北师大版初中数学八年级下册全册优质课件
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【北师大版】数学八年级下册(全册)课件(共310张)(2020年制作)
∵DE平分∠ADC，EC⊥DC， A
B
EF⊥FD
D
C
∴CE=EF
F
又CE=BF
E
∴EF=BE，而EF⊥AF，BE⊥AB
∴E在∠DAB的平分线上
A
B
即AE平分∠DAB
例2、还记角得平在全分等线三的角形判定D 的应用
中证明的一个习题吗？如
C
图所示，已知：在∆ABC
中，分别以AC、BC为边
M
，向外作正∆ACD、正
2020/4/15
该课件由【语文公社】 友情提供
想一想
1、上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
2、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出 其中重合的线段和角。
3、由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角 形的哪些性质呢？说一说你的猜想。
我们可以发现等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写为
【北师大版】数学八年级下册（全册）课件（共 310张）（2020年制作）
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2020/4/15
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学习目标
A
B
C
解：（1）存在这样的点P为∠A、∠B的
平分线的交点。（2）这个距离为3
不要忘了 悟 字
角平分线的性质和判定是怎样的？ 三角形的角平分线的性质
添加辅助线 . 作图
综合应用 .
用心想一想，马到功成
小明在证明“等边对等角”时，通过作等腰三角 形底边的高来证明。过程如下：
已知：在△ABC中， AB=AC．
北师大版八年级数学下册.ppt
差是 ¯甲=82，¯乙=82；S²甲=245，S²乙=190，那么成绩较为整齐的是__班。 5.从国家射击队中选拔参加奥运会的队员，两名队员在相同条件下各射靶5次
命中的环数如下： 甲：7 8 8 8 9 乙：10 6 10 6 8
如果你是王义夫你会选谁去参加比赛？为什么？
随堂练习P199
展现自我
甲乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
小结 拓展
数理统计的基本思想：
用样本的某些特性估计总体相应的特性.
1、用样本的平均数、中位数和众数去估计相应总 体的平均水平特性.
2、用样本的频数、频率、频数分布表、频数分布 直方图和频数分布折线图去估计相应总体数据的分布情 况.
3、用样本的极差、方差或标准差去估计相应总体 数据的波动情况.
独立
作业
知识的升华
P199习题5.5 1,2题;
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 最好的应用数学是与最好的纯 数学同样深奥、美妙和有趣.
• 在学习和生活中体会数学的“ 简捷”性.
甲队 178 177 179 178 178 177 178 178 177 179 乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
哪支依仗队更为整齐？你是怎么判断的？
甲、乙两支仪仗队队员的身高的平均数都是178cm, 极差分别是2cm、4cm,方差分别是0.6、1.8,可以认为， 甲仪仗队更为整齐一些.
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据 就越稳定.
☞ 铭记于心
求方差和标准差的步骤： 1、求平均数 2、求偏差 3、求偏差的平方
4、求偏差的平方的平均数 5、求平均数的算数平方根
☞ 巩固新知
命中的环数如下： 甲：7 8 8 8 9 乙：10 6 10 6 8
如果你是王义夫你会选谁去参加比赛？为什么？
随堂练习P199
展现自我
甲乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
小结 拓展
数理统计的基本思想：
用样本的某些特性估计总体相应的特性.
1、用样本的平均数、中位数和众数去估计相应总 体的平均水平特性.
2、用样本的频数、频率、频数分布表、频数分布 直方图和频数分布折线图去估计相应总体数据的分布情 况.
3、用样本的极差、方差或标准差去估计相应总体 数据的波动情况.
独立
作业
知识的升华
P199习题5.5 1,2题;
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 最好的应用数学是与最好的纯 数学同样深奥、美妙和有趣.
• 在学习和生活中体会数学的“ 简捷”性.
甲队 178 177 179 178 178 177 178 178 177 179 乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
哪支依仗队更为整齐？你是怎么判断的？
甲、乙两支仪仗队队员的身高的平均数都是178cm, 极差分别是2cm、4cm,方差分别是0.6、1.8,可以认为， 甲仪仗队更为整齐一些.
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据 就越稳定.
☞ 铭记于心
求方差和标准差的步骤： 1、求平均数 2、求偏差 3、求偏差的平方
4、求偏差的平方的平均数 5、求平均数的算数平方根
☞ 巩固新知
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等腰三角形性质
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对
等角”）；
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合。（可简记为“三线合一”）
作顶角的平分线 证明：等腰三角形的两个底角相等 已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. B D C 证明：作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中， A 12
A
C
课堂小结
等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底 边.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合. ―三线合一”
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通过本节课的学习，你有哪些收获？ 等腰三角形
性质1：等边对等角 常用来证明两 角相等，求等 腰三角形各角 的度数．
等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两 个底角相等（等边 对等角）
例1 在三角形ABC中，已知AB=AC， 且∠B=80° ，则∠C= ___度， ∠A=____度？
∵AB=AC（已知）
2等腰三角形顶角的 平分线，底边上的 ∴∠B=∠C（等边对等角） 中线和底边上的高 ∵∠B=80° （已知） 互相重合（等腰三 ∴∠C=80° 角形三线合一） 又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ） ∴∠A=180°－ ∠B－∠C ∠A=20° B
图形关于这条直线对称,那么这个图形就
叫轴对称图形,这条直线叫对称轴.互相重
合的点是对应点,叫做对称点.
设问：你发现了什么现象，
猜想等腰△ABC有哪些性质？ 结论: 等腰三角形是轴对称图形；
角:个底角相等
→ AD为顶角∠BAC的平分线
北师大版八年级数学下册全册教学课件
1.1 不等关系教学目的和要求：理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系教学重点和难点：重点：对不等式概念的理解难点：怎样建立量与量之间的不等关系。
从问题中来，到问题中去。
1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？（3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？（4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？ 分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2)4(l ，圆的面积可以表示为22⎪⎭⎫ ⎝⎛ππl 。
（1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是 25)4(2≤l ，即25162≤l 。
（2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是22⎪⎭⎫ ⎝⎛ππl ＞100， 即 π42l ＞100 （3） 当l =8时，正方形的面积为)(416822cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π， 4＜5.1，此时圆的面积大。
当l =12时，正方形的面积为)(9161222cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。
（4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即π42l ＞162l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地方作为测量部位。
某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式）（2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。
已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。
新北师大八年级数学下册全册ppt课件
法一：作底边上的中线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. 在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， B
A
D
C
还有其他的 证法吗？
最新北师大版（BS）八年级数学下册
内含大量动画全真演绎教学内容 打造中学数学高效课堂的首选教学课件
可效课堂首选课件
八年级数学下（BS） 教学课件
第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
二 等腰三角形的性质及其推论
问题引入 问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
定理:等腰三角形的两个底角相等. 推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边 上的高互相重合(三线合一). 问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?首发 打造中学高效课堂首选课件
定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. A 等腰三角形的两个底角相等. 已知：△ABC中，AB=AC, B C 求证：∠B=C.
如何证明两个 角相等呢？
可以运用全等三 角形的性质“对 应角相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？首发 打造中学高效课堂首选课件
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方
法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相
等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两
个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？首发 打造中学高效课堂首选课件
问题3 在八上的―平行线的证明‖这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线；
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. 在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， B
A
D
C
还有其他的 证法吗？
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第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
二 等腰三角形的性质及其推论
问题引入 问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
定理:等腰三角形的两个底角相等. 推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边 上的高互相重合(三线合一). 问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?首发 打造中学高效课堂首选课件
定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. A 等腰三角形的两个底角相等. 已知：△ABC中，AB=AC, B C 求证：∠B=C.
如何证明两个 角相等呢？
可以运用全等三 角形的性质“对 应角相等”来证
思考：如何构造两个全等的三角形？首发 打造中学高效课堂首选课件
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方
法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相
等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两
个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？首发 打造中学高效课堂首选课件
问题3 在八上的―平行线的证明‖这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线；
北师大版初中数学八年级下册全册优质课件
在上面的证法中都是先假设命题的结论不成立然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾从而证明命题的结论一定成立
北师大版八年级下册
数学
全册优质课件
等腰三角形(1)
基本事实:
1.两直线被第三条直线所截,如果__同__位__角__相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,__同__位__角__相等; 3. _两__边__及__其_夹__角__对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4. _两__角__及_其__夹__边__对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5. _三__边__对应相等的两个三角形全等; （SSS）
隋堂练习 1
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，BD、CE是高， ∴∠ADB=∠AEC=90°，
分析：要 证BD=CE， 就需证BD 和CE所在
在△ABD和△ACE中，
的两个三
∠ADB＝∠AEC ，∠A＝∠A ，AB＝AC ， 角形的全
∴△ABD≌△ACE（AAS），
等．
∴BD=CE．
A
E
D
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
∵∠3=2 1∠ABC，∠4= 21∠ACB， ∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
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数学
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等腰三角形(1)
基本事实:
1.两直线被第三条直线所截,如果__同__位__角__相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,__同__位__角__相等; 3. _两__边__及__其_夹__角__对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4. _两__角__及_其__夹__边__对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5. _三__边__对应相等的两个三角形全等; （SSS）
隋堂练习 1
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，BD、CE是高， ∴∠ADB=∠AEC=90°，
分析：要 证BD=CE， 就需证BD 和CE所在
在△ABD和△ACE中，
的两个三
∠ADB＝∠AEC ，∠A＝∠A ，AB＝AC ， 角形的全
∴△ABD≌△ACE（AAS），
等．
∴BD=CE．
A
E
D
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
∵∠3=2 1∠ABC，∠4= 21∠ACB， ∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
八年级下册北师大版数学课件全册
Ｃ.ａｘ＋ｂｘ－ａ＝ｘ(ａ＋ｂ) －ａ
Ｄ.ａｂ＋ａｃ－ａ2＝ａ(ｂ＋ｃ－ａ) • 2.判断下列各题从左到右的变形，哪些是分解
• (1)(因ｘ式＋?ｙ哪)些2＝不ｘ是2＋?为2什ｘ么ｙ?＋ｙ2；
否
• (2)ｙ2－16＝(ｙ＋4)(ｙ－4)；
是
• • • •
(3)ｘ2-4ｘ＋5＝(ｘ－2)2＋1； (4)ｍ2－2ｍ＋1＝(ｍ－1)2； (5)ａ2－25＋ａ－1＝(ａ＋5)(ａ－5)＋ａ－1； (6)ｘ2－5ｘ－6＝(ｘ－6)(ｘ＋1).
• (3)8a³ b² -12ab³ c+ab=ab·8a² b-ab·12b² c+ab·1
•
=ab(8a² b-12b² c+1)
(4)-24x³ +12x² -28x=-(24x³ -12x² +28x)
=-(4x·6x-4x·3x+4x·7)
=-4x(6x² -3x+7)
• 你知道吗？
当多项式的第一项的系数 是负数时，通常先提出 “-”号，使括号内第一项 的系数成为正数，在提出 “-”号时，多项式各项都
• 解这个不等式，得
•
n≤16.6/3
• ∵在这一问题中n只能取正整数
• ∴小颖可能买1~5枝笔
• 答：小颖还可能买1枝，2枝，3枝，4枝，5枝笔
• 你知道吗？
• 这些不等式的左右两边都是整式，只含一个未知数，并且未知数的最高次数
是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式
5、一元一次不等式与一次函数
号左边的式子与等号右边的式子互换，就得到:
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)， ｘ2＋(ｍ＋ｎ)ｘ＋ｍｎ＝(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ)， ａ2-ｂ2＝(ａ＋ｂ)(ａ-ｂ)， ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2， ａ2－2ａｂ＋ｂ2＝(ａ－ｂ)2， ａ3＋ｂ3＝(ａ＋ｂ)(a2－ａｂ＋ｂ2)， ａ3－ｂ3＝(ａ－ｂ)(a2＋ａｂ＋ｂ2).
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∴ △BDC≌△CEB（ASA）．
E
D
B 12 C
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)．首发 打造中学高效课堂首选课件
例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等． A
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线．
NM
求证: BM=CN．
证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. B
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°首发 打造中学高效课堂首选课件
课堂小结
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.首发 打造中学高效课堂首选课件
问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等.首发 打造中学高效课堂首选课件
A
A
B
D GE
B C
DF E
C
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE
E
D
B 12 C
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)．首发 打造中学高效课堂首选课件
例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等． A
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线．
NM
求证: BM=CN．
证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB. B
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°首发 打造中学高效课堂首选课件
课堂小结
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.首发 打造中学高效课堂首选课件
问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学 了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线； 2.两点之间线段最短； 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直； 4.同位角相等，两直线平行； 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 8.三边分别相等的两个三角形全等.首发 打造中学高效课堂首选课件
A
A
B
D GE
B C
DF E
C
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE
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（2）求∠BAD的度数.
解：（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD， B
C
D
∴∠ACB=∠ACD=90°．
∴△ACB≌△ACD．
∴AB=AD．
∴△ABD是等腰三角形．
（2）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，
∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．
∴∠B=∠D=45°．
∴∠BAD=90°．
课堂小结, 畅谈收获：
A
推论: 等腰三角形顶角的平分
线、底边上的中线、底边上的高互
相重合. (三线合一)
BD C
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等； 2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、 底边上高三条线重合；
2. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，
AC=BC=CD，
A
（1）求证： △ABD是等腰三角形;
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
A
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.
求证：∠B=∠C.
证法三: 证明：在△ABC和△ACB中
B
C
∵ AB=AC, ∠A=∠A, AC=AB,
∴ △ABC≌△ACB (SAS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等 的基本性质。
想一想
在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么? 由此你能得到什么结论?
分析：要
求证：BD=CE．
证BD=CE，
证明：∵AB=AC，BD、CE是△ABC的中线， 就需证BD
AB＝AC ，∴AE=AD，
和CE所在
在△ABD和△ACE中，
的两个三
AE=AD，∠A＝∠A ，AB＝AC ，
角形的全
∴△ABD≌△ACE（AAS），
等．
∴BD=CE．
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比 较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有 其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么 启示?
分析：要 证BD=CE， 就需证BD 和CE所在
在△ABD和△ACE中，
的两个三
∠ADB＝∠AEC ，∠A＝∠A ，AB＝AC ， 角形的全
∴△ABD≌△ACE（AAS），
等．
∴BD=CE．
A
E
D
2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， B
C
BD、CE是△ABC的中线．
北师大版八年级下册
数学
全册优质课件
等腰三角形(1)
基本事实:
1.两直线被第三条直线所截,如果__同__位__角__相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,__同__位__角__相等; 3. _两__边__及__其_夹__角__对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4. _两__角__及_其__夹__边__对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5. _三__边__对应相等的两个三角形全等; （SSS）
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
A
E
D
1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， B
C
BD、CE是△ABC的高．
求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC，BD、CE是高， ∴∠ADB=∠AEC=90°，
A
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
E 1
B
D 2
C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=21∠ABC，∠2=2 1∠ACB，∴∠1=∠2． 在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
E
D
求证：BD=CE．
3
4
B
C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3=2 1∠ABC，∠4= 21∠ACB， ∴∠3=∠4．
1. 通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的 证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富 的理论依据。
2. 体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证 明的必要性。
等腰三角形(2)
想一想, 做一做
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、 高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的 结论吗?
求证：∠B=∠C.
证法二:
BD C
证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SAS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
A
已知：如图, 连接AD.
BD C
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SSS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
等腰三角形的性质
定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)
A
已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
你能证明下面的推论吗？ 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
用心想一想，马到功成
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角
形全等.（AAS）
A
D
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
B
CE
F
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分 线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这 就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们 坚定不移地去承认它，相信它．
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰 三角形两底角的平分线相等．
用心想一想，马到功成