平面几何中的向量方法(1)

B
AC ²+ DB ²= 2( a ²+ b ²) = 2 ( AB ²+ AD ²)
平行四边形两条对角线长的平方和等于 两条邻边长的平方和的两倍.
6
利用向量法解决平面几何问题的基本思路 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问 题； （2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、 夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
(精确到0.1min)
B
D
r uur 解：由已知条件得v v2 0
r v1 vr
r ur v v1
| vr |
r | v1
|2
r | v2
|2
96(km / h),
r v2
A
uur v2
C
所以
t
d r
0.5 60 3.1(min).
| v | 96
思考：要使船行驶的时间最短，所用时间是多少？
2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
1
非 向量零 的相向关概量念a及其（形x式1，y1），b （x2，y2）
数量积运算 向量的模
向量的夹角 垂直的判定
定义形式
ar
r b
ar
r b
cos
a
a
a
cos
a
b
ab
a
b
0
坐标形式
a
b
x1 x2
y1 y2
a x2 y2
cos x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
2
G
即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省 力
12
例3. 在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共
提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向
上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度
解释这种现象吗？
uur
2.为何值时，F1 最小，最小值是r多少？
r 当θ=0， | F1最| 小，最小值是
r2 r2 r 2 r 2 a b a b
r2 r2
0
uuur uuur
即AC CB 0 ，∠ACB=90°
思考：能否用向量坐标形式证明？
y C
B
O
x
16
已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行
则实数m的值为 （D ）
A.-1
B.1
C.2
D.-1或2
利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直 A
7
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的
中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现
解AR：、设则RuuAuAuuuTuuBuCrrr、uTaraurC,uruA之ubuDrr间的br ,关uAu系uRr 吗rr？,
E
D R
F T
C
Q设ARrr与AnC(ar共线br ), n R A
4
问如图题，：uA平uuCr行四uAu边uBr 形 是uAuuD表r , 示uDu向uBr 量 uA加uuBr法与uAu减uDr ,法你的能几发何现模对型角。
线AC的长度与邻边AB、AD的长度之间的关系吗？
对角线DB？
D
C
对角线的长度与两条邻边
长度之间有何关系？
A
B
涉及到长度问题常常考虑向量的数量积
(精确到0.1min)
v1 v
v2
r ur uur ur
uur
分析：如图，已知v v1 v2，v1 10km / h, v2 2km / h，
r uur
v v2，求t.
14
例 从 速4A度.处如| vr出图2 |发，2到一km河条/ h对河，岸的问，两行已岸驶知平航船行程的，最速河短度的时宽| vr，1度|所d1=用05k0m时0m/间h,一是，艘多水船少流？
x1 x2 y1 y2 0
共线的判定 相等的判定
a=λb
r a
v b
x1 y2 x2 y1 0
x1 x2且y1 y2
2
向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常
用向量平行v（共线v ）的条件
vv
a∥b ⇔a b x1y2-x2y1 0(b 0) .
(2)证明垂直问题,常用向量垂直的条件
C.5 6N D. N
2
rr r
4、三个力
rr
F1、F2、F3
同时作用于点O且处于平衡状态，
rr
已知 F1与F3的夹角为120°，又 | F1|=|F2|=20N ，则
r | F3 |
20N
19
10
在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一 个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运 动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释 这种现象吗？
F
θ
F1
F2
uur
1.当逐渐增大u时ur ，F1 的大小怎样变化，为什么？
2.为何值时，Fu1ur最小ur，最小值是多少？
G
3.为何值时，F1 G ？
vv
a⊥b ⇔agb 0 x1x2 y1y2 0. .
3
(3)求夹角问题 利用夹角公式
，
vv
cos vagbv x1x2 y1y2
ab
x12 y12 g
x
2 2
y22
(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，
向量的模|a|=
vv aga
v2 a
v
或a x2 y2
|AB|=|AB|= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 .
AB ² AD ² AC ² DB ²
5
分析：设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，
AB ²= a ² AD ²= b ²
AC ²=AC+AC=(a+b·) (a-b)
D
C
=a·a+a·b+b·a+b·b
= a ²+2a·b+ b ²
同理 DB ²= a ²- 2a· b+ b ²
A
B
D
C
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练习
1、一船从某河的一岸驶向对岸，船速为 已知船可垂直到达对岸，则（ B ）
vr1
，水速为
vr 2
A.
|
r v1
||
r v2
|
B.
|
r v1
||
r v2
|
C
.
|
r v1
||
r v2
|
D.
|
r v1
||
r v2
|
r
r
2、已知作用在A点的三个力
r
Fr1
(3, r
4) , r
F2
r
(2, 5)
11
uur
1.当逐渐增大时，F1 的大小怎样变化，为什么？
rr
解：设| F1 || F2 |则由向量的平行四边
形法则、力的平衡及r 直角三角形的知
识可知
r | F1 |
|G|
2 cos
F
θ
F1
F2
2
∴当θ由0°～180°逐渐增大时， 由0°～90°
逐渐增大，而 cos 的值逐渐缩小，因此
逐渐增大
即(n
r m)a
(n
m
1 r )b
r 0
ER
T
由于向量ar ,
r
2
b不共线
A
Leabharlann Baidu
B
n m 0
n
m 1 2
0
解得：n m 1 3
uuur AR
1
uuur uuur AC ,同理TC
1
uuur uuur AC , 于是 RT
1
uuur AC
3
3
3
故AT=RT=TC
9
在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力； 在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力， 你能从数学的角度解释这种现象吗？
B
uuur uuur
又Q ER与EB共线
uuur 设ER
uuur m EB
m(ar
1
r b)
uuur uuur uuur 2
Q AR AE ER
8
uuur uuur uuur Q AR AE ER
r r
1
r b
r m(a
1
r b)
n(ar
r b)
1
r b
m(ar
1
r2 b)
2 DF
C
2
2
|G|
uur ur
2
3.为何值时，F1 G ？
F F1 θ F2
当θ
2 时，
3
rr | F1 || G |
G
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例 从 速4A度.处如| vr出图2 |发，2到一km河条/ h对河，岸的问，两行已岸驶知平航船行程的，最速河短度的时宽| vr，1度|所d1=用05k0m时0m/间h,一是，艘多水船少流？
F3 (3,1) ，A(1，1)则合力 F F1 F2 F3 的终点坐
标是（ B ）
A.(8,0)
B.(9,1)
C.(-1,9)
D.(3,1)
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rr 3、一个物体受到两个相互垂直的力 f1, f2 的作用，两边
大小都为5 3N ，则两个力的合力的大小为（C ）
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A.10 3N B.0N
15
例3 证明直径所对的圆周角是直角
已知：如图所示，已知⊙O，AB为 直径，C为⊙O上任意一点。
求证：∠ACB=90°
证明：设uAuuOr
r uuur a, OC
r b
uuur 则AC
r a
r uuur b, CB
r a
Ar b
uuur uuur r r r r
AC CB a b a b