专题七平面向量及运用

专题七 平面向量及其运用

【考点聚焦】

考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.

考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.

考点3：解斜三角形.

考点4：线段的定比分点、平移公式.

考点5：向量的运用.

【自我检测】

1、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做向量；

2、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做共线向量（平行向量）；

3、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相等向量；

4、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单位向量.

5、 向量加法法则是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿.减法法则是＿＿＿＿＿＿＿＿.

6、 设a ＝（x 1,y 1），b ＝（x 2,y 2），∈λR

a ＋

b ＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. a － b ＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. λa ＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. cos< a, b>=____________=__________________.

a ∥

b ⇔＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；a ⊥ b ⇔＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿.

7、 正弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

8、 余弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

9、定比分点坐标公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（其中λ＝＿＿＿＿＿＿）.

10、平移公式是 ____________________.

【重点•难点•热点】

问题1：向量的有关概念与运算

此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.

例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 .

思路分析：与a 平行的单位向量e =±||a

方法一：设向量a 的终点坐标是(x ,y ),则a =(x -3,y +1)，则题意可知

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++-55185512101334229

y x 1y x 13)()(或　解得）＋（）－（y x y x ，故填 (512,-51)或(518,-59)

方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±51(-3,4)，故可得a ＝±(-53,54)，从而向量a 的终点坐标是(x ,y )= a －(3,－1),便可得结果.

点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.

例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角是多少？

思路分析：要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |,|y |,x ·y 的值.计算时要注意计算的准确性.

解：由已知|a |=|b |=1，a 与b 的夹角α为60°,得a ·b =|a ||b |cosα=

21. 要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |，|y |，x ·y 的值.

∵|x |2=x 2=(2a －b )2=4a 2－4a ·b +b 2=4－4×

21+1=3， |y |2=y 2=(3b －a )2=9b 2－6b ·a +a 2=9－6×2

1+1=7. x ·y =(2a －b )·(3b －a )=6a ·b －2a 2－3b 2+a ·b

=7a ·b －2a 2－3b 2 =7×

21－2－3=－23， 又∵x ·y =|x ||y |cosθ，即－2

3=3×7cosθ， ∴cosθ=－1421，θ=π－arccos 1421.即x 与y 的夹角是π－arccos 14

21 点评：①本题利用模的性质|a |2=a 2，②在计算x ,y 的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB =b , AC =a , AD =2a ,∠BAC =60°.由向量减法的几何意义，得BD =AD －AB =2a －b .由余弦定理易得|BD |=3，即|x |=3，同理可得|y |=7.

问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用

当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.

例3．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2

3). (1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；

(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间.

思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k 与t 之间的等量关系，k 与t 之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？

解：（1）法一：由题意知x ＝(23322--t ,2

23232--t ), y ＝(2

1t －3k ，23t ＋k)，又x ⊥y 故x · y ＝23322--t ×（2

1t －3k ）＋223232--t ×(23t ＋k)＝0. 整理得：t 3－3t －4k ＝0，即k ＝41t 3－4

3t. 法二：∵a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2

3), ∴. a ＝2，b ＝1且a ⊥b ∵x ⊥y ，∴x · y ＝0，即－k a 2＋t(t 2－3)b 2＝0，∴t 3－3t －4k ＝0,即k ＝

41t 3－43t (2) 由(1)知：k ＝f(t) ＝41t 3－43t ∴k ˊ＝f ˊ(t) ＝43t 3－4

3, 令k ˊ＜0得－1＜t ＜1；令k ˊ＞0得t ＜－1或t ＞1.

故k ＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）. 点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.

演变3： 已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21，2

3)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ＝a ＋(sin α－3)b ,

d ＝－k a ＋(sin α)b ,且c ⊥d ，试求实数k 的取

值范围. 点拨与提示：将例题中的t 略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.