第八届电工杯数学建模B题

问题一：预测每次航行各周预订舱位的人数，完善各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2。（至少采用三种预测方法进行预测，并分析结果。）

方法三：在预测每次航行各周预定舱位的人数时，发现预定舱位的人数与剩余周数满足一定的非线性关系，所以我采用数据拟合的方法采用spss数学软件进行数据拟合。如下表：剩余周数x为自变量，预定舱位的人数w为因变量。经过数据拟合发现他们满足如下关系。

所以根据模拟出来的关系将自变量代入。即可大致模拟出预定舱位的人数。当剩余周数为0时sheet1已经给出了预定舱位的人数。所以就不再建立模型，拟合他们的关系。在这其中，由于头等舱的座位是250个，二等舱的座位为450个，三等舱的座位为500个，在建立拟合关系时，由于拟合关系存在着一定的误差，所以在计算时，会有不符合上述要求的（拟合关系算出的预定舱位人数大于实际的座位）我们将会把超出的舍去。详细表看附录。

问题二：

在解决预测每次航行各周预订舱位的价格时，通过分析剩余周数（即里出航的日期越来越近）与预订舱位平均价格的关系时，我们通过spss拟合程度发现剩余周数与预订舱位平均价格和二次曲线或者三次曲线有着惊人的相似。所以我们更具这个规律，根据第六周至第十周给出的数据采用spss拟合法算出第六周至第十周空白的数据。

在用spss拟合时，忽略了其他因素的影响。

求头等舱第六周剩余时间还有一周时的预定价格：

以剩余周数为自变量，以预订平均价格为因变量做出了他们之间的相关系数。如图：

其他的也都采用spss数据拟合的方法。

在计算三等舱第七周时发现数据和三次曲线拟合程度最好。如图所示：

所以就采用了三次曲线的形式：y=714.178+127.534x-25.068x*x+0.878x*x*x*，一次代数计算。在计算第十周的数据时，因给出的数据太少，不能够精确的拟合出他们之间的关系。误差特别大。

还有在计算剩余时间还有0周时要考虑意愿预定人数你的影响，所以在拟合的程度下，加入意愿预定人数的影响。

详细数据见附录。

问题三：依据附件中表sheet4给出的每周预订价格区间以及每周意愿预订人数，预测出公司每周给出的预订平均价格。

首先，在观察头等舱的每周预订价格区间以及每周意愿预订人数时，公司每周给出的预订平均价格和他们分别有着一定的非线性关系。

问题四：.依据附件中表sheet1-sheet4，建立邮轮每次航行的最大预期售票收益模型，并计算第8次航行的预期售票收益。

假设：1.假设我们不考虑邮轮公司的人均船上消费主要包括酒水消费、spa 消费、赌场消费、船上购物和其他付费服务收入对邮轮收入的影响。

2.

先考虑一种舱位类型的情况。假定销售周期包含 T 个周。令 t = T － 1 表示第 1 个周期， t = 0 表示最后一个周期， 即 t 是启航之前的周期个数， 也就是说， t 是随时间递减的。

假定邮轮旅客的保留价格服从一定的概率分布， 且在整个销售周期上是固定不变的， 令 F(t)为保留价格的累积概率分布。在每个周期 t ， 公司提供的价格是m ， 只有当保留价格低于当前的价格时顾客才会购买。因此， 一个到达的顾客购买邮轮某种类型舱位的 概 率 为 p （t ）， 则 周 期 t 的 邮轮票的需 求 函 数 为D (t p ) ()()t D t M p t =， 其中，t M 为周期 t 的潜在市场规模， 价格m 为决策变量。研究目标是在有限的销售周期［ 0， T － 1］内为不同航次的不同周期确定最优价格， 从而最大化整条航线未来的总收益。

假定顾客的保留价格服从区间上[]min max ,V V 上的均匀分布。根据均匀分布的概率分布函数和 D (m) = M t ［p （t ）］ ， 可以获得每个周期的需求函数为:

()max

max max min max min max t t t

V m V M D m M M m V V V V V ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪

⎪--⎝⎭⎝

⎭ 也就是说， 需求函数的形式是线性的， 即()t t t D m a b p =-， 其中， 截距max

max min

t t V a M V V =

-;

斜率。max min

t

t M b V V =

-

注意，

max t

t

a V

b = 因此可以动态地挖掘顾客最大保留价格的信息。此外， 由于()max min t t M b V V =-， 也可以展示市场规模的动态变化情况。根据表格，我们可以从中获取一些 需求预测和历史数据， 公司可以对所有周期需求函数的参数进行估计，确定各航次第一个周期的价格。

()()}1

2

01

min T N kt t t kt t k d a b p -==⎧--⎨⎩∑∑

St.1

1

,1,2,0,t t t t t

t a a t T

b b a b o

--⎧=

=⎪⎨⎪≥≥⎩

其中， N 是考虑的航次数量;kt p 和kt d 分别是航次 k 在周期 t 的价格和需求。随着时间的推移， 在周期t － 1开始之前， 周期 t 的需求和价格数据被观测到， 需求函数 D (t p ) (t = T － 1， T － 2， …， 0) 便通过上面的约束规划(回归)更新为()t D p

4. 2 定价模型

不同航次未来周期的最优价格可以通过下面的非线性定价模型确定:

()

()0

110

1max ,0,1,.0,1,2,T T

t t t t t

t T

T t t T T

R p D p p p t T p st D P C P t p P β=++=+=⎧-<=⎪

⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪>=⎪=⎪⎩∑∑

其中， R 为邮轮总收益， 由舱票销售总额构 成;第一个约束条件保证临近周期的价格差异不会太大;第二个约束条件是存量约束， 保证总需求不会超过邮轮的总存量。

当邮轮有三种类型的座位时，我们需要分别对各种类型的座位进行预测，分析。最后累加既得邮轮售票所得的利益。

根据上述模型，我们计算第8次航行的预期售票收益。销售周期为14周。