分类讨论思想方法共23页文档
思想方法 第3讲 分类讨论思想
思想方法第3讲分类讨论思想 思想概述分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论 概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决． 例1(1)(2022·滁州质检)已知过点P (0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，则当|AB |＝23时，直线l 的方程为( )A ．x ＝0B ．15x －8y －8＝0C ．3x －4y ＋4＝0或x ＝0D ．3x ＋4y －4＝0或x ＝0________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a 2＝2，a n ＋2－2a n ＝1－(－1)n ，则下列选项不正确的是( )A ．{a 2n －1}是等比数列B.∑i ＝15(a 2i －1＋2)＝－10C ．{a 2n }是等比数列D.∑i ＝110a i ＝52________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n 需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．方法二 由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究． 例2设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝________. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．方法三 由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，若f (x )[f (x )]2＋a的最大值为25，则正实数a ＝________.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论．。
分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法知识点导读也是科学研究中最常用、最基本的方法．数学中的分类讨论贯穿知识的各个部分，形式多样、综合性强、逻辑严谨，在解数学题中，分类讨论是一种十分常见和重要的思想方法．那么，什么是数学中的分类讨论呢？一般来说，当一个问题所给的对象不宜进行统一的研究或推理，只有按某一个标准用分组的形式才能方便地表示出来，那么就需要对研究的对象进行分类(即分组)，并对其中的每一类分别进行研究，最后综合各类的结果得到整个问题的结果．它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用，它将一个数学问题化整为零，把一个复杂的问题转化为单一的问题，从而“各个击破”，最终使整个问题得以顺利解决．高中数学中经常遇到需要进行分类讨论的问题，归纳起来有以下几种常见类型：一、由数学概念引起的分类有许多数学概念本身就是分类定义的，例如数的绝对值的概念：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (当a ≥0时)－a (当a ＜0时)这样，当我们遇到求解与绝对值|a |有关的问题时，就要分a ≥0和a ＜0两种情况讨论．二、由有关数学的性质、运算法则、定理、公式引起的分类如在判断两直线是否相互垂直时，要讨论其斜率是否存在；又如指数、对数函数的性质在应用时，要分别针对它们底数的取值进行讨论等．再如等比数列a, aq, aq 2, …， aq n －1，…的前n 项和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－q n )1－q (当q ≠1时)na (当q ＝1时)因此，遇到公比q 是字母或含字母的表达式时，就要讨论公比等于1及公比不等于1的两种情形．三、涉及有关不确定的情况时引起的分类如分段函数、图形、特殊要求等在计算或列式时需要分类讨论，一般是综合的题型．四、由参数变化而引起的分类运用分类讨论的思想解数学题时，一般分为以下四个步骤： (1) 确定讨论的对象和所要讨论对象的范围．(2) 合理分类就是将讨论对象的范围划分子区域，划分子区域时应符合以下三个条件： ① 确定分类的标准一致，不重复、不遗漏； ② 划分子区域只能按同一标准进行； ③ 区域分类应逐级进行．(3) 严格按层次逐级或逐段讨论，不能越级．(4) 归纳总结，综合出结论．其中，确定分类的标准是分类讨论的关键． 范例分类与解题分析【例1】 已知集合A ＝{1, x 2}，集合B ＝{1, 3, x }，且A B ，求x 的值．【解】 ①当x 2＝3，即x ＝±3时，A B .②当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x x ≠1即x ＝0时，A B .所以x ＝±3或x ＝0.【点评】 注意真子集概念中“B 中至少有一个元素不属于A ”，可以认为A 的元素个数至少比B 的元素个数少1个，又集合的元素具有互异性，即同一个元素在集合中只出现一次，故在第2种情形中要求x ≠1.二、根据运算的要求进行分类【例2】 解关于x 的不等式：2(a ＋1)x －2a ＞ax ＋4.【分析】 原不等式可化为(a ＋2)x ＞2(a ＋2)，因为x 的系数中含有字母a (a 称为参数)，所以应分成a ＋2＞0，a ＋2＝0，a ＋2＜0三种情况来解答．【解】 原不等式可化成(a ＋2)x ＞2(a ＋2)． ①当a ＞－2时，不等式解集为{x |x ＞2}； ②当a ＝－2时，原不等式为0·x ＞0，原不等式解集为∅； ③当a ＜－2时，不等式解集为{x |x ＜2}． 【点评】 数学中的某些运算有着严格的运算要求．如实数集中偶次根式的被开方数必须非负，方程或不等式的两边同乘(同除)的一个数不能为零，不等式两边同乘(同除)一个负数不等号要改变方向等．凡涉及到运算要求的问题，求解时应按照运算的要求进行分类讨论．三、根据定理、公式、法则的限制条件进行分类【例3】 设{a n }是以d 为公差的等差数列，求3a 1＋ 3a 2＋3a 3＋…＋3a n .【分析】 当数列为等比数列且其公比不确定时，在求前n 项和时，必须对公比是否为1分成两种情况进行讨论．【解】 设b n ＝3a n ，∵ b n ＋1b n ＝3a n ＋13a n＝3a n ＋1－a n ＝3d∴ {b n }是以b 1＝3a 1为首项，以q ＝3d 为公比的等比数列 当q ＝3d ＝1，即d ＝0时， 3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1·n ，(n ∈N ＋)当q ＝3d≠1，即d ≠0时，3a 1＋3a 2＋3a 3＋…＋3a n ＝3a 1(1－3nd )1－3d，(n ∈N ＋)．【点评】 数学中的某些定理、公式、法则等均受到一些条件的限制，如复数的模为非负实数；公式S n ＝a 1(1－q n )1－q中，q ≠1；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有实根的充要条件是b 2－4ac ≥0，无实根的充要条件是b 2－4ac ＜0等，在求解这类问题时，可根据相应的限制条件进行分类讨论．四、根据函数的性质进行分类【例4】 已知幂函数y ＝x 3m －7(m ∈N ＋)在区间(0, ＋∞)内是减函数，且图像关于y 轴对称，求函数解析式．【解】 由于幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，所以可得3m －7＜0.解得m ＜73.又∵ m ∈N ＋， ∴ m ＝1, 2.当m ＝1时，函数的解析式为y ＝x －4，是偶函数，其图象关于y 轴对称．当m ＝2时，函数的解析式为y ＝x －1，是奇函数，其图象关于原点对称，∴ m ＝2(舍去)．因此，所求函数的解析式为y ＝x －4.【点评】 幂函数y ＝x n 当n ＜0时，在区间(0, ＋∞)内是减函数，据此可定出m 的取值范围，再由m ∈N ＋及该幂函数为偶函数(图象关于y 轴对称)，进一步确定m 的值．五、根据图形相对位置的变化特征进行分类【例5】 如图，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿折线B →C →D 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，写出y 与自变量x 之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出它的图象．【分析】 △ ABP 的面积由于点P 的运动，函数关系式共分两个部分来求解，分别为点P 在BC 上和点P 在CD 上．【解】 当点P 由B →C 运动时，PB ＝x ，则S △ABP ＝12×AB ×PB ＝2x ，且x ∈；当点P 由C →D 运动时，S △ABP ＝12×AB ×BC ＝124×2＝4，且x ∈(2,4]．∴综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，4，x ∈x ∈(2，4]，且该函数关系式的图像如图所示．【点评】 此例的求解是根据图形的位置特征进行分类讨论的，对于这类与图形的位置特征有关的数学问题，求解时可根据图形的位置特征进行分类讨论．六、根据参数的取值进行分类【例6】 试根据k 的不同取值，讨论方程kx 2＋y 2＝1所表示的曲线形状．【分析】 根据不同曲线方程对参数的要求，可对方程中参数m 的取值进行分类，求得曲线的标准方程，从而确定出方程所表示的不同曲线．【解】 当k ＝0时，方程为y 2＝1，即y ＝±1表示两条垂直于y 轴的直线；当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示以原点为圆心，以1为半径的圆；当k ≠0且k ≠1时，方程为x21k＋y 2＝1；当1k＞1，即0＜k ＜1时，表示焦点在x 轴上的椭圆； 当0＜1k 1，即k ＞1时，表示焦点在y 轴上的椭圆；当1k＜0，即k ＜0时，表示焦点在y 轴上的双曲线． 【点评】 在讨论曲线方程时，一定要掌握不同曲线方程的特征，并按照不同曲线方程的要求进行讨论，然后从一般到特殊，进行分类讨论，可先讨论直线、圆，然后再讨论抛物线、椭圆、双曲线．【例7】 不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，求a 的取值范围．【分析】 因x 2的系数a 2－1可以等于0也可以不等于0，因此对a 2－1是否等于0应分类讨论．【解】 (1)若a 2－1＝0，则a ＝－1或a ＝1 因a ＝1符合题意，而a ＝－1不符合题意 ∴a ＝1；(2)若a 2－1≠0则由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0(a －1)2＋4(a 2－1)<0∴－35<a<1 综合(1)(2)得，a 的取值范围是(－35，1]．【点评】 由于参数的取值不同，问题的表述也不相同．因此只有对参数进行分类才能根据问题的不同表述分别列式求解．【举一反三】 对任意实数x ，不等式ax 2＋2ax －(a ＋2)<0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 当a ＝0时，由题意得－2<0.符合题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎨⎧a <0(2a )2＋4a (a ＋2)<0，解之得－1<a <0. 综上所述，a 的取值范围(－1,0]．【例8】 已知函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)在[1, 2]上的最大值比最小值大2，求a 的值． 【分析】 因a 的不同取值，对数函数y ＝log a x 在[1, 2]上的单调性不同，因此必须对a 进行分类讨论．【解】 (1)若a>1由已知得log a 2－log a 1＝2∴log a 2＝2 ∴a 2＝2 ∴a ＝2； (2)若0<a<1由已知得log a 1－log a 2＝2∴log a 12＝2 ∴a 2＝12 ∴a ＝22综合(1)(2)得a ＝2或a ＝22.【点评】 由于参数的取值不同，对数函数y ＝log a x 的单调性也不相同，因此只有对a 进行分类，才能利用函数的单调性列式求解．七、根据求解数学问题结论的多样性进行分类【例9】 根据a 的不同取值，求函数f (x )＝ax 2＋x ＋1的单调区间．【分析】 f (x )可能为一次函数，也有可能为二次函数，而当f (x )为二次函数时，可根据抛物线的开口方向及对称轴的位置，讨论其单调区间．【解】 当a ＝0时，f (x )＝x ＋1，∴ f (x )的递增区间为(－∞，＋∞)．当a ≠0时，f (x )为二次函数，对称轴为x ＝－12a，当a ＞0时，f (x )的递增区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞，递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ， 当a ＜0时，f (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12a ，递减区间为⎣⎡⎭⎫－12a ，＋∞. 【点评】 一次函数、指数函数、对数函数等在其定义域内的单调性都有两种可能性，二次函数的单调性不仅要考虑抛物线的开口方向，还要考虑对称轴的位置．综合训练1．A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，B A ，则a 的值是( )A ．－1,0, 13B ．－1, 13C ．－13，0,1D ．－13，1【分析】 A ＝{－1,3}当B ＝∅时，方程ax －1＝0无解，a ＝0 当B ＝{－1}时，－a －1＝0，a ＝－1当B ＝{3}时，3a －1＝0，a ＝13 a 的值是－1, 0, 13.2．在同一坐标中，y ＝x a和y ＝ax ＋1a的图象可能是( )A B C D3．已知m ∈R ，且(m 2－8m ＋7)＋(m 2－1)i ＝|(2－23i)2|，则m ＝( ) A ．－1或1 B ．－1 C ．1或7 D ．7【分析】 |(2－23i)2|＝|8＋83i|＝16 故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋7＝16m 2－1＝0解得m ＝－1.4．顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±12x 的双曲线的标准方程是( )A.x 29－4y 29＝1或y 29－x 236＝1B.y 29－4x 291或x 29－y 236＝1C.x 29－4y 29 1D.y 29－x236＝1【分析】 2a ＝6，a ＝3当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a ＝±12x, b a ＝12 b ＝32双曲线的标准方程是x 29－4y29＝1.当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±a b ＝±12x ，a b ＝12， b ＝6双曲线的标准方程是y 29－x236＝1.二、填空题5．设A ＝{1,2,3}，B ＝{3, lg a }，若B ⊆A ，则a ＝__10或100________. 【分析】 由题得lg a ＝1或lg a ＝2，∴ a ＝10或a ＝100.6．已知π2＜α＜3π2，则|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝_____0___.【分析】 π2＜α＜π时，|tan α|tan α＋|sin α|sin α＝0；π＜α＜3π2|tan α|tan α＋|sin α|sin α0.7．若log a 45＜1，则a 的取值范围是___(0，45)∪(1，＋∞)_______．【分析】 由题意，得log a 45＜1＝log a a ，则当a ＞1时，y ＝log a x 是单调增的，∴a ＞45，即a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是单调减的，∴a ＜45，即0＜a ＜45.综上所述，a 的取值范围为(0，45)∪(1，＋∞)．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞03－x ，x ≤0，则xf (x )＞0的解集是___⎝⎛⎭⎫12，＋∞_______．【分析】 当x ＞0时，x (2x －1)＞0，即x ＞12或x ＜0 ∴x ＞12.当x ≤0时，x (3－x )＞0，解为∅.9．在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝2，∠C ＝30°，则b ＝____2或4____.【分析】 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，32＝12＋b 2－443b，b 2－6b ＋8＝0，b ＝2或4.10．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴为8，短轴为4，则椭圆方程是___x 216＋y 24＝1或y 216＋x24＝1_____． 【分析】 若焦点在x 轴上，则椭圆方程为x 216＋y 24＝1，若焦点在y 轴上则椭圆方程为y 216＋x241.11．平行于直线3x －4y －20＝0，且和它相距3个单位的直线方程是__3x －4y －5＝0或3x －4y －35＝0______．【分析】 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意知两直线间的距离d ＝|－20－m |5＝3，则m ＝－5或－35.三、解答题12．已知集合A ＝{1, p, p 2}，集合B ＝{1, 1－q, 1－2q }，且A ＝B ，求p 的值．【解】 因为A ＝B .所以有⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1－q p 2＝1－2q ①或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q p 2＝1－q ②由①得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＝2－2qp 2＝1－2q ⇒p 2－2p ＝－1⇒p ＝1(舍去)．由②得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1－2q 2p 2＝2－2q ⇒2p 2－p ＝1⇒p ＝－12或p ＝1(舍去)．所以p ＝－12.(舍去p ＝1是因为集合中的元素是互异的)13．求与双曲线x 22y 2＝1有两个公共焦点，且过点(3，2)的圆锥曲线的方程．【解】 双曲线x 22y 2＝1的两个焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)当圆锥曲线为椭圆时，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 2＋4b 2＝1a 2－b 2＝3 得： a 2＝9，b 2＝6，椭圆的方程为x 29＋y 26＝1.当圆锥曲线为双曲线时，设其方程为x 2a 2y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝3得： a 2＝1, b 2＝2，双曲线的方程为x 2－y 22＝1.14.函数y ＝a －b cos3x 的最大值是6，最小值是－2，求函数y ＝cos πxa＋b 的最小正周期与最小值．【解】 当b ≥0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝6a －b ＝－2， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是3；当b ＜0时，根据题意⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝6a ＋b ＝－2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4，函数y ＝cos πx a ＋b 的最小正周期T ＝2ππ2＝4，最小值是－5.15．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 为BC 或DC 上一动点，设AP 与矩形ABCD 所围成的三角形面积是S ，从点A 沿矩形周界且经过B (或再经过点C )到P 的距离是x ，试用解析式将S 表示为x 的函数．图(1) 图(2) 第15题图【解】 如P 在BC 间，AB ＋BP ＝x ，PB ＝x －4，S ＝12AB ·BP ＝12×4(x －4)＝2x －8，此时，x ∈(4,7]；如P 在DC 间，AB ＋BC＋CP ＝x ，CP ＝x －7，DP ＝DC －CP ＝4－(x －7)＝11－x ，S ＝12AD ·DP ＝12×3×(11－x )＝－32x ＋332此时x ∈(7,11)，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －8 x ∈(4，7]－32x ＋332x ∈(7，11)。
第一编 数学思想方法 第三讲 分类讨论思想 Word版含解析
第三讲 分类讨论思想思想方法解读考点由概念、法则、公式引起的分类讨论典例1 (1)2015·福建高考]若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a ≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析]因为f(x)＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2，所以当x ≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a>1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案] (1,2](2)已知各项均为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，且S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，若b n ＝a n ＋1a n＋a na n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝________.解析] 由题意可得，S n >0，因为S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，所以S n ＝S n －1＋a 1，即数列{S n }是以S 1＝a 1为首项，以a 1为公差的等差数列，所以S n ＝n a 1，所以S n ＝n 2a 1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a 1－(n －1)2a 1＝(2n －1)a 1，当n ＝1时，适合上式，所以b n ＝a n ＋1a n ＋a n a n ＋1＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝1＋22n －1＋1－22n ＋1＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1＝2n ＋4n 2n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 答案] 4n 2＋6n2n ＋1四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．【针对训练1】 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即5(a 1＋2d)·a 1＝(2a 1＋2d ＋2)2 d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4， 所以a n ＝－n ＋11或a n ＝4n ＋6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n ，因为d<0，所以d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 由a n ≥0，即－n ＋11≥0得n ≤11. 所以当n ≤11时，a n ≥0，n ≥12时，a n <0.所以n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ； n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－…－a n ＝S 11－(S n －S 11)＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.考点由参数变化引起的分类讨论典例2 2015·江苏高考]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求c 的值．解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2>0(x ≠0)，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；当a <0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎪⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫427a 3＋b <0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－427a 3<b <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，0<b <－427a 3.又b ＝c －a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，427a 3－a ＋c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，则在(－∞，－3)上g (a )<0，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上g (a )>0均恒成立，从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)x 2＋(a －1)x ＋1－a ]， 因函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 综上c ＝1.1．变量或参数变化时常见的分类讨论(1)解含参数的不等式时，常按参数的取值不同分类讨论． (2)平面解析几何中，直线点斜式中按斜率k 存在和不存在，直线截距式中按截距b ＝0和b ≠0分类讨论．2．利用分类讨论思想的注意点(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”． (2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并，其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．【针对训练2】 2016·四川高考]设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．解 (1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 此时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x .则s ′(x )＝e x －1－1. 而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又由s (1)＝0，有s (x )>0， 从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 考点 根据图形位置或形状分类讨论典例3 2015·广东高考]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解] (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心坐标为C 1(3,0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94.故线段AB的中点M的轨迹C的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94在圆C1：(x－3)2＋y2＝4内部的部分，设AB方程为y＝k1x，当AB与圆C1相切时⎩⎨⎧y＝k1xx2＋y2－6x＋5＝0⇒(k21＋1)x2－6x＋5＝0，由Δ＝36－4×5×(k21＋1)＝0得k1＝±255，代入方程组得x＝53，因此x∈⎝⎛⎦⎥⎤53，3.即⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94⎝⎛⎭⎪⎫53＜x≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x＝53，⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94，解得⎩⎨⎧x＝53，y＝±253.不妨设其交点为P1⎝⎛⎭⎪⎫53，253，P2⎝⎛⎭⎪⎫53，－253，设直线L：y＝k(x－4)所过定点为P(4,0)，则kPP1＝－257，kPP2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【针对训练3】 (1)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32答案 A解析 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t6t ＝12.若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.(2)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12 B.12 C ．0 D ．－12或0答案 D解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－12.。
分类讨论的思想方法
b 1 时， f (x) x2 ln(x 1) ，令 h(x) x3 f (x) ，则
例
8：已知函数
f
(x)
2ax x2
a2 1
1
(
x
R)
，其中
a
R
．
（Ⅰ）当 a 1 时，求曲线 y f (x) 在点 (2，f (2)) 处的切线方程；
（Ⅱ）当 a 0 时，求函数 f (x) 的单调区间与极值．
内为减函数．
函数 f (x) 在 x1 a 处取得极大值 f (a) ，且 f (a) 1 ．
函数
f
(x)
在
x2
1 a
处取得极小值
f
1 a
，且
f
1 a
a2 ．
例 9：设函数 f (x) x(x a)2 （x∈R），其中 a∈R，
（1）当 a=1 时，求曲线 y= f(x) 在点（2，f (2)）处的切线方程； （2）当 a≠0 时，求函数 f(x)的极大值和极小值；。
g(x) 在 (0, ) 上为增函数， x 0 时， g(x) g(0) 0 ，即
f (x) ax 。
2）若 a 2 ，方程 g '(x) 0 的正根为 x1 ln a
a2 2
4
，此时若
x
(0,
x1 )
，则
g
'( x)
0
，故
g(x)
在该区
间为减函数，因此 g(x) g(0) 0 ，即 f (x) ax
解：（1）设 r 为方程的一个根，即 f (r) 0 ，则由题设得 g( f (r)) 0 ．于是，
g(0) g( f (r)) 0 ，即 g(0) d 0 ． 所以， d 0 ． （2）由题意及（1）知 f (x) bx2 cx ， g(x) ax3 bx2 cx ．
分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法问题的提出：分类讨论的思想方法一方面可将复杂的问题分解若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。
当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。
分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件。
问题：从1到100这100个自然数中每次取两个，要使它们的和大于100，有多少中取法？分析：这个问题看似简单，但很多人拿过来却是丈二和尚摸不着头脑，这时们就可以使用分类讨论的思想方法了。
解：很显然每取的两个数中，总有一个是较大的，那么以“两数中较大者”作为分类的标准，逐一给予讨论：若较大的数是100，则另一个数从其余99个数中任取一个与100配对，都满足条件，且这样的取法有99种：（100，99）、（100，98）、·····、（100，1）；若较大的数是99，则时有97种取法：（99，98）、（99，97）、······、（99，2）；若较大的数是98，则有95种取法：（98，97）、（98，96）、······、（98，3）；······若较大的数是51，则这时只有1种取法：（51，50）；若较大的数都是小于等于50的数，这时都不可能再取出满足条件的数对。
因此可以得出结果：99+97+95+······+3+1=2500总结：生活中有许许多多的实际问题也要分类讨论的方法来解决，这时我们要记住的是：在分类之后不能遗漏问题中可能出现的任何一种情况。
分类讨论思想ppt课件演示文稿
1 cos 2 x 2 | sin x | 解析：f x cos x cos x 2 tan x, x [2k ,2k ) [2k ,2k ) 2 2 . 2 tan x, x [2k ,2k 3 ) [2k 3 ,2k 2 ) 2 2
2．引入分类讨论的主要原因
1由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、
直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；
2 由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算
中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；
3由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； 4 由图形的不确定引起的分类讨论； 5由参数的变化引起的分类讨论； 6 按实际问题的情况而分类讨论．
考点1 由数学概念引起的分类讨论
例1.设a为实数，函数f x 2x 2 x a x a .
1 若f 0 1，求a的取值范围； 2 求f x 的最小值．
分析：由f 0 1，知 a a 1，然后根据 绝对值的定义解此不等式可解得第 1 小题； 而第 2 小题利用绝对值的定义化函数为分 段函数，然后分别求其最值．
【思维启迪】由数学运算性质类型、公式和定理、 法则有范围或者条件限制，或者是分类给出 的，在解答中注意分类讨论思想的应用．本题 Sn 中利用an Sn S n1 n 1与n 2讨论． n 1 n 2 求出an 就须分
分析：分两类n 1与n 2进行解答，但须注
解析：当n 2时，an Sn S n 1
2 2n 2n 2 n 1 2 n 1 4n， 所以an 4n(n 2，n N* )． 2
分类讨论思想PPT优秀课件(1)
∴当y=4时，f(y)min=146. 即点P应位于（0，4). ∴当点P为（0，4）时到三镇距离的平方和最小. (2)P至三镇的最远距离为
25 y 2 (当 25 y 2 12 y ),
g(y) 12 y
(当 25 y 2 12 y ).
由 25 y 2 12 y , 得 y 119 , 24
3007和48011.
v
v
（2）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2
分钟，
所以 300 7 480 11 2 .
①
v
v
当 0 v 300 时 ， ① 式变形为 7
300 7 480 11 2 , 解得 39 v 300 ;
v
v
7
当 300 v 480 时 , ① 式变形为
3.分类讨论产生的时机： （1）涉及的数学概念是分类定义的. （2）运算公式、法则、性质是分类给出的. （3）参数的不同取值会导致不同的结果. （4）几何图形的形状、位置的变化会引起不同的
结果. （5）所给题设中限制条件与研究对象不同的性质
引发不同的结论. （6）复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便
性的关系；幂函数y=xn的幂指数n的正、负与定义 域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y=ax (a>0 且a≠1)、对数函数y=logax (a>0,a≠1)中底数a 的 范围对单调性的影响；等比数列前n项和公式中公 比q的范围对求和公式的影响；复数概念的分类； 不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号 方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥 曲线离心率e的取值与三种曲线的对应关系；运用 点斜式，斜截式直线方程时斜率k是否存在；角的
3-26分类讨论思想
数学（理） 第30页
新课标· 高考二轮总复习
[解]
(1)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，则 ak＋ 1
＋ ＋
＝qk，ak＋3＝qk 2，ak＋2＝qk 1， 依题意得 2qk 2＝qk＋qk 1，由于 qk≠0，所以 2q2－q 1 －1＝0，解得 q＝1 或 q＝－ . 2 (2)当 q＝1 时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3， Sk＋ 2＝k＋2，显然 Sk＋1＋Sk＋ 2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋
1 3 1 (3)当 a≥ 时，如图(3)知，y≥f ＝ ＋a. 2 2 4
1 3 综上所述：当 a≤－ 时，值域为[ －a，＋∞)；当－ 2 4 1 1 1 3 <a< 时，值域为[a2＋1，＋∞)；当 a≥ 时，值域为[ ＋ 2 2 2 4 a，＋∞)．
数学（理） 第28页
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第三部分
高考专题讲解
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第二十六讲 分类讨论思想
数学（理） 第2页
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考情分析
分类讨论思想是指在数学中，根据研究对象的性质 差异，分别对各种不同的情况予以分析的分类思考方法， 它是一种重要的思想方法，同时也是一种重要的解题策 略．在近年的高考试题中频繁出现，已成为高考的一个
数学（理） 第20页
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[解]
f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a) ＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]．
令 f′(x)＝0，得 x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0. ①当 Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a＝a(a－4)>0， 即 a<0 或 a>4 时，方程 x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0 有 两个不同的实根 x1，x2，不妨设 x1<x2.
技法专题第2讲分类讨论思想、转化与化归思想
一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分 解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.
分类讨论思想在解题中的应用
1
由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式 的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．
①当 m≤0 时，g′(x)≤0，则 g(x)的单调递减区间是(－∞，
＋∞)；
②当m＞0时，令g′(x)＜0，解得x＜－ 2m 或x＞ 2m ，则
g(x)的单调递减区间E是v(a－lu∞a，ti－on2omn) l，y.( 2m，＋∞)． ated w综i上th所A述s，pmos≤e0.S时l，idge(xs)的fo单r调.N递E减T区3间.5是C(－li∞en，t＋P∞ro)；file 5.2
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AC．o－p74yright 2019-201B9．A－sp54 ose Pty Ltd.
C．－34
D．－14
解析：由于 f(a)＝－3，
综上知，||PPFF21||＝72或 2.
[技法领悟]
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按
直角顶点不同的位E置v进a行lu讨at论io．n only. ated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
C(2o)涉py及r几ig何h问t 2题0时19，-2由0于1几9 A何s元p素os的e形P状ty、L位t置d.变化
分类讨论的思想方法
科技信息分类讨论是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用。
当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类结果，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
因此，在近几年高考试题中，它都被列为一种重要的思想方法来考察。
有关分类讨论的数学问题，关键是明确分类讨论的原因，即认识为什么要分类讨论，只有明确了讨论的原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论。
引起分类讨论的原因大致可以归纳为以下几种：（1）由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成角、直线的倾斜角、两直线所成角、定比分点公式、两条异面直线所成角等。
（2）由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中的除数不能为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，异面直线上两点间的距离公式等。
（3）由函数的性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论。
（4）由图形的不确定性而引起的分类讨论。
（5）由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题。
由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等。
（6）运用的解题方法途径有局限性。
（7）求解的数学问题的结论有多种情况或者多种可能性。
（8）较复杂或者非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
（9）其他根据实际情况具体分析而引起的分类讨论，如排列组合问题，应用问题等。
合理分类的三条标准：（1）对所讨论的全域分类要“既不重复，又不遗漏”。
（2）同一分类必须按同一标准进行。
（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级。
分类讨论是一种逻辑方法，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类讨论的一般步骤是：（1）确定分类讨论的对象。
（2）对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级）。
分类讨论思想方法-文档资料
分类讨论思想方法
分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会有多种情 况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然 后综合归纳，这就是分类讨论法。 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学 思想。有关分类讨论的数学问题具有明显的 逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维 条理性和概括性，所以在高考试题中占有重 要的位置。
→明确讨论对象，确定对象的全体 →确定分类标准，正确进行分类 →逐步进行讨论，获取阶段性结果 →归纳小结，综合得出结论。
2．逻辑划分应遵循的原则： 分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、 分层次，不越级讨论。 3．多层次分类及“二分法”——处理复杂问题的分类方法。
4．分类讨论后如何归纳结论。
l o g( x ) l o g( x ) a1 a1
log 1 x )|＝…… a(
例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素， 试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①C (A∪B) 且C中含有3个元素；②C∩A≠φ。 【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类： ①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中 元素的个数1、2、3,而将取法分三种。 【解】 C
1 · 12
C
2 ＋ 8
C
2 12·
C
1 8＋
C
3 · 12
C 80 ＝1084
3 3 【另解】（排除法）： C C 1 0 8 4 2 0 8 例3.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有 f(x)>0，求实数a的取值范围。
【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题， 先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分 类讨论。（也属数形结合法）
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分类讨论思想方法
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分类讨论思想方法
分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会有多种情 况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然 后综合归纳，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学 思想。有关分类讨论的数学问题具有明显的 逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维 条理性和概括性，所以在高考试题中占有重 要的位置。
4．含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基 本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的 划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合 加法原理或乘法原理完成解答。
5．树立划分意识，训练思维的严谨性，保证解题的正确 与完整。
二、分类讨论的步骤、原则和方法
1．分类讨论的一般步骤是：
一、在什么情况下要进行分类讨论
1．数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义 或分类给出的，在运用它们时要进行分类讨论。
2．研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的 “量变”而导致结果发生“质变”，因而也要进行分类讨论。
3．在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定 或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对各 种情况分别进行讨论。
A.
8 9
3 ；B.
4 9
3 ；C. 2
9
3 ；D. 4 3 或 8
9
9
3。
Ⅱ、示范性题组：
例1.设0<x<1，a>0且a≠1，比较| 的大小。
loga(1x)|与|
loga(1x)|
【分析】对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。
【解】∵0<x<1∴0<1－x<1,1＋x>1
当0<a<1时， |loga(1x)|－| loga(1x)|＝ loga(1x)－
【分析】含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题， 先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分 类讨论。（也属数形结合法）
例3.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有
f(x)>0，求实数a的取值范围。
1
1
∴【1解f ( a1】a1)＝当42a>a10时 0，或f(x)＝a1f (≤ a1)（＝ 1 xa－ 2a
loa(1 gx)loga(1x2)>0;
当a>1时，| loga(1x)|－| loga(1x)|＝……
由①、②可知， loga(1x)loga(1x)
例2.已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素， 试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①C (A∪B) 且C中含有3个元素；②C∩A≠φ。
Ⅰ、再现性题组：
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，
若A B，那么a的范围是____B_____。
A.0≤a≤1；B.a≤1；C.a<1；D.0<a<1。
2．若a>0且a≠1，p＝ loag(a3a1)，q＝ loag(a2a1，)
则p、q的大小关系是___C______。
∴a≥1或
1 <a<1或φ即a > 2
1 2
）2＋2－a
2≥0 或
1 a
≥4
f (4)＝16a
；
8
2≥0
当a<0时，ff((14))＝ ＝1a6a282≥ 2≥ 0 0，解得φ；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2 , f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意
由上而得，实数a的取值范围是a > 1 。 2
A.3x－2y＝0；
B.x＋y－5＝0；
C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0；
D.不能确定。
5.函数
y x 1 x
的值域是__B_______。
A.[2,+∞)；B.(-∞,-2]∪[2,+∞)；C.(-∞,+∞)；D.[-2,2]。
6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，
则它的体积为___D______。
（1）统一式。针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题 有不同的结论，归纳结论时应采用统一式。
（2）分列式。针对参数分类讨论的，且每一类讨论结果均 是总结论的一个子集，归纳结论时应采用分列式。
三、灵活运用逻辑划分的思想方法
1．通过“补集”间接求解。 2．有条件时，尽量减少分类层次，寻求整体解决方法。
(x4a)(x6a)
1
例4.解不等式
2a1 >0 (a为常数，a≠－ 2 )
【分析】含参不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根
1
1
－4a、6a的大小，故对a>0、a＝0、－
分别加以讨论.
1
2
<a<0、a<－
2
【解】2a＋1>0时，a > －2 ；－4a<6a时，a> 0。
所以分以下四种情况讨论：
→明确讨论对象，确定对象的全体 →确定分类标准，正确进行分类 →逐步进行讨论，获取阶段性结果 →归纳小结，综合得出结论。
2．逻辑划分应遵循的原则：
分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、 分层次，不越级讨论。
3．多层次分类及“二分法”——处理复杂问题的分类方法。
4．分类讨论后如何归纳结论。
【分析】由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类： ①属于A元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中 元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】
C 112·C
2＋
8
C 122·CBiblioteka 81＋C3·
12
C
0 8
＝1084
【另解】（排除法）：C230C83 1084
例3.设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有 f(x)>0，求实数a的取值范围。
A.p＝q；B.p<q；C.p>q；D.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q。
3．函数ysinxcosxtanxcotx的值域是_4_,_0_,___2__。 |sinx| |cosx| |tanx| |cotx|
4．过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是___C______。
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x <－4a或x>6a；
当a＝0时，x 2 >0，解得：x≠0；
1 当－ 2 <a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得:x<6a或x>－4a；
当a<－ 1 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a<x<－4a。 2
综上所述，……
例5.在xoy平面上给定曲线y2＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上 的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40） 【分析】求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，