导数的几何意义教案

导数的几何意义教案

导数的几何意义教案

曾垂乐

【教学目标】 知识与技能目标:

（1）使学生掌握函数f （x ）在x X 0

处的导数f /

X o

的

几何意义就是函数 住）的图像在

x X 0处的切线的斜率。（数形结合），即:

（2）会利用导数的几何意义解释实际生活问题， 体会“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探 索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决 问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力， 应用能力和创新能力的目的。

【教学手段】采用计算机（Flash,Powerpoint ）, 实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观 性，有效提高教学效率和教学质量。 【教学重点与难点】

重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲” 的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义

f /

X o

l

X m

o

X0 X f （X0）

=切线的斜率

X

【教学过程】

（一）作业点评，承上启下：

问题：在高台跳水运动中，t 秒（s ）时运动员相 对于水面的高度是h （t ） 4.9t 2

6.5t 10 （单位:m ），求 运动

员在t 1s 时的瞬时速度，并解释此时的运动 状态；在

t 0.5s

时呢？

教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释

t 1s

， t 0.5s 时运动员的运动状态。

（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接 过渡）

（二）课题引入，类比探讨：

由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数 的本质。

•问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达 式。 学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出： 导数f

，

（X 0）

的本质是函数f （x ）在x x o

处的瞬时变化 率 ，

即：

（说明：教师不能代替学生的思维活动， 学生将

f /

X o

f X o X f(X o )

大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利

于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”

，

感知导数的几何意义奠定基础）

•问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？

教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”：

即：导数的代数表达式，并回忆求导数r（x°）的步骤。

•问（三）求导数f/（X o）的步骤有哪几步?

教师引导学生回答：

第一步：求平均变化率~x）f（X0）；

X

第二步：当X趋近于0时，平均变化率

f（X0 X）f（X0）无限趋近于的常数就是f Z（X

。（回归X

o）

本质，数形结合）

教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比

地，也可以分两个步骤：

•问(四)：第一步：平均变化率f(x° x) f(x°)的

x

几何意义是什么？请在函数图像中画出来；学生动

手活动：见“学生动手实践”。

由学生乙回答：平均变化率_x) f(xo)的几何意

x

义是割线AB的斜率。

A(x o, f(x o)), B(x o x, f(x o x))。教师提醒学生A、B 两点的坐标必须写清楚。

•问(五)：第二步：x o时，割线AB有什么变化？请画

出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。

教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变

化：

x o，B(X o X,f(X o x)) A(X o,f(X o)),

当X o，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个

确定位置上的直线叫做曲线在x x o处的切

线，请把它画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。教师展示学

生作品，引导学生发现，并说出：

(形) x o，割线AB切线AD，则割线

AB的斜率切线AD的斜率

由数形结合，得f/x o lim o fXo X f(Xo)二切线AD X 的斜率

所以，函数f(x)在X X o处的导数f Z X O的几何意义就是函数f(x)的图像在X x o处的切线AD的斜率。(数形结合)。

(说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究

“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义"的知识结构，准确理解“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。)

(三)动画演示，总结归纳

1•演示Flash动画，将同学们画图、思考、数

形结合的过程展示出来。

2•教师提问：此处切线定义与以前学过的切

线定义有什么不同？展示Powerpoint动画。

初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和

圆有惟一公共点时，叫做

直线和圆相切。这时，直

线叫做圆的切线，惟一的

公共点叫做切点。

圆是一种特殊的曲线。

这种定义并

不适用于一般曲线

3.根据导数的

几何意义，在点P附近，

曲

线f（x）可以用在点P处的切线近似代替，这是微积分中重要的思想方法一一以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）

教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结

合教材。

（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义” 形