随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案

习题4

以下如果没有指明变量t 的取值范围，一般视为R t ∈，平稳过程指宽平稳过程。 1. 设Ut t X sin )(=，这里U 为)2,0(π上的均匀分布.

（a ） 若 ,2,1=t ，证明},2,1),({ =t t X 是宽平稳但不是严平稳， （b ） 设),0[∞∈t ，证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明：（a ）验证宽平稳的性质

,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=•

==⎰t Ut t

dU Ut Ut E t EX π

π

ππ

))cos()(cos(2

1

)sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=•=

t U s t s t U s t s t ππ

π21}])[cos(1])[cos(1{212020•

+++--= s t ≠=,0

2

1

Ut Esin ))(),((2=

=t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21

)(有关与t t t t EX ππ-=

.)2sin(81

21DX(t)有关，不平稳，与t t t

ππ-=

2. 设},2,1,{ =n X n 是平稳序列，定义 ,2,1},,2,1,{)

(==i n X i n 为

,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ，证明：这些序列仍是平稳的. 证明：已知，)(),(,,2

t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+

2

121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX

)

1()1()(2),(),()

,(),(),(),(111111)

1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然，)

1(n X 为平稳过程.

同理可证， ,,)

3()2(n n X X 亦为平稳过程.

3.设

1

)n

n k k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数，k=1，....n; 1,...n u u 是（0,2π）

上独立均匀分布随机变量。证明{,0,1,2,...}n x n =是平稳过程。

证明：E n X =

1

cos()n

k

k k k a n u σ

=-∑，

cos()k k E a n u -=20

1/2cos()k k k a n u du π

π-⎰=201/2sin()|k k a n u π

π-=0

D[cos()k k a n u -]=1/2-cos(22)1/2k k E a n u -=

cov (cos(),cos(())k k k k a n u a n t u -+-)=cos()k k E a n u -cos((1)k k E a n u +-)=1/2cos

k a t

cov(cos(),cos())0,()k k l l a n u a n u k l --=≠

E n X =0,D(n X )=

2

2)11

.2(cos()n

n

k

k k k k k D a n u σ

σ==-=∑∑.为常数

11

cov(,)..2.cov[cos(()),cov()]n

n

n t n k l k k l l K l x x a n t u a n u σσ+===+--∑∑

=

21

.2.1/2.cos()n

k

k k a t σ

=∑

只与t 有关，与n 无关。

从而知道{n X .n=0,1,2….}为宽平稳的。

4.设k A k 1,2...n k n =是个实随机变量；W ，k=1,2…n 是n 个实数。试问k A 与k W 之间应满足这样的条件才能使：21

()j =1n

jwt

k k Z t A e

-==

∑是一个复的平稳过程。（）

Solution:

()1k n

jw t k k Ez k EA e ==⋅=∑常数

,要求

k EA =

()()()11

k l n

n

j t j t k l k l Ez t z t E A A e ωω-==⋅=⋅=∑∑常数

要求

()0,k l E A A k l

=≠

5.设

{}

,1,2,...n x n =是一列独立同分布随机变量序列，

()1n P x p

==，

()11,1,2,...

n P x p n =-=-=

令

010,1,2,...

n

n k s s n ====∑

求

{},1,2,...n s n =的协方差

函数和自相关函数，p 取何值时，此序列为平稳序列？ Solution :

()()()()()()

2222

221,1112112141n n n n Ex p Dx Ex Ex p p p p p p =∂-=-=⋅+-⨯---=--=-()(

)(

2

11,,1n n m n k k E x x p n m Es Ex p =⎫

=∂-≠==∂-⎪⎭∑

协方差函数

()()

,cov ,s n m n R n m n s s ++=

(

)()11,cov ,n m n s k l k l R n m n x x +==⎫+==⎪⎭

∑∑()())1...n D x D x ++

()41p p =

-

自相关函数：

()(

)(),,1s s n m n r n m n R n m n Es Es p p ++=++⋅=

-

()2

12p - 当p=12时，()()1

0,,0,1

2n n n n Ex D x Es D s ====

但协方差函数

(),s R n m n +=

n,n+m 有关，还是不平稳！

6.设(){}t X 是一个平稳过程，对每一个R t ∈，()t X /存在，证明对每个给定的t ，

()t X 与()t X /不相关，其中()()dt

t dX t X =

/. Proof. ()m t EX =，()()2σ=t X D . ()()m t t X E =∆+. ()()()t

t X t t X t X t ∆-∆+=→∆0/lim

，()0/=t EX .