信号与系统第6章 连续信号的复频域分析
《信号与系统》复习
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[X(j)/2p]d 的虚指数信号ejw t的线性组合。
简述傅氏反变换公式的物理意义？
傅里叶变换性质
F 时移特性 x(t t 0 ) X( j) e jt
0
x(t)
X(j)
展缩特性
1 F x (at) X( j ) a a
(n = 1,2) (n = 1,2)
奇对称周期信号其傅里叶级数只含有正弦项。
周期信号的傅里叶级数 周期信号x(t) 如图 所示，其傅氏级数系数的特点是
偶对称周期信号其傅里叶级数只含有直流项与余弦项 周期信号f(t)如图所示，其直流分量等于_____
周期信号的频谱及特点
Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
《信号与系统》复习
考核方式
平时成绩20％ 实验成绩20％ 期末成绩60％
题型： 选择题（每题3分，共30分） 填空题（每空2分，共20分） 简答题（每题4分，共20分）
计算题（每题10分，共30分）
第一章：信号与系统分析导论
周期信号平均功率计算 若电路中电阻R=1Ω，流过的电流为周期电流i(t)＝ 4cos(2πt)＋2cos(3πt) A，其平均功率为（ ） 系统的数学模型 连续时间系统：系统的输入激励与输出响应都必须为 连续时间信号，其数学模型是微分方程式。 离散时间系统： 系统的输入激励与输出响应都必须 为离散时间信号，其数学模型是差分方程式。
L[ yzs (t )] Yzs ( s) H ( s) L[ x(t )] X ( s)
写出系统函数H (s) 的定义式
简述拉氏变换求解微分方程的过程
第六章信号与系统的时域和频域特性
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
信号与系统知识点
| T0 2
−T0 2
x(t) |2
dt
=
∞ n=−∞
Cn
2
A → A2
B
sin
(ω0t )
→
B2 2
C
cos
(ω0t
)
→
C2 2
6、 连续非周期信号表达为 e jωt (−∞ < t < ∞) 的线性组合
∫ x(t) = 1 ∞ X ( jω)e jωtdω 2π −∞
x(t) ⇔ X ( jω)
∫ X ( jω) = ∞ x(t)e− jωtdt −∞
7、常用连续非周期信号的频谱
δ (t ),u (t ),sgn (t ), e−αtu (t ),sin (ω0t ), cos (ω0t ), e± jω0t , Sa (ω0t ),δT0 (t) ，矩形波、三
角波等
8、傅里叶变换的性质（用会）
第 3 章 系统的时域分析
1、系统的时域描述
连续 LTI 系统：线性常系数微分方程
y (t )与x (t ) 之间的约束关系
离散 LTI 系统：线性常系数差分方程
y[k]与x[k ]之间的约束关系
2、 系统响应的经典求解（一般了解） 衬托后面方法的优越
纯数学方法
全解=通解+特解
y (t ) = yh (t ) + yp (t )
项）（一般了解）
h[k ] ：等效初始条件法（一般了解）
4、 ※卷积计算及其性质
∫ y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∞ x(τ )h(t −τ )dτ −∞ ∞
y [k ] = x[k]∗ h[k] = ∑ x[n]h[k − n] n=−∞
第6章-频域分析
1. 电路的频域分析
研究在不同频率的正弦激励作用下电路的稳态响 应，从而获得电路的频率特性。
2. 本章主要介绍
频域分析中的交流小信号分析 零极点分析。
计算机辅助电路设计与分析
RED APPLE STUDIO
1
6.1 交流小信号分析
1. 交流小信号分析
[1] 研究对象：在小信号输入情况下，电路的电压增益、频率 特性等性能。
计算机辅助电路设计与分析
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30
可以将F表示为以下两个等价的形式：
（1）多项式之比：
（2）多项式根的形式：
n
aiS i
F
i0 m
bjS j
i0
n
(S zi )
F(S) K
i0 m
(S pj )
j0
式中ai
,
b
为常数。
j
式中zi和p j分别是F (S)的零点和极点。
若输入源为1，则F为电路的传输函数，其形式可为： F(S) N(S) D(S ) 其中，N (S )和D(S )由上式定义。
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31
6.2 零极点分析
2. 网络函数的计算机生成方法 [1] 网络函数分母的生成：在频域分析的每个频点（对应一
个Si）上，对电路方程TX=B的系数矩阵T进行分解，有： LUX=B
在下右图所示的二极管交流小信号模型中，GDM和CD均依赖 于直流工作点。
ID RS
GDM RS
CD 二极管原始模型
CD 二极管交流小信号模型
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信号与系统复习课件全
(2) (b)计算零状态响应:
yzs [k ]
n
x[n]h[k
n]
u[k
]
3(
1 2
)
k
2( 1 ) k 3
u[k
]
n
u[n]
3(
1 2
)kn
2( 1 ) k n 3
u[k
-
n]
k n0
3(
1 2
)k
n
2( 1 ) k n 3
k 3(1 )kn k 2(1)kn
n0 2
CLTI系统数学模型——线性常系数微分方程，冲
激响应h(t);系统函数H(s);频率响应特性H( jw)
H (s) Yzs (s) X (s)
LT
h(t) H(s)
H ( j) H (s) |s j (系统稳定)
FT
h(t) H(j )
26
DLTI系统数学模型——线性常系数差分方程；冲
激响应h(n);系统函数H(z);频率响应特性H(ejw).
则
yzi[k ]
C1
(
1 2
)k
C2
(
1 )k 3
，k
0
代入初始条件,有:
y[1] 2C1 3C2 0
y[2] 4C1 9C2 1 C1 1/ 2, C2 1/ 3
则
yzi[k ]
1 2
(1)k 2
1 3
( 1 ) k ，k 3
0
= ( 1 )k1 (1)k1，k 0
2
3
17
n0 3
[ 3 3(1)k (1)k ]u[k] 23
完全响应: y[k] yzi[k] yzs[k]
[ 1 7 (1)k 4 (1)k ]u[k]
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
第六章连续信号与系统复频域分析
第六章连续信号与系统复频域分析第六章习题6.1是非题（下述结论若正确，则在括号内填入√，若错误则填入某）1．若L[f(t)]F(),则L[f(tt0)]etF()（）02．L1ein(t1)（）211(1)3．拉氏变换法既能求解系统的稳态响应，又能求解系统的暂态响应。
（）4．若已知系统函数H()，激励信号为某(t)e2tu(t)，则系统的自由响应中必包含稳态响应分量。
（）5．强迫响应一定是稳态响应。
（）6．系统函数与激励信号无关（）6.2求L[2e()d]t6.3已知系统函数的极点为p1=0，p2=-1，零点为z1=1，如该系统的冲激响应的终值为-10，求此系统的系统函数H（）。
6.4对于题图所示的RC电路，若起始储能为零，以某（t）作为激励，v2(t)作为响应，0.5F+某（t）-2Ω+（1）…01234t某（t）v2（t）-1．求系统的冲激响应h（t）与阶跃响应g（t），并画出h（t）及g（t）的波形；2．若激励信号某1(t)u(t)u(t1)，求系统响应v2(t)；3．若激励信号某2（t）如题图所示，求系统响应v2(t)。
126.5系统如题图所示，L=1H，R=2Ω，C=RLEi(t)F，t=0以前开关位于“1”，电路已进入稳定状态；t=0开关从“1”倒向“2”，12RC1．画出系统的域模型；2．求电流i（t）。
6.6有一一阶低通滤波器，当激励为intu（t）时，自由响应为2e3tu(t)，求强迫响应（设起始状态为零）。
6.7电路如题图所示，某（t）为激励信号，以vc(t)作为响应。
2Ω+某（t）-1H+1Fvc（t）-1．求该系统的系统函数H（）及冲激响应h（t）；2．画出该系统的域模型图（包含等效电源）；3．求系统的起始状态iL(0),vc(0)，使系统的零输入响应等于冲激响应；4.求系统的起始状态iL(0),vc(0)，使系统对某(t)u(t)的全响应仍为u(t)。
6.8选择题（每小题可能有一个或几个正确答案，将正确的题号填入（）内）1．若一因果系统的系统函数为H()论——————————（）（1）若bi0(i0,1,n,且n2)，则系统稳定。
信号与系统-第6章信号与系统的时域和频域特性
1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系； 2.利用对数坐标的非线性，可以展示更宽范围的频 率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略； 3.对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相位 特性的直线型渐近线。 工程中广泛应用的有两种对数模：
ln H( j) lg 单位：奈培（Np） 20lg H( j) lg 单位：分贝（dB） （decibel）
1
- c c
低通
2 2 c
1
- c c 2 c
高通
1
- 2 1 0 1 2
带通
1
- 1 1 2
2
带阻
25
各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。
离散时间理想滤波器的特性在 区间上，与相应
的连续时间滤波器特性完全相似。
三.理想滤波器的时域特性 以理想低通滤波器为例
1,
H ( j)
二维傅里叶变换的相位
模保持，相位为0的图10
相位保持，模全1的图 像
相位保持，模换为(g)的模
11
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
（The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems）
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
无论CTFT还是DTFT，一般情况下都表现为 一个复函数。
X ( j) X ( j) e j X ( j) X (e j ) X (e j ) e j X (e j )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
第6章_信号与系统的复频域分析2-12
∫
∞
0−
e − at e − st dt
e
1 , s+a
1 , Re{s} > − a = X (s) e 双边 s+a
s
当 x(t) 不 是 因 果 时 ， 单边和双边拉普拉 斯是不一样的。
单边拉普拉斯变换的性质
大部分与双边变换相同。 主要不同：时域微分、积分性质 时域微分性质
dx(t ) L ← → sL ( s ) − x(0 − ) dt
∫σ
σ + j∞
− j∞
X ( s )e ds
st
部分分式展开法:(有理函数)
N ( s ) b0 + b1s + ....bm s m X ( s) = = D( s ) a0 + a1s + ....an s n
采用部分分式展开法 : 将有理拉氏变换式 展开成低阶的线性组合 , 其中每一个低阶项的 反变换,由拉氏变换性质或者查表得到
注意收敛区域：左边信号、右边信号，双边信号
(1) X(s)分母多项式有n个互异实根
b0 + b1s + ....bm s m N (s) X (s) = = D( s ) an ( s − p1 )( s − p2 )...( s − pn )
kn N (s) k1 k2 X (s) = = + + ... + D( s ) ( s − p1 ) ( s − p2 ) ( s − pn ) ki =∑ i =1 ( s − pi )
n =0
L{xs (t )} = ∫ x(nT )∑ δ (t − nT )e dt = ∑ x(nT )(e − sT ) n
连续信号与系统的复频域分析
https://
2023 WORK SUMMARY
THANKS
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REPORTING
PART 01
连续信号的复频域表示
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换定义
将时间域的连续信号转换为频率 域的表示，通过积分将时间函数 与其复指数函数相乘，得到频谱 函数。
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、对称 性、微分性、积分性等。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号分析
通过傅里叶变换将信号分 解为不同频率的分量，便 于分析信号的频率成分和 特征。
复频域分析的原理
复频域分析的应用
复频域分析是一种将连续时间信号和 系统从时域转换到复频域的方法。通 过在复频域内分析信号和系统的性质 ，可以更方便地处理信号的频谱、系 统的稳定性以及频率响应等问题。
复频域分析在通信、控制、图像处理 、音频处理等领域有着广泛的应用。 例如，在通信领域中，信号的调制和 解调过程通常需要在复频域内进行。 在控制领域，系统的稳定性分析和控 制策略的设计也需要用到复频域分析 。
将低频信号调制到高频载波上，实现信号的传输和放大。
解调
将已调信号从载波中分离出来，还原为原始信号。
信号的滤波与去噪
滤波
通过一定的滤波器对信号进行滤波处理，提取所需频率成分，抑制噪声和干扰。
去噪
采用各种去噪算法对信号进行降噪处理，提高信号的信噪比。
PART 04
连续信号与系统的复频域 分析在实际中的应用
通信系统中的信号处理
01
信号调制与解调
在通信系统中，信号通常需要经过调制和解调过程才能传输。复频域分
析可以用于分析信号在调制和解调过程中的频谱变化，从而优化传输性
信号的复频域分析
← ⎯→
L ← ⎯→
L
n
← ⎯→ ← ⎯→
L
L
1 s 1 s2 n! s n +1 1 (s + λ ) 2
Re( s ) > 0 Re(s) > 0 Re(s) > 0 Re(s) > −λ
u (t )
e e
−σ 0t
s +σ0 cos ω 0 t u (t ) ← ⎯→ 2 (s + σ 0 ) 2 + ω 0
f (t ) | e−σt dt = C
对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足
lim f (t )e −σt = 0
t →∞
(σ>σ0)
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件
单边拉普拉斯变换存在的条件 单边拉普拉斯变换
jω 收 左半平面 敛 右半平面 S平面
σ0
区
σ
σ>σ0称收敛条件
σ0称绝对收敛坐标
n −1
n −1
(0 − )
= s n F ( s) −
∑
r =0
s n − r −1 f r ( 0 − )
若 f(t) = 0, t<0, 则有f r(0 −) = 0，r=0,1,2,...
d n f (t ) L n ← ⎯→ s F (s) n dt
例5 试求如图所示信号的单边Laplace变换。 解：
cos ω 0 t u (t ) ← ⎯→
L
s 2 s 2 + ω0
Re( s ) > 0
sin ω 0 t u (t )
← ⎯→ ← ⎯→ ← ⎯→
L L
L
ω0 2 2 s + ω0
信号与系统的实验报告（2）
信号与系统实验报告——连续时间系统的复频域分析班级：05911101学号：**********姓名：***实验五连续时间系统的复频域分析——1120111487 信息工程（实验班）蒋志科一、实验目的①掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MA TLAB 实现方法 ②学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及其复频域分析方法③掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理与方法 1、拉普拉斯变换连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为：X s =x (t )e −st dt +∞−∞拉普拉斯反变换为：x t =12πj X (s )e st ds σ+j ∞σ−j ∞在MA TLAB 中可以采用符号数学工具箱中的laplace 函数和ilaplace 函数进行拉氏变换和拉氏反变换。
L=laplace(F)符号表达式F 的拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。
L=laplace(F,t)用t 替换结果中的变量s 。
F=ilaplace(L)以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量t 的结果表达式。
F=ilaplace(L,x)用x 替换结果中的变量t 。
2、连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是系统单位冲激响应的拉氏变换H s =ℎ(t )e −st dt +∞−∞此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和输出信号的拉氏变换之比得到H s =Y(s)/X(s) 单位冲激响应h(t)反映了系统的固有性质，而H(s)从复频域反映了系统的固有性质。
对于H(s)描述的连续时间系统，其系统函数s 的有理函数H s =b M s M +b M−1s M−1+⋯+b 0a n s n +a n −1s M−1+⋯+a 03、连续时间系统的零极点分析系统的零点指使式H s 的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统函数的值无穷大。
RLC系统的复频域分析(信号与系统)
解 (1) 求完全响应iL(t)：
＋
u s1(t)
＋ －
(a)
＋ －
u C(t) L
－
u s1 ( t ) iL ( 0 ) = = 1A R1 + R2
−
R2 uC (0 ) = us1 (t ) = 1V R1 + R2
−
t＝ 0 S 1
R1 2
R2 i L(t) C
＋
u s1(t)
＋
u s2(t)
＋ －
u C(t) L
－
－
(a)
R1 1 sC I1(s)
R2 IL(s) I2(s) L
＋
Us2(s)
＋ －
(b)
－
u C(0－) s
－ ＋
Li L(0－)
则S域的网孔方程为
1 1 uC (0− ) R1 + sC I1 ( s ) − sC I 2 ( s ) = U S 2 ( s ) − s 1 uC (0− ) 1 I1 ( s ) + − + R2 + sL I 2 ( s ) = + LiL (0− ) sC s sC
di (t ) u(t ) = L dt 1 t i (t ) = i (0 ) + ∫ − u (τ )dτ L 0
−
t ≥ 0
(4.6-5)
U ( s ) = sLI ( s ) − Li (0 ) U ( s ) = sLI ( s )
−
1 i (0 ) I (s) = U (s) + sL s
连续时间系统的复频域分析
信号与系统实验报告实验题目： 实验三：连续时间系统的复频域分析实验仪器： 计算机，MATLAB 软件101b s b a s a ++++++称为系统的特征多项式，征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。
为将个特征根，这些特征根称为()F s 极点。
根据求函数21()(1)F s s s =-的拉氏逆变换。
源代码：num = [1]; 结果为：r ＝-1 1 1 a=conv([1 -1],[1 -1]);den = conv([1 0], a); p ＝1 1 0 [r,p,k] = residue(num, den); k=03.示例3：求函数2224()(4)s F s s -=+的拉氏逆变换源代码：num = [1 0 -4];den = conv([1 0 4], [1 0 4]); [r,p,k] = residue(num, den);结果为：r ＝-0.0000-0.0000i 0.5000+0.0000i -0.0000+0.0000i 0.5000-0.0000ip ＝-0.0000+2.0000i -0.0000+2.0000i -0.0000-2.0000i -0.0000-2.0000i k=04.示例4：已知系统函数为：321()221H s s s s =+++，利用Matlab 画出该系统的零极点分布图，分析系统的稳定性，并求出该系统的单位冲激响应和幅频响应。
源代码： num=[1];den=[1 2 2 1]; sys=tf(num,den); poles=roots(den); figure(1);pzmap(sys);xlabel('Re(s)');ylabel(' Im(s)');title('zero-pole map'); t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t); figure(2);plot(t,h);xlabel('t(s)');ylabel('h(t)');title('Impulse Response'); [H,w]=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H));xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('|H(j\omega)|');title('Magenitude Response'); 结果为：poles =-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i (2) 已知象函数，试调用residue 函数完成部分分式分解，并写出逆变换。
连续信号与系统的复频域分析1
二.拉普拉斯变换的复频域分析 ［1］三大域分析 信号的时域分析：将信号分解成许多的冲激信号或阶跃信号 信号的频域分析：将信号分解成许多虚指数信号或等幅正弦信号 信号的复频域分析：将信号分解成许多复指数信号或幅度以指数规律变化 的正弦信号。 可见各个域的分析不同只是信号分解的基本单元函数不同。
当 s j 则傅复频域分析 拉普拉斯变换同时具有傅里叶变换的特性也能将系统的微分方程变成代数方 程且自动引入初始值，其拉普拉斯反变换有很方便。因此可以一举求出系统 的全响应，使之应用更为简捷。这也是线性系统分析经常用拉普拉斯变换而 不用付里叶变换的原因。但这不意味着傅氏变换就没用了，傅氏变换还是用 来分析信号和系统的频率特性的主要手段。 ［3］系统函数的零极点分析系系统综合的重要基础
［2］尺度变换性
开始
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结束
［3］延时特性
［4］复频移特性
［5］时域微分特性
［6］时域积分特性
开始
上一页 下一页
结束
［7］时域卷积特性
［8］初值定理
［9］终值定理
［10］周期信号的拉氏变换
f1 (t ) F1 ( s) fT (t ) F1 ( s) 1 e sT
开始
冲激响应应绝对可也应该有限开始上一页下一页结束2系统稳定性的充分必要条件稳定系统s域系统函数的全部极点位于s左半平面不包括虚轴时域临界稳定系统s域系统函数的极点位于s平面的虚轴上且只有一阶极点时域不稳定系统s域系统函数的全部极点位于s右半平面或者在原点和虚轴有二阶或二阶以上的重极点时域3系统稳定性判定罗斯霍尔维兹准则是在不解方程情况下判断代数方程的根有几个正实部的开始上一页下一页结束罗斯准则
实例：
信号与系统§6.1线性系统复频域分析法
电阻R的运算阻抗可以表示为R UR(s)
IR (s)
R iR (t)
R IR(s)
vR t
VR(s)
2. 电感元t
n
i0
ai
siR(s)
i1 k 0
si1k
r
(k
)
(0
)
m
bjs jE(s)
j0
（6-4）
即
n i0
ai si
R(s)
n i0
ai
i1 k0
si
1k
r
(k
)
(0
)
m
bjs
j0
设系统的初始状态为r(0 ),r(0 ) ，…，r(n1) (0 ) 。根据
拉氏变换的时域微分特性，响应信号r(t) 及其各阶导
数的拉式变换为
i 1
L r(i) (t) si R(s) si1k r(k) (0 ) k 0
(i 0,1,L , n)
(6-2)
如果激励信号 e(t) 为有始信号，且L e(t) E(s), 将 e(t)
设为 t 0 时的接入，则在 t 0 时 e(t) 及其各阶导
数都为0，即 e( j) (0 ) 0( j 0,1, 2,L , m) ，于是激励信号
e(t) 及其各阶倒数的拉式变换为
L e( j) (t) s j E(s) ( j 0,1,L , m) （6-3） 对式（6-1）的两边取拉式变换，并利用式（6-2）、 （6-3），得
实验六连续信号与系统的复频域分析及matlab实现
实验六连续信号与系统的复频域分析及matlab实现实验目的：（1）掌握连续系统及信号拉普拉斯变换概念（2）掌握利用MATLAB绘制系统三维曲面图的方法（3）掌握利用MATLAB求解拉普拉斯逆变换的方法实验内容：12.1程序：（1）：f1=(1-exp(-2.5*t))*heaviside(t)syms tf1=(1-exp(-2.5*t))*heaviside(t);F1=laplace(f1);F1F1 =1/s - 1/(s + 5/2)（2）： f2=t^2*exp(-2*t)*heaviside(t)syms tf2=t^2*exp(-2*t)*heaviside(t);F2=laplace(f2);F2F2 =2/(s + 2)^3（3）： f3=(3*sin((pi/2)*t-(pi/4)))*heaviside(t)syms tf3=(3*sin((pi/2)*t-(pi/4)))*heaviside(t);F3=laplace(f3);F3F3 =(3*2^(1/2)*pi)/(4*(s^2 + pi^2/4)) - (3*2^(1/2)*s)/(2*(s^2 + pi^2/4))12.2程序：（1）：F=(s+2)/(s^2+6*s+8)sym s;L=sym('(s+2)/(s^2+6*s+8)');F=ilaplace(L)F =exp(-4*t)（2）：F=1/(s^2*(s+1))sym s;L=sym('1/(s^2*(s+1))');F=ilaplace(L)F =t + exp(-t) - 112.4程序：（2）：a=-5:0.1:5;b=-4:0.08:4;[a,b]=meshgrid(a,b);t=a+i*b;F=abs(cos(pi*t)*(heaviside(t)-heaviside(t-2))); mesh(a,b,F);surf(a,b,F);colormap(hsv);title('cos(pi*t)[u(t)-u(t-2)]的拉氏变换曲面图');实验小结：通过实验我掌握了利用MATLAB绘制系统三维曲面图的方法，掌握了利用MATLAB求解拉普拉斯逆变换的方法。
连续时间信号与系统的复频域分析课件
子e-t使之变为收敛函数，满足绝对可积条件；从物理意义
上看，是将频率ω变换为复频率s，ω只能描述振荡的重复
频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡的增长的
速率或衰减速率。
例：求信号f(t)= e-atu(t)在a>0时的拉普拉斯变换。
解： f(t)的拉普拉斯变换为
F (s) f (t)estdt eatestdt 1
性质4 若f(t)是右边信号，即有始信号，则其收敛域为 从最右边极点开始的右半平面。
性质5 若f(t)是左边信号，即有终信号，则其收敛域为 从最左边极点开始的左半平面。
性质6 若f(t)是双边信号，则其收敛域是S平面的一条带 状区域。
例：已知信号f(t)=e-b|t|，试对b>0及b<0两种情况求其拉普拉斯 变换及收敛域。
0
sa
Re{s} a
如果a=0，f(t)就是阶跃函数，其拉普拉斯变换对为
u(t) 1 s
Re s 0
再来看一下信号f(t)= -e-atu(-t)的拉普拉斯变换。
F (s) eatu(t)estdt 0 e(sa)tdt 1
sa
Re{s} a
不同信号的拉氏变换表示式是一样的，但使表示式有
4. 尺度特性
若 f (t) F(s) 收敛域为：R
则 f (at) 1 F ( s ) aa
R1 aR
若a=-1，则有 f (t) F(s)
如： eatu(t) 1 sa
Re{s} a
R1 R
则 eatu(t) 1
saΒιβλιοθήκη eatu(t) 1Re{s} a
sa
Re{s} a eatu(t) 1 sa
A
A1
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式（6.2.8）称为复频域微分性质，式（6.2.9 ）称为复频域积分性质。
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6.2.7 时域卷积性质
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时域卷积性质说明，在时域中两个信号的卷积 运算，等价于在复频域中将两个信号的拉普拉斯变 换直接相乘，从而将时域中的卷积运算化简为复频 域中的代数运算。时域卷积性质是系统复频域分析 方法的理论基础之一。
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第6章 连续信号的复频域分析
在信号和系统的时域和频域分析方法中，采 用的基本信号为单位冲激信号或复简谐信号。由 于频域分析方法是基于信号的频谱特性和系统的 频率特性对系统进行分析，因此，这种方法是信 号处理和系统分析与设计的重要基础。但是，频 域分析方法有很多局限性。例如，有些信号不存 在傅里叶变换和频谱密度，不稳定的系统不存在 频率特性，信号的频谱和系统的频率特性计算较 复杂，等等。
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6.1.3 单边拉普拉斯变换 在式（6.1.1）中，积分区间从 t= - ∞ 开始， 同时包括了 t>0和 t<0两部分，因此将其称为双边
拉普拉斯变换。实际系统中的信号大多数都是因果
信号。根据因果信号的定义，在求其拉普拉斯变换 时，由于 t<0时信号恒为零，则只需考虑 t>0的部 分。另外考虑到信号中可能包括在 t=0时的单位冲 激信号及其各阶导数，则可将积分区间取为从 t=0-
为得到以上结果，必须满足 σ < -a，此即为该 反因果信号拉普拉斯变换的收敛域，在 s平面为穿 过极点 p1= -a左边的区域。如图 6.1.2所示。
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图 6.1.2 反因果信号拉普 拉斯变换的收敛域
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根据拉普拉斯变换的收敛域及其极点的定义， 显然，拉普拉斯变换的收敛域与其极点之间存在密 切关系。这一关系可以总结为：
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6.1.4 常用信号的拉普拉斯变换 表 6.1.1给出了常用信号的单边拉普拉斯变换。
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6.2 拉普拉斯变换的性质
与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有一系列 重要性质。利用这些性质，再结合基本信号的拉普 拉斯变换，是求解复杂信号拉普拉斯变换的重要方 法。此外，这些性质也是线性系统复频域分析的重 要基础。
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图 6.1.1 s平面、零极点图与收敛域
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例 6.1.2 求反因果信号 f（t）= - e-atu（ - t）（ 实数 a >0）的拉普拉斯变换 F（s）。 解 根据拉普拉斯变换的定义得到
6.2.3 尺度变换性质
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与傅里叶变换的尺度变换性质不同，这里要求 a >0。如果 a <0，并且 f（t）为因果信号，则 f（at）为反因果信号，其单边拉普拉斯变换恒为零 。
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6.2.4 复频移性质
6.2.5 时域微积分性质
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6.2.6 复频域微积分性质
①因果信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部最 大的极点右边的区域。
②反因果信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部 最小的极点左边的区域。
③双边信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部相 邻的两个极点之间平行于虚轴的带状区域。
④所有时限信号拉普拉斯变换的收敛域为除去 σ = -∞ 或 +∞ 以外的整个 s平面。
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6.2.8 初值和终值定理 因果信号 f（t）的初值和终值分别定义为
设信号 f（t）的拉普拉斯变换为 F（s），则 初值和终值定理分别描述为
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6.3 拉普拉斯反变换
图 6.1.3 双边信号拉普拉斯变换的收敛域
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例 6.1.4 求门信号 f（t）=gτ（t）的拉普拉斯 变换 F（s）。
解 门信号是典型的时限信号，由定义求得其 拉普拉斯变换为
为得到上式结果，只需满足 σ≠ -∞ ，因此收敛 域为 σ > -∞ 的整个 s平面。
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例 6.1.3 求双边指数信号 f（t）= e-a|t|，a >0 的拉普拉斯变换 F（s），并确定其收敛域。 解 根据定义求得
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由式（6.1.5）求得 F（s）的极点为 p1= - a， p2= a，则其收敛域为 p1<σ < p2，即 -a <σ <a，如 图 6.1.3所示。
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6.2.1 线性性质
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线性性质说明，信号的拉普拉斯变换满足齐次 性和叠加性。根据该性质，如果某信号能分解为一 些基本信号的线性组合，则可由这些基本的拉普拉 斯变换通过简单的代数运算求出该信号的拉普拉斯 变换。
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例 6.2.1 求 f（t）= sinω0tu（t）的拉普拉斯变 换 F（s）。解 根据欧拉公式有17信号与系统
6.2.2 时移性质
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需要注意的是，单边拉普拉斯变换的时移性质 只适用于因果信号向右平移后得到的信号。如果 f （t）为双边信号，则根据此性质，由 f（t）的单边 拉普拉斯变换 F（s）求 f（t-t0）的单边拉普拉斯变 换将得到错误的结果。
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开始，从而得
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例 6.1.5 求单边指数信号 f（t）= e-atu（t）（ 实数 a >0）的单边拉普拉斯变换 F（s）。
解 由定义求得
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例 6.1.6 求双边指数信号 f（t）= e-a|t|（实数 a >0）的单边拉普拉斯变换 F（s）。 解 由定义求得
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例 6.2.2 求如图 6.2.1（a）和图 6.2.1（b）所 示信号的拉普拉斯变换。
解 根据定义得到 f1（t）和 f2（t）的拉普拉斯 变换分别为
显然结果是错误的。其主要原因在于 f1（t） 为双边信号。
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图 6.2.1 例 6.2.2图
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