高等数学第五章定积分及自测题

第五章定积分

一、基本要求：

1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质.

2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则.

3.掌握牛顿——莱布尼兹公式.

4.掌握定积分的换元法和分布积分法.

5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法.

6.了解定积分的近似计算方法.

二、主要内容

Ⅰ. 定积分概念：

1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点

0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2,

,)i i x x i n -=，小

区间的长度记为1,(1,2,

,)i i i x x x i n -∆=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1

()n

i i i f x ξ=∆∑，

若0

1

lim

()n

i

i

i f x λξ→=⋅∆∑ 1(max{})i

i n

x λ≤≤=∆存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.

记为

1

()lim ()n

b

i i a

i f x dx f x λξ→==⋅∆∑⎰

当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。

3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分

()b

a

f x dx ⎰

在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面

积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负)

Ⅲ. 定积分的性质

1. 补充规定：(1)当a b =时，

()0b

a

f x dx =⎰

(2)当a b >时,

()()b a

a

b

f x dx f x dx =-⎰⎰

2. 性质：

(1) [()()]()()b

b

b

a a

a

f x

g x dx f x dx g x dx -

-+=+⎰

⎰⎰

(2) ()(),()b

b

a a

kf x dx k f x dx k =⎰

⎰为常数

(3) ()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰

(4)

b

a

dx b a =-⎰

(5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则

()0,()b

a

f x dx a b ≥<⎰

推论1：若在[,]a b 上，()()f x g x ≤，则

()(),()b

b

a

a

f x dx

g x dx a b ≤<⎰

⎰.

推论2：

()(),()b

b

a

a

f x dx f x dx a b ≤<⎰

⎰.

(6 ) 若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤,则()()(),()b

a

m b a f x dx M b a a b -≤

≤-<⎰

(7) (定积分中值定理)：若()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在ξ，使

()()(),()b

a

f x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰

.

3. 连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值，1()b

a y f x dx

b a

-

=-⎰ Ⅳ. 积分上限函数及其导数 1. 若对任意[,]x a b ∈，

()x

a

f t dt ⎰

存在，则称()()x

a

x f t dt Φ=⎰为积分上限的函数.

2. 若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上有界. 且积分上限函数()()x

a

x f t dt Φ=

⎰

在

[,]a b 上连续.

3. 设

()f x 在[,]a b 上连续，则()()x

a

x f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，且

'

()()(),()x

a

d x f t dt f x a x b dx Φ==≤≤⎰.

4. 设()f x 连续，()x φ可导，则()'

'()()[()]()x a

d x f t dt f x x dx φφφΦ==⎰. 5. 设()f x 连续，()x φ，()x ϕ可导，则 ()'

''

()

()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dx φϕφφϕϕΦ=

=-⎰.

Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)

设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

.

Ⅵ. 定积分的换元法

设()f x 在[,]a b 上连续，()x t φ=满足： (1) (),()a b φαφβ==.

(2)()t φ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数，且()x t φ=的值域不越出[,]a b 的范围，则有

'()[()]()b

a

f x dx f t t dt β

α

φφ=⎰

⎰.

注：当()t φ的值域[,]R A B φ=越出[,]a b 的范围，但满足其余条件时，只要()f x 在[,]A B 上连续，则换元法的结论仍然成立.