正弦型曲线
正弦型曲线PPT课件
例 已知交流电的电流强度i （单位：A）随时间t（单位：s）
巩 固
的函数关系为i 40sin(100πt π)，写出电流的峰值、周期、频率和 3
知 初相位．
识
解 峰值为 Im 40(A)，
典
周期为 T 20π 0.02(s)；
100π
型
频率为f 1 1 50(Hz)；
例
T 0.02
题
初相位为 π．
3
巩固知识 典型例题
例 指出函数y sin 2x 3 cos 2x 的周期,振幅及频率，
并指出当角x取何值时函数取得最大值和最小值.
解 由于y sin 2x 3 cos 2x 2(1 sin 2x 3 cos 2x)
2
2
2(sin 2x cos π cos 2xsin π) 2sin(2x π)
例 一个周期的正弦曲线如图所示，求函数的解析式．
解 观察曲线知A = 2．由于
11π ( π) 4π，
33
所以函数的周期为4π．故
1．由于起点为 ( π，0)，故
1
π ． 解得
3
π． 6
2
3
2
所以函数解析式为 y 2sin(1 x π)．
26
学习反思
想一想： 本节内容有哪些不会做？ 有哪些做错了？ 你需要特别注意哪些问题？ 请把它们记在你的笔记本或错题集上！
（其中
A 0， 0）表示震动量，A表示这个量振动时离开平衡位置
的最大距离，所以通常把 A 叫做振动的振幅，函数的最大值
ymax
A，最小值ymin
A；往复振动一次所需要的时间
T
2π
叫做这个振动的周期．单位时间内往复振动的次数 f 1
5.4.2正弦余弦函数的性质课件(1)高一上学期数学人教A版
6
变式训练：求下列函数的最小正周期:
+
(1)y=sin
(x∈R);
+
(2)y=3cos -
(x∈R);
(3)y=|cos x|(x∈R).
解:(1)令 y=f(x)=sin
+ +
因为 sin
所以 sin ( + ) +
+
,
=sin
+
,
=sin
+
,
即 f(x+π)=f(x).
所以函数 f(x)=sin
问题提出
问题二：图象具有周期性，函数的横、纵坐标有何特点？
2
2
32
2
A1
·
·
1 B
1
y
y
x
O
1
由正弦函数的诱导公式：
2
sin(x+2kπ) = sinx
可得：sin(2π+x)=sinx
2
·
·
B2
பைடு நூலகம்
3
2
A2
2x+2π5
2
5
sin sin
sin(2 )
=-f -
=-sin -
=sin =
.
• 反思感悟
•
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的
方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的
函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
目标检测
1.(多选题)下列是定义在R上的四个函数图象的
一部分,其中是周期函数的是(
用博途生成正弦曲线-概述说明以及解释
用博途生成正弦曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述本文将介绍如何使用博途软件生成正弦曲线。
正弦曲线是一种常见的曲线形式，具有许多应用场景。
通过博途软件，我们可以轻松地生成并调整正弦曲线的各种参数，如振幅、频率和相位等，从而实现对正弦曲线的个性化定制。
在本文中，我们将首先介绍博途软件的基本概念和功能，以及正弦曲线的定义。
随后，我们将详细讲解使用博途软件生成正弦曲线的步骤，并提供一些实例演示。
最后，我们将总结博途软件生成正弦曲线的优势，探讨它的应用前景，并展望未来发展方向。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解博途软件的使用方法和正弦曲线的生成过程，以及正弦曲线在不同领域的应用。
无论是对于学术研究还是工程实践，掌握使用博途生成正弦曲线的技能都将是一项有价值的能力。
接下来，让我们开始介绍博途软件及其强大的正弦曲线生成功能。
文章结构是指文章整体的组织架构和章节安排。
一个清晰的文章结构可以帮助读者更好地理解和获取信息。
本文将按照以下结构进行论述：1. 引言1.1 概述：介绍博途生成正弦曲线的重要性和应用背景。
1.2 文章结构：说明本文的章节组织和内容安排。
1.3 目的：明确本文的目标和意义。
2. 正文2.1 博途软件介绍：简要介绍博途软件的功能和特点。
2.2 正弦曲线的定义：详细解释正弦曲线的概念和数学表达式。
2.3 使用博途生成正弦曲线的步骤：具体介绍在博途软件中生成正弦曲线的方法和操作步骤。
3. 结论3.1 总结博途生成正弦曲线的优势：回顾使用博途生成正弦曲线的优点和好处。
3.2 应用前景：展望博途生成正弦曲线在各个领域的应用前景，如教育、工程等。
3.3 未来发展方向：探讨博途生成正弦曲线在功能和性能上的改进和拓展方向。
通过以上的文章结构，读者可以清晰地了解到本文的主要内容，并根据自己的需求选择性地阅读相关章节。
同时，文章结构也有助于作者逻辑清晰地展开论述，使整篇文章更具条理性和可读性。
1.3 目的：本文旨在介绍如何通过博途软件生成正弦曲线，探讨其在工程领域中的应用和优势。
正弦相位曲线
正弦相位曲线
正弦相位曲线（或称为正弦波）是描述平稳周期振荡的数学曲线，它在基础数学、应用数学、物理、工程、信号处理和许多其他领域都有广泛的应用。
正弦波是以正弦函数命名的，它是正弦函数的图像。
正弦曲线的函数表达式通常为y = Asin(ωx + φ) + k，其中 A 表示振幅，ω 表示角频率，φ 表示初相位，x 表示自变量，y 表示因变量，k 是偏距。
正弦曲线的形状由这些参数共同决定，不同的参数组合会得到不同的曲线形状。
正弦函数的相位指的是波形在水平方向上平移的距离，也可以理解为信号的时间偏移。
对于一般的正弦函数y = A sin (ωx + φ)，φ 就是正弦曲线左右平移的距离。
当φ=0 时，正弦函数图像没有经过平移。
正弦曲线是一种周期性函数，其值在一定的时间或角度范围内以一定频率反复变化。
此外，正弦曲线还是一种偶函数，即y = sin(x) = -sin(-x)。
正弦曲线的最大值为1，最小值为-1，周期为2π。
正弦曲线和余弦曲线是不同相位的正弦曲线，因为余弦波可以被视为相移为π/2 弧度的正弦波。
以上是正弦相位曲线的基本概念和性质，希望对你有所帮助。
如果你需要更深入的理解或有其他相关问题，欢迎继续提问。
高中数学正弦型曲线教案
高中数学正弦型曲线教案
一、教学目标
1. 了解正弦函数的定义及性质。
2. 掌握正弦函数的图像特征。
3. 能够利用正弦函数解决实际问题。
二、教学重点和难点
1. 正弦函数的定义及性质。
2. 正弦函数的图像特征。
三、教学准备
1. 教材课本及教辅材料。
2. 教学投影仪及相关幻灯片。
四、教学步骤
1. 引入：介绍正弦函数的定义及性质，引导学生了解正弦函数的基本概念。
2. 讲解：讲解正弦函数的图像特征，包括振幅、周期、相位等概念。
3. 实例演练：通过例题演练，让学生掌握正弦函数的应用方法。
4. 课堂练习：让学生进行课堂练习，加深对正弦函数的理解。
5. 拓展应用：引导学生将正弦函数应用于实际问题中，加深对正弦函数的理解。
五、教学反馈
1. 对学生进行课堂讨论，让学生分享自己的理解和体会。
2. 收集学生反馈意见，及时调整教学方式。
六、教学延伸
1. 鼓励学生研究正弦函数的更深层次的知识，拓展数学思维。
2. 引导学生自主学习，探索正弦函数的更多应用场景。
七、课后作业
1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 拓展阅读相关教材，加深对正弦函数的理解。
八、教学总结
1. 总结本节课的重点内容，引导学生对学习进行反思和总结。
2. 展望下节课内容，激发学生学习兴趣。
以上是本节课的教案范本，希望能对你的教学有所帮助。
祝教学顺利！。
正弦型函数的图象3课件人教新课标B版
y=Asin(x+)的图象
物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都 是常数）.
函数y＝Asin(ωx＋φ)， (其中A>0, ω >0)表 示一个振动量时，
A就表示这个量振动时离开平衡位置的最 大距离，通常称为这个振动的振幅；
6 12 3 12
6
（3）连线
y
3•
• O • 7
6
12 3 12
5 • x
6
-3
•
解：求单调增区间，可令
2k 2x 2k
2
3
2
解得： k 5 x k
12
12
求单调减区间，可令
2k 2x 2k 3
2
3
2
解得：k x k 7
12
12
原函数的单调递增区间为：
平移|φ|个单位而得到的。
思考：函数y=f(x)与函数t=f(x+φ)的图像有何关系？
四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系
例4 作函数y sin(2x ) 及y sin(2x )的图象。
3
4
5 2 11 7
x
6 12 3
12
6
2x 0
3
2
3 2
2
sin(2x ) 0
思考：函数y f (x)与函数y Af (x)的图象有何关系？
例2 1.
作函数 列表：
y
sin
2x
及
y
sin
1 2
x
的图象。
一些常用函数的曲线图及应用简说
一、正弦余弦曲线： 正弦曲线公式为：A 为波幅（纵轴），ω为（相位矢量）角频率=2PI/T ，T 为周期，t 为时间（横轴）， θ为相位（横轴左右）。
周期函数：正余弦函数可用来表达周期函数。
例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，还可描述很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。
正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。
三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。
这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。
每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。
1、函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线。
第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n （这里n=12）等份。
把x 轴上从0到2π这一段分成n （这里n=12）等份。
（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）。
第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π，…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）。
第三步：连线。
用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象。
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x （x ∈R ）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象。
2、余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线。
根据诱导公式，可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx的图象。
3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0，0）、（2π，1）、（π，0）、（23π，-1）、（2π，0）。
正弦型曲线
一、正切函数的图像和性质
正切曲线是由相互平行的直线 x = kp + (k Z ) 2 隔开的无穷多支形状相同的曲线构成的.
p
1、正切函数的主要性质
（1）定义域 x kp + （2）值域
p
2
,k Z
y ( -,+ )
（3）奇偶性 正切函数是奇函数
（4）周期性 （5）单调性 （6）有界性
变化规律：将函数 y = sin x的图像上所有点的 纵坐标不变，横坐标扩大或缩小到原来的 1 倍。 w 2p 周期变为： w
（ 3、函数 y = sin x + j） 的图像
p p
（ （ 例3、作函数 y = sin x + 3 ）和y = sin x - 6 ）的图像
变化规律：将函数 y = sin x 的图像所有点向左 或向右平行移动 j 个单位。
例7、已知正弦交流电在一个周期中的图像如 图所示，求电流i与时间t的关系式，以及电流 的频率f。
i 30
C 0.25× 10 -2
1.25× 10 -2
2.25× 10 -2
t
-30
§3－7 正切、余切函数的图像和性质
（1）熟悉正切函数图像的主要性质 （2）了解余切函数图像的主要性质 （3）能认识正切赫余切函数的图像
4
p
p
6
（2） cot 112 ° cot 121° 与
例2、求下列函数的周期 （1）
y = cot 3 x
x （2） y = cot 4
（3） y = cot(2 x +
p ★ 结论： T = |w |
p
5
)
1、余切函数的主要性质
正弦曲线
正弦曲线： 正弦曲线：y = sin x
9π 2
x∈R
π 2 3π 2
y
1
4π 7π 3π 2
5π 2
3π 2
π 2
2π
π
-1
π
2π 5π 2
3π
7π 2
4π 9π 2
5π x
最高点： 最高点： + 2kπ ,1) k ∈ Z ( 2π最低点： 最低点： (
π
2
+ 2kπ , 1) k ∈ Z
单调性： 单调性： π π 在区间[ + 2kπ , + 2kπ ], k ∈ Z 上是增函数
-1+1=0.
下列函数有最大、 例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 下列函数有最大 最小值吗？如果有，请写出取最大、 小值时的自变量x的集合 并说出最大、最小值分别是什么. 的集合， 小值时的自变量 的集合，并说出最大、最小值分别是什么
(1)y = cos x + 1, x ∈ R; (2)y = 3sin 2 x, x ∈ R.
2
2
3π + 2kπ ], k ∈ Z 上是减函数 在区间 [ + 2kπ , 2 2
π
y 余弦曲线： 余弦曲线： = cos x
1.2.1 正弦型函数曲线
(2)
y
sin
1
x和y
2
sin(
1
x
)
2
24
(3) y sin(1 x )和y 1 sin(1 x )
24
224
函数y
sin
x的图像
横坐标伸长到原来的2倍
函数y
sin
1
x的图像
纵坐标不变
2
横坐标向右平移 个单位
2
函数y sin(1 x )的图像
纵坐标不变
24
横坐标不变 纵坐标缩短到原来的1
列表
x
π
π
8
8
2x π 4
π
0
2
y 2sin(2x π) 4
0
2
3π
5π
7π
8
8
8
π
3π
2
2π
0
－2
0
以表中每组对应的x,y值为坐标，描出点 (x, y)，用光滑的
曲线顺次联结各点,得到
y sin(2x π一) 个周期内的图像． 4
巩固知识 典型例题
（变 纵坐标伸长或缩短到原来的A倍
正弦型曲线 y Asin(x )
巩固知识典典例型例精题讲
例2、利用“五点法”作出正弦型曲线
y
3 sin(3x
π )
2
6
并指出曲线是有正弦曲线经过怎样的步骤得到的．
解：函数 y 3 sin(3x π) 可以看作由下面的方法得到：
2
6
首先将正弦曲线y=sinx上的所有点的横坐标缩短到原来的
π
π
8
8
2x π 4
π
0
2
y sin(2x π) 4
正弦曲线
产生
正弦曲线的出现和应用非常广泛，可经常见于研究和使用于： 等等。 即使是其它不规则的非正弦波，其实亦能够以不同周期和波幅的正弦波集合来表示。这类将复杂波段化成正 弦波的技术称为傅立叶分析。
谢谢观看
性质
（1）正弦函数是一条波浪线，当x∈R时定与相交但不一定过(0,0)。
（2）在波形移动的时候需要注意的是：振幅A变大，波形在y轴上最大与最小值的差值变大；振幅A变小，则 相反；角速度ω变大，则波形在X轴上收缩（波形变紧密）；角速度ω变小，则波形在X轴上延展（波形变稀疏）。
（3）另外一点就是如果给出的是y=Asin(ωx+φ)，则想移动波形向左或者向右，那么应该是先化为这个形 式的式子y=Asin[ω（x+φ/ω）]，如果想向右移动m弧度，就变为y=Asin[ω（x+φ/ω-m）]，反之，向左移动 的话变为y=Asin[ω（x+φ/ω+m）]，记住在给自变量加或者是减m才达到移动波形的目的。
正弦曲线是一条波浪线。
定义
正弦曲线可表示为y=Asin(ωx+φ)+k，定义为函数y=Asin(ωx+φ)+k在直角坐标系上的图象，其中sin为正 弦符号，x是直角坐标系x轴上的数值，y是在同一直角坐标系上函数对应的y值，k、ω和φ是常数（k、ω、 φ∈R且ω≠0）
A——振幅，当物体作轨迹符合正弦曲线的直线往复运动时，其值为行程的1/2。 (ωx+φ)——相位，反映变量y所处的状态。 φ——初相，x=0时的相位；反映在坐标系上则为图像的左右移动。 k——偏距，反映在坐标系上则为图像的上移或下移。 ω——角速度，控制正弦周期(单位弧度内震动的次数)。
正弦曲线
数学术语
01 定义
拓扑学家的正弦曲线知乎
拓扑学家的正弦曲线
拓扑学是研究几何图形在连续变形下保持不变的性质的一门学科。
在拓扑学中，一些简单的几何图形，如圆、球、矩形等，被视为基本图形。
而复杂的图形则可以由这些基本图形通过“粘合”、“切割”等方式得到。
正弦曲线是一个典型的由连续函数生成的复杂图形。
正弦曲线是周期函数，它的形状会随着参数的变化而变化。
想象一下，当一个球被无限拉伸时，它可能会变成一个圆；而当一个圆被挤压时，它可能会变成一个椭圆。
这些变化都是连续的，也即在拓扑学中，它们被认为是同胚的。
正弦曲线也可以看作是这种连续变化的产物。
在数学上，正弦曲线可以用函数y=sin(x)来表示。
这个函数在-π到π之间是周期性的，形状类似于波浪。
这个波浪可以看作是由无数个小的三角形组成，每个三角形的高就是正弦函数的值。
当我们考虑正弦曲线的拓扑性质时，我们会发现它其实是一个封闭的图形，也就是说，它的起点和终点是相连的。
这与球体相似，但与线段不同。
线段有两个端点，而正弦曲线的“端点”是相连的。
此外，正弦曲线还有一个重要的性质，那就是它是连续的。
这意味着如果你在正弦曲线上取任意两点，你可以通过一系列连续的变换将它们连接起来。
这与球体和线段的性质类似，但与矩形不同，因为矩形的对角线不是连续的。
总的来说，正弦曲线是一个非常有趣的几何图形，它具有许多独特的拓扑性质。
通过对正弦曲线的深入研究，我们可以更好地理解拓扑学的基本概念和原理。
美术鉴赏 正弦曲线
美术鉴赏正弦曲线
正弦曲线是一种基本的数学曲线，也是美术创作中常用的造型元素之一。
它的形状优美而和谐，给人一种舒适和平静的感觉。
在美术鉴赏中，正弦曲线常常被用来描绘自然界中的曲线形态，例如海浪、山脉等。
正弦曲线的特点是周期性重复，即在一定的距离上呈现相同的形状。
这种特性使得它在美术创作中具有较大的灵活性和表现力。
艺术家们可以利用正弦曲线的周期性特点，创造出丰富多样的艺术作品。
在绘画中，正弦曲线可以用来描绘人物的体态和姿势。
人体的肌肉和骨骼结构常常呈现出曲线的形态，而正弦曲线恰好可以捕捉到这种动态和流畅感。
通过运用正弦曲线，艺术家可以更加准确地表现人物的形态和动作，使作品更富有生命力。
在雕塑中，正弦曲线常被用来塑造曲线优美的雕塑形态。
雕塑家可以通过运用正弦曲线的技巧，赋予作品流动感和动态感。
正弦曲线的曲折与平滑变化，可以使雕塑作品更富有变化和层次感，给人一种自然和谐的审美体验。
此外，正弦曲线在建筑设计中也有广泛的应用。
建筑师可以借鉴正弦曲线的形态，设计出曲线流畅的建筑外观。
这种曲线的运用可以使建
筑更加具有艺术感和吸引力，在城市景观中成为独特的标志。
总的来说，美术鉴赏中的正弦曲线是一种具有优美形态和丰富表现力的元素。
在绘画、雕塑和建筑等艺术领域中，正弦曲线都能够为作品增添美感和艺术价值。
通过对正弦曲线的运用和创造，艺术家们可以展现出自己独特的艺术风格和创造力。
正弦曲线运动轨迹
正弦曲线运动轨迹是一种周期性变化的运动，其路径可以被描述为一个正弦函数的图形。
正弦曲线通常用来描述具有周期性往复特点的运动，例如简谐振动。
在数学上，正弦曲线可以表示为 y = A sin(ωx + φ) 的形式，其中：1. 振幅（A）：表示运动的最大偏离量，即峰值到平衡位置的距离。
在直线往复运动中，振幅等于行程的一半。
2. 角频率（ω）：与运动的周期和速度有关，决定了每单位时间内完成周期的次数。
3. 相位（ωx+φ）：反映了运动状态的变化，包括初相（φ），它决定了在t=0时刻曲线的位置。
4. 周期（T）：完成一个完整循环所需的时间。
此外，在物理世界中，正弦曲线运动轨迹可以体现在多种场合，比如钟摆的摆动、弹簧振子的运动，甚至是天体观测中的星下点轨迹等。
总之，正弦运动的特点是开始时速度最快，随着接近极值点速度逐渐减慢直至为零，然后再返回。
因此，这种运动轨迹在工程学、物理学和许多其他科学领域中都有广泛的应用。
在工程领域，正弦曲线运动被广泛应用于设计和控制各种机械设备。
例如，在汽车工程中，正弦曲线可以帮助优化发动机的点火系统和燃油喷射系统，以提高燃烧效率。
在建筑领域，正弦曲线可以指导建筑物的抗震设计，通过模拟地震波的运动轨迹，预测和减小地震对建筑物的影响。
在生物学中，正弦曲线也有其独特的应用。
生物体内的许多生理过程，如心跳、呼吸和肌肉收缩，都具有周期性往复的特点。
正弦曲线可以帮助研究人员了解这些生理过程的规律，为疾病的预防和治疗提供理论依据。
此外，正弦曲线还可以用于生物信号的处理和分析，如脑电图、心电图等。
在通信领域，正弦曲线运动轨迹在无线电信号的传输和处理中起到关键作用。
无线通信信号通常采用正弦波形，通过调整正弦波的频率、相位和振幅，实现多路信号的复用和干扰抑制。
正弦曲线在这一领域的研究，有助于提高通信系统的性能和容量。
在艺术领域，正弦曲线运动轨迹也为艺术家提供了丰富的创作灵感。
例如，在音乐中，正弦波是基本音高的基础，通过不同频率的正弦波叠加，可以合成出丰富多彩的音乐旋律。
3.6正弦型曲线(1)
奎屯 新疆
教学 理解振幅变换和周期变换的规律 重点 钻研教材 课前 查阅资料 准备 教学 讨论函数 y＝Asin(小，x∈R 的简图的画法 难点 x∈R 的简图的画法 并会由 y=Asinx 的图象得出 y=Asinx 和 y=Asinω x 探究 讨论函数 y＝Asin 小， 目标 的图象 讲授、师生互动 示例、讲练结合 教学 教学 模式 方法 教学 教 学 过 程 和 内 容 师 生 活 动 环节
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
一 1、新课引入：y=Asin(ωx+φ) 复习 引入 2、新授课内容
共同回顾
例 1 画出函数 y=2sinx xR；y= sinx
1 2
xR 的图象
学生回答
解：画简图，我们用“五点法” 这两个函数都是周期为 2π 函数 ∴我们先画它们在［0，2π ］上的简图 列表：
王新敞
奎屯 新疆
)，x∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有 4
学生练习
教师点评
王新敞
奎屯
新疆
“减右”) y＝sin(x＋ )与 y＝sinx 的图象只是在平面直角坐标系中的相 四 本课 对位置不一样，这一变换称为相位变换 小结 三、学生练习 作图
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
y＝sin2x
y＝sin(x＋
王新敞
奎屯 新疆
1
倍（纵
学生练习
王新敞
奎屯
新疆
y＝sin(x＋ 解：列表 x
)，x∈R 3
-
y＝sin(x－
)，x∈R 的简图 4
7 6 3 2
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正弦型函数的图象与性质
1. 三角函数图象变换路线：sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位
sin()y x ϕ=+ ω
−−−−−→横坐标变为倍
sin()y x ωϕ=+A −−−−−
→纵坐标变为倍
sin()y A x ωϕ=+. 或：sin y x = ω
−−−−−→1
横坐标变为倍
sin y x ω=ϕ
ω
−−−−−
→左移个单位
sin ()y x ϕωω
=+A −−−−−
→纵坐标变为倍
sin()y A x ωϕ=+. 注意：()y=sin x+ y=sin x+ϕϖϕϖϖ
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
应先化为 图象平移：x 左加右减、y 上加下减。
例如：向左平移1个单位，解析式变为])1(sin[ϕω++=x A y 向下平移3个单位，解析式变为3)sin(-+=ϕωx A y
3. 三角函数的值域的求法：y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin
（x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2
x+bsinxcosx+mcos 2
x+n 型
亦可以化为此类。
4. 绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值
或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加
绝对值，其周期性不变，其它不定。
如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π,
|tan |y x =的周期不变； 但sin cos y x x =+x x y cos sin +=的周期为
2
π
， y=|tan x |的周期不变，
5. 辅助角公式（化一公式）
)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中a
b =
ϕtan
常用结论: sin cos )4
π
ααα+=
+
sin 2sin()3
π
ααα=+
cos 2sin()6
π
ααα+=+
6. 求三角复合函数的对称性的通法，
一般是将其化归成研究基本三角函数sin y α=、cos y α=、tan y α=的对称性。
7. 求三角函数的单调区间问题的通法是，直接观察基本三角函数sin y x =、
cos y α=、tan y α=的单调区间，从而得到三角复合函数的单调区间。
本
题中函数的单调区间是是在特定的区间内的，一般是先求出所有的单调
区间，然后在看哪些区间落在规定区域内。
()f x x
=)
4
π
-
，令
]2
2,22[4π
ππππ+-∈-
k k x Z k ∈） 则[2x k π∈3,2]44k πππ-+，由于]2,0[π∈x ，则
)(x f 在]2,0[π内单调递增区间为]4
3,0[π和]2,4
7[ππ
；
8. 求函数()sin )f x A x ωϕ=+（在某个给定的区域内的最值问题通用的方法是：
根据自变量限定的区域，求出x ωϕ+的整体的取值范围，从而把问题转化成求sin y A α=的值域问题。
【练习】：
1. 函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、
____________（答：128k (
,)(k Z )ππ-∈、28
k x (k Z )ππ
=+∈）
；
2. 已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。
（答：
6
k (k Z )π
θπ=+∈）
3. 函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________（答：512
12
[k ,k ](k Z )π
π
ππ-+
∈） 4. 关于函数)
(),32sin(4)(R x x x f ∈+=π
有下列命题：
①由f(x 1)=f(x 2)＝0可得x 1-x 2必是π的整数倍；
②y ＝f(x)的表达式可改写为
)6
2sin(4)(π-=x x f ； ③y ＝f(x)的图像关于点)0,6
(π-对称；
④y ＝f(x)的图像关于直线x ＝6
π-对称。
其中正确的命题的序号是2、3。
(注：把你认为正确的命题的序号都填上) 5. 函数y=sin(x-6
π)·cosx 的最小值是_______。
-4
3
解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会提供公式)，得
y=21［sin(2x-6
π)］+sin(-6π)］
=21sin(2x-6π)-4
1。
∵sin(2x-6
π)∈［-1,1］,
∴y min =-4
3
注：若试卷中没给出积化和差公式，则应将sin(x-
6
π
)展开进行化简。