中考数学总复习 基础讲练 第4讲 二次根式(含答案点拨) 新人教版

考纲要求命题趋势

1．掌握二次根式有意义的条件和

基本性质(a)2＝a(a≥0)．

2．能用二次根式的性质a2＝|a|

来化简根式．

3．能识别最简二次根式、同类二

次根式．

4．能根据运算法则进行二次根式

的加减乘除运算以及混合运算.

二次根式的知识点是新课标

的基本考查内容之一，常常以客观

题形式进行考查，重点要求熟练掌

握基本运算．二次根式运算的另一

考查形式是求二次根式的值，尤其

是分母中含有根式或根式中含有

字母类型的题目是考查的热点.

知识梳理

一、二次根式

1．概念

形如________的式子叫做二次根式．

2．二次根式有意义的条件

要使二次根式a有意义，则a≥0.

二、二次根式的性质

1．(a)2＝a(______)．

2．a2＝|a|＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧a≥0，

a<0.

3．ab＝______(a≥0，b≥0)．

4．

a

b

＝______(a≥0，b＞0)．

三、最简二次根式、同类二次根式

1．概念

我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．

2．同类二次根式的概念

几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．

四、二次根式的运算

1．二次根式的加减法

合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．

2．二次根式的乘除法

(1)二次根式的乘法：a·b＝____(a≥0，b≥0)．

(2)二次根式的除法：

a

b

＝____(a≥0，b＞0)．

自主测试

1．使3x－1有意义的x的取值范围是( )

A．x＞

1

3

B．x＞－

1

3

C．x≥

1

3

D．x≥－

1

3

2．已知y＝2x－5＋5－2x－3，则2xy的值为( )

A．－15 B．15 C．－

15

2

D．

15

2

3．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( )

A ．18

B ．27

C ．23

D ．3

2

4．下列运算正确的是( )

A ．25＝±5

B ．43－27＝1

C ．18÷2＝9

D ．24·3

2＝6

5．估计11的值( )

A ．在2到3之间

B ．在3到4之间

C ．在4到5之间

D ．在5到6之间

6．化简：27－12＋4

3

.

考点一、二次根式有意义的条件

【例1】若使x ＋1

2－x

有意义，则x 的取值范围是________．

解析：x ＋1与2－x 都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x 不能为零，

可得不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋1≥0，

2－x >0，解得－1≤x ＜2.

答案：－1≤x ＜2

方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．

触类旁通1 要使式子a ＋2

a

有意义，则a 的取值范围为__________．

考点二、二次根式的性质 【例2】把二次根式a

－1

a

化简后，结果正确的是( )

A ．－a

B ．－－a

C ．－a

D ．a

解析：要使a －1a 有意义，必须－1

a

＞0，即a ＜0.

所以a

－1

a

＝a

－a a 2＝

a －a

－a

＝－－a . 答案：B

方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．

触类旁通2 如果2a －12

＝1－2a ，则( )

A ．a ＜12

B ．a ≤12

C ．a ＞12

D ．a ≥12

考点三、最简二次根式与同类二次根式

【例3】(1)下列二次根式中，最简二次根式是( )

A ．2x 2

B ．b 2

＋1 C ．4a D ．1x

(2)在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是( )

A ．2a

B ．3a 2

C ．a 3

D ．a 4

解析：(1)A 选项中的被开方数中含开得尽方的因式，C 选项中的被开方数中含开得尽方

的因数，D 选项中的被开方数中含有分母，故B 选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根

式分别化简后，可得出3a 2＝3|a |，a 3＝a a ，a 4＝a 2

，结合同类二次根式的概念，可

得出a 3

与a 是同类二次根式．

答案：(1)B (2)C

方法总结 1．最简二次根式的判断方法： 最简二次根式必须同时满足如下条件：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；

(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．

触类旁通3 若最简二次根式a ＋b

3a 与a ＋2b 是同类二次根式，则ab ＝__________. 考点四、二次根式的运算

【例4】计算：(50－8)÷ 2.

解：原式＝(52－22)÷2＝32÷2＝3. 方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．

2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式．

1．(2012湖南株洲)要使二次根式2x －4有意义，那么x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≥2 D ．x ≤2

2．(2012浙江义乌)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间

3．(2012浙江杭州)已知m ＝⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－33×(－221)，则有( )

A ．5＜m ＜6

B ．4＜m ＜5

C ．－5＜m ＜－4

D ．－6＜m ＜－5

4．(2012广东)若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝ ⎛⎭

⎪⎫x y

2 012的值是__________．

5．(2012四川德阳)有下列计算：①(m 2)3

＝m 6

，②4a 2

－4a ＋1＝2a －1，③m 6

÷m 2

＝m 3

，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)

1．下列各式计算正确的是( )

A ．2＋3＝ 5

B ．2＋2＝2 2

C ．32－2＝2 2

D ．12－10

2

＝6－ 5

2．估计8×

1

2

＋3的运算结果在( ) A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间 3．若a ＜1，化简a －12－1等于( ) A ．a －2 B ．2－a C ．a D ．－a

4．已知实数a 满足|2 011－a |＋a －2 012＝a ，则a －2 0112

的值是( )