理解算理掌握算法

理解算理，掌握算法
——数的计算的教学
一、“数的运算”的重要意义和价值。

“数的运算”在整个小学阶段的学习内容中占有相当大的比重。

正确认识计算在数学教学中的作用，准确了解计算的内在思想和方法，能使我们的计算教学更加科学有效。

数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，因此它历来是小学数学教学的基本内容，培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目标之一。

计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、思维等能力的发展，关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。

一定的计算能力是每个公民都应具备的基本素养。

1．在日常生活中有广泛的应用。

数的运算是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一。

从抽象的观点看，客观世界的表现形式可以概括为：数量、空间和时间及相互之间的关系。

从数学的角度看，主要表现在数、量、形三个方面，而计量是离不开数的运算的，空间形式及其关系要量化也离不开数与计算。

任何学科规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算。

2．对培养学生的思维能力有重要作用。

学习数的运算的过程就是发展逻辑思维能力的过程。

数的运算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。

每个概念、性质、法则、公式的引入与建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。

学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式，都要经过从具体到抽象、从感性到理性的过程。

学生把这些应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。

因此，数的运算的学习有利于发展学生的思维能力。

3．有利于渗透数学思想方法的教育。

数的运算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的，由低级到高级、从简单到复杂。

而数的运算中又有很多相互依存、对立统一的概念和计算方法。

如整数与分数、约数与倍数，加与减、乘与除、通分与约分，等等。

教学中阐明这些相互依存的概念与概念、计算方法与计算方法之间的关系，有利于渗透数学思想方法的教育。

二、内容变化解读。

随着科学技术的发展，尤其是计算机和计算器的普及，“数的运算”中哪些知识是大多数人最常用和最基础的，也在发生着变化。

了解和研究这种变化，重新审视相应的教学内
容和要求，是小学数学课程教材改革研究的任务之一。

1．加强的内容。

(1)注重计算与日常生活的联系。

过去一提到计算，常常和“抽象”、“单调”、“枯燥”等词语联系在一起，计算教学陷入了一些误区。

与传统的计算相比，《数学课程标准(实验稿)》注重了通过实际情境使学生体验、感受和理解运算的意义。

《标准》中提出：“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。

”“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。

”
诚然，计算本身具有较强的抽象性，但其反映的内容又常常是现实的，与人们的生活、生产有着十分密切的联系。

新课程注重计算的现实意义，适当让学生经历一些现实情境，使学生通过活动体验、感受和理解运算的意义、来源、现实背景和本质。

(2)加强计算器的运用。

计算器的运用一直是小学数学教学讨论的焦点。

《标准》中强调：“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。

”
借助计算器不仅有利于学生进行较复杂的运算，解决实际问题，而且还可以培养学生探索数学规律的能力。

一方面，学生可以用它进行大数目的加、减、乘、除四则运算，节约时间，提高计算的速度；另一方面，借助计算器可以引导学生探索一些复杂的、更为现实的应用问题。

计算器进入课堂，能逐步把学生从繁琐的技巧性计算中解放出来，以学习更多有用的数学内容。

当然，计算器的引入是一种新的改革和试验，需要我们深入研究，防止简单化处理，特别是在低年级学生形成基本计算能力的时候要慎用，在高年级学生学习中也要注意不能养成完全依赖计算器的习惯。

(3)强化估算的作用。

估算是人们在日常生活、工作和生产中，对一些无法或没有必要进行精确测量和计算的数量所进行的近似或粗略估计的一种方法。

如今，复杂的计算都可以由计算机或计算器来完成，与此同时，日常生活和工作中估算的作用也越来越突出。

如，人们在使用工具进行计算时，由于操作上的失误会使计算结
果有很大的误差，这就要求人们具有一定的估算能力，能对计算结果的合理性进行判断，并对其合理性作出解释。

另外，估算还可以用于平时的计算，在计算前对结果进行估算，可以使学生合理、灵活地用多种方法去思考问题；在计算后对结果进行估算，可以使学生获得一种最有价值的检验结果的方法。

所以估算能力是现代化社会生活的需要，是衡量人们计算能力的一个重要标准。

重视、加强估算已成为一个世界性的潮流。

《标准》中明确提出要培养估算能力。

在第一学段中强调“能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程”，在第二学段中强调“在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算的习惯”。

2．削弱的内容。

(1)删减珠算的内容。

珠算作为我国传统的计算工具，在历史上发挥了重要的作用，同时，珠算教学的形象性对于学生智力开发也有很大的促进作用。

但是随着计算机的不断普及，人们基本上已经不采用珠算计算的方法。

因此《标准》中基本不介绍珠算，取而代之的是计算器。

(2)删减繁琐的运算步骤。

在整数运算方面，《标准》明确提出：“进行简单的整数四则混合运算(以两步为主，不超过三步)。

”而在这里“简单”运算的含义具体包括：“加、减法以两三位为主”，“乘法是三位数乘两位数”，“除法是三位数除以两位数”。

在小数、分数运算方面，《标准》提出：“会分别进行简单的小数，分数(不含带分数)加、减、乘、除运算及混合运算(以两步为主，不超过三步)。

”
(3)删减运算的数目要求。

在口算方面，《标准》提出：“会口算百以内一位数乘、除两位数。

”在笔算方面，提出：“能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。

”
我们知道，同一类计算题目，数目较大的运算比数目较小的运算错误率有成倍的增长。

因此降低计算中的数目要求，也就降低了学生的错误率，减轻了学生负担。

三、数的运算的教学目标。

第一学段总体要求：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述‘算理’。

”
第二学段总体要求：“应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化；应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程；应避免繁杂的运算，避免将运算与应用割裂开来，避免对应用题进行机械的程式化训练。

”
在实际的教学中，要特别注意如下问题的解决。

1．如何建立四则运算概念?
首先，应注重在具体情境中体会运算意义。

四则运算是小学数学最基础的知识。

一般对加法的定义是：“把两个数合并成一个数的运算。

”减法的定义是：“已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。

”乘法的定义是：“求相同加数的和的简便运算。

”除法的定义是：“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

”这些运算定义虽然在表述上已经比较直观，但对于低年级的小学生来说，仍是十分抽象的。

心理学研究表明，当一个数的运算与所代表的情境中的物体相联系时，才能在学生的头脑中获得真正的意义。

情境可以赋予数以意义，从而使抽象的数成为具体的物体。

因此《标准》提出“结合具体情境”的要求。

2．如何重视口算教学?
口算也称心算，是一种不借助计算工具，仅依靠记忆与思维，直接算出结果的计算方式。

口算基于个人对数的基本性质和算术运算的理解，它不仅仅是笔算的基础，而且也是运算中独立的一部分，同时口算在日常生活中有着很高的应用价值。

口算还是数感发展过程中的一个重要部分。

在教学中具体落实“重视口算”的目标，应注重如下两点：
(1)在数形结合中理解口算原理。

数的运算，其实质是对现实生活中物体的个数进行运算，可以说小学阶段的每个算式都可以在生活中找到实例。

在让学生理解口算的算理时，除了要与实际情境相结合，还要逐步过渡为数学的语言符号。

例800+500（用人民币买东西付款怎样付）
(2)科学合理地训练，强化基本口算。

在小学的口算内容中，两个一位数相加与其相对应的减法、表内乘法与其相对应的除法是四则运算中的基本口算，俗称“四张九九表”，这“四表”是一切计算的基础，务必使学生达到“脱口而出”的熟练程度。

为此，在口算教学中，除了让学生理解算理、掌握算法，还要注重口算训练的科学合理性。

要强化基本口算，首先应重视基本口算方法的教学。

小学生口算的方法一般有三个层次：逐一重新计数→借数数加算或减算→按数群运算。

在教学基本口算时，要重视让学生逐步掌握按数群运算的方法。

所谓数群，是指学生在计数时能将最后说出的数作为所数过的一群对象的总体来把握。

所谓按群计数，就是计数时不以某个物体为单位，而是以数群为单位，如两个两个地数、五个五个地数，等等。

同时我们还应该注意，在教学初期，为
了达到算法指导下的正确计算，可不做计算速度的要求。

其次，应注重退位减法与表内除法的思路教学。

小学生正处于“具体运算阶段”，思维的可逆性刚刚出现，只能进行初步的逻辑推理。

而20以内退位减法和表内除法口算在很大程度上依赖于学生的逆向思维。

因此教学口算方法时，要特别强化退位减法和表内除法的基本计算思路(算减想加、算除想乘)的教学，以帮助学生掌握基本方法，同时有意识地培养学生的逆向思维能力。

再次，应注意口算训练的科学性。

要提供训练材料，选择训练时机，注意训练方法，考虑训练周期，做到适时、适量、适度。

具体说来，一要注意加强课堂练习，采用讲练结合的方式及时巩固所学口算内容；二要注意练习的针对性，抓住难点反复练习，不能平均用力；三要注意练习形式的多样化，提高学生口算的积极性，避免简单的机械重复。

3．如何加强估算意识?
估算具有重要的应用价值，是学生应该具备的重要的计算技能。

随着计算技术的进一步发展，大量的计算并不要求进行精确的计算，一个人在日常生活中进行估算的次数，远比精确计算的次数多得多。

在小学阶段的计算教学中，与估算相关的内容很多，如估计商的近似值、试商、估计小数乘法的结果、用估算进行验算，等等。

要体现《标准》中“加强估算”的要求，可以着力于以下两方面：
(1)培养数感是打好估算的基础。

数感是对数和数的关系的一种良好的直觉。

在估算中数感主要表现为能在具体情境中把握数的相对大小关系，能为解决问题而选择适当的算法，能对结果的合理性作出解释。

估算可以发展学生对数的认识，培养数感；同时，良好的数感又是学生进行估算的必要基础。

除了在数的认识时要加强数感的培养，在数的运算过程中更应结合具体计算培养学生的数感。

(2)掌握估算方法，养成估算习惯。

有研究表明，小学生最常使用的估算方法主要有三种：简约、转换和补偿。

所谓“简约”，是指学生在估算时先把数简化成比较简单的形式。

例如估算“495+310”，把495看作500，把310看作300，这样估算时只要想比较简单的形式“500+300”，即可。

所谓“转换”，是指学生在估算时把一种问题转换成另一种问题来思考。

例如，估算加法问题“602+597+589”，把加法问题转换为乘法问题：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。

”而所谓“补偿”，则是学生在进行简约或转换时，进行一些调整，以补偿前面运算中的不足，使估算比较准确。

例如，“602+597+ 589”这一问题，学生在转换时可能会进一步想：“答案大约是1800，
而且会稍小于1800，因为我在将每一个数都简化成600时，用加的部分比用减的更多一些。

”
我们在教学中也常常发现，有些学生在计算时会出现一些莫名其妙的错误。

对此，我们应让学生养成及时估算检查的习惯，每做完一道题目，可以先估计一下数值，然后与实际计算所得的答案比较，及时觉察出错误并加以更正。

4．如何体现算法多样化?
《标准》中指出：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。

”要体现“算法多样化”的思想，应注重以下三方面：
(1)理解算法多样化的内涵。

所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法，具体包括运算的方法与解题策略。

这两者都由一定的程序与规则组成，因此运算方法与解题策略有共性也有区别。

前者更偏重于技能，可以通过练习获得，并进而成为技巧，而后者虽然也可进行训练，但由于信息复杂，更多要依靠思维能力。

两者无本质区别，只有层次之差。

(2)找准算法多样化的前提。

现代学习心理学研究表明，实施算法多样化也是有前提的，各种不同算法要建立在思维等价的基础上，否则多样化就会导致泛化。

以学生思维凭借的依据看，可以分为基于动作的思维、基于形象的思维、基于符号与逻辑的思维。

显然这三种思维并不在同一层次上，不在同一层次上的算法就应该提倡优化，而且必须优化，只是优化的过程应是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制规定和主观臆断的过程，应让学生逐步找到适合自己的最优算法。

(3)把握算法优化的标准。

过去我们仅仅用成人认为唯一合理的方法作为基本算法教给学生。

现在我们认为的基本算法是什么呢?其实，基本算法并不是唯一算法，基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。

以此为基础，这里提出判定基本算法的三个维度：一是从心理学维度看，多数学生喜欢的方法；二是从教育学维度看，教师易教、学生易学的方法；三是从学科维度看，对后续知识的掌握有价值的方法。

理想的基本算法是三位一体的。

在小学阶段，随着年级的升高对学科维度要求会逐渐增强。

四、数的运算的教学要点
（一）整数四则运算的教学
1、整数加减法的教学
（1）20以内加减法的教学
在入学前，小学生能借助手指头或实物进行简单的加减法计算，这样算得慢又容易出错。

入学后学习这部分内容，要注意以下几点：
①通过具体情境，初步体会加减法的意义，这是学习计算的基础。

例如：老师左手拿着3枝铅笔，右手拿着2枝铅笔，然后把两只手合在一起，一共有5枝铅笔。

用算式表示是3+2=5，非常形象地说明，把两个数合在一起，用加法计算；同样可以用这样的方法让学生明白：从一个数里去掉一部分，求另一部分，用减法计算。

②通过摆一摆、画一画、分一分等活动，逐步掌握计算方法。

例如学习9+3=？时，教师可组织学生通过自己动手操作，探索计算方法。

如有的小学生用数的方法；有的小学生用摆小棒的方法，有的可能从数的组成得到启发，会3分成1和2，9+1=10，10+2=12。

有的可能把9分成7和2，9+3=10，10=2=12。

这些算法都是可以的，教师予以肯定，通过合作交流，学生会发现后两种方法算得快。

最后让学生自主选择一种自己喜欢的方法进行计算。

③组织生动有趣，活泼多样的活动进行练习，逐步达到熟练。

基本的口算技能要经过一定的练习才能获得，结合一年级学生的特点，必须组织丰富多彩的活动，使学生保持积极的学习兴趣，获得良好的情感体验。

如可以通过连一连，送小动物回家，邮递员送信，对口令、数字扑克等到活动加以练习。

（2）百以内数的加减法的教学
这一段是学生学习了20以内数的加减法和百以内数的认识的基础上进行的，使学生进一步学习一些整十数加减整十数，两位数加减一位数，两位数加减两位数的口算，并初步学会简单的笔算，为学习多位数的加减法打下基础。

教学中要注意几点：
①结合生活情境，经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义。

教师可以通过图片、录像等再现具体情境，鼓励学生从中发现数学问题，抽象出算式，进一步体会加减法的意义，同时体会到生活中有需要用两位数加减一位数或两位数加减两位数的计算的需要，体现计算教育的价值，有机地把计算教学把解决问题结合起来。

②经历探索运算方法的过程，体验算法多样化。

教师可鼓励学生尝试计算，学生往往会从自己生活的经验和思考角度，产生不同的算法，教师应当鼓励和尊重学生的独立思考，并为学生提供交流各自想法的机会，让学生自主选择适合自己的方法。

（例57-22=？）
③能估计运算的结果，发展学生的估算意识和技能。

培养学生估算的意识和技能是发
展学生数感的重要方面，教师要创设问题情境，使学生感到估算的必要性。

如：（3）万以内数的加减法教学
这是整数加减法的最后阶段，前两个阶段的教学注意事项对这一阶段的学习同样适用，但还应注意以下两点。

①探索并掌握三位数加减法的计算方法，培养学生结合具体情境进行估算的能力，养成验算的习惯。

学生有计算两位数加减两位数的基础，完全可以放手让学生主动探索三位数加减法的方法，由于数目比较大，培养学生估算的习惯和验算的习惯就显得更加重要。

②运用所学的计算解决生活中的简单问题。

这是整数加减法的最后阶段，更应重视运用所学的计算方法解决生活中的简单问题。

人们在现实生活中接触到的信息（如报纸、电视）都可能形成数学问题。

实际生活中产生的数学问题不会像书本上的习题那样规范，有的条件可能不足，有的条件过强，这些都需要学生把问题数学化，并筛选条件。

这样的练习，使学生对数学的理解更深刻、更实际。

2、整数乘除法
（1）表内乘除法。

表内乘除法是学习乘除法的基础，任何多位数乘除法都要分解成几个一位数乘除法，因此，表内乘除法是小学数学最基础的知识，必须达到计算熟练。

教学中应注意以下几点。

①通过实际操作使学生初步理解乘法意义，介绍乘法算式中各部分的名称。

教学时，要从直观入手，组织学生数一数等活动，通过几个几个地数，得到相同加数连加，可以用乘法表示，使学生初步理解乘法的意义。

要利用反例，让学生明白只有相同加数连加的式子才能改写成乘法算式，使学生从另一方面理解乘法的意义。

②通过学具操作，由学生“自编”乘法口诀。

乘法口诀是我国的传家宝，读起来朗读上口，学生很喜欢。

用乘法口诀能正确熟练地计算表内乘除法，提高学生的计算能力。

但要想正确地熟记乘法口诀，必须使学生知道乘法口诀的来源，每句乘法口诀表示什么意思，乘法口诀之间的联系等。

教师一般以前两句为范例，教会学生编口诀，后面的让学生自己仿照自编。

然后组织学生交流怎样记住乘法口诀。

③通过分一分，体会除法的意义。

除法意义的本质是平均分，传统教学中说的“等分除”和“包含除”都是平均分。

对除法意义的理解，要通过实际操作“分一分”，突出平均分的含义。

④指导学生用乘法口诀求商。

比如8÷2=？可以引导学生回想2和几相乘得8？学生
通过回忆2的乘法口诀，可以找到答案。

⑤采用形式多样的练习，熟练计算表内乘除法。

比如可以采用让老师说口诀，学生说出四个算式让学生熟记口诀，用对口令、帮小动物回家、摘苹果、找座位等游戏让熟练计算。

⑥计算运用表内乘除法解决简单的实际问题。

（2）一位数乘除法。

在计算一位数乘除法的过程中，实际上是在多次进行表内乘除法。

教学时要注意以下几点。

①通过实例，引导学生主动探索计算方法。

要让学生根据生活的经验，探索计算方法，体现算法的多样化。

在笔算方法的探究的过程中，借助教具明白竖式计算中每一步的含义，从而掌握计算的方法。

例如
②利用口算，计算中间或末尾有0的乘除法。

③充分利用估算，判断计算是否正确。

多位数乘一位数，数目比表内乘除法大，步骤比较多，容易出现错误，除培养学生利用乘除法之间的关系进行难处外，还可以充分利用估算，检查计算是否正确，即简便又实用。

（3）两位数乘除法。

这是乘除法在小学的最高要求，教学中除了遵循前面学习乘除法的要求外，还应注意以下几点；
①创设情境，引导学生探索两位数乘法的计算方法。

②引导学生探索利用估算的方法进行两位数除法的试商。

两位数除法的试商是教学的难点，可以引导学生把除数看作与它接近的整十数进行估计，再进行调整，逐步积累经验。

③利用学过的计算，进行大数目的估计，培养学生的数感。

3、混合运算顺序的教学
混合运算是加、减、乘、除运算的综合运用，在学习和生活中经常用到。

混合运算的练习，有助于发展学生的思维能力。

为了使学生掌握好数的混合运算，教学时要注意：
①结合现实素材，理解运算顺序；例如买4个面包和1瓶水需要付多少钱时，根据学生购物时付款的思考过程，使学生体会先算乘再算加。

又如班上有男生29人，女生25人要坐观光车，每车限坐9人，需要多少辆车？学生会想到先算一共有多少人，再算需要多少辆车，因此需要先算加（小括号里的）再算除。

②掌握运算顺序，正确计算混合运算。

③严格控制混合运算的步数，不随意增加练习的繁难程度。

（二）小数四则运算的教学。