线性代数
线性代数
第1章 矩阵与行列式
>> AB=A*B 运行结果： AB = 6 2 6 1 8 -1 >> D=6*A 运行结果： D= 18 6 12 6 6 12
-2 0 2
6 12 18
第1章 矩阵与行列式
>> sym c; >> cA=c*A 运行结果： cA = [ 3*c, c, c] [ 2*c, c, 2*c] [ c, 2*c, 3*c] >> F=A' 运行结果： F= 3 2 1 1 1 2
第1章 矩阵与行列式
【矩阵与行列式简介】
在计算机日益发展的今天，线性代数起着越 来越重要的作用。线性代数起源于解线性方程组 的问题，而利用矩阵来求解线性方程组的Gauss消 元法至今仍是十分有效的计算机求解线性方程组 的方法。矩阵是数学研究和应用的一个重要工具 ，利用矩阵的运算及初等变换可以解决求解线性 方程组等问题。特殊的矩阵方阵的数字特征之一 是方阵的行列式，使用行列式可以描述方阵的一 些重要的性质。通过计算行列式可求逆矩阵，n个
第1章 矩阵与行列式
>>C=A(2:end,[1,4]) 运行结果： C= 5 8 9 12 13 16 3．>> A=[0 1 2;1 1 4;2 -1 0]; >>E=eye(3); >>B=[A,E] 运行结果： B= 0 1 2 1 1 1 4 0 2 -1 0 0
0 1 0
0 0 1
第1章 矩阵与行列式
；
2 x1 4 x 2 x3 x 4 5 （2） x1 2 x2 2 x3 x 4 4 ． x 2x x 2x 1 2 3 4 1
线性代数基础知识
线性代数基础知识导言：线性代数是现代数学的重要分支之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍线性代数的基本概念、运算规律和应用，以帮助读者建立对线性代数的基础知识。
一、向量与向量空间1.1 向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或矩阵形式表示。
向量的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
1.2 向量空间的定义与性质向量空间是由一组向量和运算规则构成的数学结构，包括加法和数量乘法运算。
向量空间满足加法和数量乘法的封闭性、结合律、分配律以及零向量和负向量的存在等性质。
二、矩阵与线性方程组2.1 矩阵的定义与性质矩阵是由一组数按照矩形排列组成的数学对象，可以表示为一个二维数组。
矩阵的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
2.2 线性方程组的表示与求解线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b。
其中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
线性方程组的解可以通过消元法、矩阵的逆或行列式等方法求得。
三、线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法运算。
线性变换满足加法封闭性、乘法封闭性和保持零向量不变等性质。
3.2 特征值与特征向量线性变换的特征值和特征向量是线性变换的重要性质。
特征值为标量，特征向量为非零向量，满足Av=λv。
其中，A为线性变换的矩阵表示，λ为特征值，v为对应的特征向量。
四、内积空间与正交性4.1 内积空间的定义与性质内积空间是一个向量空间，具有额外定义的内积运算。
内积满足对称性、线性性、正定性和共轭对称性等性质。
4.2 正交性与正交基在内积空间中，若两个向量的内积为零，则它们互为正交。
正交基是一个向量空间中的基，其中任意两个基向量互相正交。
五、特殊矩阵与特殊向量5.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是满足A^T=A的矩阵，其中A^T为A的转置矩阵。
线性代数课件PPT
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
线性代数
系数行列式
二阶行列式. 二阶行列式.
13
二. 三阶行列式 类似地, 类似地 为讨论三元线性方程组
a11 x 1 + a 12 x 2 + a13 x 3 = b1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b2 a x + a x + a x = b 32 2 33 3 3 31 1
经 济 数 学 基 础
1
课程的作用
线性代数（ 线性代数（Linear Algebra）是代数学的一个分 这一词在我国出现较晚， 支，“Algebra”这一词在我国出现较晚，清代著名的数 学家、翻译家李善兰将它翻译成代数学，一直沿用至今。 学家、翻译家李善兰将它翻译成代数学，一直沿用至今。 线性代数是一门非常重要的基础课。 线性代数是一门非常重要的基础课。线性代数主要 处理线性关系的问题，其含义不断扩大， 处理线性关系的问题，其含义不断扩大，它的理论不仅 渗透到了数学的许多分支中，而且还在国民经济、工程 渗透到了数学的许多分支中，而且还在国民经济、 技术、理论物理、理论化学、航天、 技术、理论物理、理论化学、航天、航海等领域中都有 广泛的应用。 广泛的应用。 该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力， 该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力，空 间想象能力具有重要作用。通过线性代数的学习， 间想象能力具有重要作用。通过线性代数的学习，能使 学生获得应用学科中常用的矩阵、线性方程组等理论， 学生获得应用学科中常用的矩阵、线性方程组等理论， 具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决实际问题的 能力。 能力。
a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
记
a11 b1 a13 D2 = a21 b2 a23 a31 b3 a33
线性代数简介
序 言1.什么是线性代数：线性代数名曰代数，是代数学乃至整个数学的一个非常重要的学科，顾名思义，它是研究线性问题的代数理论，具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
1.1 那么什么是代数呢？代数英文是Algebra ，源于阿拉伯语，其本意是“结合在一起”的意思。
也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。
抽象的目的不是为了显示某些人智商高，而是为了解决问题的方便，为了提高效率，把许多看似不相关的问题化归为一类问题。
比如线性代数中的一个重要的抽象概念是线性空间（对所谓的要满足“加法”和“数乘”等八条公理的元素的集合），而其元素被称为向量。
也就是说，只要某个集合里的元素满足那么几条公理，元素之间的变化满足这些规律，我们就可以对这个集合（现在可以改名为线性空间了）进行一系列线性化处理和分析，这个陌生的集合的性质和结构特点我们一下子就全知道了，因为宇宙间的所有的线性空间类的集合的性质都一样，地球人都知道（如果地球人都学了线性代数的话）。
多么深刻而美妙的结论！这就是代数的一个抽象特性。
1.2 那么线性问题又是什么样的问题呢？在大家的科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题，一类非线性问题。
线性问题是研究最久、理论最完善的；而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。
因此遇到一个具体的问题，首先判断是线性还是上非线性的；其次若是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。
下面我们通过介绍一个重要的概念来逐渐的把握线性这个核心意思。
“线性”的意义线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。
线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义，强调了函数的变量之间的变换的意义。
线性函数的概念线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同（高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化，初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例）。
《线性代数》公式大全
《线性代数》公式大全1.向量1.1向量的加法和减法v1=(x1,y1,z1)v2=(x2,y2,z2)v1+v2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)v1-v2=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)1.2向量的数量乘法v=(x,y,z),k是一个实数kv = (kx, ky, kz)1.3向量的点积v1·v2=x1x2+y1y2+z1z21.4向量的模长v，=√(x^2+y^2+z^2)2.矩阵2.1矩阵的加法和减法A = (aij),B = (bij)是两个m x n矩阵A +B = (aij + bij)A -B = (aij - bij)2.2矩阵的数量乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，k是一个实数kA = (kaij)2.3矩阵的乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，B = (bij)是一个n x p矩阵AB = (cij)是一个m x p矩阵，其中cij = a1j*b1i + a2j*b2i+ ... + anj*bni2.4矩阵的转置A = (aij)是一个m x n矩阵A的转置为A^T = (aij)^T = (aji)2.5矩阵的逆A为可逆矩阵，A^-1为其逆矩阵，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I为单位矩阵3.行列式3.1二阶行列式D=，abc d， = ad - b3.2三阶行列式D=，abcdeg h i， = aeI + bfG + cdH - ceG - afH - bd3.3n阶行列式D=，a11a12 (1)a21a22...a2...........an1 an2 ... ann， = (-1)^(i+j)*Mij，其中Mij为aij的代数余子4.线性方程组4.1齐次线性方程组Ax=0，其中A为一个mxn矩阵4.2非齐次线性方程组Ax=b，其中A为一个mxn矩阵，x为一个n维列向量，b为一个m维列向量4.3线性方程组的解法4.3.1矩阵消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为行阶梯形或最简形4.3.2克拉默法则Ax = b的解可以表示为x = (Dx1/D, Dx2/D, ..., Dxn/D)，其中D 为系数矩阵A的行列式，Di为将第i列的系数替换为b后的行列式4.3.3矩阵求逆法若A为可逆矩阵，则Ax=b的解可以表示为x=A^(-1)b以上是线性代数的一些重要公式，通过理解和掌握这些公式，可以帮助我们解决线性代数相关的问题和应用。
大学数学线性代数题库及答案解析
大学数学线性代数题库及答案解析1. 求解方程组a) 3x + 2y - z = 7-x + 3y + 2z = -112x - y + 4z = 5解析：首先，我们可以使用增广矩阵表示方程组：[ 3, 2, -1, 7;-1, 3, 2, -11;2, -1, 4, 5 ]接下来，通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 3, 2, -1, 7;0, 7/4, 3/4, -21/4;0, 0, 9/7, 4/7 ]从第三行可以得到 z = 4/7，代入第二行可得 y = -21/7，再代入第一行可以得到 x = 3。
因此，方程组的解为 x = 3, y = -3, z = 4/7。
b) 2x + 3y + 2z = 10x - y + z = 44x + 2y + z = 12解析：同样，我们使用增广矩阵表示方程组：[ 2, 3, 2, 10;1, -1, 1, 4;4, 2, 1, 12 ]通过行初等变换将矩阵化为阶梯形：[ 2, 3, 2, 10;0, -5, -1, -6;0, 0, 0, 0 ]从第二行可以得到 -5y - z = -6，即 z = -6 + 5y。
我们可以令 y = t，其中 t 为任意常数。
则得到 z = -6 + 5t。
将 z 的值代入第一行可以得到x = 4 - 3t。
因此，方程组的解可以表示为 x = 4 - 3t, y = t, z = -6 + 5t。
2. 求解线性方程组的向量空间a) 给定矩阵 A = [1, 2, -1; 2, 4, -2; 3, 6, -3]，求解 A 的列空间。
解析：列空间由矩阵 A 的列向量张成。
我们可以计算矩阵 A 的列向量组的极简形式：[ 1, 2, -1;2, 4, -2;3, 6, -3 ]通过初等行变换得到：[ 1, 2, -1;0, 0, 0;0, 0, 0 ]可以看出，第一列是主列，而第二列和第三列都是自由列。
因此，矩阵 A 的列空间可以表示为 Span{[1, 2, -1]}。
常见的线性代数求解方法
常见的线性代数求解方法
1.列主元消去法
列主元消去法是一种经典的求解线性方程组的方法。
它通过将
方程组转化为上三角矩阵的形式来求解。
这个方法的关键在于选取
主元的策略。
一种常见的选取主元的策略是选择当前列中绝对值最
大的元素作为主元，然后进行消去操作，直到将矩阵转化为上三角
矩阵。
2.高斯-约当消去法
高斯-约当消去法是另一种常见的线性方程组求解方法。
它通
过消去矩阵的下三角部分来将线性方程组转化为上三角矩阵的形式。
这个方法也需要选择主元，常见的选择策略是选取当前行中绝对值
最大的元素作为主元，然后进行消去操作。
3.LU分解法
LU分解法是将矩阵分解为一对矩阵的乘积的方法。
这个方法的思想是先将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，然后通过求解上三角矩阵和下三角矩阵的两个方程组来求解原始的线性方程组。
4.Jacobi迭代法
Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过将原始的线性方程组转化为一个对角矩阵和另一个矩阵的乘积的形式，然后通过迭代求解这个对角矩阵和另一个矩阵的方程组来逼近线性方程组的解。
5.Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是另一种迭代求解线性方程组的方法。
它与Jacobi迭代法类似，但是在每一次迭代中，它使用前一次迭代得到的部分解来更新当前的解。
这个方法通常比Jacobi迭代法收敛得更快。
以上是一些常见的线性代数求解方法。
每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组的问题。
线性代数
第1章行列式一、n阶行列式1、定义1：由自然数1，2，···，n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为排列。
2、定义2：在一个n级排列（i1i2···i t···i s···i n）中，若数i t·＞i s，则称数i t与i s构成一个逆序。
一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为N（i1i2···i t···i s···i n）。
3、定义4：由n2个元素a ij（i，j=1，2，···，n）组成的记号，称为n阶行列式。
而此行列式的值可以表示为：D=∑（-1）N（j1j2···jn）a1j1 a2j2···a njn4、定义5：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的方法称之为对换。
5、定理1：任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性改变。
6、推论1：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数是偶数。
7、定理2：n个自然数（n＞1）共有n！个n级排列，其中奇偶排列各占一半。
8、定理3：n阶行列式也定义为：D=∑（-1）S a i1j1 a i2j2···a injn其中S为行标和列标的逆序数之和，即S=N（i1i2···i n）+N（j1j2···j n）二、行列式的性质1、性质1：行列式与它的转置行列式相等，即D=D T。
2、性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。
3、推论1：若行列式有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零。
4、性质3：用数k乘行列式某一行（列），等于用数k乘此行列式。
线性代数
两两正交的非零向量组为正交向量组；两两正交的单位向量组为标准正交向量组
正交向量组一定是线性无关组
6.方阵
相似
正交
合同
含义
B＝P－1AP，则
,则A为正交矩阵
B＝PTAP，则
性质
反身性：
对称性：若
传递性：
1
2
3正交矩阵的转置矩阵和逆矩阵也是正交矩阵
4正交矩阵A的伴随矩阵A*必是正交矩阵
5对于任意n维列向量 都有内积等式
反身性：
对称性：
传递性：若
A与B合同当且仅当有相同的秩和正惯性指数
定理
两个相似的方阵必有相同的特征多项式、特征值、迹和行列式。反之则不然
，则A有n个线性无关的特征向量
两个同阶的正交矩阵的乘积一定是正交矩阵
N阶实方阵A是正交矩阵 A的n个行向量是标准正交向量组 A的n个列向量是标准正交向量组
传递性：若R与S等价，S与T等价，是R与T等价
等价标准形： （有限次初等变换）
秩
在m*n矩阵A中，非零子式的最高阶数称为A的秩，记为r（A）
向量组T的任意一个极大无关组中所含向量的个数r称为T秩，记为r(T)或秩（T）
定理：对矩阵施行初等变换，不改变矩阵的秩（定理2.6.1）
推论：设A为m*n矩阵，P和Q分别为m阶和n阶可逆矩阵，则
向量行列式为零，线性相关
向量组的秩小于向量个数时，为线性相关
向量组矩阵有非零解，线性相关
⇔线性无关
m>n⇔线性相关
两个向量线性相关当且仅当它们的对应分量成比例
向量组R可以S线性表出，若
表出系数 就是线性方程 的解
若方程组（3.2）有惟一解，则表明 线性表出，且表示法是惟一的
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数知识点归纳,超详细线性代数复习要点第⼀部分⾏列式1. 排列的逆序数2. ⾏列式按⾏（列）展开法则3. ⾏列式的性质及⾏列式的计算⾏列式的定义1.⾏列式的计算：①(定义法)②（降阶法）⾏列式按⾏（列）展开定理：⾏列式等于它的任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式的乘积之和.推论：⾏列式某⼀⾏（列）的元素与另⼀⾏（列）的对应元素的代数余⼦式乘积之和等于零.③(化为三⾓型⾏列式)上三⾓、下三⾓、主对⾓⾏列式等于主对⾓线上元素的乘积.④若都是⽅阵（不必同阶）,则⑤关于副对⾓线：⑥范德蒙德⾏列式：证明⽤从第n⾏开始，⾃下⽽上依次的由下⼀⾏减去它上⼀⾏的倍，按第⼀列展开，重复上述操作即可。
⑦型公式：⑧(升阶法)在原⾏列式中增加⼀⾏⼀列，保持原⾏列式不变的⽅法.⑨(递推公式法) 对阶⾏列式找出与或,之间的⼀种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的⽅法称为递推公式法.(拆分法) 把某⼀⾏（或列）的元素写成两数和的形式，再利⽤⾏列式的性质将原⾏列式写成两⾏列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶⾏列式，恒有：，其中为阶主⼦式；3. 证明的⽅法：①、；②、反证法；③、构造齐次⽅程组，证明其有⾮零解；④、利⽤秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余⼦式和余⼦式的关系：第⼆部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵⽅程的求解1.矩阵的定义由个数排成的⾏列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的⾏数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满⾜：交换律、消去律, 即公式不成⽴.a. 分块对⾓阵相乘：,b. ⽤对⾓矩阵○左乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○⾏向量；c. ⽤对⾓矩阵○右乘⼀个矩阵,相当于⽤的对⾓线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对⾓矩阵相乘只⽤把对⾓线上的对应元素相乘.④⽅阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的⾏换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余⼦式.,, .分块对⾓阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。
线性代数ppt课件
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线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
什么是线性代数
④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。
线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。
线性代数总结汇总+经典例题
线性代数总结汇总+经典例题（⼀）⾏列式概念和性质线性代数知识点总结1 ⾏列式1、逆序数：所有的逆序的总数2、⾏列式定义：不同⾏不同列元素乘积代数和3、⾏列式性质：（⽤于化简⾏列式）（1））⾏列互换（转置），⾏列式的值不变（2））两⾏（列）互换，⾏列式变号（3））提公因式：⾏列式的某⼀⾏（列）的所有元素都乘以同⼀数k，等于⽤数k 乘此⾏列式（4））拆列分配：⾏列式中如果某⼀⾏（列）的元素都是两组数之和，那么这个⾏列式就等于两个⾏列式之和。
（5））⼀⾏（列）乘k加到另⼀⾏（列），⾏列式的值不变。
（6））两⾏成⽐例，⾏列式的值为0。
（⼆）重要⾏列式4、上（下）三⾓（主对⾓线）⾏列式的值等于主对⾓线元素的乘积5、副对⾓线⾏列式的值等于副对⾓线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵），则7、n 阶（n≥2）范德蒙德⾏列式数学归纳法证明★8、对⾓线的元素为a，其余元素为 b 的⾏列式的值：（三）按⾏（列）展开9、按⾏展开定理：（1））任⼀⾏（列）的各元素与其对应的代数余⼦式乘积之和等于⾏列式的值（2））⾏列式中某⼀⾏（列）各个元素与另⼀⾏（列）对应元素的代数余⼦式乘积之和等于0（四）⾏列式公式10、⾏列式七⼤公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A| ·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A -1|=|A| -1（5）|A*|=|A| n-1（6））若A 的特征值λ1、λ2、,, λn ，则（7））若 A 与B 相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1 ）⾮齐次线性⽅程组的系数⾏列式不为0 ，那么⽅程为唯⼀解（2））如果⾮齐次线性⽅程组⽆解或有两个不同解，则它的系数⾏列式必为0 （3））若齐次线性⽅程组的系数⾏列式不为0，则齐次线性⽅程组只有0 解；如果⽅程组有⾮零解，那么必有D=0。
2 矩阵（⼀）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1））矩阵乘法要求前列后⾏⼀致；（2））矩阵乘法不满⾜交换律；（因式分解的公式对矩阵不适⽤，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以⽤交换律）（3））AB=O不能推出A=O 或B=O。
线性代数
《线性代数》是一门研究线性问题的数学基础课，线性代数实质上是提供了自己独特的语言和方法，将那些涉及多变量的问题组织起来并进行分析研究，是将中学一元代数推广为处理大的数组的一门代数。
线性代数有两类基本数学构件.一类是对象：数组；一类是这些对象进行的运算。
在此基础之上可以对一系列涉及数组的数学模型进行探讨和研究，从而解决实际问题.既然线性代数有自己独特的内容，我们就要用适当的学习方法面对。
这里给出五点建议：一、线性代数如果注意以下几点是有益的.由易而难线性代数常常涉及大型数组，故先将容易的问题搞明白，再解决有难度的问题，例如行列式定义，首先将3阶行列式定义理解好，自然可以推广到n阶行列式情形；由低而高运用技巧，省时不少，无论是行列式还是矩阵，在低阶状态，找出适合的计算方法，则可自如推广运用到高阶情形；由简而繁一些运算法则，先试用于简单情形，进而应用于复杂问题，例如，克莱姆法则，线性方程组解存在性判别，对角化问题等等；由浅而深线性代数中一些新概念如秩，特征值特征向量，应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其他概念的联系、它们的作用，一步步达到运用自如境地。
二、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
1、线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
2、线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。
线性代数的基本概念
线性代数的基本概念线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性变换等代数结构及其应用。
在许多领域，如物理学、计算机科学、经济学等，线性代数都扮演着重要的角色。
本文将介绍线性代数的基本概念，包括向量、矩阵、线性变换和特征值等内容。
1. 向量向量是线性代数中的基本概念之一。
向量可以表示具有大小和方向的量，常用于描述力、速度和位移等物理量。
在数学上，向量通常用一组有序数列来表示，如 (x1, x2, ..., xn)。
向量具有加法和数乘的运算规则。
向量加法指的是将两个向量的对应分量相加，数乘是将向量的每个分量乘以一个数。
这些运算满足交换律、结合律和分配律等性质。
2. 矩阵矩阵是由一组数排成的矩形阵列。
矩阵的大小由行数和列数决定。
例如，一个 m×n 的矩阵有 m 行 n 列。
矩阵可以表示线性方程组，用于求解多个变量之间的关系。
通过矩阵的运算，可以进行加法、数乘和乘法等操作。
矩阵乘法是将一个矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列进行对应元素相乘，并将结果相加得到新矩阵的元素。
3. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数乘运算。
线性变换可以用矩阵来表示。
设有一个线性变换 T，向量 v 和矩阵 A，则有 T(v) = Av，其中 A 是线性变换的矩阵表示。
线性变换具有许多重要的性质，如保持零向量不变、保持向量长度比例不变等。
线性变换还可以进行复合和逆运算，这样可以构成一个线性变换的代数结构。
4. 特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，常用于描述线性变换的性质。
对于一个线性变换 T，若存在一个非零向量 v 和一个实数λ，使得T(v) = λv，则λ 是 T 的特征值，v 是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们理解线性变换对向量空间的影响。
特征值表示了变换的缩放比例，特征向量表示了在变换中不变的方向。
通过求解特征值和特征向量，可以对线性变换进行分析和应用。
线性代数是什么
线性代数总览线性代数（－）线性方程组线性代数是解一次方程的学问。
线性 = 一次 = 简单由于一个未知数的线性方程ax=b 的解的状况在小学时即已被大家完全掌握，所以本课程面临的问题将是解两个以上未知数即下面形式的线性方程组：=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a """""""""""""""22112222212111212111 (1)这是一个含有n 个未知数m 个方程的线性方程组，是线性代数的基本研究对象。
当m=n=2时，方程组（1）就是我们非常熟悉的=+=+22221211212111b x a x a b x a x a (2)或者=+=+222111c y b x a c y b x a (3)当12210a b a b −≠时，方程组(3)有唯一解：1221122112211221,c b c b a c a c x y a b a b a b a b −−==−−。
注意上述解中的分母相等，均为1221ab a b −，且该数与方程组（3）的系数关系密切，我们愿意用一个特殊的符号表示它(这样做最大的好处是：易记)，即1122a b a b ，称此数为方程组（3）的系数行列式。
如此一来，上述解中的分子也分别变为了1122c b c b 以及1122a c a c 。
这样的结果当然非常美妙，足以令我们心旷神怡。
高兴之余，我们必然要问：m=n=3时如何？m=n>3时如何？容易计算（只是较麻烦，这是不可避免的），当m=n=3时，如果方程组（1）有唯一解，则解是1223312233132321322312233123321112233122331132132132231122133112332b a a a a b a b a a a b a b a b a a x a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−=++−−−其余两个未知数的表达式类似。
线性代数计算法则
线性代数计算法则线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
它在科学、经济学和工程学等各个领域都有广泛的应用。
线性代数的计算法则是进行线性代数运算的方法和规则，下面将对线性代数计算法则进行详细介绍。
一、向量和矩阵的基本运算1.向量和矩阵的加法：向量和矩阵的对应元素相加，即两个向量或矩阵的对应元素分别相加形成一个新的向量或矩阵。
2.向量和矩阵的数乘：一个向量或矩阵中的每个元素乘以一个实数，即实数与向量或矩阵的每个元素相乘形成一个新的向量或矩阵。
3.向量的内积：两个向量的内积等于对应元素乘积的和。
4.矩阵的乘法：矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的运算，其中第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其中每个元素是第一个矩阵的其中一行与第二个矩阵的其中一列对应元素乘积的和。
5.矩阵的转置：将矩阵的行和列互换，得到一个新的矩阵。
6.矩阵的逆：对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，矩阵B称为A的逆矩阵。
二、矩阵的行列式1.行列式定义：行列式是一个标量值，它是一个n阶方阵中元素的代数和。
2.行列式性质：-行列式的值与它的转置矩阵的值相等。
-交换矩阵中两行或两列的位置，行列式取负。
-将矩阵的其中一行（或其中一列）的所有元素乘以一个数k，行列式的值也乘以k。
-如果矩阵的其中一行（或其中一列）的元素全为0，则行列式的值等于0。
-如果矩阵的两行（或两列）相等，则行列式的值等于0。
-行列式的值等于每一行（或每一列）的元素与它们所在行（或列）的代数余子式相乘再求和。
三、矩阵的特征值和特征向量1.特征值和特征向量定义：对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和非零向量X，使得AX=λX，则称λ为矩阵A的特征值，X为对应的特征向量。
2.特征值和特征向量的计算：-特征值是矩阵A减去λ的单位矩阵后的行列式等于0的解。
-对每个求解得到的特征值λ，代入(A-λI)X=0的线性方程组中，求解得到对应的特征向量X。
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1、基和维的概念 、 2、再论线性代数方程组的解 、
5.3.1 基和维
定义 设V为向量空间, 如果 个向量 1, a2, ⋅⋅⋅, ar∈V, 且满足 为向量空间, 个向量a 为向量空间 如果r个向量 , (1) a1, a2, ⋅⋅⋅, ar 线性无关; 线性无关; (2)V中任一向量都可由 1, a2, ⋅⋅⋅, ar 线性表示, 中任一向量都可由a 线性表示, 中任一向量都可由 那么, 向量组a 就称为向量空间V的一个 的一个基 那么, 向量组 1, a2, ⋅⋅⋅, ar 就称为向量空间 的一个基, r 称为向 量空间V的维数, 并称V为 维向量空间. 量空间 的维数, 并称 为 r 维向量空间. 注 （1）只有零向量的向量空间没有基, 规定其维数为 . ）只有零向量的向量空间没有基, 规定其维数为0. 看作向量组, （2）若把向量空间 看作向量组, 则向量空间 的基就是 ）若把向量空间V看作向量组 则向量空间V的 向量组的最大无关组 向量空间V的维数就是向量组的秩. 最大无关组, 就是向量组的秩 向量组的最大无关组, 向量空间 的维数就是向量组的秩. （3） 向量空间的基不唯一 ） 向量空间的基不唯一.
5x1 + 2x2 + 3x3 − 4x4 = 0 x2 − 6x3 +18x4 = 0
令 x3 = c1 , x 4 = c 2， 则方程组的通解为 则方程组的通解 通解为
x1 −3 8 基础解系的构成及特点 x2 6 −18 (1)每一个向量都是齐次方程组的解; (1)每一个向量都是齐次方程组的解 每一个向量都是齐次方程组的解; = c1 + c2 x3 1 0 (2)基础解系中共有 个向量； (2)基础解系中共有 n-r(A) 个向量； 0 1 x4
记 B AX. 作 =
对矩阵( AM B )施行初等行变换，若A能变为E， 则a1 , a2 , a3为R 3的一个基，且当A变为E时，B变为X = A−1 B.
例 设A: a1=(2, 2, −1)T, a2=(2, −1, 2)T, a3=(−1, 2, 2)T; : , , , , − , , B: b1=(1, 0, −4)T, b2=(4, 3, 2)T. 验证 1, a2, a3是R3的一 验证a : , , , , 个基, 并求b 在这个基中的坐标. 个基, 并求 1, b2在这个基中的坐标.
例 设A: a1=(2, 2, −1)T, a2=(2, −1, 2)T, a3=(−1, 2, 2)T; : , , , , − , , B: b1=(1, 0, −4)T, b2=(4, 3, Байду номын сангаас)T. 验证 1, a2, a3是R3的一 验证a : , , , , 个基, 并求b 在这个基中的坐标. 个基, 并求 1, b2在这个基中的坐标. 解
5.3.2.1 齐次方程组
m× n齐次线性代数方程组 × 齐次线性代数方程组
Ax = O
是向量空间，现在进一步指出： 的解集 N(A) 是向量空间，现在进一步指出：它的通解中 元素的一般式中所含有任意常数的个数 n- r(A) 就是 N(A) 的维数 dimN(A), 即
dim N ( A) = n − r ( A)
1 1 a2 ] = 0 0 1 0 1 1
之秩为2， 之秩为 ，
线性无关， 的基， 故a1,a2线性无关，故 a1,a2是V1的基， 从而 dimV1=2.
以及V 中的任一向量x皆为 维向量. 皆为4维向量 但是 a1,a2 以及 1中的任一向量 皆为 维向量.
5.3.2 再论线性代数方程组的解
5 x1 + 2 x 2 + 3x3 − 4 x 4 = 0 + 2 x4 = 0 2 x1 + x 2 − 3 x − x − 3 x + 6 x = 0 1 2 3 4 对系数矩阵施行初等行变换
解
5 2 3 −4 5 2 3 4 A= 2 1 0 2 0 1 −6 18 −3 −1 −3 6 0 0 0 0 方程组有非零解且带有n-r(A)=2常数 常数. 故 r(A)=2, 又n=4, 方程组有非零解且带有 常数
在旧基和新基中的坐标分别为y 设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为 1, y2, y3和z1, z2, z3,
y z1 1 则 (a , a2, a3) y2=(b , b2, b )z2 , 1 3 1 y3 z3 y z1 z1 y 1 y =Bz , z =B−1A y1 , 即A 2 于 是 2 2 2 y3 z3 z3 y3 这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式 坐标变换公式. 这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式.
2 1 0 0 解 3 2 2 −1 1 4 r 2 ( AM B) = 2 −1 2 0 3 0 1 0 − 3 −1 2 2 −4 2 0 0 1 −1 因A ~ E， 故a1 , a2 , a3为R 3的一个基，且 2 4 3 3 2 b1 , b2 ) = ( a1 , a 2 , a 3 ) − 1 . ( 3 2 −1 3
5 2 3 −4 5 2 3 4 A= 2 1 0 2 0 1 −6 18 −3 −1 −3 6 0 0 0 0 取等价方程组
5 x1 + 2 x2 = −3 x3 + 4 x4 x2 = 6 x3 − 18 x4
要说明a1 , a2 , a3是R 3的一个基，只要证a1 , a2 , a3线性无关， 即A ∼ E
设b1 = x11a1 + x21a2 + x31a3 , b2 = x12 a 1 + x22 a2 + x32 a3 , 则
x x x11 x12 , (b , b2) =(a , a2, a3) 21 22 1 1 x31 x32
r1 = s, r2 = t
从而
s=t
定义 向量空间 的任一基向量的个数, 称为空间 的维 向量空间V 的任一基向量的个数, 称为空间 空间V （dimension）, 记这个数为 dimV ）
由于R 有一组明显的自然基， 由于 n有一组明显的自然基，
1 0 0 0 1 0 e1 = , e2 = ,L en = M M M 0 0 1
~
4 3 1 2 3
所以b1, b2在基a1, a2, a3中的坐标依次为 2 , −2, −1和4,1 2 . , 3 3 3 3
中取定一个基a 再取一个新基b 例 在R3中取定一个基 1, a2, a3, 再取一个新基 1, b2, b3, 设A=(a1, a2, a3), B=(b1, b2, b3). 求用 1, a2, a3表示 1, 表示b = , = . 求用a b2, b3的表示式 基变换公式 , 并求向量在两个基中的 的表示式(基变换公式 基变换公式), 坐标之间的关系式(坐标变换公式 坐标变换公式). 坐标之间的关系式 坐标变换公式 . 解 由(a1, a2, a3)=(e1, e2, e3)A, 得 = , (e1, e2, e3)=(a1, a2, a3)A−1. = 故 (b1, b2, b3)=(e1, e2, e3)B =(a1, a2, a3)A−1B, = , 即基变换公式为 (b1, b2, b3)=(a1, a2, a3)A−1B. = . 矩阵P= 称为从旧基到新基的过渡矩阵 矩阵 =A−1B称为从旧基到新基的过渡矩阵. 称为从旧基到新基的过渡矩阵.
定理 设b1、…、bs 及 f1、…、ft 是向量空间的任两 、 、 是向量空间的任两 组基， 组基，则必有 s=t. 证 利用等价向量组 根据向量空间基的定义可知两组基等价的， 从而其秩相等： 根据向量空间基的定义可知两组基等价的， 从而其秩相等：
r1 = r2
由基的定义知两组向量组都线性无关，即 由基的定义知两组向量组都线性无关，
例 考虑练习2中给出的向量空间 V1 = span(a1 , a2 ) 考虑练习2 其中 a1 = [1 1 0 0] , a2 = [1 0 1 1]
T T
dimV 试求 dimV1.
解
由于 V1 = { x | x = λ1a1 + λ2a2 }, 其中 λ1、λ2 ∈ R 故知V 中任一向量x皆可依 线性表出. 故知 1中任一向量 皆可依 a1, a2 线性表出. 又因矩阵 [ a1
dim N ( A) + dim R( A) = n
基础解系就是N(A)的一组基，它们线性无关，并生成N(A). 的一组基，它们线性无关，并生成 基础解系就是 的一组基
齐次方程组的通解式（或基础解系）不惟一确定， 齐次方程组的通解式（或基础解系）不惟一确定， 但通解式中独立任意常数的个数是确定的 个数是确定的， 但通解式中独立任意常数的个数是确定的，每一任意 常数对应一个基向量，而基向量个数一定是 常数对应一个基向量，而基向量个数 一定是 r(A)个. 基向量 量个数 一定是n个 例 试解齐次线性代数方程组
中取定一个基a 再取一个新基b 例 在R3中取定一个基 1, a2, a3, 再取一个新基 1, b2, b3, 设A=(a1, a2, a3), B=(b1, b2, b3). 求用 1, a2, a3表示 1, 表示b = , = . 求用a b2, b3的表示式 基变换公式 , 并求向量在两个基中的 的表示式(基变换公式 基变换公式), 坐标之间的关系式(坐标变换公式 坐标变换公式). 坐标之间的关系式 坐标变换公式 . 解 基变换公式为(b 基变换公式为 1, b2, b3)=(a1, a2, a3)A−1B. = .