正弦型曲线

正弦型函数的图象与性质
1. 三角函数图象变换路线：sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位
sin()y x ϕ=+ ω
−−−−−→横坐标变为倍
sin()y x ωϕ=+A −−−−−
→纵坐标变为倍
sin()y A x ωϕ=+. 或：sin y x = ω
−−−−−→1
横坐标变为倍
sin y x ω=ϕ
ω
−−−−−
→左移个单位
sin ()y x ϕωω
=+A −−−−−
→纵坐标变为倍
sin()y A x ωϕ=+. 注意：()y=sin x+ y=sin x+ϕϖϕϖϖ
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
应先化为 图象平移：x 左加右减、y 上加下减。

例如：向左平移1个单位，解析式变为])1(sin[ϕω++=x A y 向下平移3个单位，解析式变为3)sin(-+=ϕωx A y
3. 三角函数的值域的求法：y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin
（x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2
x+bsinxcosx+mcos 2
x+n 型
亦可以化为此类。

4. 绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值
或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加
绝对值，其周期性不变，其它不定。

如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π,
|tan |y x =的周期不变； 但sin cos y x x =+x x y cos sin +=的周期为
2
π
， y=|tan x |的周期不变，
5. 辅助角公式（化一公式）
)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中a
b =
ϕtan
常用结论: sin cos )4
π
ααα+=
+
sin 2sin()3
π
ααα=+
cos 2sin()6
π
ααα+=+
6. 求三角复合函数的对称性的通法，
一般是将其化归成研究基本三角函数sin y α=、cos y α=、tan y α=的对称性。

7. 求三角函数的单调区间问题的通法是，直接观察基本三角函数sin y x =、
cos y α=、tan y α=的单调区间，从而得到三角复合函数的单调区间。

本
题中函数的单调区间是是在特定的区间内的，一般是先求出所有的单调
区间，然后在看哪些区间落在规定区域内。

()f x x
=)
4
π
-
，令
]2
2,22[4π
ππππ+-∈-
k k x Z k ∈） 则[2x k π∈3,2]44k πππ-+，由于]2,0[π∈x ，则
)(x f 在]2,0[π内单调递增区间为]4
3,0[π和]2,4
7[ππ
；
8. 求函数()sin )f x A x ωϕ=+（在某个给定的区域内的最值问题通用的方法是：
根据自变量限定的区域，求出x ωϕ+的整体的取值范围，从而把问题转化成求sin y A α=的值域问题。

【练习】：
1. 函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、
____________（答：128k (
,)(k Z )ππ-∈、28
k x (k Z )ππ
=+∈）
；
2. 已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。

（答：
6
k (k Z )π
θπ=+∈）
3. 函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________（答：512
12
[k ,k ](k Z )π
π
ππ-+
∈） 4. 关于函数)
(),32sin(4)(R x x x f ∈+=π
有下列命题：
①由f(x 1)=f(x 2)＝0可得x 1-x 2必是π的整数倍；
②y ＝f(x)的表达式可改写为
)6
2sin(4)(π-=x x f ； ③y ＝f(x)的图像关于点)0,6
(π-对称；
④y ＝f(x)的图像关于直线x ＝6
π-对称。

其中正确的命题的序号是2、3。

(注：把你认为正确的命题的序号都填上) 5. 函数y=sin(x-6
π)·cosx 的最小值是_______。

-4
3
解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会提供公式)，得
y=21［sin(2x-6
π)］+sin(-6π)］
=21sin(2x-6π)-4
1。

∵sin(2x-6
π)∈［-1,1］,
∴y min =-4
3
注：若试卷中没给出积化和差公式，则应将sin(x-
6
π
)展开进行化简。