初中数学人教版九年级上册小结
概率初步的小结与复习 课件-2020年秋人教版九年级数学上册
事件
必然事件 不可能事件 随机事件
确定性事件
解决实际问题
随机事件的概率
用列举法求概率 用频率估计概率
二、例题讲解
例 1 在下列事件中，必然事件有_________；不可能事件有_________； 随机事件有_________． （1）任意一个五边形的外角和等于 540°； （2）投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次； （3）367 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日； （4）正月十五雪打灯．
二、例题讲解
问题 1 什么是必然事件、不可能事件、随机事件？你能举例说明吗？ 在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件． 在一定条件下，必然不会发生的事件称为不可能事件． 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
二、例题讲解
例 1 在下列事件中，必然事件有___（__3_）___；不可能事件有__（__1_）____； 随机事件有（__2_）_（__4_）__． （1）任意一个五边形的外角和等于 540°； （2）投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次； （3）367 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日； （4）正月十五雪打灯．
二、例题讲解
例 3 在单词 mathematics（数学）中任意选择一个字母，求下列事件的概率：
（1）字母为“h”；
（2）字母为“a”；
（3）字母为元音字母； （4）字母为辅音字母．
分析：单词中共有 11 个字母，分别为 m，a， t， h，e，m，a，t，i，c， s,
每个字母被选择的可能性相等，从中任意选择一个字母会有 11 种不同的等可能
n
二、例题讲解
二次函数的小结与复习 课件-2020年秋人教版九年级数学上册
例 2 已知二次函数的解析式 y x2 bx c ， ⑴ 若抛物线经过（1，0），（3，0），求这条抛物线的解析式．
分析：两个待定的系数： b 和 c ， 两个已知的点：（1，0）和（3，0）， 运用待定系数法求解析式．
例 2 已知二次函数的解析式 y x2 bx c ， ⑴ 若抛物线经过（1，0），（3，0），求这条抛物线的解析式．
b2 4ac 0
0
无实数根
b2 4ac 0
例 1 已知抛物线 y x2 6x 1 ， (1) 求抛物线的开口方向，对称轴和顶点； (2) 求出抛物线与坐标轴的公共点； (3) 抛物线 y x2 6x 1 可以看成抛物线 y x2 怎样平移得到的？
例 1 已知抛物线 y x2 6x 1 ， (1) 求抛物线的开口方向,对称轴和顶点；
x b 2a
时，y最小值
4ac b2 4a
当 x＜0 时，
当 x＜h 时，
当
x＜
b 2a
时，
y 随 x 的增大而_减__小__． y 随 x 的增大而__减__小__． y 随 x 的增大而＿减_小___．
当
时，
当
时，
当 b 时，
y 随 x 的增大而_增__大__．
y 随 x 的增大而__增__大__．
检验 利用二次函数的 图象和性质求解
图象 性质
2.类比探究一次函数图象和性质的过程，探究二次函数的图象和性质．
特殊一次函数 平移 y kx
一次函数 y kxb
特殊二次函数 平移 y ax2
二次函数
配方
y a(x h)2 k
二次函数 y ax2 bx c
【初中数学】人教版九年级上册小结（第二十三章）(练习题)
人教版九年级上册小结（第二十三章）(153)1.如果将点P绕定点M旋转180∘后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，点M是线段PQ的中点．如图,在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)．点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是(1，1)，则点P2017的坐标为．2.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4)．若直线l经过点(1，0)，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（）x+1 C.y=3x−3 D.y=x−1A.y=x+1B.y=133.若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2，则点A关于原点对称的点的坐标为．4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=√2，将△ABC绕点C逆时针旋转60∘，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．5.如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90∘，D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转45∘，得到△A′B′C′，B′C′与AB相交于点E，则S四边形ACDE=．6.如图，正方形ABCD的边长为3，E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45∘.将△DAE 绕点D逆时针旋转90∘，得到△DCM．(1)求证：EF=MF；(2)当AE=1时，求EF的长．7.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2，2)，B(0，5)，C(0，2)．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180∘，得到△A1B1C，请画出△A1B1C；（2）平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(−2，−6)，请画出平移后对应的△A2B2C2；（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．8.利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为1的方格纸中，有如图所示的四边形(顶点都在格点上)．(1)先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕点O按顺时针旋转90∘后的图形；(2)完成上述设计后，整个图案的面积等于．9.在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（）A.①B.②C.③D.④10.如图，是某年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：(1)每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形都不重叠；(2)所设计的图案(不含方格纸)必须是中心对称图形或轴对称图形．11.如图，在△ABC中，∠C=67∘，将△ABC绕点A顺时针旋转后得到△AB′C′，且点C′在BC上，则∠B′C′B的度数为（）A.56∘B.50∘C.46∘D.40∘12.如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120∘后，点P的对应点的坐标是（）A.(√3,−1)B.(1,−√3)C.(2√3,−2)D.(2,−2√3)13.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.14.在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个15.如图，如果甲、乙关于点O成中心对称，则乙图中不符合题意的一块是（）A. B. C. D.参考答案1.【答案】:(1,1)【解析】:∵点P 1(1，1)关于点A 的对称点是P 2(1，−1)，∴点P 2关于点B 的对称点是P 3(−1，3)，∴点P 3关于点O 的对称点是P 4(1，−3)，∴点P 4关于点A 的对称点是P 5(1，3)，∴点P 5关于点B 的对称点是P 6(−1，−1)，∴点P 6关于点O 的对称点是P 7(1，1)，可以看出，点P 7的坐标和点P 1的坐标相同,点P 的坐标每6个一循环，∵2017÷6=336……1，∴点P 2017的坐标和点P 1的坐标相同，是(1，1)2.【答案】:D【解析】:如图，设点D(1，0)．∵直线l 经过点D(1，0)，且将▱OABC 分割成面积相等的两部分，∴OD =BE =1.∵顶点B 的坐标为(6，4),∴E(5，4)．设直线l 的函数解析式是y =kx +b ．∵直线l 过点D(1，0)，E(5，4)，∴{k +b =0,5k +b =4，解得{k =1,b =−1.∴直线l 的函数解析式是y =x −1.故选 D3.【答案】:(−1,−1)【解析】:如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D ，∵△AOB 是等腰直角三角形，OB =2，∴OD=AD=1，∴A(1，1)，∴点A关于原点对称的点的坐标为(−1，−1)．故答案为(−1，−1)．4.【答案】:√3+1【解析】:如图，连接AM，设BM与AC相交于点D．∵在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=√2，∴AC=2.∵∠ACM=60∘，AC=CM=2，∴△ACM是等边三角形，∴MC=MA．∵AB=BC，∴BM垂直平分AC，∴CD=BD=1.由勾股定理得DM=√3，∴BM=BD+DM=√3+1.5.【答案】:28【解析】:∵在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90∘，∴∠B=45∘.∵旋转角是45∘，即∠BDE=45∘，∴△BDE是等腰直角三角形．BC=4.∵D是BC的中点，∴BD=12根据勾股定理可得BE=DE=2√2，∴S 四边形ACDE =S △ABC −S △BDE =12AC ·BC −12BE ·DE =12×8×8−12×2√2×2√2=28.故答案为286(1)【答案】证明：∵△DAE 绕点D 逆时针旋转90∘得到△DCM ，∴DE =DM ，∠ADE =∠CDM ,∴∠EDM =90∘,即∠EDF +∠FDM =90∘.∵∠EDF =45∘，∴∠FDM =∠EDF =45∘.又∵DF =DF ，∴△DEF ≌△DMF ，∴EF =MF(2)【答案】设EF =x ．∵AE =CM =1，∴BF =BM −MF =BM −EF =4−x ．在Rt △EBF 中，由勾股定理，得EB 2+BF 2=EF 2，即22+(4−x)2=x 2，解得x =52．即EF 的长为527.【答案】:（1）如图所示,△A 1B 1C 即为所求（2）如图所示,△A 2B 2C 2即为所求（3）旋转中心是直线B 1B 2和A 1A 2的交点，由图可知旋转中心的坐标是(0，−2)．8(1)【答案】如图所示．(2)【答案】20【解析】:∵边长为1的方格纸中一个方格的面积是1，∴原四边形的面积为5，∴整个图案的面积=4×5=209.【答案】:B【解析】:根据题意，可作出四种图形如下，其中旋转180∘与自身重合的只有第2个图形，∴将②涂黑能与原图中的阴影部分构成中心对称图形．故选B．10.【答案】:以下图案仅供参考．可从中任选两个作为答案：【解析】:以下图案仅供参考．可从中任选两个作为答案：11.【答案】:C【解析】:∵点C′在边BC上，∴∠BC′C为平角．由于旋转不改变图形的大小，∴∠AC′B′=∠C=67∘，AC′=AC，∴∠AC′C=∠C=67∘，∴∠B′C′B=180∘−∠AC′B′−∠AC′C=180∘−67∘−67∘=46∘. 故选C．12.【答案】:B【解析】:设斜边长为4的直角三角板AOB绕点O顺时针旋转120∘后得△A′OB′，点P到了点P′的位置，如图所示．由旋转知∠BOB′=120∘，∴∠2=120∘−90∘= 30∘=∠3，∴A′B′∥x轴，∴OC⊥A′B′，且∠1=30∘. 过点P′作P′D⊥x轴于点D，得矩形OCP′D．在\\mathrm{(Rt}\triangle A\)′OC中，OA′=12A′B′=2，A′C=12OA′=1，∴OC=√22−12=√3，∴P′D=OC=√3．∵A′P′=12A′B′=2，∴P′C=2−1=1. ∵点P′在第四象限，∴点P的对应点P′的坐标是(1,−√3)．故选 B13.【答案】:A【解析】:先根据轴对称图形排除C，D两项，再根据中心对称图形排除B项14.【答案】:B【解析】:线段、矩形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，平行四边形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形，但它不是中心对称图形15.【答案】:C。
九年级数学(上)教学设计及反思
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2<-4ac>可判定根的情况；
④当a≠0，b2<-4ac>≥0时，x1+x2=，x1x2=。
此试一试、巩固知识
拓展创新
利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。
讨论：解上面问题的思路是什么？
x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;
将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式
师生共同归纳小结
本课主要研究了什么？
1、方程的根是由系数决定的。2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。4、b2-4ac的值可判定根的情况。5、方程根与系数关系的有关应用。
学情分析
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
④当a≠0，b2<-4ac>≥0时，x1+x2=，x1x2=。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生学习活动评价设计
本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力
初三上学期学生个人总结
初三上学期学生个人总结初三上学期学生个人总结（精选11篇）总结是把一定阶段内的有关情况分析研究，做出有指导性结论的书面材料，通过它可以全面地、系统地了解以往的学习和工作情况，快快来写一份总结吧。
总结怎么写才不会流于形式呢？下面是店铺精心整理的初三上学期学生个人总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
初三上学期学生个人总结篇1一转眼我们的九年级的学习生活都要结束了，也就是说，再有半年，我们就要完成初中时代的学生生活了。
现在回想刚刚过去的这一个学期，我在各方面都有新的变化，新的进步，我自己小结一下：在政治思想上，我通过在学校的学习与生活，各方面变得成熟，热爱祖国，热爱集体，严格要求自己，努力提高自己的觉悟和适应能力，遵守学校的规章制度，注意团结同学，认真完成学校布置的各项工作，尊重老师，尊重家长，以一个健康向上的中学生标准来要求自己。
在学习上，学习态度端正，努力学好每门功课，上课前认真预习，做好课前准备，上课时认真听讲，力求当堂课吸收，自觉遵守课堂纪律，课上积极发言，对于没有领会的问题，要敢于向老师与同学请教。
课后作业自己都能认真完成，并注意补充自己知识上的不足。
这学期自己在自觉学习与独立学习方面有很大进步。
学会合理安排时间，分配好学习时间，在学习中注重提高学习效率和方法，收到较好效果。
对数学的学习，我注意了基本知识与习题的对应关系，平时注意学习要点的积累和举一反三的作用，这学期在这方面有一定进步。
语文课中，注意了课上内容的消化，在作文上也特别加深了平时的训练。
外语学习这学期也有较大进步，特别是在听力训练方面提高很快。
物理课中，注意基本知识的活学活用，学会了举一反三式的学习，收到很好效果。
在这学期的期中考试中，尽管取得一些成绩，但离心中的目标还很远，仍需继续努力，抓紧自己的学习，知识无止境，我还有很多的知识需要学习，需要不断完善和提高。
回顾这个学期的工作，我在各方面都取得不同程度的进步，也存在着许多需要改进的地方。
初中数学九年级上册第四章 小结与复习
5. 找出下列图形的位似中心.
6. 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1， 点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点.
A A′
B B′ C′ C O (1) 在图中 △ABC 内部作 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 和 △ABC 位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 : 3. 解：如图所示. 4 2 (2) 线段 AA′ 的长度是 3 .
(2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
5. 位似 (2 ：位似图形上任意一对对应点到位似中心 1) 性质 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位 一条直线上 . 似图形，这个点叫做位似中心 . (这时的相似
针对训练 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m 远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的 高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设 球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
C
A 1.8m B 2m O 6m D
解：∵∠ABO=∠CDO=90°， ∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD. 1.8 2 AB BO ， ，∴ ∴ CD 6 CD DO 解得 CD = 5.4m. 故球能碰到墙面离地 5.4m 高的地方． A C
E B C
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC =1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 与 △DFA 的面积之比为 1 : 9 .
考点二 相似的应用 例3 如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树 与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长．
人教版九年级数学上册第二十四章圆小结优秀教学案例
5.引导学生正确面对困难和挫折，培养其坚持不懈、勇于挑战的精神。
作为一名特级教师，我深知教学目标的重要性，它是整个教学过程的出发点和归宿。在教学过程中，我将紧紧围绕上述教学目标，采用多种教学方法和手段，引导学生积极参与，主动探究，从而达到提高学生数学素养、培养其综合能力的目的。同时，关注每个学生的个体差异，充分调动他们的学习积极性，使他们在数学学习中感受到快乐，体验到成功。
3.小组合作：本案例合理划分学习小组，组织学生进行小组讨论和合作探究。这样的教学设计，既培养了学生的团队协作能力，又提高了学生的沟通能力。
4.反思与评价：本案例注重引导学生对自己的学习过程进行反思，进行自我评价。同时，教师也给予学生恰当的反馈。这样的教学策略，有助于培养学生的评价能力，激发其学习动力。
4.结合评价结果，调整教学策略，以提高教学效果，促进学生的全面发展。
作为一名特级教师，我深知教学策略在教学过程中的重要性。在教学过程中，我将根据学生的实际情况，灵活运用各种教学策略，创设生动、有趣的学习情境，引导问题导向，组织小组合作，进行反思与评价，从而激发学生的学习兴趣，培养其数学素养，提高其综合能力。同时，关注每个学生的个体差异，充分调动他们的学习积极性，使他们在数学学习中感受到快乐，体验到成功。
3.组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养其沟通能力。
4.小组合作学习过程中，注重培养学生的团队意识，提高其解决问题的能力。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结经验，提高自身学习能力。
2.组织学生进行自我评价，培养其评价能力，激发其学习动力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注其个体差异，给予恰当的反馈。
初三数学教学工作总结
初三数学教学工作总结日子在弹指一挥间就毫无声息的流逝，回想一段时间以来的教学经历，付出了汗水，也收获了成果，这时候十分有必须要写一份教学总结了!下面是作者为大家整理的初三数学教学工作总结，期望能对大家有所帮助。
初三数学教学工作总结1本学期我仍担负九年级两个班的数学教学，在本学期教学期间认真备课、上课、听课、评课，及时批改作业、讲评作业，做好课后辅导工作，广泛涉猎各种知识，不断提高自我的业务水平。
，充实自我的头脑，构成比较完全的知识结构，严格要求学生，尊重学生，使学生学有所得，学有所用，不断提高，从而不断提高自我的教学水平和思想觉悟，并顺利完成教育教学任务。
下头我就这一学期中所做的一些工作做一下小结。
一、学生情形九年级是初中三年的关键时刻，学生获得好成绩才是最重要的事情。
九年级学生整体学习风气很浓，学习数学的进取性也很高，还有一些同学经过一个学期的努力，基础知识有了必须的提高，学习态度也端正了许多，但班级两极分化还是很严重。
今后还应当在这方面多多研究。
二、教学工作方面1、备好课。
本学期我每一节课前都认真研究教材，对教材的基本思想、基本概念，了解教材的结构，重点与难点，掌控知识的逻辑，能运用自如，明白应补充哪些资料，怎样才能教好。
了解学生的爱好、需要、方法、习惯，学习新知识可能会有哪些困难，采取相应的预防措施。
研究教法，解决如何把已掌控的教材传授给学生，包括如何组织教材、如何安排每节课的活动。
2、在课堂上，组织好课堂教学，关注全部学生，注意信息反馈，调动学生的学习进取性，课堂语言简洁明了，课堂提问面向全部学生，注意引发学生学数学的爱好，课堂上讲练结合，精讲多练。
三、总复习工作面向全部学生1、让学生板演，加强解题进程训练。
如果只分析，优等生还能够，但有些学生就可能跟不上，并且让学生板演还能让不一样层次学生都有机会表现，由于学生板演可为教师供给反馈信息，如暴露知识上的缺欠，可补偿讲课中的不足，同时，学生板演中显现的优秀解题方法，为教师供给向学生学习的良好机会;另外也能够培养学生胆识，培养学生独立摸索本事，增进记忆。
人教版初中数学九年级上册第二十四章直线和圆的位置关系
练习
练习3 已知⊙O 到直线 l 的距离为 d，⊙O 的半径 为 r，若 d、r 是方程 x2 -7x+12=0 的两个根，则直线 l 和⊙O 的位置关系是__相__交__或__相__离____．
课堂小结
1．直线和圆的位置关系有三种：相离、相切和相交． 2．识别直线和圆的位置关系的方法：
（1）一种是根据定义进行识别： 直线 l 和⊙O 没有公共点 直线 l 和⊙O 相离； 直线 l 和⊙O 只有一个公共点 直线 l 和⊙O 相切； 直线 l 和⊙O 有两个公共点 直线 l 和⊙O 相交．
24.2 直线和圆的位置关系
• 学习目标：
1．理解直线和圆相交、相切、相离等概念； 2．理解直线和圆相交、相切、相离的判定方法和性质．
• 学习重点：
利用圆心到直线的距离与半径的关系判别直线和圆的位置关系．
1．情境引入
2．直线和圆的位置关系
l
2．直线和圆的位置关系（图形特征）
O l
O Al
O A Bl
切点
切线
d=r
相离
d Or l
没有 － － d＞r
4．练习
练习1 圆的直径是 13 cm，如果直线和圆心的距离分别 是 ① 4.5 cm；② 6.5 cm；③ 8 cm，那么直线和圆分别是什么 位置关系？有几个公共点？
练习
练习2 已知⊙A 的直径为 6，点 A 的坐标为（-3，
-4），则⊙A 与 x 轴的位置关系是相__离___，⊙A 与 y 轴的位置
（2）另一种是根据圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的大小关系来进行识别：
d ＞r 直线 l 和⊙O 相离； d ＝r 直线 l 和⊙O 相切； d ＜r 直线 l 和⊙O 相交．
数学知识点秋人教版数学九年级上册24.3.1《正多边形和圆》word教案-总结
学生先自主探究，再 合作交流，完成解题 过程，教师适时引 导，点拨.师生总结此 类题的解题技巧旨在 将正多边形问题转化 为直角三角形问题.
2.等边△ABC 的边长为 a，求其内切圆的内接正方形 DEFG 的面积． 分析：求等边三角形的内切圆的半径，就是转化为利用勾股定理求直 角三角形的直角边.再利用勾股定理求出内接正方形 DEFG 的边长，从 而求面积. 三、课堂训练 完成课本 105 页练习 补充： •1.已知⊙O•的周长等于 6 cm，•求 以它的半径为边长的正六边形 ABCDEF 的面积． 2.如图，正五边形 ABCDE 的对角线 AC、BE 相交于 M． 求证：四边形 CDEM 是菱形； 四、小结归纳 n 2 180o 1.正多边形的中 心、半径、中心角、边心距有 n 关概念，正多边 形和圆的关系. 360o 2 正多边形性 质： n 1 一个内角等 ○ 于
n
师生行为 教师提出问题，学生 回答
设 计 意 图 复习正多边形的概 念，为本节课做准 备． 激发学生的学习 兴趣，培养学生的 思维品质，将正多 边形与圆联系起 来． 使学生理解、体会 圆与正多边形的内 在联系．充分发展 学生的发散思 维．充分利用手中 的工具，实际操 作，认真思考，从 而培养学生的动手 能力．
正 n 边形 等腰三角形 直角三角形 中心角 顶角 一锐角 2 倍 半径 腰 斜边 边长 边心距 底边 底边上的高 一直角边 2 倍 另一直角边 内角 底角 2 倍 另一锐角 2 倍
教师引导学生思考问 题，动手尝试操作， 集体进行交流，获得 等分圆周的方法，以 正五边形为例，师生 通过几何证明的方法 证明等分圆周就能得 到正多边形，自然引 出正多边形的有关概 念.学生结合图形理解 概念，并弄清正多边 形和圆的关系.
人教版九年级数学上册教材分析
人教版九年级数学上册教材分析一、教材概述人教版九年级数学上册教材是根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写的，旨在培养初中生的数学基础知识和基本技能，提高其数学素养和思维能力。
本教材内容丰富，结构清晰，注重实际应用和问题解决，适合初中生学习使用。
二、教学目标通过本册教材的学习，学生将达到以下目标：1.掌握一元二次方程、二次函数、圆等基本概念和性质，能够进行简单的推理和证明。
2.掌握一元二次方程的解法、二次函数的图像和性质、圆的性质和定理等，能够进行简单的应用。
3.经历观察、实验、推理等过程，培养初步的推理能力和解决问题的能力。
4.体验数学与日常生活的密切联系，培养数学学习的兴趣和自信心。
三、内容结构本册教材主要包括以下内容：一元二次方程、二次函数、圆等。
这些内容涵盖了初中数学的主要知识点，旨在帮助学生掌握数学基础知识和基本技能。
具体而言，每一章的内容结构如下：1.引言：介绍本章的主要内容和背景知识，激发学生的学习兴趣。
2.概念与性质：详细介绍一元二次方程、二次函数、圆等的基本概念和性质，帮助学生建立正确的数学观念。
3.例子与探究：通过丰富的实例和探究活动，引导学生深入理解概念和性质，培养其解决问题的能力。
4.练习与拓展：提供多种层次的练习题，包括基础题、提高题和拓展题等，以满足不同学生的学习需求。
同时，还提供了一些拓展知识和应用实例，以开阔学生的视野。
5.小结与复习：对本章所学内容进行总结和复习，帮助学生巩固所学知识。
四、知识点解析1.一元二次方程：重点掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等。
同时，还需理解一元二次方程的根与系数的关系，能够进行简单的应用。
2.二次函数：重点掌握二次函数的图像和性质，包括开口方向、顶点和对称轴等。
同时，还需理解二次函数与一元二次方程的联系和区别，能够进行简单的应用。
3.圆：重点掌握圆的基本性质和定理，包括圆心角定理、圆周角定理、切线长定理等。
初中数学九年级上册第二章 小结与复习
解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%.
答：平均每次下调的百分率是20%.
例8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我 市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空 地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平 行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示， 要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多 少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为 平行四边形） 解：设小道进出口的宽为xcm （30-2x)(20-x)=532 x2-35x+34=0 x1=1 x2=34（舍去） 答：小道进出口的宽度应为1米.
针对训练
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ A ）
A. 16
B. 12
C. 16或12 D. 24
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求写出必要解题步骤）.
公式法：a 1，b -4，c -1.
A. x2+x=0
C.3x2-4x+1=0
B. 5x2-4x-1=0
D. 4x2-5x+2=0
6.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个
不相等的实数根，则m的值可能是 0 （写出一个即
可）．
考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，
（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重 要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
人教版数学九上25.4 概率初步小结(共2课时)(新版课件)
或 a=-b，故是随机事件
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
弦不是直径，故是随机事件
C．抛出的篮球会下落
D．四边形的内角和是180°
360°，故是不可能事件
3.下列事件中，不可能事件的是( C )
A．投掷一枚均为的硬币10次，正面朝上的次数为5次
随机事件
意摸出1个球，则摸到红球的概率是( D )
A.
1
4
B.
3
4
C.
1
5
D.
3
5
课后作业
1. 从课后习题中选取；
2. 完成练习册本课时的习题.
25.4 概率初步小结
第2课时
初中数学
九年级上册 RJ
知识梳理
直接列举法
用列举法
求概率
列表法
画树状图法
求法
用频率估
计概率
概率
应用
抽奖问题、游戏是否公平问题等
直接列举法
个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出一个球，两次
摸到的球颜色相同的概率是(
A.
2
5
B.
3
5
)
C.
8
25
D.
13
25
第1次
第2次
黑1
黑2
白1
白2
白3
黑1
黑2
白1
—
(黑1，黑2)
(黑1，白1)
(黑1，白2)
(黑1，白3)
(黑2，黑1)
—
(黑2，白1)
(黑2，白2)
(黑2，白3)
(白1，黑1)
(白1，黑2)
A. 布袋中有2个红球和5个其他颜色的球
人教版九年级数学上册《圆》小结与复习教学案
小结与复习(一)素质教育目标1,系统地归纳总结本章的知识内容．2,通过系统地归纳总结本章的知识内容，培养学生阅读理解能力；整理归纳所学知识使其条理化、系统化的能力;通过系列练习题的完成培养学生的理解能力、记忆能力。
3,通过圆与各种图形位置关系的复习，认识事物之间是相互联系的，通过运动和变化，事物之间可以互相转化;由于本章内容较多因而显得零散，通过系统归纳，向学生渗透了抓主要矛盾，“纲举目张”的辩证唯物主义观点．教学重点、难点1．重点：系统地归纳总结本章知识内容．2．难点：使所学知识结构化．教法学法和教具1．教法：引导学生探索研究发现法。
2．学法：学生主动探索研究发现法。
3．教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。
教学过程教师谈话引入：经过近50课时的学习，第七章圆的全部内容已经学完了，今天我们这节课的任务就是回顾一下这50课时学习内容，将其整理归纳，使之结构化．圆是最常见的几何图形之一，在生活、生产实践中应用十分广泛．“圆”又是初中几何最后一章，与前面所学的知识又有着千丝万缕的联系．本章的内容又较多，为了便于学生掌握这些内容，安排一节课将本章内容归纳整理，使之结构化，就显得十分有必要．课堂探练部分：同学们请看书，回顾一下第七章圆，你都学了有关圆的哪些知识．[安排学生读书，讨论研究，然后回答这个问题．学生的回答必然零散，或读目录．] 教师引导学生总结：第七章的内容可概括为三大部分：其一，是它本身的概念和性质；其二是它与其它几何图形的位置关系及性质、判定和应用；其三，圆柱、圆锥侧面展示图．课堂讲练部分第一部分圆的概念和性质：提出如下问题让学生先看书后回答．[提问的重点是中下学生] 1．什么是圆？2．圆心确定圆的什么？半径确定圆的什么？3．满足什么条件的三点可以确定一个圆．4．圆是轴对称图形，它的对称轴是谁？它有多少条对称轴？5．圆的轴对称性主要体现在哪个定理上？6．圆是中心对称图形吗？它的对称中心是谁？7．圆的旋转不变性，主要体现在哪个定理上？什么是圆的旋转不变性？8．弧长公式、扇形面积公式？中下生答：[1．圆是与定点的距离等于定长的点的集合；2．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；3．经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆；4．它的任意一条直径所在的直线都是对称轴，它有无数条对称轴；5．垂经定理；6．圆是中心对称图形，它的圆心就是对称中心；7．在同圆或等圆中，两个圆心角、圆心角所对的弧、弦、弦心距的相等关系定理．圆绕圆心旋转任意大小的角度都能够与原图形重合称为圆的旋转不变性；8，L=n R180π，S 扇形 =2n360Rπ=1LR2第一大部分知识间的关系可如下表：第二大部分知识间的关系可如下表：第二部分拟提出以下问题让学生看书，然后回答，重点仍然是中下学生．1．点与圆有哪几种位置关系？2．点到圆心的距离d跟点与圆的位置关系是怎样对应的？3．直线与圆有哪几种位置关系？4．圆心到直线的距离d跟直线与圆的位置关系是怎样对应的？5．圆与圆有哪几种位置关系？6．两圆的圆心距d与两圆的位置关系又是怎样对应的？7．与圆有关的角都有哪些？8．圆心角的度数和它所对弧的度数有什么关系？9．一条弧所对的圆周角与圆心角具有什么数量关系？10．弦切角与它所夹的弧所对的圆周角具有什么数量关系？11．三角形的三边中垂线的交点是三角形的什么心？三角形的内心是三角形的什么特殊线段的交点？12．圆内接四边形有哪些性质？13．正多边形和圆有哪些关系定理？14．与圆有关的成比例线段定理有哪些？[答案：1．点在圆内，点在圆上，点在圆外．2．设圆的半径为R，线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离．4．设圆的半径为R，则离．5．两圆外离、外切、相交、内切、内含．6．设一圆半径为R，的度数等于它所对的弧的度数．9．一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．10．弦切角等于它所夹弧对的圆周角．11．外心；两角平分线的交点．12．圆内接四边形对角互补、外角等于它的内对角．13．n等分圆周，(n≥3)，(1)顺次连结各分点得圆内接正n边形，(2)过各分点作切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是圆的外切正n边形．(3)正n边形(n≥3)一定有一个内切圆且有一个外接圆，并且这两个圆是同心圆．14．相交弦定理、切割线定理、割线定理．]第三部分：通过圆柱、圆锥的直观展开图进行有关计算．第三部分拟提出以下问题，由幻灯片形式给出，让学生观察直观图并回答．[重点：提问中下生]1．在圆1中的h与m分别表示圆柱的什么？h与m有何数量关系？2．图1中圆柱展开图矩形的一边是高或母线，另一边是圆柱的什么？3．在图2中的h与m分别表示圆锥的什么？m、h、r，具有什么关系？4．图2中的∠θ和∠α分别表示什么角？5．圆锥展开图的弧长与圆锥底面圆有何联系？[答案：1．h是高，m是母线，h=m．2．另一边是圆柱底面圆的周长．3．h是高，m是母线，m2=h2+r2，4．∠θ是圆锥的锥角，∠α是圆锥展开图扇形的圆心角．5．圆锥展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长．]总结、扩展（教师引导学生对本课进行学习反思）本节课将第七章圆的知识内容进行系统归纳整理．布置作业（学生可根据自己的实际情况选做）教材P．67中1；P．84中1；P．100中1；P．118中1；P．137中1；P．157中1；P．179中1；P．192中1．板书设计教学札记本节课面广量大综合性强，要求学生自己整理成知识网络，实行分层教学，分类作业，以激发学生的学习积极性，切实减轻学生的课业负担。
【初中数学】人教版九年级上册小结(练习题)
人教版九年级上册小结(一)(2912)类型之一一元二次方程的有关概念1.关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个解是−2，则k值为（）A.2或4B.0或4C.−2或0D.﹣2或22.方程（n−3）x|n|−1+3x+3n=0是关于x的一元二次方程，n=．类型之二一元二次方程的解法3.方程2x2=3x的根为（）A.0B.32C.−32D.0或324.一元二次方程x2−8x−2=0，配方后可变形为（）A.(x−4)2=18B.(x−4)2=14C.(x−8)2=64D.(x−4)2=15.一元二次方程x2−4x+3=0的解为（）A.x1=−1，x2=3B.x1=1，x2=3C.x1=1，x2=−3D.x1=−1，x2=−36.解方程(1)3x2−5x−2=0；(2)(2x−3)2=x2；(3)3x(x−1)=2−2x．类型之三一元二次方程根的判别式及根与系数的关系7.对于一元二次方程2x2−3x+4=0，则它根的情况为（）A. 没有实数根B. 两根之和是3C. 两根之积是−2D. 有两个不相等的实数根8.若x1，x2是方程x2−4x−2020=0的两个实数根，求代数式x12−2x1+2x2的值.9.已知关于x的方程x2−4x+k+1=0有两个实数根.(1)求k的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，且3x1+3x2=x1x2−4，求实数k的值.类型之四一元二次方程的实际应用10. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（）A.5B.6C.7D.811.“杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量奉献了自己的一生.某村种植的杂交水稻2019年的平均亩产量为300千克，2021年的平均亩产量为363千克，则此水稻亩产量的年平均增长率为12.某商城在2022年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价为2500元，标价为3000元.(1)商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台2430元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率；(2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低50元时，平均每天能多售出4台.若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？13.红旗村的李师傅要利用家里的一面墙，用70米长的铁丝网，围成一个矩形苗圃，可利用的墙长为35米.如图所示，设AB的长为x米，BC的长为y米.(1)用含x的代数式表示y.(2)当苗圃的面积是600平方米时，求出x，y的值.(3)苗圃的面积能否为700平方米？如果能，求出x，y的值；如果不能，请说明理由.类型之五数学活动14.请阅读下列材料：问题：解方程(x2−1)2−5(x2−1)+4=0.明明同学的做法是将x2−1视为一个整体，然后设x2−1=y，则(x2−1)2=y2，原方程可化为y2−5y+4=0，解得y1=1，y2=4.①当y=1时，x2−1=1，解得x=±√2；②当y=4时，x2−1=4，解得x=±√5．综合①②，可得原方程的解为x1=√2，x2=−√2，x3=√5，x4=−√5．请你参考明明同学的思路，解下面的方程：x4−x2−6=0.参考答案2.【答案】:−3【解析】:∵方程（n−3）x|n|−1+3x+3n=0是一元二次方程，∴|n|−1=2，且n−3≠0，即n=−3．故答案为：−3．3.【答案】:D【解析】:方程整理，得2x2−3x=0，因式分解，得x(2x−3)=0，解得x1=0，x2=32.故选D.4.【答案】:A5.【答案】:B6(1)【答案】∵a=3,b=−5,c=−2，∴b2−4ac=(−5)2−4×3×(−2)=49，∴x=−b±√b2−4ac2a =5±√496=5±76，∴x1=2，x2=−13．【解析】:用公式法解一元二次方程(2)【答案】2x−3=±x，∴x1=3，x2=1.【解析】:用直接开平方法解一元二次方程(3)【答案】3x(x−1)=2−2x．变形，得3x(x−1)+2(x−1)=0，分解因式，得(x−1)(3x+2)=0，可得x−1=0或3x+2=0，解得x1=1，x2=−23【解析】:用因式分解法解一元二次方程7.【答案】:A【解析】: 2x2−3x+4=0∵a=2,b=−3,c=4∴Δ=b2−4ac=9−32=−23<0∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误.∵x1⋅x2=ca=2，故C错误.x1+x2=−ba =32，故B错误.故答案为：A.8.【答案】:解：因为x1，x2是方程x2−4x−2020=0的两个实数根，所以x1+x2=4，x12−4x1−2020=0，即x12−4x1=2020，则原式=x12−4x1+2x1+2x2=x12−4x1+2(x1+x2)=2020+2×4=2020+8=20289(1)【答案】解：Δ=b2−4ac=16−4(k+1)=16−4k−4=12−4k≥0，所以k≤3.(2)【答案】由题意可知x1+x2=4，x1x2=k+1.因为3x1+3x2=x1x2−4，所以3(x1+x2)x1x2=x1x2−4，所以3×4k+1=k+1−4，所以k=5或k=−3(经检验，k=5和k=−3均是分式方程的根). 因为k≤3,所以k=−3.10.【答案】:B【解析】:设八年级有x个班，依题意得：12x(x−1)=15，整理得：x2−x−30=0，解得：x1=6，x2=−5(不合题意，舍去).故选：B.11.【答案】:10%12(1)【答案】设每次降价的百分率为x.依题意，得3000(1−x)2=2430，解得x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率是10%.(2)【答案】设每台冰箱的售价降低a个50元.依题意，得5000=(2900−2500−50a)(8+4a)，解得a1=a2=3.所以每台冰箱的售价降低150元，即每台冰箱的售价应定为2750元13(1)【答案】解：依题意，得2x+y=70，所以y=−2x+70.(2)【答案】因为0<y≤35，所以{−2x+70>0−2x+70≤35，解得352≤x<35.依题意，得xy=600，即x(−2x+70)=600，整理，得x2−35x+300=0，解得x1=15(不合题意，舍），x2=20，所以y=−2x+70=−2×20+70=30.答：当苗圃的面积是600平方米时，x的值为20，y的值为30.(3)【答案】不能.理由如下：假设苗圃的面积为700平方米，则依题意，得xy=700，即x(−2x+70)=700，整理，得x2−35x+350=0.因为Δ=(−35)2−4×1×350=−175<0，所以该方程没有实数根，所以苗圃的面积不能为700平方米.14.【答案】:解：设x2=y，则原方程可化为y2−y−6=0，解得y1=3，y2=−2.①当y=3时，x2=3，解得x=√3或x=−√3;②当y=−2时，x2=−2，此方程无实数根．综合①②，可得原方程的解为x1=√3，x2=−√3．。
初中数学人教版九年级上册21章小结教案
教学过程设计3.下列二次根式中，和32不是同类二次根式的是（ ） A.8 B.18 C.28 D. 984.下列计算正确的是（ ）A.228=-B.523=+C.()332-=-D.123=-5.计算：○16)123242(÷-； ○21212731+- ○3)(62)32(-⨯+； ○4)()(6262)12(2+-++ 归纳：此组题与上组题考察内容相同，但问法不同，更具技巧性. (二)综合运用 1.当m 时，mm --534有意义. 2.能使33-=-x x x x 成立的x 的取值范围是 . 3.若12-=aa ，则a 的取值范围是 . 4.若()()的值，则mb a m b a +=-+-++,021232是 .5.当a ＜-3时，化简()()22312++-a a 的结果是 .6.整数x 满足下列两个条件：○1式子13-x 和x -20都有意义○2x 的值是整数，则x 的值是 .7.以下结论正确的是 .（填序号即可）○1 ()2a =a 对一切实数a 都成立 ○2 a a =2对一切实数a 都成立 ○3式子a 叫做二次根式 ○4一个数的平方根和它的绝对值都是非负数 8. 在实数范围内分解因式：2594-x 的结果是 . 9.)(2223)32(-⨯+的计算结果是 . 10.已知,32,321+=+=y x 求22xy y x +的值. 11.如图，有一艘船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西600 的方向上，前进20海 里到达B 处，测得A 在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？ 归纳： 这组题是本章知识的深化运用，有一定的难度，与实数，有理式，勾股定理等知识综合运用. (三)构建知识体系三、小结归纳 1.复习巩固二次根式知识，及于其他相关知识的联系. 2.进一步理解本章知识，熟练解决相关问题. 3.补充课本未明确给出的概念及相关题目，拓展知识与能力. 4.构建知识体系，纳入知识系统. 四、作业设计 复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做；学有余力的学生，要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目重复练习. 补充作业： 的发现.师生总结引导学生先观察、分析，小组讨论，再找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.学生解题后， 师生订正指导学生交流，谈收 获，体会，师生总结让学生构建本章知识体系，教师展示学生的结构图，学生之间进行交流，肯定最优建构 让学生阐述本节课有哪些收获，有何体会，教师指导从考查知识，易错题目，典型题，解题技巧，思想方法等方面总结学生进一步运用基本知识解决问题，达到熟练程度，为下组的综合训练奠定基础 增加问题难度，综合性，使学生进一步理解知识，培养综合分析能力.总结二次根式、绝对值、平方的共同特点是非负 补充分母有理化因式和分母有理化化简方法，拓宽知识，为后续学习打好准备使学生系统感知本章知识，掌握各知识之间的内在联系 纳入知识系统 板 书 设 计二次根式概念 性质 运算 乘除运算 加减运算 混合运算。
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（1）求y与x之间的函数关系式;
(2) 若该商品的销售单价在45元~70元之间浮动， ①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此 时销售量为多少？
②商品想要在这段时间内获得4550元的销售利润， 销售单价应定为多少？
例4：函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点 A(1，b)，求：
新人教版第二十二章 二次函数
二次函数 小结
高坎中学： 丁伟
实 际 问 题
二 次 函 数
知识结构
二次函数的概念 二次函数的图象
用函数观点看 一元二次函数
实际问题 与二次函数
y=x²y=-x²
Y=ax²（a≠0） Y=ax²+k（a≠0） Y=a（x-h）²+k（a≠0） Y=ax²+bx+c（a≠0）
有两个交点<==> Δ=b²-4ac＞0
有一个交点<==> Δ=b²-4ac=0
没有交点<==> Δ=b²-4ac＜0
至于其交点的横坐标，则可由对应的一元二次方 程得到。
典例解析
例1 已知二次函数的图象如图所示，现有下列
结论：①b²-4ac＞0，②a＞0，③b＞0,④ c＞0，⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的
个数是（
）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
例2 已知二次函数
为x=1，且经过
.
，其图象对称轴
（1）求此二次函数的表达式；
（2）该图象与x轴交于B、C两点（B点在点左侧）， 请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使 △EBC的面积最大，求出最大面积。
例3 某商场新进一批商品，每个成本价25元，销 售一段时间发现销售量y（个）与销售单价x（元/个） 之间成一次函数关系，如下表：
二次函数的对称轴顶点坐标
一元二次方程与二次函数的关系
利用二次函数的图象 求一元二次方程的解 建立合适的直角坐标系 解决实际问题 何时获得最大利润
最大面积是多少
知识回顾
1.二次函数定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为
常数）的式子成为y关于x的二次函数。需注意的是， 二次项系数a≠0是定义中不可缺少的条件。例如， 若二次函数y=（m-3）xm²-7+3x-4是y关于x的二次函 数，则m的值为多少？
2.抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象及其性质
(1)a的符号决定抛物线的开口方向；反之，由抛物 线的开口方向可确定a的符号（a＞0，开口向上；a＜ 0，开口向下）； （2）抛物线的对称轴为x=- b ，利用抛物线的对称
2a 轴通常可解决两个方面的问题：①是结合a的符号及 对称轴所处位置判别b的符号；②是利用对称轴及开 口方向确定函数的增减性；
（3）抛物线的顶点坐标 ( b , 4ac b2 )，利用
2a
4a
抛物线的顶点，可确定函数的最大（小）值，但
对自变量x有限制时，相应的函数值的最大值（或
最小值）就应利用函数性质来确定，不能一概而
定；
（4）抛物线与x轴的交点及对应的一元二次方程的关 系：
抛物线与x轴有两个交点，一个交点，没有交点， 可由其对应的一元二次方程的根的判别式来判别。
(1)a和b的值； (2)求抛物线y＝ax2的顶点和对称轴；
(3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增 大而增大，
(4)求抛物线与直线y＝－2两交点及抛物线的 顶点所构成的三角形面积。
例5、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1， 0)，且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、 C。
(1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标， (3)若点M在第四象限内的抛物 线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。
课堂小结
1.通过这节课的学习你是否对二次函数有了进 一步的理解？
2.回顾本章知识，你还有哪些问题？