数字信号处理教程课后答案+王世一

10.讨论一个输入、输出关系由下面线形常系数差分方程联系的因果系统

11

()(1)()(1)22

y n y n x n x n =−++−

（a ） 求该系统的单位取样响应

（b ） 用（a ）中所得结果及卷积和，求对输入()j n x n e ω=的响应 （c ） 求系统的频率响应

（d ） 求系统对输入()cos 2

4x n n π

π⎛=+⎜⎝⎠⎞⎟的响应

解：1

11122)()111122

z z a H Z z z −−+

=

=−+−−

因为是因果系统，

1

1

1()[()]()02

n h n Z

X z n n δ−−==−+

≥

(1)

1)()()()()21212

j n

n j n n

j n

j b y n x n h n n e

e

e

e

ωωωω

δ+⎛

⎞ =∗=

∗−+⎜⎟

⎝

⎠− =−+

−

根据

11

1212

1212

n n n n a a a a a a a a ++−∗= ≠−

c)

()

1

2()()

12

()j j j z e

j j e

H e

H z e

H e

e ω

ω

ω

ω

ω

ϕ

ω=+

==

− =

其中(j H e )ω为幅频特性，表示系统对某一频率的幅度响应，()ϕω为相频特性，表示系统对某一频率的相位延

迟

)sin sin arctan()-arctan()

cos 1/2cos 1/2

d ωω

ϕωωω ()=+−

题中2

π

ω

=

，则

()1()2arctan 2j H e ωϕω= =

所以()cos(2arctan 2)24

y n n π

π

=++

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12.试求如下各序列的傅里叶变换 （a ）

()()3x n n δ=− (b) ()()()11

()1122

x n n n n δδδ=+++−

（c ） ()()0

334()()1

))cos 1))j j n

n j j j j j X e x n e a e b c ae e e d e ω

ωωω

ωωω

ω∞

−=−∞

−−=

+

1−−

1−∑ 13.令表示连续时间线性非时变滤波器的冲激响应，表示离散时间线性非时变滤波器的单位取样相应。已知

()a h t ()d h n t 0,a>0()0t at a ae h t −⎧ ≥=⎨ <0⎩

（a ） 试求模拟滤波器的频率响应，并会出其振幅特性略图

（b ） 若，试求数字滤波器的频率响应，并求能使数字滤波器的频率响应在()()d a h n ch nT =0ω=处为1的c 值。

画出(j d )H e ω的幅频特性略图。

解:

()0

01/2

2

21

)()1()at j t

a j t

A A a H j e

e

dt e

dt a j H j a ∞

∞

−−Ω−+Ω Ω===

+Ω

⎛⎞

Ω=⎜⎟

+Ω⎝⎠

∫∫

1/2

20

)()()0,0()()11()12cos anT d a j j n anT j n D d aT j n n j D aT aT ce n b h n ch nT n c

H e h n e ce e e H e c e e ωωωω

ω

ω−∞

∞

−−−−−=−∞

=−−⎧, ≥ ==⎨

<

⎩ =

==−⎛⎞

=⎜⎟

−+⎝⎠

∑∑

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幅度特性

1

)()1j D aT

c H e c

e − =+

可见要想使0

()j D H e

为1，则有

1aT c e −=+20．下列差分方程表示一线性非时变因果系统

()(1)(2)(1y n y n y n x n =−+−+−)

（a ） 求这个系统的系统函数()()

()

X z H z Y z =

。画出()H z 的零、极点分布图，并指出其收敛域。 （b ） 求这个系统的单位取样响应。

（c ） 读者会发现它是一个不稳定系统，求满足上述差分方程的一个稳定（但非因果）系统的单位取样响应。 解:

121112

12)()()()()

()(1a Y z z Y z z Y z z X z Y z z z z X z z z z z )

αα−−−−−− =++ ()

Η()=== ()−−−− 则零点为，极点为

0z

=12(1/2)[1 1.62(1/2)[10.62z z αα==+= ==−=−

因为是因果系统，所以收敛域为

1.62z >，如图所示

(

)

122121

2

2

)()()()11()[()]()n n

z

b H z z z z z z z h n Z H z u n ααααααα1−11 =

−−⎛⎞

=−⎜⎟

α−−−⎝⎠

==α−α−

由于()H z 的收敛域不包括单位圆，所以这是个不稳定系统

c)若要使系统稳定，则其收敛域应包括单位圆，则选()H z 的收敛域为0.62 1.62z <

<则

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