校本课程3--奇妙的数

1.卡普利加数

有一个趣的故事，一天，印度数学家卡普利加外出旅行,途中突然天空乌云密布,顷刻间狂风暴雨、雷电交加.马路边的一块里程碑正巧被电击中，里程碑被雷电劈成两半，上面的数据“3025”,也正好一分为二，一半是30,另一半是25. 数学家的敏锐,使他很快发现了其中一个绝妙的数学关系：

30+25=55

552=3025

把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。

除此之外，还有没有别的数，也具有这样的性质呢？熟悉速算的人很快就找到了另一个数——2025。

20+25=45

2=2025

按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普利加数”，又称“雷劈数”。

现在已有许多办法搜寻这种数，但最简便的办法是在9与11的倍数中寻找。例如上面提到的55，它是11的倍数，45是9的倍数。用这种办法，人们果然找到了一个极其有趣的数——7777。

2=60481729

6048+1729=7777

如QQ就没有60481729这个号码，因为7777·7777=60481729，6048+1729=7777，本来7777才是“雷劈数”，但和60481729相关，所以腾讯为了图吉利就注销了60481729这个号，其实还有很多“雷劈”号码腾讯只是不知道而已。

除了QQ号，还有很多车牌号也有这个“雷劈”性质，大家多留心。

俄罗斯一个小朋友卡嘉也发现了一个新的雷劈数，它是9801：

98+1=99

2=9801

从以上提到的4个雷劈数，我们不难发现同一情况：偶数加奇数会得到一个奇数，奇数的平方还是奇数。有没有偶数雷劈数存在呢？

答案是肯定的。泸州师范附小的一位同学，就发现了偶数雷劈数100：

10+0=10

2=100

经过验证，100是最小的偶数雷劈数，也有可能是唯一的正偶数雷劈数。这位同学还发现了最小的奇数雷劈数81。

8+1=9

2=81

自然数中存在着无穷的奥秘，雷电劈出了卡普利加数，这仅仅是沧海一粟而已，把这些无穷的“粟粒”汇集起来，就成为数学中一门丰富多彩的分科——数论。

2.黑洞数

黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数。任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数。“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数。

举个例子，三位数的黑洞数为495

简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693

按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495

之后反复都得到495

再如，四位数的黑洞数有6174

请随便写出一个四位数，这个数的四个数字有相同的也不要紧，但这四个数不准完全相同或有完全相同趋向，例如3333、7777、7337等都应该排除。

随便造一个四位数，如a1=1628,先把组成部分1628的四个数字由大到小排列得到a2=8621，再把1628的四个数字由小到大排列得a3=1268，用大的减去小的a2-a1=8621-1268=7353，把7353按上面的方法再作一遍，由大到小排列得7533，由小到大排列得3357，相减7533-3367=4176

把4176再重复一遍：7641-1467=6174。

如果再往下作，奇迹就出现了！7641-1467=6174，又回到6174。

这是偶然的吗？我们再随便举一个数1331，按上面的方法连续去做：

3311-1133=2178 8721-1278=7443 7443-3447=3996 9963-3699=6264

6642-2466=4176 7641-1467=6174

好啦！6174的“幽灵”又出现了，大家不妨试一试，对于任何一个数字不完全的四位数，最多运算7步，必然落入陷阱中。

苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了一个奇妙的四位数6174，并把它列作“没有揭开的秘密”。不过，近年来，由于数学爱好者的努力，已经开始拨开迷雾。

这个黑洞数已经由印度数学家证明了。

但是，五位数及五位以上的数还没有找到对应的黑洞数

在数学中由有很多有趣，有意义的规律等待我们去探索和研究，让我们在数学中得到更多的乐趣。

3.三角形数

古希腊科学家把数1，3，6，10，15，21……这些数量的(石子)，都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数。

它有一定的规律性，排列如下(构成图)，像上面的1、3、6、10、15等等这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，叫做三角形数。

一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数。比如10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数：

x

x x

x x x

x x x x

o n=1 s=1

o o n=2 s=3

o o o n=3 s=6

o o o o n=4 s=10

o o o o o n=5 s=15

……

根据自然数列的求和公式，对于第n项的三角形数，可以得到其计算公式为：

s(n)=1+2+3+...+n=n*(n+1)/2。

应用

1)前n个三角形数的和:T(n)=s(1)+s(2)+...+s(n)

由s(n)=n*(n+1)/2=(n^2+n)/2

得到:T(n)=(∑n^2+∑n)/2=[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]/2=n(n+1)(n+2)/6.

2)判断一个数是否为三角形数:对任给一个正整数K,则若为三角形数,有:n*(n+1)/2=K 得:n*(n+1)=2K

从而:n<(2K)^(1/2)[即2K开根号]

具体:你注意到了吗，商店橱窗里的罐头盒一般都是这样排列的。它们按照一定的规律排成了三角形。想一想：能不能把9个圆点按上面的规律排成一个三角形？9是不是三角形数？再想一想：能不能把25个圆点按上面的规律排成一个三角形？25是不是三角形数？为了能方便地看出规律，我们把三角形数改排成图。观察这些三角形数，你发现它们有什么规律吗？原来三角形数是从l开始的连续自然数的和。l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数……那么，第七个三角形数就是：1+2+3+4+5+6+7=28；第九个三角形数就是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；第十个三角形数就是：1+2+3+…+10=55；第100个三角形数就是：1+2+3+…+100=5050。（一.num=△+△+△

1796年7月10日,数学家高斯在日记中写道：ErPHKA!num=△+△+△。这里ErPHKA 是希腊文“发现”

或“找到”的意思，高斯的引用了当年阿基米德发现浮力定理时说的话，可见他兴奋心情。高斯到底发现了什么?什么使他如此兴奋?原来他找到了“自然数可表示为三个三角形数之和”的证明（num为数的缩写，△表示三角形数）。

据说此前法国数学家费马曾猜测：每个自然数皆可用k个k角形数和表示。对于四角形数的问题,我们稍后再谈1831年法国数学家柯西在巴黎科学院宣读了他的论文,论文给出自然数皆可用k个k角形数和表示的证明。）