正弦型曲线
正弦型函数的图象与性质
正弦型曲线(一)
高二数学教案 时间：2013年11月22日第一节 地点：多媒体教室 教者：盛成武 对象：12模2班 内容：正弦型曲线(一) 教学目标： (一)知识目标：1、振幅的定义 2、振幅变换和周期变换的规律 (二)能力目标：1、理解振幅的定义 2、理解振幅变换和周期变换的规律，会对 函数y=sinx进行振幅和周期变换。 (三)德育目标：1、渗透数形结合思想 2、培养动与静的辩证关系 3、提高数学修养 教学重点：1、理解振幅变换和周期变换的规律 2、熟练地对y=sinx进行振幅和周期变换 教学难点：理解周期变换的规律 教学方法：启发诱导式 教学用具：多媒体教学 教学过程： 一、引入： 1、请说出y=sinx用五点法作图在一个周期内的五点是哪五 点？ 2、如图，弹簧振子的振动——引出课题 二、新授： 1、y=Asinx(A>0)的图象 [例10] 用“五点法”在同一直角坐标系中作出函数 y=sinx,y=2sinx,y=1/2sinx在一个周期内的图象。 解略。 总结规律： 一般的，函数y=Asinx(A>0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 2、y=sinωx的图象。 [例11] 用“五点法”在同一直角坐标系中作出函数 y=sinx,y=sin2x,y=sin1/2x在一个周期内的图象。 解略。 总结规律： 一般地，函数y=sinωx(ω>,ω≠1)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(>1)或伸长(0<ω<1) 到原来的1/ω倍(纵坐标不变)得到的，它的周期T=2л/ω。 ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换。 练习： 1、求下列函数周期(口答)： ①y=sin4x ②y=3sin1/8x 2、画出y=sin1/3x在长为一周期闭区间上的简图： 三、小结 ① y=Asinx的图象可以看作是把正弦曲线y=sinx图象经过 振幅变换而得到。 ② y=sinωx的图象可以看作是把正弦曲线y=sinx图象经过 周期变换而得到。 ③作图时，要注意坐标轴刻度，X轴是实数轴，角一律是弧 度制。 四、作业：P56 3、4 五、板书设计： 2013.11.20 正弦函数图像及其性质 一、单选题 1．函数y＝2sin(3x ＋)，x∈R的最小正周期是( ) A．B．C．D．π 2．函数是（） A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数 3．函数的定义域为（） A．B．C．D． 4．函数的值域是（） A．0 B．C．D． 5．若函数的最小正周期是2，且当时取得最大值，那么A．B． C．D．6．函数的单调增区间为（） A．B． C．D． 7．设函数，x∈R，则f（x）是（） A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数 8．下列函数中，周期为π，且在, 42 ππ ?? ?? ?? 上单调递增的奇函数是（）A．3 sin2 2 y x π ?? =+ ? ?? B．cos2 2 y x π ?? =- ? ?? C．cos2 2 y x π ?? =+ ? ?? D．sin 2 y x π?? =- ? ?? 9．已知函数，则下列结论错误的是 A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的一个零点为D．在区间上单调递减10．设函数=,则下列结论正确的是 A ．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称 C．的最小正周期为D．在上为增函数 11．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值和最小值之差等于A．B．C．D． 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．已知x满足－≤sinx≤，则角x的取值范围为________. 13．函数的定义域为_______，值域为_______. 14．函数2 sin sin1 y x x =+-的值域为________． 二、解答题 17．已知=. (1)求函数的对称轴和对称中心; (2)求函数的最大值,并写出取最大值时自变量的集合; 15．已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求的最值，并指明相应的值； （3）用五点法在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象. 18．已知函数f(x)＝ 教案 正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义 当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换 例 ： 画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。 解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再 函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把 图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+ 一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作 由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的 图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用 例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。 又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=， 又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-， 所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<） 的最小值是5-， 图x 3 3 π 56 π 3 O 正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？ 答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线． 根据诱导公式sin ????x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)． 要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，????π2，0，(π，－1)，????3 2π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象． 思考 在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象？ 答案 天津职业技术师范大学 课程设计任务书 理学院数学1403 班学生张群 课程设计课题： 用数值积分法计算正弦积分函数和余弦积分函数 一、课程设计工作日自 2016 年 7 月 4 日至 2016 年 7 月 5日 二、同组学生：无 三、课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、完成时 间、主要参考资料等）： 课题来源：教师自拟 类型：理论研究 目的和意义：培养学生对数值分析中主要算法的应用能力，探索相关算法之间的内在联系。 基本要求：根据数值分析课程所学的知识，应用Matlab软件编写程序，完成对算法及其内在原理的实验研究。 完成时间： 参考资料：《数值分析》李庆扬等清华大学出版社 指导教师签字：教研室主任签字： 一、问题叙述 用数值积分法计算正弦积分函数和余弦积分函数 提示：正弦积分，余弦0sin ()x t si x dt t =?函数cos ()x t ci x dt t -∞=? 要求：（1）编写函数，对任意给定的x ，可求出值。 （2）使用尽可能少的正余弦函数的调用，计算更精确的值。（用多种方法，创新方法） 二、问题分析 1 、数值积分基本原理：用数值分析求解积分的数值方法有很多，如简单的梯形法、矩形法、辛普森（Simpson ）法、牛顿-科斯特（Newton-Cotes ）法等都是常用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a ，b]分成n 个子区间[x i ,x i+1]，i=1，2，…，n ，其中x 1=a ，x n+1=b 。这样求定积分问题就分解为求和问题。 2、本题要求用数值积分法计算正弦积分函数和余弦函数积分，那么应该从编写函数的入手，建立function 的m 文件，通过对函数的调用，对任意跟定的x 值，求出积分函数的值。 三、数值积分法求解问题 1、 梯形公式、矩形公式 首先，积分中值定理告诉我们，在积分区间[a ，b]内存在一点ξ，成立?b a x f ）（dx=（b-a ）f （ζ），就是说，底为b-a 而高为f （ζ）的矩形面积恰等于所求区边梯形的面积。如果我们用两端点“高度”f （a ）与f （ b ）的算术平均值作为平均高度f （ξ）的近似值，这样导出的求积公式?b a x f ）（dx ≈ 2 a -b [f （a ）+f （b ）]便是我们熟悉的梯形公式。 §1.5 《函数y Asin x 的图像（第1 课时）》教学设计 一、基本说明 1. 课题：函数y Asin x 的图像 2. 课时：1 课时 3. 年级：高一年级 4. 模块：高中数学必修4 5. 所用教材版本：人民教育出版社A 版 6. 所属章节：第一章第五节 7. 课型：新授课 二、教材分析 本节课是新课标高中数学A版必修4 中第一章第5 节第一课时内容。此内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生已初步了解函数y Asin x 的图象，并会运用五点法作图，本节内容是对该部分知识的深化，为后续参数的物理意义教学做准备，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。 三、学情分析 本节课在高一第二学段，学生进入高中学习已经三个月，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减” ，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但学生第一次接触图象伸缩变化，容易造成认知的难点，此外，对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。 四、教学目标 1、理解对y sin x 图象的影响，对y sin x 图象的影响，A 对y Asinx 图象的影响. 2、通过探究图象变换，会用图象变换法由y sinx 画出y Asin x 图象的简图. 五、教学重难点 教学重点：讨论字母、、A 变化时对函数图像的形状和位置的影响，理解由y sinx 的图象到y Asin x 的图象变化过程．掌握函数y Asin x 图像的简图做法； 教学难点：由正弦函数y sin x 得到y Asin x 的图像变化过程． 正弦型函数y=Asin(ψx+φ）的图象变换教学设计 一、教学目标： 1、知识与技能目标： 能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。 2、过程与方法目标： 通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。 3、情感、态度价值观目标： 通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。 二、教学重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。 三、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，、A对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这 种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。 学情分析： 本节课在高一第二学段，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。 教学内容分析： 正弦函数和三角函数的积分及Matlab 编程 求正弦函数y = sin x 从0到π的积分 当x = 0时，积分为0，画出积分的函数曲线。 定积分的结果为 ππ00 sin d cos 2S x x x ==-=? 不定积分的结果为 sin d cos I x x x C ==-+? 其中C 是积分常量，由初始条件决定。当x = 0时，积分为I = 0，必有C = 1。结果为 I = -cos x + 1 根据积分的基本概念，将积分区域分为多份，用矩形法求曲线下的近似面积表示积分的近似值 1()n i i S f x x ==?∑ 矩形法的函数是sum(f)。 用梯形法求曲线下的近似面积表示积分的近似值 1 101[()()]2 n i i i S f x f x x -+==+?∑ 梯形法的函数是trapz(f)。 用数值积分的函数是quad 和quadl ，常用使用格式是 S = quad(f,a,b) 其中，f 表示被积函数，a 表示积分的下限，b 表示积分的下限。 用符号的函数是int ，常用使用格式是 S = int(f,a,b) 程序如下 %正弦函数的积分 clear %清除变量 x=linspace(0,pi); %自变量向量 dx=x(2); %间隔 y=sin(x); %被积函数 s1=sum(y)*dx %矩形法积分 s2=trapz(y)*dx %梯形法积分 f=inline('sin(x)'); %被积的内线函数 s3=quad(f,0,pi) %数值定积分 s4=int('sin(x)',0,pi) %符号积分 sc1=cumsum(y)*dx; %矩形法累积积分(精度稍差) sc2=cumtrapz(y)*dx; %梯形法累积积分 figure %创建图形窗口 同角三角函数的基本关系式 诱导公式 化asin α ±bcos α为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式) 第二部分 求导公式 1．基本求导公式 ⑴ 0)(=' C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(=' x ，x x 2)(2='，2 1 )1(x x -='，x x 21)(= '。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'= '，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数） ； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数 ()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 第三部分 积分公式 1.常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 1143 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3） ??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 2.定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 高等数学公式 基本积分表（1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+=++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+ （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++? （17）2 2 11ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? （18） sin x arc C a =+ （19） ln(x C =++ （20） ln |x C =+ （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ， 21cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ????=??，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 小结： 1常用凑微分公式 正弦函数拟合计算 一、正弦函数的一般表达式的建立 正弦函数的一般表达式为： 3210)sin(x x t x x y ++= （1） 对于一系列的n 个点)3(≥n ： 1,,1,0),,(-=n i y t i i （2） 要用点1,,1,0),,(-=n i y t i i 拟合计算上述方程，则使： []∑-=-++=1 2 3210)sin(n i i i y x x t x x S 最小。 要使得S 最小，应满足： 3,2,1,0,0==??k x S k 即：[][][][] ???? ???????-++=??+-++=??+-++=??+-++=??∑∑∑∑i i i i i i i i i i i i y x x t x x x S x t x x y x x t x x x S x t x t x y x x t x x x S x t x y x x t x x x S 32103 21032102210321012132100)sin(2)cos()sin(2)cos()sin(2)sin()sin(2 00≠x ∴ [][][][]??? ?? ? ?=-++=+-++=+-++=+-++∑∑∑∑0 )s i n (0)c o s ()s i n ( )c o s (.)s i n (0 )s i n ()s i n (3210213210213210213210i i i i i i i i i i i i y x x t x x x t x y x x t x x x t x t y x x t x x x t x y x x t x x （3） 解上述4元非线性方程组，即可得到正弦函数的一般表达式的系数：3210,,,x x x x 。 二、多元非线性方程组解法 正弦型函数历年高考题 1 一、选择题 1、(2005)函数y=sinx 的图象向左平移 6 π 后得到的图像的解析式是（ ） A 、y=sinx+6π B 、y=sinx-6π C 、y=sin(x+6π) D 、y=sin(x-6 π ) 2、(2007)函数y=sin2x 的图象向左平移6 π 后得到的图像的解析式是（ ） A 、y=sin(2x+6π) B 、y=sin(2x-6π) C 、y=sin(2x-3π) D 、y=sin(2x+3 π ) 3、 (2009)如图是函数y=2sin(x ω?+) (其中ω>0,?< 2 π )，则ω、?正确的是（ A ω=2，?=6π B ω=2，?=3 π C ω=1，?=6π D ω=1，?=3 π 5、（2011）把y=sinx 的图像向左或向右平移π／2个单位，得到的函数是（ ） A y=sinx B y=-cosx C cos y x = D y=sinx 或 y=-cosx 6、（2012）函数)4 2sin(2π + =x y 的图像，可由函数x y 2sin 2=的图像（ ）而得到。 A. 向左平移 4π个单位 B. 向右平移4π 个单位 C. 向左平移8π个单位 D.向右平移8π 个单位 二、填空题 7、（2003）函数sin 24y x π? ? =+ ?? ? 的图象向右平移 8 π 单位，所得图象的函数解析式是 。 2、（2004）函数sin 22 x x y =的最小正周期为 ,值域为 。 3、（2007）函数y=sinxcosx 的最小正周期是 ，最小值是 。 8、（2012）正弦型函数)sin(?ω+=x A y )0,0(>>?A 在一个最小正周期内的图像中，最高点为 )2,9(π，最低点是)2,9 4(-π ，则ω=___________. 9、（2014）把正弦函数sin 2y x =的图像向_________________个单位，可以得到正弦函数 sin 24y x π? ?=+ ?? ?的图像 CAXA电子图板是一款优秀的国产计算机辅助设计软件，目前已经在制造行业的机械设计中得到广泛应用，成了设计工程师的一件得心应手的绘图工具。 在设计具有曲面外形的机械零件，如螺旋铰刀等零件时，使用该软件的“公式曲线”，绘制出来的设计图样，外形美观，尺寸精确，快捷方便，效果不错，与昔日的描点近似画法，不可同日而语。下面的图1，就是用公式曲线绘制的螺旋铰刀零件图。 图1 用公式曲线绘制的螺旋铰刀零件图 所谓公式曲线，是数学表达式的曲线图形，也就是根据函数方程（如参数方程等）绘制出的函数图像。根据坐标系的类型，公式的给出，可以是参数方程，也可以是极坐标方程，以表达简练准确为原则。公式曲线为用户提供了一种方便、精确的作图手段，以满足某些精确型腔、轨迹线型或具有某些曲线轮廓外形的零件的作图设计。使用者只要交互输入数学公式，给定参数，计算机便能自动生成该公式描述的曲线。 如何正确使用CAXA电子图板“公式曲线”画出所需要的曲线，对初学者来说有时不是一件容易的事。由于软件附带的《CAXA用户指南》对公式曲线的使用方法叙述的比较简略，刚开始使用该命令绘制曲线时，常常不得要领，颇难操作。 我多年从事建材机械设计，一直使用国产软件CAXA电子图板。在设计实践中经过反复试验摸索，终于总结了几条规则，掌握了这些规则，就可以快速生成需要的公式曲线，据此绘制出美观、正确含有所需曲线的机械零件图样。 现将这几条规则分述如下： 1、电子图板的“公式曲线”命令，可以使用参数方程或极坐标方程，来表述欲绘制的 曲线，人们常常使用参数方程。 打开的CAXA公式曲线窗口如图2。 图2 CAXA电子图板对话框 在公式曲线对话框中输入公式时，要在已显示的“x(t)=”和“y(t)=”之后的文本框里输入需要的公式，不可将“x(t)=”和“y(t)=”或“=”重复输入； 2、函数代号后的变量一定要用括弧括起来，不得连着写，如三角函数只能写为sin(t)、sin(t/300)、sin(20*t)，不得写成sint，sint/300,sin20t；同样，对数log、开平方sqrt 等函数之后的自变量也必须用括号括起来，如log(t)、sqrt(t)不可以写成logt、sqrtt等 等。 正弦型函数的图像 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户 注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等 待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班； 根据正弦型函数的图象求其解析式（一）课前系统部分 1、设计思想 建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。 为此我们根据“用已知知识去探讨新知识”的教学方式，沿着“复习已知知识--提出由简单到复杂的问题--解决问题--反思解决过程”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计： 创设一个现实问题情境作为提出问题的背景，并且用示波器演示电压的图形，让学生对数学的学习产生形象直观的感觉，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质。 2、课标及教材分析 “根据正弦型函数的图象求其解析式”是职高教科书数学第一册第七章第三节的延展内容，它是在学习好正弦函数，正弦型函数后的一个升华内容，是三角函数图象知识的高层次运用，也是解决生活实际问题的一个重要思想方法，因此具有一定的应用价值。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“根据正弦型函数的图象求解析式”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 正弦型函数)sin(?+=wx A y 徐丹 湖北省鄂南高级中学 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教B 版）必修4 第一章第3节，P44—P50 教学对象：普通中学高中一年级普通班学生 时间：1课时（45分钟） 一、教学目标 1、知识与技能 （1）结合具体实例，了解)sin(?+=wx A y 的实际意义以及振幅、周期、频率、初相、相位的定义； （2）借助计算机课件，观察探索参数A 、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出正弦 型函数各种图象变换的实质和内在规律； （3）会用“五点法”和图象变换得到函数)sin(?+=wx A y 的图象。 2、过程与方法 （1）通过对探索过程的体验，培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创 新的能力； （2）领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认 识的飞跃。 3、情感、态度价值观 （1）让学生感受数学来源于生活以及事物间普遍联系、运动变化的关系。 （2）渗透数形结合的思想； 二、教学重点、难点 1、重点 （1）理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律； （2）熟练地对函数x y sin =进行振幅变换、周期变换和相位变换 2、难点 （1）理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律； （2）发现与概括)sin(?+=wx A y 的图象的规律 三、教学用具 多媒体（PPT 和几何画板）、板书 四、教学方法 引导学生结合作图过程理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律（启发诱导 式）。本节课采用讲授、学生参与、启发探究、归纳总结相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段进行教学活动。首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数、数形结合，通过设置问题引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对正弦型函数图像变换的全面的体验和理解。 Sub sinl() Dim p(0 To 719) As Double '定义点坐标 For i = 0 To 718 Step 2 '开始画多段线 p(i) = i * 2 * 3.1415926535897 / 360 '横坐标 p(i + 1) = 2 * Sin(p(i)) '纵坐标 Next i ThisDrawing.ModelSpace.AddLightWeightPolyline (p) '画多段线ZoomExtents '显示整个图形 End Sub 因为autoCAD的数据对象模型比较特殊，用vb来编写代码不如直接用它的vba 工程好用， 因此用autoCAD里自带的VBA工程即可，我用过它来编写一些小程序，还可以。有什么需要可以email：chixun99@https://www.360docs.net/doc/4c7826120.html, 通常CAD的VBA对象模型是顺藤摸瓜式的逐渐显露对象的属性和方法。 最主要的对象或容器就是thisdrawing和application两个对象，通过它们你可以逐次检索到更深入的属性和方法； 然后他的对象又分为图元和图元定义（其实就是图块、线型、填充之类的预定义图案，这些图案分别作为范例，可以通过它绘制出很多个不同的图元，每个图元又分别可以有很多的属性）两大类。 通过顺藤摸瓜的方法你就可以得到你需要的任何一个对象、数据和方法。 当然要想尽快熟悉它就要多看帮助噢。 Dim Entry For Each Entry In ThisDrawing.ModelSpace Msgbox TypeName(Entry) Next Entry 就会依次显示CAD里所绘制的所有图元的类型 Alt+F11 调出vb编辑器双击thisdrawing，贴上这些代码，然后运行Sub lines() Dim x As Double Dim y As Double Dim start(0 To 2) As Double Dim end1(0 To 2) As Double x = 0 y = 0 Dim step As Double step = 0.001 Do While y < 100 start(0) = x start(1) = y x = x + step y = x * x end1(0) = x end1(1) = y ThisDrawing.ModelSpace.AddLine start, end1 start(0) = -start(0) end1(0) = -x end1(1) = y ThisDrawing.ModelSpace.AddLine start, end1 DoEvents Loop End Sub 一．三角函数二．常用求导公式三．常用积分公式 第一部分三角函数 第二部分 求导公式 1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，2 1 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2 ≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 第三部分 积分公式 1.常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3 ,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 2.定积分 正弦函数图像及其性质一、单选题 1．函数y＝2sin(3x ＋)，x∈R的最小正周期是( ) A． B． C． D．π 2．函数是（） A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数3．函数的定义域为（） A． B． C． D． 4．函数的值域是（） A．0 B． C． D． 5．若函数的最小正周期是2，且当时取得最大值，那么 A． B． C． D． 6．函数的单调增区间为（）A． B． C． D． 7．设函数，x∈R，则f（x）是（） A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数 8．下列函数中，周期为π，且在, 42 ππ ?? ?? ?? 上单调递增的奇函数是（）A． 3 sin2 2 y x π ?? =+ ? ?? B．cos2 2 y x π ?? =- ? ?? C．cos2 2 y x π ?? =+ ? ?? D．sin 2 y x π?? =- ? ?? 9．已知函数，则下列结论错误的是 A． 的最小正周期为B． 的图象关于直线对称C． 的一个零点为D． 在区间上单调递减10．设函数=,则下列结论正确的是 A． 的图象关于直线对称B． 的图象关于点对称 C ． 的最小正周期为 D ． 在上为增函数 11．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值和最小值之差等于 A ． B ． C ． D ． 第II 卷（非选择题） 三、填空题 12．已知x 满足－≤sinx≤，则角x 的取值范围为________. 13．函数 的定义域为_______，值域为_______. 14．函数2sin sin 1y x x =+-的值域为________． 二、解答题 17．已知= . (1)求函数的对称轴和对称中心; (2)求函数的最大值,并写出取最大值时自变量的集合; 15．已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求的最值，并指明相应的值； （3）用五点法在给出的直角坐标系中，画出函数 在区间 上的图象. 18．已知函数f(x)＝ (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)用五点法在所给坐标系中画出函数f(x)在 区间上的图象． 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： 正弦函数 r 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 2 转化关系倒数关系 平方关系 2 和角公式 3 倍角公式、半角公式倍角公式 半角公式 万能公式 4 积化和差、和差化积积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式） 那么 cos(α-β) =cos[α+(-β)] =cosαcos(-β)-sinαsin(-β) =cosαcosβ+sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（余弦差角公式） 将余弦的和角、差角公式相减，得到 cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ正弦曲线检验测试试题含详解
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