《怎样求动点的轨迹方程2》教学设计方案
高中数学 轨迹方程教学案 新人教A版选修2
轨迹方程的求法（高二数学）一、知识目标：1、掌握轨迹方程的求法包括：直接法、定义法、代入法（相关点法）、参数法2、掌握求轨迹方程的步骤3、注意求轨迹方程的完备性和纯粹性题型一 直接法【例1】已知圆22:1C x y +=和点(2,0)Q ，动点M 到圆C 的切线长与||MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？练习 ：已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的轨迹方程。
题型二 代入法（相关点法）【例2】已知点P 是圆x2＋y2=16上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12,0）.当点P 在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹方程。
练习：三角形ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是A （0,0），B （6,0）顶点C 在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC 的重心G 的轨迹方程。
题型三 定义法【例3】一条曲线在x 轴上方，它上面的每一个点到点A(0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。
练习：已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线题型四 参数法【例4】求经过抛物线y 2=4x 的焦点的弦中点轨迹方程练习：过点P （2,4）作两条互相垂直的直线l 1,l 2, l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于点B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
三、巩固与检测：1、与两点)0,3(),0,3( 距离的平方和等于38的点的轨迹方程是 （ ）()A 1022=-y x ()B 1022=+y x()C 3822=+y x ()D 3822=-y x 2、与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是 （ ）()A 28y x = ()B 28(0)y x x =>和0y = ()C 28y x =(0)x > ()D 28(0)y x x =>和0(0)y x =<3、P 是椭圆5922y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹方程为： （ ）A 、159422=+y xB 、154922=+y xC 、120922=+y x D 、53622y x +=1 4、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ）A 、双曲线B 、双曲线左支C 、一条射线D 、双曲线右支5、已知定点(1,1)A 和直线:20l x y +-=，那么到定点A 的距离和到定直线l 距离相等的点的轨迹为A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线6、已知(0,7),(0,7),(12,2)A B C -，以C 为一个焦点作过A B 、的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是 A.221(1)48x y y -=≤- B.221(1)48x y y -=≥ C.22148x y -= D.22148x y -=- 7、自圆外一点P 作圆221x y +=的两条切线PM PN 、。
动点轨迹方程求解教学设计
动点轨迹方程求解教学设计第一部分：引言（约200字）动点轨迹方程求解是高中数学中的重要内容之一。
掌握动点轨迹方程的求解方法，对于理解和应用数学知识具有重要意义。
本教学设计旨在通过灵活多样的教学方法，帮助学生全面掌握动点轨迹方程的求解技巧。
在本教学设计中，我们将引导学生通过具体问题，逐步分析问题并建立数学模型，最终求解动点轨迹的方程，提高学生的数学能力和问题解决能力。
第二部分：教学目标（约200字）1. 知识目标：掌握动点轨迹方程的求解方法，了解不同类型问题的求解思路。
2. 能力目标：培养学生的问题分析和建模能力，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
3. 情感目标：通过动手实践和解决问题的过程，培养学生的数学兴趣和创新精神。
第三部分：教学内容（约500字）1. 基本概念的讲解：首先，我们将讲解动点轨迹的概念以及与方程的关系，引导学生理解动点轨迹方程的意义和作用。
2. 例题分析：通过简单的例题，引导学生深入理解动点轨迹方程的基本求解思路。
例如，给定一个直线方程和一个点，让学生思考并解决点在直线上的问题。
3. 探索问题：设计一系列具体问题，要求学生通过观察、分析和实践来寻找解题方法和规律。
例如，通过让学生分析点在圆上的运动规律，引导学生建立点在圆上的动点轨迹方程。
4. 案例分析：选取一些实际问题，并引导学生分析问题可以转化为动点轨迹方程的求解。
例如，给定一个楼梯的高度和斜度，让学生思考并解决一个物体从楼梯上滚下的问题。
5. 拓展应用：为了提高学生的创新思维和问题解决能力，设计一些拓展应用题，让学生灵活应用所学知识解决更复杂的问题。
第四部分：教学方法（约300字）1. 讲授法：通过直观的图像和示例，向学生讲解动点轨迹方程的基本概念和求解方法，帮助学生建立直观的认知。
2. 探究法：通过引导学生观察问题、实践和讨论，培养学生的问题解决能力和创新精神，激发他们的学习兴趣。
3. 讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生互相提问、思考和帮助，促进知识和经验的交流，提高学生的学习效果。
模块教学背景下“轨迹方程”的三则教学设计
模块教学背景下“轨迹方程”的三则教学设计普通高中课程标准实验教材，将原来的“学科—单元”模式改为“学科领域—科目—模块”模式.原课程解析几何部分集中在一个学段展开教学，而新课程解析几何部分分三个学段展开教学.第一学段：直线与圆的方程，作为共同的数学基础；第二学段：圆锥曲线与方程，对文、理作不同要求；第三学段：坐标系与参数方程，为将来往研究型方向发展的学生而准备.教材发生了改变，教学也要发生变化，如何在不同学段的教学中构建多样化的数学课堂，体现新课程的理念？下面给出三个学段的“轨迹方程”的教学设计.案例1 轨迹方程（必修2）的教学设计背景：教材在未给出曲线方程的概念的前提下，在必修2第四章4．1．2节圆的一般方程的例5，及后面的习题中配备了一些简单的求轨迹方程问题.【教学过程】（1）创设情境，引入新课教师：请同学们解决如下问题：求到点（－1，2）的距离等于3的动点P 的轨迹方程.学生：（x+1）2+（y-2）2=9.让学生感悟：动点P的轨迹方程是指点P的坐标（x，y）满足的关系式.教师：这节课我们学习轨迹方程的初步求法.（2）典例分析，提炼方法例1 如图1，已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.待学生弄清题意后，教师用《几何画板》演示，当点A在圆上运动时，追踪点M，点M的轨迹是一个圆.问题1 题中有几个动点，它们之间有什么关系？学生：点A的运动引起点M的运动，点A在已知圆上运动.问题2 我们要寻找点M的坐标（x，y）满足的关系式，点A的坐标满足的关系式知道吗？为什么？问题3 如果能找到A，M的坐标之间的关系，问题就解决了.你能找到A，M的坐标之间的关系吗？学生：设A（x0，y0），M（x，y），则x= ，y＝.教师板书解答过程（略）.教师：我们再研究下面的例2，你能独立解决吗？例2 已知两个定点A（－1，0），B（1，0），动点M到点A的距离与到点B的距离的比为，求点M的轨迹方程.大部分同学都能独立地解决如下：设M（x，y），则= ，化简得（x+ ）2+y2= .问题4 你能将引例及例1、例2的方法加以归纳吗？（先个人思考，再与同桌交流）（师生共同归纳）求轨迹方程的三种常用方法：①从动点满足的几何条件知所求的轨迹是常见曲线（直线、圆），则直接写出轨迹方程.如引例.②问题中有两个动点P，Q，其中动点P在已知曲线上运动，求动点Q的轨迹方程，只需将点P的坐标（x0，y0）用点Q的坐标（x，y）表示，再代入已知曲线方程.③问题中给出动点满足的几何条件，直接设动点的坐标为（x，y），将动点满足的几何条件转译成代数方程.问题5同学们能给三种方法予以命名吗？（3）编题练习，巩固建构教师：请同学们参考引例、例1、例2编三道方法各异的轨迹方程问题.①已知A（2，1），B（－1，2），求到点A，B距离相等的动点P的轨迹方程.②已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，动点M在线段AB上，且＝2 ，求动点M的轨迹方程.③已知两个定点A（－1，0），B（1，0），动点M到点A的距离与到点B的距离的比为2，求点M的轨迹方程.然后要求学生解决此三题.（4）延伸探究，提升能力问题6你能将例2一般化吗？已知两个定点A（－c，0），B（c，0）（c＞0），动点M到点A的距离与到点B的距离的比为定值e（e>0），求点M的轨迹方程.作为课外的探究题.（5）作业①完成课堂的探究题；②课本习题4．1 A组6，B组1，2，3．案例2轨迹方程（选修2—1）的教学设计背景：这是在学完人教A版选修2—1第二章圆锥曲线与方程后的一节复习课，学生在必修2中已会求一些简单的轨迹方程问题的基础上，教材又给出了曲线方程的定义，学生对轨迹方程有了一定的认识.课前准备：上课的前一天，要求每一位同学自行归纳求轨迹方程有哪些常用方法，并在每种常用方法后配一道具有中等难度的问题.【教学过程】（1）小组交流教师：请同学们在4人小组里交流，请每个小组确定求轨迹方程有哪些常用方法，每种方法配一道你们认为最佳的问题.（2）班级交流教师：求轨迹方程有哪些常用方法？师生共同归纳：求轨迹方程的常用方法有：①直接法；②定义法；③转移法；④参数法；⑤交轨法；⑥几何法；⑦点差法.教师强调：到目前为止，我们用得较多的方法（典型方法）有①、②、③、⑥、⑦.（3）对照典型方法，筛选相应的问题经师生共同挑选，每种典型方法留下2道题，共留下10道题.（4）再次筛选，剖析解题思路教师再筛选3道题，由供题同学剖析解题思路，然后探究有无其他方法.（5）课后作业在余下的7道题中选5道题.案例3轨迹方程（选修4—4）的教学设计背景：这是在学完人教A版选修4—4坐标系与参数方程后的一节复习课，学生在必修2及选修2—1（或1—1）中已会求一些简单的轨迹方程问题的基础上，教材又给出了曲线参数方程、极坐标方程，学生对轨迹方程有了更深刻的认识.【教学过程】（1）出示例题，多角度探索例3如图2，已知椭圆＋＝1，直线l：＋＝1.P是l上一点，射线OP 交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足｜OQ｜•｜OP｜＝｜OR｜2.当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.教师：求轨迹方程有哪些常用方法？学生：直接法；定义法；转移法；参数法；极坐标法.教师：如何解决这个问题，先请同学们独立思考.启发1点Q随直线OP的运动而运动，设OP的方程为y=kx，k为参数.这样只要用Q（x，y）的坐标x，y及k表示关系：｜OQ｜•｜OP｜＝｜OR｜2，而得到方程f（x，y，k）＝0，那么消去k所得方程就是点Q的轨迹方程.解法1（过程略）点的轨迹方程是2x2+3y2-4x-6y=0（去掉原点）.启发2注意到条件｜OQ｜•｜OP｜＝｜OR｜2这是同一直线上同一点（原点O）出发的线段之间的关系，联想到直线参数方程中参数的几何意义.解法2设直线OP的方程为设Q，P，R对应的参数分别为tQ，所以，点Q的轨迹方程是2x2+3y2-4x-6y=0（去掉原点）.启发3注意到条件｜OQ｜•｜OP｜＝｜OR｜2，这是同一直线上同一点（原点O）出发的线段之间的关系，联想到极坐标方程中极径的几何意义.解法3以点O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系.则椭圆的极坐标方程为＝＋.直线的极坐标方程为＝＋.由于点Q，R，P在同一射线上，可设点Q，R，P的极坐标分别为（ρ，θ），（ρ1，θ），（ρ所以，点Q的轨迹方程是2x2+3y2-4x-6y=0（去掉原点）.（2）归纳提炼，升华思维教师：你能归纳解决本题的常用方法吗？（师生共同归纳）解法1，解法2均属于参数法，解法1选直线OP的斜率为参数；解法2利用直线参数方程参数的几何意义；解法3为极坐标法，利用极坐标方程中的ρ的几何意义.（3）反馈练习，巩固方法①设O为直角坐标系的原点，点M在定直线x=-p（p＞0）上移动，动点N 在线段MO的延长线上，且= . 求动点N的轨迹方程.②如图3，在边长为a的正方形ABCD中，AB，BC边上各有一个动点Q，R，且BQ＝CR，试求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程.师生小结：第1题利用极坐标法较简便，第2题利用参数法（交轨法）较简便.（4）课堂小结教师：学了这节课，有何体会？（5）作业用多种方法解决下面问题：如图4，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B′；折痕l与AB交于点E，点M满足关系式＝＋.建立适当的直角坐标系，求点M的轨迹方程.以上三个案例，是同一个课题在不同模块中的教学设计，按照不同学段的教材的特点，及学生的认知水平的特点设计教学，下面从教学目标（仅以知识、技能目标）、教学内容（求轨迹方程的方法）、教学方法归纳三个案例的不同特点：由上表可以看出，三个案例体现了新课程教学的基础性、选择性、多样性、层次性、发展性.。
轨迹方程教案范文
轨迹方程教案范文教案：轨迹方程一、教学目标：1.掌握轨迹的概念及其数学表达方式。
2.理解轨迹方程的含义及基本求解方法。
3.能够运用轨迹方程解决与实际问题相关的数学问题。
二、教学重点：1.轨迹的概念及其数学表达方式。
2.轨迹方程的含义及基本求解方法。
三、教学难点：1.轨迹方程的含义及基本求解方法。
2.运用轨迹方程解决与实际问题相关的数学问题。
四、教学过程：1.导入新课：通过展示一些日常生活中的轨迹（如自行车轮胎的轨迹、手机屏幕上的轨迹等），让学生了解轨迹的概念，并引导学生思考如何用数学语言描述这些轨迹。
2.引入轨迹方程：通过对轨迹问题的分析，引导学生认识到轨迹问题的本质就是求解方程的问题。
比如，如果一个点的坐标满足一些方程，那么这个点就在这个方程所描述的轨迹上。
3.轨迹方程的基本形式：a. 直线的轨迹方程：直线上的任意一点(x, y)的坐标满足 y = kx + b，其中 k 和 b 是常数。
b.圆的轨迹方程：圆上的任意一点(x,y)的坐标满足(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
c. 抛物线的轨迹方程：抛物线上的任意一点(x, y)的坐标满足 y = ax² + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。
4.轨迹方程的求解方法：a.直线的轨迹方程求解方法：由已知的点和直线的特性确定k和b的值，然后写出方程。
b.圆的轨迹方程求解方法：由已知的圆心坐标和半径长度确定(a,b)和r的值，然后写出方程。
c.抛物线的轨迹方程求解方法：由已知的点和抛物线的特性确定a、b和c的值，然后写出方程。
5.运用轨迹方程解决问题：通过实例演示，让学生理解如何根据问题中的已知条件，列出轨迹方程，并求解出满足条件的未知数的值。
6.练习与拓展：提供一些轨迹问题，要求学生利用所学的知识来解决问题，并提供一些拓展问题进一步巩固与拓展学生的知识。
7.总结与评价：让学生总结本课所学的内容，并评价轨迹方程在解决实际问题中的重要性。
动点轨迹方程的求法教案高中数学奥赛教程集
学科：奥数教学内容：动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一样步骤求，其进程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，要紧用于动点具有的几何条件比较明显时．例1（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数()0>λλ（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线．解：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 λ=MQ MN，即 λ=-MQON MO 22， λ=+--+2222)2(1yx y x ． 整理得0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x ，这确实是动点M 的轨迹方程．若1=λ，方程化为45=x ，它表示过点)0,45(和x 轴垂直的一条直线； 若λ≠1，方程化为2222222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（，它表示以)0,12(22-λλ为圆心，13122-+λλ为半径的圆．二、代入法若动点M （x ，y ）依托已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或知足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一样用于两个或两个以上动点的情形．例2 （1986年全国）已知抛物线12+=x y ，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :P A =1:2，当点B 在抛物线上变更时，求点P 的轨迹方程，并指出那个轨迹为哪一种曲线．解：设),(),,(11y x B y x P ，由题设，P 分线段AB 的比2==PB AP λ， ∴ .2121,212311++=++=y y x x 解得2123,232311-=-=y y x x .又点B 在抛物线12+=x y 上，其坐标适合抛物线方程，∴ .1)2323()2123(2+-=-x y 整理得点P 的轨迹方程为),31(32)31(2-=-x y 其轨迹为抛物线．三、概念法若动点运动的规律知足某种曲线的概念，则可依照曲线的概念直接写出动点的轨迹方程．此法一样用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式显现．例3 （1986年广东）若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（A ）012122=+-x y（B ）012122=-+x y（C ）082=+x y（D ）082=-x y解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为核心，直线x =4为准线的抛物线，而且p =6，极点是（1，0），开口向左，因此方程是)1(122--=x y ．选（B ）．例4 （1993年全国）一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为（A ）抛物线 （B ）圆（C ）双曲线的一支 （D ）椭圆解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有 .1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线概念知，其轨迹是以O 、C 为核心的双曲线的左支，选（C ）．四、参数法若动点P （x ，y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到，而动点转变受到另一变量的制约，则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程，再化为一般方程．例5 （1994年上海）设椭圆中心为原点O ，一个核心为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．（A ）求椭圆的方程；（2）设通过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部份的交点为Q ，点P 在该直线上，且12-=t t OQ OP ，当t 转变时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞b a b x a y =+ 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t ba b a解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 因此椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQOP=得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y tx t y t x 或 其中t ＞1．消去t ，得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ． 其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右边的部份和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部份． 五、交轨法一样用于求二动曲线交点的轨迹方程．其进程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例6 （1985年全国）已知两点)2,0(),2,2(Q P -和一条直线ι：y =x ，设长为2的线段AB 在直线λ上移动，求直线P A 和QB 交点M 的轨迹方程．解：P A 和QB 的交点M （x ，y ）随A 、B 的移动而转变，故可设)1,1(),,(++t t B t t A ，则P A ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t ，得.082222=+-+-y x y x当t =－2，或t =－1时，P A 与QB 的交点坐标也知足上式，因此点M 的轨迹方程是 .0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的要紧方式，也是经常使用方式，若是动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但不管用何方式，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．。
求动点的轨迹方程(教学设计)
求动点的轨迹方程（教学设计）教学目标：根据条件，想象动点轨迹曲线的形状，学生之间能沟通交流； 用几何画板演示，验证想象的正确性；用坐标法求动点轨迹方程.教学重点：用坐标法求动点轨迹方程.教学难点：根据条件，想象动点轨迹曲线的形状.教学过程：一、辅助点法例1. 在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，垂足为D.当点P在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？方法1：想象动点轨迹（或满足条件的点的集合）→用信息技术验证想象的正确性，形成动点M 的轨迹曲线.方法2：求动点的轨迹方程，根据方程判断轨迹形状.（注意过程步骤）变式1. 延长DP 至N ，使得P 是DN 的中点. 当点P 在圆上运动时，N 的轨迹是什么？评述：上面问题是从圆出发形成椭圆，你还有哪些心得？二、直接代入法例2.已知点A )05(，-、B )05(，，直线AM 与BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是94-.点M 的轨迹是什么？方法：用信息技术探索点M 的轨迹，注意斜率存在的条件.变式2.1. 直线AM 与BM 的斜率之积是49-呢？1-呢？变式2.2. 直线AM 与BM 的斜率之商是2呢？评述：上面问题是从直线的斜率出发形成椭圆，你还有哪些心得？例3. 动点M )(y x ，到定点F )04(，的距离与它到定直线l ：425=x 的距离之比是常数54，动点M 的轨迹是什么？ 变式3. 动点M )(y x ，到定点F )05(，的距离与它到定直线l ：516=x 的距离之比是常数45，动点M 的轨迹是什么？评述：圆锥曲线的第二定义，仅仅作为例题应用，不向学生说明.三、定义法例4. 圆O 的半径为r ，A 是圆O 内的一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？变式4. 若A 是圆O 外的一个定点，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？评述：根据定义得Q 点的轨迹是椭圆，但求方程还需恰当建立直角坐标系.小结：求动点轨迹，要先根据条件收集信息，想象轨迹曲线的大致形状，有条件的可以用信息技术验证，并注意挖去不满足条件的点.用坐标法求动点轨迹方程时，要走完五步：建→设→限→代→化，用方程来检验曲线，注意不满足条件的点应排除.。
高二数学选修21212轨迹方程教学案
2.1.2 轨迹方程班级姓名小组________第____号评价：_______【学习目标】1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系．2．了解求曲线方程的步骤．3．会求简单曲线的方程．【重点难点】重点:了解求曲线方程的步骤．难点:结合多种知识点及等量关系，会求简单曲线的方程．【学情分析】大家对解析几何没有一个整体的结构，所以感觉这一部分内容很难，其实只要找准等量关系这种本质，轨迹方程一类的问题都可以迎刃而解。
【导学流程】一．回顾旧知：1.曲线的方程和方程的曲线的定义2.求曲线方程的一般步骤二．基础知识感知1.总结求轨迹方程的方法三．探究问题探究一：曲线与方程的概念【例1】在△ABC中，B(－1,0)，C(1,0)，若BC边上的高为2，求垂心H的轨迹方程．四．基础知识拓展与迁移已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．提问展示问题预设：过定点A(a，b)任作互相垂直的两条线l1与l2，且l1与x轴交于M点，l2与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程．小组讨论问题预设：已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求M点的轨迹方程．课堂训练问题预设：1.等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个顶点是B(3,5)，求另一个顶点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？2.动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹．整理内化1.课堂小结2.本节课学习过程中的问题和疑难2.1.2 轨迹方程第Ⅰ部分 本节知识总结第Ⅱ部分 基础知识达标一、选择题(每小题10分，共30分)1．与点A (－1, 0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)C ． y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π3．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·M B →＝0，则动点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)二、填空题(每小题10分，共20分)4．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．5．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．三、解答题(共30分)6．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若B P →＝2P A →，且O Q →·A B →＝1.求P 点的轨迹方程．7．过点P 1(1,5)作一条直线交x 轴于点A ，过点P 2(2,7)作直线P 1A 的垂线，交y 轴于点B ，点M 在线段AB 上，且BM ∶MA ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．8.点A,B 的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积是4/9,试求点M 的轨迹方程,并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状.第Ⅲ部分 答疑解惑本节学习中存在的疑难：。
求动点轨迹方程的基本方法教学案蒋爱红
求动点轨迹方程的基本方法蒋爱红1、学法重点:掌握求动点轨迹的基本方法.2、难点:找动点满足的等量关系.3、易错点:用坐标正确表达等量关系以及剔除不满足条件的点4、求动点轨迹方程的基本方法有:：直接法、代入法、定义法、公式法、几何法、参数法、参数方程法、极坐标法、向量法5、本节课重点复习:（1）直接法 （2）代入法 （3）定义法 (4)几何法 (5)参数法选讲例题:(1)直接法例1． 两根木棒在平面内绕着相距2a 的A 、B 两点旋转，求适合下列条件的P 的轨迹方程（1）PB PA ⊥（2）PAB PBA ∠=∠2（3）3π=∠+∠PBA PAB （2）代入法例2． ∆ABC 的两顶点坐标为A （-2，0），B （2，0），第三个顶点C 在抛物线12+=x y 上移动，求这个三角形重心的轨迹方程。
例3． AB 是半径为R 的圆的直径，动弦AB MN⊥，求直线AN 与MB 的交点P 的轨迹方程。
（3）定义法 （4）例4． 求椭圆 12222=+b y a x 的右焦点F 2以椭圆的一条切线为对称轴的对称点P 的轨迹方程.例5． 已知B 、C 是∆ABC 的两个顶点，AB 、AC 边上的中线长之和为30，求此三角形的重心G 和顶点A 的轨迹方程。
(4)几何法例6． 已知点A(a,b) (a,b 不为零)，过A 任作两条互相垂直的直L 1 和L 2，直线L 1、L 2与x 轴、y 轴分别交于点N 和M ，求线段MN的中点P 的轨迹方程。
例7． 已知P （1，2）圆c: x 2+y 2=25内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足∠APB=900求弦AB 的中点Q 的轨迹方程.例8． 已知定点A （0，2）及⊙o ：x 2+y 2=4过A 作MA 切⊙o 于A ，M 为切线上的一动点，MQ 切⊙o 于点Q ，求△MAQ 的垂心H 的轨迹方程。
(5)参数法例9． 三角形的顶点A 固定,BC 在X 轴上且BC=2a,当BC 沿着x 轴移动，求△ABC 外心的轨迹方程。
高二数学用定义法求轨迹方程的教学设计
高二数学用定义法求轨迹方程的教学设计一、设计理念著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程. 学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.〞《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是尽力以此为理念，在整个授课过程中努力表达学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.二、学情分析学生已有的认知结构是初步掌握了求轨迹的基本步骤，但求轨迹的基本方法比较模糊，没有形成规律性和系统性，对图形的变化缺乏动态的认识，对数学知识的综合运用心理准备不足。
通过这节课尽量让学生理清楚用定义法求轨迹方程的方法和步骤。
三、教学目标、重难点的预设结合新课程理念和学生的实际情况，将本节课的教学目标定为： 知识目标：掌握在不同条件下用定义求动点的轨迹的基本方法。
能力目标： 通过渗透数形结合、转化等思想方法培养学生的思维能力。
通过引导探究问题，培养学生的创新意识和探究能力。
情感目标： 主动参与教学过程，提出问题，解决问题 ，激发潜能，体验成功。
[重点]：会根据动点轨迹的几何特征用定义求轨迹方程。
[难点]：如何根据条件分析动点轨迹的几何特征。
四、知识结构：求轨迹 的一般步骤时间：07年6月14日上午 第四节 地点：电教楼102 授课人：温展平[教学目标]1、 知识目标：掌握在不同条件下用定义求动点的轨迹的基本方法2、 能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。
3、 情感目标：培养学生学习数学的兴趣，在轻松的学习环境中激发潜能、体验成功。
[重点]：会根据动点轨迹的几何特征用定义求轨迹方程。
[难点]：如何根据条件分析动点轨迹的几何特征。
[教学过程]： 一.创设情境1．复习圆锥曲线的定义〔学生回答〕，重点强调定义的条件和结论以及这些定义的共同特征，列表如下：二、探索研究 思考并回答：〔1〕ABC ∆的一边BC 的长为3，周长为8，那么顶点A 的轨迹是什么？ 〔2〕假设)0,2(-A ，)0,2(B ，且2=-MB MA ，那么点M 的轨迹是什么？ 〔3〕过点)0,1(且与方程1-=x相切的圆的圆心的轨迹是什么？ 归纳“定义法〞求轨迹方程的一般步骤：一定曲线，二定方程，三定范围例：一动圆与圆1O ：4)3(22=++y x 外切，同时与 圆2O ：100)3(22=+-y x 内切，求动圆圆心的轨迹 方程.变式1：一动圆与圆1O ：4)3(22=++y x 外切，同时与圆2O圆圆心的轨迹方程。
高中数学_轨迹方程的求法教学设计学情分析教材分析课后反思
轨迹方程的求法考纲点击1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法．3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.考点梳理1．求动点的轨迹方程的一般步骤：2.求动点轨迹方程的基本方法有：诊断自测1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( )(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( )(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．( ) 2、已知点A（－2，0），B（3，0），动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线3．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 4．已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．5．已知⊙O方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P 的轨迹方程为__________．小结：典型例题：例题：已知点P的坐标（2,4），过点P的直线PA与x轴交于点A，过点P且与直线PA垂直的直线PB 与y 轴交于点B.设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.能力提升1：已知圆O 1: (x -2)2+y 2=4,动圆M 与圆O 1外切，且与y 轴相切，求动圆圆心M 的轨迹方程.2. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程.3.已知点P在直线x=2上移动，直线l通过原点且和OP垂直，通过点A（1，0）及点P 的直线m和直线相交于Q，求点Q的轨迹方程.学情分析学生在新课时普遍对轨迹方程问题感到抽象难理解，基础不扎实，甚至认为内容太难不重要不重视，没有认识到这是高考必考内容，是高考热点之一。
教案-动点轨迹方程的求法
教学过程
第一步：通过回忆圆的定义：
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心， 定长称
为半径。 知直角坐标系中，点 Q（2，集0合），说圆：C到的定方点程的距离等于定长的点的集合叫做圆
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
，动点 M 到圆 C 的切线长与
例 4 经过抛物线 y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点 A 作互相垂直的两直线分别交抛物线 于 B、C 两点，求线段 BC 的中点 M 轨迹方程。
5．交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时 常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可 以说是参数法的一种变种。
教学设计方案
Joinus Education LHH Learning Center
过已知条件找到他们的关系，得到的结果就是动点的轨迹方程；
下面再来看一题
例 2.若动圆与圆 (x 2)2 y2 4 外切且与直线 x=2 相切，则动圆
圆心的轨迹方程
解： 设动圆圆心为 M，由题意，动点 M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线 x=4 的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线 x=4 为准线的抛物线，并且 p=6，顶点是（1，0），
例 5 抛物线 y2 4 px( p 0) 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶 点 O 在直线 AB 上的射影 M 的轨迹。
6．几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满 足的条件，然而得出动点的轨迹方程。 7．待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求 . 8．点 差 法 ： 求 圆 锥 曲 线 中 点 弦 轨 迹 问 题 时 ， 常 把 两 个 端 点 设 为 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。
专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程及答案
专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程 【微点综述】在解析几何教学中，求动点的轨迹方程历来是教学重要专题之一，而曲线的定义反映了曲线的本质属性，它是相应标准方程和几何性质的“源”，也是解题的重要工具，如果能在求动点的轨迹方程中充分利用曲线的定义，常常会达到言简意明、异曲同工的效果．下面就其应用作一些举例介绍． 一、求轨迹方程——定义法若某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆、圆锥曲线的定义，则可以利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 二、常见情形1．到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线． 2．到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．3．平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． 4．平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122,PF PF a F F a +=>为常数）的动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点，2a 为长轴长的椭圆． 5．平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（12122,PF PF a F F a -=<为常数）的动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点，2a 为实轴长的双曲线．6．平面内与一定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离之比对于常数()0e e >的动点的轨迹是圆锥曲线．当01e <<时为椭圆；当1e >时为双曲线；当1e =时为抛物线．其中，定点F 叫做圆锥曲线的焦点，定直线l 叫做圆锥曲线的准线． 三、应用举例1．利用圆的定义求轨迹方程 例11．一条定长为2a 的线段AB ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上滑动．求线段AB 的中点P的轨迹方程．2．利用椭圆的定义求轨迹方程 例2（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模）2．已知圆1C ：22(3)1x y ++=，2C ：22(3)81x y -+=，动圆C 与圆1C ，2C 都相切，则动圆C 的圆心轨迹E 的方程为________________l 与曲线E 仅有三个公共点，依次为P ，Q ，R ，则||PR 的值为________. 例3（2019年高考江苏卷17（1））3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．3．利用双曲线的定义求轨迹方程 例4（2021年新高考I 卷21（1））4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M的轨迹为C . （1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.例55．如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．4．利用抛物线的定义求轨迹方程 例6（2014年高考福建文21）6．已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线=3y -的距离小2. （1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论. 例7（2013年高考全国II 理11）7．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为 F ，点M 在 C 上，5MF =，若以 MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为 A ．24y x =或 28y x = B ．22y x =或 28y x = C ．24y x =或 216y x = D ．22y x =或 216y x =5．解析几何与立体几何交汇轨迹问题例8（2022·全国·模拟预测）8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点Q 为棱1AA 上一点，点P 在底面ABCD上，且PQ =M 为线段PQ 的中点，则线段1C M 长度的最小值是（ ）A ．2B ．6C ．2D ．6例9（2022·新疆·二模）9．在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足+=PA PB PD 的最大值为____________． 小结：定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线的几乎每个性质和问题都是由定义派生出来．对于这些常见的圆锥曲线问题，领悟定义优先的思想，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，往往能准确判断、简化运算，灵活解题．我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，从以上案例中，不难发现解决圆锥曲线问题的首选策略是回归定义，优先考虑定义是求解圆锥曲线有关问题的第一思路，运用定义往往能使问题快捷求解． 【强化训练】（2022·四川凉山·三模）10．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线()1210a x y a -+-+=的垂线，垂足为P ，则MFMP +的最小值为（ ）A B C ．5D ．3（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）11．在直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别是定直线y kx =和(0)=->y kx k 上的动点，若AOB 的面积为定值S ，则线段AB 的中点的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线（2022·上海青浦·三模）12．如图，ABC ⊥平面,D α为AB 中点，2AB =，60CDB ∠=，点P 为平面α内动点，且P 到直线CD APB ∠的最大值为__________.（2022·山西晋城·三模）13．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 是棱AB 的中点，点P 是底面ABCD 内的动点，且P 到平面11ADD A 的距离等于线段PM 的长度，则线段1B P 长度的最小值为______．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）14．已知平面上一动点P 到定点()1,0F 的距离与它到定直线=1x -的距离相等，设动点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的轨迹方程(2)已知点(B ，过点B 引圆()()222:402M x y r r -+=<<的两条切线BP ；BQ ，切线BP 、BQ 与曲线C 的另一交点分别为P 、Q ，线段PQ 中点N 的纵坐标记为λ，求λ的取值范围．（2022·广东·模拟预测）15．平面直角坐标系内有一定点(1,0)F -，定直线:5l x =-，设动点P 到定直线的距离为d ，且满足||PF d =(1)求动点P 的轨迹方程；(2)直线:3m y kx =-过定点Q ，与动点P 的轨迹交于不同的两点M ，N ，动点P 的轨迹与y 的负半轴交于A 点，直线,AM AN 分别交直线=3y -于点H 、K ，若||||35QH QK +≤，求k 的取值范围．（2022·云南师大附中高三月考）16．已知定圆()221:11F x y ++=，圆()222:125F x y -+=，动圆M 与定圆1F 外切，与定圆2F 内切．（1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）直线l 的方向向量()1,2a =-，直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，若AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 纵截距m 的取值范围．17．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. （2018年高考江苏卷18（1））18．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；①直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ，求直线l 的方程． 19．已知点()0,2F ，过点()02P ,-且与y 轴垂直的直线为1l ，2l x ⊥轴，交1l 于点N ，直线l 垂直平分FN ，交2l 于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且2211x x m =-+ (m 为常数)，直线l '与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问ABC的面积是否为定值.若为定值，求出ABC 的面积；若不是定值，说明理由.参考答案：1．222x y a +=【分析】设AB 的中点坐标为(,)x y ，当A 、B 均不与原点重合时，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AB 中点轨迹，验证A 、B 有一点与原点重合时成立得答案． 【详解】当OA OB ⊥时，12OP AB =，即,OP a P =∴的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆，∴方程是222x y a +=（0x ≠且0y ≠）．当A 点为原点时，()0,B a 或()0,B a -，当B 点在原点时，()0A a ,或(),0A a -，P ∴点的轨迹方程是222x y a +=．2． 2212516x y +=，221167x y += 6011 【分析】根据动圆C 与圆1C ，2C 的位置关系，分情况讨论可知动圆C 的圆心轨迹为椭圆，然后计算,,a b c 即可，然后假设直线方程，根据直线于曲线E 的位置关系以及弦长公式，可得结果.【详解】设动圆C 的半径为R 由题可知：当动圆C 与圆1C 外切，与圆2C 内切时 则112122=+11069CC R CC CC C C CC R ⎧⎪⇒+=>=⎨=-⎪⎩所以可知动圆C 圆心轨迹为椭圆所以210=5,3=⇒=a a c ，故22216b a c =-=所以动圆C 的圆心轨迹E 的方程为2212516x y +=当动圆C 与圆1C 内切，与圆2C 内切时 则112122=1869CC R CC CC C C CC R ⎧-⎪⇒+=>=⎨=-⎪⎩所以可知动圆C 圆心轨迹为椭圆所以28=4,3=⇒=a a c ，故2227b a c =-= 所以动圆C 的圆心轨迹E 的方程为221167x y +=所以动圆C的圆心轨迹E的方程为2212516x y+=，221167x y+=设直线l方程为y m=+，()()1122,,,P x y R x y由直线l与曲线E仅有三个公共点则直线l与221167x y+=相切于点Q，与2212516x y+=相交于点P,R所以2222139161120167x yx by m⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩则()()22243916112039∆=-⨯⨯-=⇒=b b22221662540002516x yx by m⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩212122540066-+==bx x x x则PR则PR239=b代入可得6011=PR故答案为：2212516x y+=，221167x y+=；6011【点睛】本题考查椭圆的定义，以及弦长公式，考验分析问题能力以及计算能力，属中档题. 3．（1）22143x y+=；（2）3(1,)2E--.【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2①x轴，所以DF232=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2， 因为AF 2①x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得=1x -或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以=1x -.将=1x -代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而①BF 1E =①B .因为F 2A =F 2B ，所以①A =①B ， 所以①A =①BF 1E ，从而EF 1①F 2A . 因为AF 2①x 轴，所以EF 1①x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E --.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 4．（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值. 【详解】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b =，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x -=-．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-． 因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=． [方法二] ：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩， 联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==， 同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅ 由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=， 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆． 设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=． 又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得： []2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=， 其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦．由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.5．(1)1C 的方程为：2213y x -=；2C 的方程为22132y x+= (2)不存在，证明见解析【分析】（1）根据以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形得 121,1a c ==，分别将P 的坐标代入双曲线和椭圆方程，可求出双曲线和椭圆方程；（2）当直线l 垂直于x 轴时，求出,A B 的坐标，可以验证OA OB AB +≠；当直线l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，代入双曲线方程，由韦达定理得到,A B 两个点的横坐标、纵坐标之间的关系，代入椭圆方程，根据判别式得到2223k m =-，利用韦达定理推出0OA OB ⋅≠，从而可推出OA OB AB +≠.（1）设2C 的焦距为22c ，因为1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．所以2122,22c a ==，从而121,1a c ==，因为点P ⎫⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上，所以22121113b b -=⇒=⎝⎭， 所以1C 的方程为：2213y x -=.因为点P ⎫⎪⎝⎭在222222222:1(0)y x C a b a b +=>>上，所以22221314a b +=， 因为222222221b a c a =-=-，所以22221413(1)a a +=-，解得223a =，所以222b =， 所以2C 的方程为22132y x+=. （2）不存在符合题设条件的直线，证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，因为l 与2C只有一个公共点，所以直线的方程为x =或x =当x,,AB所以22,23OA OB AB +==此时OA OB AB +≠，当x =OA OB AB +≠.当直线l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，由 2213y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()2223230k x kmx m ----=，当l 与1C 相交于,A B 两点时，230k -≠,222(2)4(3)(3)0km k m ∆=-+-+>,即2230m k +->，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122223,33km m x x x x k k ++==--， 于是()22222221212121222(3)2()()33k m k m y y kx m kx m k x x km x x m m k k+=++=+++=++-- 222333k m k -=-， 由22132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222234260k x kmx m +++-=， 因为直线l 与2C 只有一个公共点，所以()()2222016423260k m k m ∆=⇒-+-=，化简可得2223k m =-，因此22222212122222333332303333m k m k m k OA OB x x y y k k k k +-+---⋅=+=+==≠----， 于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅≠+-⋅， 即22OA OB OA OB +≠-，所以OA OB AB +≠， 综上所述：OA OB AB +≠，所以不存在符合题目条件的直线l ．6．（1）24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明见解析. 【详解】试题分析：（1）思路一：设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 依题意可知曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 得到曲线Γ的方程为24x y =.思路二：设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，由(3)2y --==，化简即得.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，得20014y x =， 应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线l 的方程为2001124y x x x =-. 由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x . 由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得0016(,3)2M x x +. 根据(0,3)N ，得圆心0013(,3)4C x x +，半径0011324r MN x x ==+，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定AB 试题解析：解法一：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则20014y x =， 由12y x '=，得切线l 的斜率001|2x x k y x =='=， 所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2001124y x x x =-. 由20011{240y x x x y =-=，得01(,0)2A x .由20011{243y x x x y =-=，得016(,3)2M x x +. 又(0,3)N ，所以圆心0013(,3)4C x x +，半径0011324r MN x x ==+，AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.解法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则(3)2y --==，依题意，点(,)S x y 只能在直线=3y -的上方，所以3y >-，1y =+，化简得，曲线Γ的方程为24x y =.（2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系. 7．C【详解】①抛物线C 方程为22(0)y px p =>,①焦点(,0)2pF ，设(,)M x y ,由抛物线性质52p MF x =+=,可得52p x =-，因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52，由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即(5,4)2pM -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键. 8．B【分析】根据给定条件，确定点M 所在的轨形迹图，再利用该图形的性质即可求解作答.【详解】依题意，正方体1111ABCD A B C D -，当点P 与A 不重合时，AQ AP ⊥，如图，因点M 为线段PQ 的中点，则12AM PQ ==P 与A 重合时，12AM PQ ==即无论点P ，Q 如何运动，总有AM M 在以点A 18球面上，而16AC ==，所以线段1C M 长度的最小值是16AC = 故选：B【点睛】结论点睛：球面一点与球面上的点间距离最小值等于这一点与球心距离减球半径；球面一点与球面上的点间距离最大值等于这一点与球心距离加球半径，9．【分析】先由+=PA PB P 的轨迹是椭圆，由点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，得到PD =)P θθ，求出PE 最大值，进而得到PD 的最大值.【详解】取AB 的中点O ，连接OC ，以AB 为x 轴，OC 为y 轴，建立直角坐标系，则点P 在以A ，B 为焦点的椭圆上，且3==a c ，①23b =，即椭圆方程为221123x y +=，易知点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，DE ==①==PD设)P θθ，由E ，则2222112cos 3sin 6sin 39sin 163⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭PE θθθθ，①()2max16=PE，当1sin 3θ=-取得，①max ||==PD故答案为：【点睛】本题关键点在于确定点P 的轨迹是椭圆，由点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，将PD 的最大值转化为PE 最大值，再借助椭圆的参数方程求出PE 最大值即可. 10．A【分析】由条件确定点P 的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求MF MP +的最小值. 【详解】① 抛物线C 的方程为24y x =， ① (1,0)F ，抛物线C 的准线方程为=1x -，① 方程()1210a x y a -+-+=可化为()1(1)2y a x -=--， ①()1210a x y a -+-+=过定点(2,1)B ，设(,)P x y ，设,F B 的中点为A ，则31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，因为FP BP ⊥，P 为垂足，①122PA FB ==，所以22311222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点P 的轨迹为以A 过点M 作准线=1x -的垂线，垂足为1M ，则1MM MF =,① 1=MF MP MM MP ++,，又MP MA ≥，当且仅当,,M P A 三点共线且P 在,M A 之间时等号成立，① 1MF MP MM MA +≥+， 过点A 作准线=1x -的垂线，垂足为1A ，则115=2MM MA AA +≥,当且仅当1,,A M A 三点共线时等号成立，① MF MP +≥1,,,A M P A 四点共线且P 在,M A 之间时等号成立，所以MF MP +故选：A.11．C【分析】设()()1122,,,-A x kx B x kx ，由于AOB 的面积为定值，可得出12x x 为定值，设12=x x T ，设线段AB 的中点为M，因为()22224M M y x T k ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，即可得出线段AB 的中点的轨迹为双曲线.【详解】设()()1122,,,-A x kx B x kx ，则12||,||==OA OB .由于AOB 的面积为定值且sin AOB ∠为定值，从而12x x 为定值，设12=x x T . 设线段AB 的中点为M ，则122M x x x +=，()122-=M k x x y ， 故()()()22221212122244⎛⎫-=+--==± ⎪⎝⎭M M y x x x x x x x T k 为定值， 从而线段AB 的中点的轨迹为双曲线. 故选：C. 12．3π 【分析】由题意，可知P 的椭圆轨迹，即可知当PA PB =，即P 在椭圆短轴的顶点上时APB ∠最大，即可求最大值.【详解】由题设，ABC ⊥平面,D α为AB 中点，2AB =，60CDB ∠=，点P 为平面α内动点，且P 到直线CD①P 是以CD 为轴，α相交的椭圆轨迹上，即以D 为中心,A B 为焦点，2b =24a ==为长轴长的椭圆上，如下图示，①由椭圆的性质知：当且仅当PA PB =，即P 在椭圆短轴的端点上时，APB ∠最大有3APB π∠=.故答案为：3π. 【点睛】关键点点睛：根据题设，确定P 在圆柱体在平面α的交线上，以D 为中心,A B 为焦点， 4为长轴长的椭圆.13．【分析】根据抛物线的定义，可知点P 是以M 为焦点，以AD 为准线的抛物线，然后根据空间中两点的距离来求解.【详解】由P 到平面11ADD A 的距离等于线段PM 的长度，可知点P 是以M 为焦点，以AD 为准线的抛物线.以AM 中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.()1,0,0M ()13,0,4B ，设(),0P x y ，点P 的方程为：()24,03y x x =≤≤1B P 当1x =时，1B P 长度最小为故答案为： 14．(1)24y x ＝；(2)λ的取值范围为(--．【分析】(1)根据曲线轨迹方程的定义求解；(2)设切线BP 的方程为12y k x +＝（﹣）BQ 的方程为22y k x +＝（﹣）12k k += 212284r k k r =--，再求出122y y t +==-，即得解.（1） 设(,)P x y ，|1|x =+， 化简得()222(1)1x y x -+=+， 所以24y x =，所以曲线C 的方程为24y x ＝， （2）由已知2B（，所以切线,BP BQ 的斜率存在，设切线BP 的方程为12y k x -+＝（） 则圆心40M （，）到切线AP的距离d r ==，所以22211480r k r -++（）﹣＝， 设切线BQ 的方程为22y k x -+＝（）同理可得22222480r k r -++（）﹣＝， 所以12kk ，是方程222480r k r -++（）﹣＝的两根，所以12k k += 212284r k k r =--，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立12(2)4y k x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩211048k y y k +﹣﹣，所以11=所以114y k =-，同理224y k =-，所以121244(=22y y k k λ-+-++=12112k k ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=12122k k k k +⋅=﹣224284r r r -=-⋅--=- 因为02r ＜＜，所以2111884r <<-所以--<- 所以λ的取值范围为(--．【点睛】求取值范围常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）基本不等式法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 15．(1)动点P 的轨迹方程为椭圆22154x y +=(2)[7,1)(1,7]--【分析】（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，根据题意列式再化简方程求解即可；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，再根据,AM AN 的直线方程得出,K H x x ，联立直线MN 与椭圆的方程，得出韦达定理与判别式中k 的范围，进而将韦达定理代入||||QH QK +化简可得||7k ≤，结合判别式中k 的范围即可得（1）设动点P 的坐标为(,)x y，因为||PF d ==2225(1)|5|x y x ⎡⎤++=+⎣⎦，整理得22154x y +=．所以动点P 的轨迹方程为椭圆22154x y +=． （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由（1）可得A 的坐标为(0,2)-， 故直线112:2y AM y x x +=-，令=3y -，则112H xx y =-+，同理222K x x y =-+．直线:3MN y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得()224530250k x kx +-+=， 故()22Δ900100450k k =-+>，解得1k <-或1k >．又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >， 又1212||||22H K x xQH QK x x y y +=+=+++ ()()22121212222121212225030245455||253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --+++=+===---++-+++， ①||||35QH QK +≤， 故5||35k ≤，即||7k ≤， 综上，71k -≤<-或17k <≤． 所以k 的取值范围是[7,1)(1,7]--．16．（1）22198x y ；（2）⎛-⋃ ⎝⎭⎝． 【分析】（1）设动圆M 的半径为r ，分析得出1262MF MF +=>，利用椭圆的定义可知点M的轨迹为椭圆，确定该椭圆的焦点，求出a 、b 、c 的值，即可得出轨迹E 的方程； （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为2y x m =-+，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出0OA OB ⋅>，结合0∆>可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）设动圆M 的半径为r ，由图可知，圆1F 内含于圆2F ，圆1F 的半径为1，圆2F 的半径为5.动圆M 与定圆1F 外切，则11MF r =+，动圆M 与定圆2F 内切，则25MF r =-， 由题意知：()()121562MF MF r r +=++-=>，根据椭圆定义，圆心M 的轨迹是以原点为中心，1F 、2F 为焦点，长半轴长3a =，半焦距1c =的椭圆，2228b a c ∴=-=，E ∴的方程为22198x y ；（2）直线l 的方向向量为()1,2a =-，所以直线l 的斜率为2-． 设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为2y x m =-+，由222198y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2244369720x mx m -+-=．直线l 与椭圆E 有两个交点，所以，()()22223644498288440m m m ∆=-⨯⨯-=->，解得m -<<由韦达定理可得12911m x x +=，21297244m x x -=，AOB ∠为锐角，()()1212121222OA OB x x y y x x x m x m ∴⋅=+=+-+-+()()22212122597223652401444736044m m m x x m x x m m m -==-⨯⋅-++-+=>，m ∴>m <综上，直线l 的纵截距m 的取值范围为⎛-⋃ ⎝⎭⎝． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．17．(①)答案见解析；(①)⎡⎣.【详解】试题分析：（①）利用椭圆定义求方程；（①）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值．试题解析：（①）因为，，故，所以，故. 又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（①）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为()12,83.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【考点】圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.18．（1）2214x y +=，223x y +=；（2）①；①y =+【分析】（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a ,b ，即得椭圆方程；（2）方法一：①先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标；①先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程. 【详解】（1）因为椭圆C 的焦点为()12,F F ，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=． （2）［方法一］：【通性通法】代数法硬算①设直线l 与圆O 相切于()0000,(0,0)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640x y x x x y +-+-=（*），因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y =，因此，点P的坐标为． ①因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=，从而AB = 设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,20024x x y =+所以()()2221212AB x x y y =-+-()()222000222200048214y x x y x y -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭+． 因为22003x y +=，所以()()2202216232491x AB x-==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为⎝⎭． 综上，直线l的方程为y =+［方法二］： 圆的参数方程的应用设P点坐标为π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为原点到直线cos sin x y αα+=d r ==，所以与圆O 切于点P 的直线l的方程为cos sin x y αα+=由22cos sin 1,4x y x y αα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()22213cos )124sin 0x x ααα+-+-=． ①因为直线l 与椭圆相切，所以()()22Δ16cos 23cos 20αα=-⋅--=．因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos (0,1)α∈，故cos α=，sin α=．所以，P点坐标为．①因为直线:cos sin l x y αα+=O 相切，所以OAB 中边ABr =，因为OAB，所以||AB = 设()()1122,,,A x y B x y ，由①知22121222124sin 84cos 13cos 13cos x x x x αααα-++===++||AB ==， 即64218cos 153cos 235cos 1000ααα-+-=，即()()()2226cos 5cos 13cos 200ααα---=．因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos (0,1)α∈，故25cos 6α=，所以cos αα==所以直线l的方程为y =+．［方法三］：直线参数方程与圆的参数方程的应用设P点坐标为π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则与圆O 切于点P 的直线l 的参数方程为：πcos2πsin2x ty tαααα⎧⎛⎫=++⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=++⎪⎪⎝⎭⎩（t为参数），即sincosx ty tαααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t为参数）．代入2214xy+=，得关于t的一元二次方程()()22213cos cos)89cos0t tαααα+++-=．①因为直线l与椭圆相切，所以，()()222Δcos)413cos89cos0αααα=-+-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos(0,1)α∈，故cosα=，sinα=．所以，P点坐标为．①同方法二，略．【整体点评】（2）方法一：①直接利用直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系代数法硬算，即可解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标，是该题的通性通法；方法二：①利用圆的参数方程设出点)αα，进而表示出直线方程，根据直线与椭圆的位置关系解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标；方法三：①利用圆的参数方程设出点)αα，将直线的参数方程表示出来，根据直线与椭圆的位置关系解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标．19．(1)28x y=(2)是定值，23(1)64m+【分析】（1）由题意得FM MN=，结合抛物线的定义即可求得点M的轨迹方程；（2）设出直线AB的方程，联立抛物线求得AB的中点Q坐标，再联立切线与抛物线求出切点坐标，得到CQ x⊥轴，结合2211x x m=-+以及1212ABCCS Q x x=⋅-求得23(1)64ABCmS+=即可求解.（1）。
2.4.2圆的一般方程教学设计+-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
2.4.2圆的一般方程教学设计【学习目标】1.会推导圆的一般方程，能够说出圆的一般方程的特点以及满足的条件.2.会根据已知条件运用待定系数法求圆的方程.3.会求动点的轨迹方程.【重点难点】重点：圆的一般方程及限制条件.难点：动点轨迹方程.【新课导入】1. 复习圆的标准方程，说出圆心和半径；2. 标准方程展开式：x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2-r 2=03. 抽象为：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0提问：二元二次方程一定表示圆吗？设计意图：复习巩固圆的标准方程，展开后，类比直线的一般方程，抽象出二元二次方程的形式，由问题引入本课主题。
任务一：探究圆的一般方程问题一：圆的一般方程是什么？有什么限制条件？思：认真阅读课本85-86页，在课本上圈画关键知识。
1. 结合以下问题认真阅读课本85-86页，在课本上圈画关键知识并回答以下问题：2. 小组研讨:一般方程022=++++C Ey Dx y x 配方得（x +D 2)2+（x +E 2)2=D 2+E 2−4F 4 （1）当D 2+E 2−4F =0时，方程表示一个点，该点的坐标为(−D 2,−E 2).（2）当D 2+E 2−4F <0时，方程不表示任何图形.（3）当D 2+E 2−4F >0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为(−D 2,−E 2)，半径为r =√D 2+E 2−4F 4. 小结：一般方程转化为标准方程的常用方法：配方法训练：（教材88页练习 1题和第2题）第1题：求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形：（1）圆心：(3,0)半径：r=3（2）圆心：(0,-b)半径：r=|b|（3）圆心：(a ,√3a )半径：r=|a|第2题：求下列各圆的方程，并画出图形：（1）表示一个点(0,0)（2）表示一个圆，圆心为(1,-2)，半径为√11（3）当a 2+b 2=0表示点（0，0）：当a 2+b 2>0表示圆，圆心为（−a,0)，半径为r =√a 2+b 2 设计意图：通过学生自主学习教材知识，小组讨论方程的特点，认识圆的一般方程及其成立的条件。
《怎样求动点的轨迹方程2》教学设计方案
《怎样求动点的轨迹方程》教学设计方案三、知识与技能.1.在一轮复习的基础上，进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法。
2.培养思维的灵活性和严密性3.进一步渗透“数形结合”的思想《怎样求动点的轨迹方程》教案怎样求动点的轨迹方程——学案普格中学:黄鸿志（2011，3，29）一、认识目标；1：识记.：在一轮复习的基础上，进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法。
2.理解：培养思维的灵活性和严密性3.应用：进一步渗透“数形结合”的思想二、高考导向；求的轨迹方程是解析几何的的基本问题，是高考中的一个热点和 重点，近几年高考试题中以综合问题出现。
三、前提测评1、思考（1）：解析几何要要解决的两个基本问题是什么?（2）: 什么是动点轨迹？求动点的轨迹方程的常用方法 有哪些?2、尝试练习；（预习检测）（1）.已知三角形ABC 中，BC =2,AB/AC=2 则点A 的轨迹（2）．与圆 (x+1)2+y 2=1 和圆 (x －1)2+y 2=1/4都相外切 的动圆的圆心 的轨迹方程（3）,设P 为双曲线 x 2/4－y 2 =1上一动点，O 为坐标原点，M 为线OP 的中 点，则点M 的轨迹方程是：（4）．抛物线ｙ＝x 2＋2mx+m 2+1-m 的顶点的轨迹方程为四、达标导学：1、学生问题生成单2、学生问题整合(用6种不同的方法,讲解说明)例2: 已知点A （6，0），点P 是圆 x 2 + y 2 =9上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程。
（重点分析：有主动点和从动点的题---代入法）五、达标测评（相信自己；祝大家完成愉快）.,,1)1-x (::122的轨迹方程的中点弦求作任一弦过原点的方程为已知圆例M OA OA O y C =+（1）已知圆C的方程：（X-4）2+y2=4。
过原点的直线交圆于A，B 两点（不重合）；求弦AB的中点的轨迹方程（2）、动点P在直线x=1上，O为原点，以OP为直角边，点O为直角顶点，作直角三角形OPQ，则Q的轨迹为。
轨迹方程简单讲解教案
轨迹方程简单讲解教案教案标题：轨迹方程简单讲解教案教学目标：1. 了解轨迹方程的概念和基本特征；2. 能够根据给定的条件，推导轨迹方程；3. 能够应用轨迹方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学投影仪；2. 学生准备：课本、笔记本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入实际例子，如一个小球在斜面上滚动的轨迹，引发学生对轨迹的思考和讨论。
2. 提问学生：你们有没有观察到物体在不同条件下的运动轨迹呢？你们知道如何描述一个物体的运动轨迹吗？二、概念讲解（15分钟）1. 教师简要介绍轨迹的概念：轨迹是指物体在运动过程中所经过的路径。
2. 教师引导学生思考：在平面直角坐标系中，我们如何用方程来表示一个物体的运动轨迹呢？3. 教师讲解轨迹方程的定义：轨迹方程是用数学方程描述物体在平面直角坐标系中的运动轨迹的方程。
三、推导轨迹方程（20分钟）1. 教师以简单的例子开始，如一个物体在水平面上匀速直线运动的轨迹。
2. 教师引导学生思考：在这种情况下，轨迹方程是什么样的？如何推导得到？3. 教师和学生一起推导轨迹方程，解释每一步的推理过程。
4. 教师提供更多的例子，如物体在斜面上滚动、物体在弹簧上振动等情况，引导学生推导相应的轨迹方程。
四、应用实例（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，如一个小车在直道上匀速行驶的轨迹方程是什么？一个抛物线形状的喷泉的轨迹方程如何表示？2. 学生分组讨论并解答问题，教师逐一给予指导和解答。
3. 学生进行个人或小组练习，应用轨迹方程解决更多实际问题。
五、总结与拓展（10分钟）1. 教师总结轨迹方程的概念和推导方法。
2. 教师提醒学生在学习其他数学概念和应用时，要善于运用轨迹方程的思维方式。
3. 教师鼓励学生拓展思维，尝试推导更复杂的轨迹方程，如椭圆、双曲线等。
六、课堂作业（5分钟）1. 学生独立完成课堂作业，练习应用轨迹方程解决问题。
2. 教师布置下节课预习内容。
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教学目标使学生， 在一轮复习的基础上，进 掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法。
培养思 维的灵活性和严密性进一步渗透“数形结合”的 思想以完成本课的教学任务，我设计两种教学方 案（一种是总案教学设计，别一是分案分教案和 学案），从问题的引出，复习的目标 /高考导向、 前提测评（预习检测）达标导学用例题 2个达标 测评小结：知识要点，形象的展示了知识的精 华. 1. 求动点的轨迹方程的常见方法： 2. 求动点的轨迹方程的方法的恰当选择 《怎样求动点的轨迹方程》教学设计方案 课题名称
科―目
教学时间
《怎样求动点的轨迹方程》 数学 P 级 1课时 I 高三 、情感态度与价值观 1. 通过设置丰富的问题情境，鼓励学生从多角度思考、探索、交流, 激发学生的好奇心和主动学习的欲望； 2. 对数学中怎样求动点的轨迹方程的相关知识感兴趣，能够结合自 己的生活编出一道隐求动点的轨迹方程知识的数学题。
、过程与方法 教学目标
1. 初步能够从数学角度去观察事物，思考问题，体验解决问题方法 策略的多样性；
2. 经历将实际问题抽象为动点的轨迹方程方程模型的过程，体会 方程是刻画现实世界的有效数学模型和数学建模思想； 三、知识与技能. 1. 在一轮复习的基础上，进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常 用方法。
2. 培养思维的灵活性和严密性
3. 进一步渗透“数形结合”的思想 教材分析
为了完成高三第二轮专题复习中的曲线轨迹方程 教学重点、
难点
《怎样求动点的轨迹方程》教案
学校普格中学科目数学年级高三姓名黄鸿志课题怎样求动点的轨迹方程课型复习课
教学目标教学重点1、
2、
3、
识记：进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法。
理解：“数形结合”的思想
应用：培养思维的灵活性和严密性
求动点轨迹的常用方法，重点强调相关点法
教学难点求动点轨迹的方法的恰当选择
（1）教师自制的多媒体课件、三角板，圆规教具
（2）上课环境为多媒体大屏幕环境
以三段式（自主生疑；互动解疑，内化迁移）的理念融入教学方法目标教学的基本环节（前提测评、认定目标、导学达标、
达标测评），充分应用信息技术教育资源实施教学。
求的轨迹方程是解析几何的的基本问题，是高考中的一个高考导向
热点和重点，近几年高考试题中以综合问题出现较多。
1、解析几何要要解决的两个基本问题是什么
诊测补偿2、什么是动点的轨迹？
3、求动点的轨迹方程的常用方法有哪些?
展示目1、诊测补偿后，引入课题，展示目标。
2、课堂中围绕目标课末强化目标。
一、基础目标导达：先由学生分组讨论完成后点评
1、已知三角形ABC中，BC =2,AB/AC=2 则点A的轨迹
2、与圆（x+1）2+y2=1 和圆（X —1）2+y2=1/4都相外切的动圆的
圆心的轨迹方程
3、设P为双曲线x2/4 —y2 =1上一动点，0为坐标原点,
M为线0P的中点，则点M的轨迹方程是:
五、总结提升，记下作业
教学反思：通过这节课的学习，初步达到了本节的教学目标 ：使学生进一步掌握 和熟练运用求轨迹方程的常用方法。
培养学生思维的灵活性和严密性进一步渗 透“数形结合”的思想。
但对于五班（文科慢班）来说题量多了点。
例 1只分 析3种方法就好了。
普格中学：黄鸿志（2011，3，29）
一、认识目标； 1:识记.：在一轮复习的基础上，进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法。
2. 理解：培养思维的灵活性和严密性
3. 应用：进一步渗透“数形结合”的思想
4、抛物线y= x 2 + 2mx+m 2+1-m 的顶点的轨迹方为
二、高层目标助达:
例1、已知圆C 的方程：（X-1）2+Y 2
=1过原点0作任意一弦0A,
求弦0A 的中点M 的轨迹方程。
（用6种不同的方法，讲解说明）
例2:已知点A （6，0），点P 是圆X 2 + y 2 =9上的动点,
求线段PA 的中点M 的轨迹方程。
（重点分析：有主动点和从动点
的题---代入法）
三、运用目标练达:
例题1和例题2先由学生练习后由老师解评。
四、发展目标引达：测试题7。
1、完成测试题（见学案达标测试）
学生活动 2、评析、反馈、矫正
一、诊补练习 3、小结：先由学生归纳求动点轨迹
二、认定目标 方程的方法和要点，在由老师指导。
三、练、读、讲、分析
4、作业复习资料（3+2）P 164；3年高考 四、作达标测试
题组训练 怎样求动点的轨迹方程
学案
二、高考导向；求的轨迹方程是解析几何的的基本问题，是高考中的一个热点和
重点，近几年高考试题中以综合问题出现。
三、前提测评
1、思考(1)：解析几何要要解决的两个基本问题是什么？
(2):什么是动点轨迹？求动点的轨迹方程的常用方法有哪些?
2、尝试练习；(预习检测)
(1).已知三角形ABC中，BC =2,AB/AC=2 则点A的轨迹
(2).与圆(x+1)2+y2=1和圆(x—1)2+y2=1/4都相外切的动圆的圆心的轨迹方程
(3),设P为双曲线x2/4 —y2 =1上一动点，0为坐标原点，M为线0P的中点，则点M 的轨迹方程是：
(4).抛物线y= x2+ 2mx+m2+1-m的顶点的轨迹方程为
四、达标导学：1、学生问题生成单问题一问题二
2、学生问题整合
(用6种不同的方法，讲解说明)
例1:已知圆C的方程为：(x-1)2+ y2=1,过原点0作任一弦0A,求弦0A的中点M的轨迹方程.
例2:已知点A (6, 0),点P是圆x2 + y2 =9上的动点，求线段PA的中点M 的轨迹方程。
(重点分析：有主动点和从动点的题---代入法)
五、达标测评(相信自己；祝大家完成愉快)
（1）已知圆C的方程：（X-4）2+y2=4。
过原点的直线交圆于A , B
两点（不重合）；求弦AB的中点的轨迹方程
（2）、动点P在直线x=1 上, O为原点，以OP为直角边，点0为直角顶点，作直角三角形OPQ,贝U Q的轨迹为 _________________ 。
A 圆B双曲线C两条平行线D抛物线
（3）、线段AB长为3,端点A，B分别在x轴与y轴上滑动，点分AB成2：1, 则点P 的轨迹方程
（4）、已知点P （x , y）满足x2+y2=4,则点Q（x y,x+y ）的轨迹方程为：
（5）、过抛物线x2=4y的焦点的弦PQ的中点的轨迹方程为
（6）、过点A（1,0）的直线与圆x2+y 2=1/4交于不同的两点P、Q,则PQ的中点
轨迹方程为 _______ .（注：（5 ）、（6）选作）
（7）（2010福建理数）.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）
A. x2+y2 +2x=0 B . x2 +y2+x=0 C. x2 +y2 -x=0 D . x2+y 2-2x=0
六、1、总结提升（归纳可以强化学习效果）
（1）.求动点的轨迹方程的题需要哪些步骤？
（2）.有哪些常用的方法？需要注意什么问题？
（3）.解决实际问题经历怎样的思维过程？
2、（布置作业，促进所学容的迁移）
作业：复习资料（3+2）P 164, 3年高考题组训练
七、反思：这节课我们学到了什么？。