.2.1 线性性质
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线性性质说明，信号的拉普拉斯变换满足齐次 性和叠加性。根据该性质，如果某信号能分解为一 些基本信号的线性组合，则可由这些基本的拉普拉 斯变换通过简单的代数运算求出该信号的拉普拉斯 变换。
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例 6.2.1 求 f（t）= sinω0tu（t）的拉普拉斯变 换 F（s）。
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6.2.8 初值和终值定理 因果信号 f（t）的初值和终值分别定义为
设信号 f（t）的拉普拉斯变换为 F（s），则 初值和终值定理分别描述为
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6.3 拉普拉斯反变换
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6.1.3 单边拉普拉斯变换 在式（6.1.1）中，积分区间从 t= - ∞ 开始， 同时包括了 t>0和 t<0两部分，因此将其称为双边
拉普拉斯变换。实际系统中的信号大多数都是因果
信号。根据因果信号的定义，在求其拉普拉斯变换 时，由于 t<0时信号恒为零，则只需考虑 t>0的部 分。另外考虑到信号中可能包括在 t=0时的单位冲 激信号及其各阶导数，则可将积分区间取为从 t=0-
为得到以上结果，必须满足 σ < -a，此即为该 反因果信号拉普拉斯变换的收敛域，在 s平面为穿 过极点 p1= -a左边的区域。如图 6.1.2所示。
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图 6.1.2 反因果信号拉普 拉斯变换的收敛域
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根据拉普拉斯变换的收敛域及其极点的定义， 显然，拉普拉斯变换的收敛域与其极点之间存在密 切关系。这一关系可以总结为：
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第6章 连续信号的复频域分析
在信号和系统的时域和频域分析方法中，采 用的基本信号为单位冲激信号或复简谐信号。由 于频域分析方法是基于信号的频谱特性和系统的 频率特性对系统进行分析，因此，这种方法是信 号处理和系统分析与设计的重要基础。但是，频 域分析方法有很多局限性。例如，有些信号不存 在傅里叶变换和频谱密度，不稳定的系统不存在 频率特性，信号的频谱和系统的频率特性计算较 复杂，等等。
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6.1.4 常用信号的拉普拉斯变换 表 6.1.1给出了常用信号的单边拉普拉斯变换。
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6.2 拉普拉斯变换的性质
与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有一系列 重要性质。利用这些性质，再结合基本信号的拉普 拉斯变换，是求解复杂信号拉普拉斯变换的重要方 法。此外，这些性质也是线性系统复频域分析的重 要基础。
解 根据欧拉公式有
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6.2.2 时移性质
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需要注意的是，单边拉普拉斯变换的时移性质 只适用于因果信号向右平移后得到的信号。如果 f （t）为双边信号，则根据此性质，由 f（t）的单边 拉普拉斯变换 F（s）求 f（t-t0）的单边拉普拉斯变 换将得到错误的结果。
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①因果信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部最 大的极点右边的区域。
②反因果信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部 最小的极点左边的区域。
③双边信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部相 邻的两个极点之间平行于虚轴的带状区域。
④所有时限信号拉普拉斯变换的收敛域为除去 σ = -∞ 或 +∞ 以外的整个 s平面。
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图 6.1.3 双边信号拉普拉斯变换的收敛域
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例 6.1.4 求门信号 f（t）=gτ（t）的拉普拉斯 变换 F（s）。
解 门信号是典型的时限信号，由定义求得其 拉普拉斯变换为
为得到上式结果，只需满足 σ≠ -∞ ，因此收敛 域为 σ > -∞ 的整个 s平面。
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例 6.1.3 求双边指数信号 f（t）= e-a|t|，a >0 的拉普拉斯变换 F（s），并确定其收敛域。 解 根据定义求得
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由式（6.1.5）求得 F（s）的极点为 p1= - a， p2= a，则其收敛域为 p1<σ < p2，即 -a <σ <a，如 图 6.1.3所示。