导数的几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义一、导数的定义和基本概念1. 导数的定义导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。
在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即：\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x} \]其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
2. 导数的基本概念根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。
导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。
二、导数的几何意义1. 切线和切线斜率在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。
对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。
通过求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图像在各个点的变化趋势。
2. 导数与函数图像的关系导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。
对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。
通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态和特性。
三、深入理解导数的意义1. 导数的局部性导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。
通过导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局部特性有更深入的理解。
2. 导数与积分的关系在微积分中，导数和积分是密切相关的。
导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。
导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的核心内容。
结语：导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意义。
通过深入理解导数的概念及其几何意义，我们可以更好地理解函数图像的变化规律，为后续的微积分学习打下扎实的基础。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。
2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学。
五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。
2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。
5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。
8. 作业：布置作业，巩固所学内容。
六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。
针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。
七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。
鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。
九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。
2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。
2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。
3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。
导数的概念及几何意义教案
导数的概念及几何意义教案
导数的概念及几何意义教学设计
一、目标分析
依据教材结构与内容，并结合学生实际，特确定以下知、能、情教学目标：
（1）知识与能力目标：理解导数的概念，探求导数的几何意义，培养学生运用极限思想去思考问题的能力以及建立数学模型的能力。
（2）过程与方法目标：通过实例引入、师生共同探究，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生逻辑思维和抽象概括能力。
（3）情感态度与价值观目标：通过导数的学习拓宽学生的视野，提升学生思考问题的广度和深度，让学生学会自主学习与相互交流学习，激发学生学习数学的热情。
二、教学重点
理解导数的概念及几何意义
教学难点
运用极限的思想抽象出导数的定义
三、教学方法是
讨论发现法，问题探究法。
四、设计的指导思想
现代认知心理学——建构主义学习理论。
五、设计的设计理念
为了学生的一切.。
1.1.3 导数的几何意义优秀教案
1.1.3 导数的几何意义学习目标 1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义(重、难点).3.会求曲线在某点处的切线方程(重、难点).4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.知识点1 曲线的切线如图所示，当点P n 沿着曲线y ＝f (x )无限趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线. (1)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个. 【预习评价】有同学认为曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线l 与曲线y ＝f (x )只有一个交点，你认为正确吗？提示 不正确.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线l 与曲线y ＝f (x )的交点个数不一定只有一个，如图所示.知识点2 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ，即k ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝f ′(x 0).【预习评价】 (正确的打√，错误的打×)1.若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数不存在，则切线不存在.(×) 提示 切线存在，且切线与x 轴垂直.2.若f ′(x 0)>0，则切线的倾斜角为锐角；若f ′(x 0)<0，则切线的倾斜角为钝角；若f ′(x 0)＝0，则切线与x 轴平行.(√) 知识点3 导函数的概念对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，这样，当x 变化时，f ′(x )便是关于x 的一个函数，称它为函数y ＝f (x )的导函数，简称导数，也可记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数y ′|x ＝x 0就是函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )(x ∈(a ，b ))上的导数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，即y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)，所以函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数也记作f ′(x 0). 【预习评价】如何正确理解“函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？提示 “函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”是一个数值，是针对x 0而言的，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，Δx 无关.方向1 求曲线在某点处的切线方程【例1－1】 求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程.解 因为点(1，3)在曲线上，曲线在点(1，3)处的切线的斜率为f ′(1)＝0lim x ∆→（1＋Δx ）3－（1＋Δx ）＋3－（1－1＋3）Δx＝0lim x ∆→ （Δx ）3＋3（Δx ）2＋2ΔxΔx＝0lim x ∆→[(Δx )2＋3Δx ＋2]＝2，故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 方向2 求曲线过某点的切线方程【例1－2】 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程. 解 y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ 2（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx＝0lim x ∆→[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.设切点的坐标为(x 0，2x 0－x 30)，则切线的斜率k ＝2－3x 20， ∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点的坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38.当切点为(0，0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0. 方向3 求切点的坐标【例1－3】 曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.解 设点P 的坐标为(x 0，x 30)，则有k ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ 3x 20Δx ＋3x 0（Δx ）2＋（Δx ）3Δx＝0lim x ∆→[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20.∴3x 20＝3，解得x 0＝±1.∴点P 的坐标是(1，1)或(－1，－1).规律方法 (1)求曲线上某点(x 0，y 0)处切线方程的步骤(2)求切点坐标可以按以下步骤进行 ①设出切点坐标；②利用导数或斜率公式求出斜率；③利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； ④把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 题型二 求导函数【例2】 求函数f (x )＝x 2＋1的导函数. 解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝（x ＋Δx ）2＋1－x 2＋1 ＝2x Δx ＋（Δx ）2（x ＋Δx ）2＋1＋x 2＋1，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx（x ＋Δx ）2＋1＋x 2＋1， ∴f ′(x )＝0lim x ∆→ ΔyΔx＝0lim x ∆→2x ＋Δx（x ＋Δx ）2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1. 规律方法 求解f ′(x )时，结合导数的定义，首先计算Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )，然后，再求解Δy Δx ，最后得到f ′(x )＝0lim x ∆→ Δy Δx .【训练1】 已知函数f (x )＝x 2－1，求f ′(x )及f ′(－1). 解 因Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2－1－(x 2－1) ＝2Δx ·x ＋(Δx )2，故0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ 2Δx ·x ＋（Δx ）2Δx ＝2x ，得f ′(x )＝2x ，f ′(－1)＝－2. 题型三 导数几何意义的综合应用【例3】 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )2－9(x ＋Δx )－1－(x 3＋ax 2－9x －1)＝(3x 2＋2ax －9)Δx ＋(3x ＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴ΔyΔx ＝3x 2＋2ax －9＋(3x ＋a )Δx ＋(Δx )2，∴f ′(x )＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23≥－9－a 23.由题意知f ′(x )最小值是－12， ∴－9－a 23＝－12，a 2＝9. ∵a ＜0，∴a ＝－3.规律方法 综合应用导数几何意义时的注意点(1)导数的几何意义是曲线的切线斜率，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点；(2)导数几何意义的综合应用题目的解题关键是求函数在某点处的导数，即切线的斜率，注意结合相关知识(如函数、方程、不等式等)求解.【训练2】 (1)已知函数f (x )在区间[0，3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为______________(请用“＞”连接).(2)曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________.解析 (1)结合导数的几何意义知，k 1就是曲线在点A 处切线的斜率，k 2则为曲线在点B 处切线的斜率，而k 3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，故交点坐标为(1，1).曲线y ＝1x 在点(1，1)处切线方程为l 1：x ＋y －2＝0， 曲线y ＝x 2在点(1，1)处切线方程为l 2：2x －y －1＝0. 从而得S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12×1＝34.答案 (1)k 1＞k 3＞k 2 (2)34课堂达标1.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝0lim x ∆→ （0＋Δx ）2＋a （0＋Δx ）＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A. 答案 A2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A.f ′(x A )>f ′(x B )B.f ′(x A )<f ′(x B )C.f ′(x A )＝f ′(x B )D.不能确定解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B ). 答案 B3.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于________.解析 ∵点P (5，y )在直线y ＝－x ＋8上，∴f (5)＝3， 又由导数的几何意义可知，f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案 24.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.解析 设点P (x 0，2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ 2（Δx ）2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3，30). 答案 (3，30) 5.已知曲线y ＝x 2，(1)求曲线在点P (1，1)处的切线方程； (2)求曲线过点P (3，5)的切线方程. 解 y ′＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2－x 2Δx＝0lim x ∆→ x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2－x 2Δx ＝2x ，(1)曲线在点P (1，1)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. ∴曲线在点P (1，1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)点P (3，5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)，则曲线在点(x 0，y 0)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0，∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 由P (3，5)在所求直线上得 5－y 0＝2x 0(3－x 0)，①再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得，x 0＝1或x 0＝5. 从而切点A 的坐标为(1，1)或(5，25). 当切点为(1，1)时， 切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0，当切点为(5，25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)， 即10x －y －25＝0.综上所述，过点P (3，5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.课堂小结1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导函数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.基础过关1.下列说法正确的是( )A.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C.若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D.若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0. 答案 C2.在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A.(0，0)B.(2，4)C.(14，116)D.(12，14)解析 ∵y ′＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝0lim x ∆→ (2x ＋Δx )＝2x ，∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 答案 D3.已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在P 点处切线的斜率为( ) A.4B.2C.－4D.8解析 因y ＝13x 3，得y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→ 13（x ＋Δx ）3－13x 3Δx＝130lim x ∆→[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝x 2，故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4. 答案 A4.已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2， 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 答案 35.过点P (－1，2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线平行的直线方程是__________.解析 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1，1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝0lim x ∆→ 3（1＋Δx ）2－4（1＋Δx ）＋2－3＋4－2Δx＝0lim x ∆→ (3Δx ＋2)＝2.∴过点P (－1，2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.∴所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 答案 2x －y ＋4＝06.求曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 解 由导数定义可得y ′|x ＝1＝2，∴曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，则它与两坐标轴的交点分别为A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴S △AOB ＝12|OA ||OB |＝14，即曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为14.7.已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标.解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵f ′(x )＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx ＝3x 2－4x ，∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0.由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2，3). 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ， 解得a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； 当a ＝－5时，切点坐标为(2，3).能力提升8.若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A.4x －y －4＝0B.x ＋4y －5＝0C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0解析 由题意知，l 的斜率为4，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝0lim x ∆→ （x 0＋Δx ）2－x 20Δx ＝0lim x ∆→ (2x 0＋Δx )＝2x 0＝4. ∴x 0＝2，则y 0＝x 20＝4，∴l 的方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.答案 A9.设f (x )为可导函数，且满足 f （1）－f （1－x ）2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )A.2B.－1C.1D.－2解析0lim x → 12f （1）－f （1－x ）x ＝120lim x → f （1）－f （1－x ）x ＝12f ′(1)＝－1，∴f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－2.答案 D10.若曲线y ＝2x 2－4x ＋m 与直线y ＝1相切，则m ＝________.解析 设切点坐标为(x 0，1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1，即切点坐标为(1，1).∴2－4＋m ＝1，即m ＝3.答案 311.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________. 解析 ∵f ′(x )＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2＋2（x ＋Δx ）＋3－（x 2＋2x ＋3）Δx ＝0lim x ∆→ （2x ＋2）·Δx ＋（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→ (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2， ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 12.已知抛物线y ＝x 2和直线x －y －2＝0，求抛物线上一点到该直线的最短距离. 解 法一 设P (x ，x 2)为抛物线上任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|x －x 2－2|2＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎪⎫x －122－74＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋728，所以当x ＝12时，d 最小，最小值为728.法二 由题意设直线x －y ＋b ＝0与抛物线y ＝x 2相切，则x 2－x －b ＝0，由Δ＝0得b ＝－14，所以直线x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＋22＝742＝728，所以抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.法三 根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝0lim x ∆→ （x 0＋Δx ）2－x 20Δx ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积.解 (1)∵y ′＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→ （x ＋Δx ）2＋（x ＋Δx ）－2－（x 2＋x －2）Δx ＝2x ＋1， ∴y ′|x ＝1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2的切点为P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0).∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.又直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0， ∴所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋223＝12512.。
导数的几何意义教学设计
导数的几何意义本节课教学指导思想与理论依据：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期.它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。
导数的概念是微积分核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
本节教材选自人教A版数学选修2-2第1章“导数及其应用”第一节1.1.3“导数的几何意义”，是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内容，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容。
《新课程标准》要求，微积分教学“返璞归真”，把极限、连续、瞬时速度等概念，建立在朴素理解的基础上，直接由变化率问题得到导数的概念，进而研究导数的几何意义（图形上的直观体现）及导数在研究函数性质中的应用。
本节内容按照先突破一般曲线的切线定义（割线无限逼近的确定位置上的直线就是该点处的切线）；再结合旧知识“平均变化率表示割线的斜率”，学生对照动画探究“割线逼近切线→割线的斜率逼近切线的斜率→切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数”的线索展开，从近似过渡到精确，通过图形直观逼近的方法消除学生对极限的神秘感，通过将曲线一点处的局部“放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现了“局部以直代曲”背后的深刻内涵和哲学原理。
学情分析：学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是对于导数在研究函数性质中有什么作用还不够理解，多数同学对此有相当的兴趣和积极性。
学生在学习时可能会遇到以下困难，比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法，理解导数就是曲线上某点的斜率等等。
教法分析：本节课采用教师引导与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。
人教A版选修2《导数的几何意义》教案及教学反思
人教A版选修2《导数的几何意义》教案及教学反思一、教师教学设计1.1 教学目标1.理解导数的定义及几何意义；2.掌握导数的概念、符号和实质；3.能够利用导数求一元函数的单调性和极值；4.能够应用导数求解相关最值问题。
1.2 教学内容导数的概念及几何意义1.3 教学重点1.导数的概念的理解；2.导数的几何意义的掌握。
1.4 教学难点1.导数的符号的理解；2.导数的实质的理解。
1.5 教学方法1.讲授法：讲解导数的定义及几何意义，并通过实例演示导数的计算方法；2.案例法：通过一些简单的案例，帮助学生理解导数的概念；3.组织讨论法：通过讨论和合作，帮助学生更好地掌握导数的概念和几何意义。
1.6 教学过程第一步：导入导数的概念1.在黑板上写出导数的定义；2.带领学生探讨“速度”和“斜率”之间的关系。
第二步：导数的符号及实质1.介绍导数的符号及意义；2.帮助学生理解导数的实质。
第三步：导数的几何意义1.通过实际图形，帮助学生理解导数的几何意义；2.分组讨论，让学生自己发现导数的几何意义。
第四步：导数的应用1.通过实例演示如何应用导数求解单调性和极值问题；2.让学生结合实际应用场景，自己解决相关最值问题。
1.7 教学评价1.通过讨论和合作，学生能够更好地掌握导数的概念和几何意义；2.学生能够熟练地运用导数，求解一元函数的单调性和极值；3.学生能够应用导数求解相关最值问题。
二、教学反思本节课使用了讲授法、案例法和组织讨论法，让学生更好地理解了导数的概念和几何意义。
在实践中，我发现不同的学生适合不同的教学方法。
一些学生更适合案例法，因为这可以让他们通过具体案例更深入地理解导数的概念。
另一些学生更适合组织讨论法，因为他们更喜欢合作学习，并通过讨论和交流来理解概念。
此外，通过案例和实例分析的模式，学生的学习兴趣得到了增强。
在处理实际问题时，学生能够更快地反应和解决问题。
另外，导数的公式计算也是学生较难掌握的部分。
为了更好地帮助学生掌握计算步骤，我在教学过程中设计了许多具体例子，并兼顾训练学生的能力，即教师既要根据学生的实际情况进行启发式讲解，也要有目的地培养学生的计算能力。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。
一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。
对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。
那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。
通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。
切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。
我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。
三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。
2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。
求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。
3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。
通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。
高中数学一对一教案 导数的概念及几何意义
教学内容导数的概念及几何意义教学目标1、了解导数的概念2、理解导数的几何意义，并由此求切线的方程3、掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则教学重、难点 重点：函数导数的计算和导数的几何意义的应用。
难点：导数几何意义的应用扫清障碍1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率．2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为：()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =． 特别的，若质点运动的位移S 是时间t 的函数，则(),()S t v v t a ''==。
4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆5、基本初等函数的导数公式②求出函数在点0x 处的导数0()f x '得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率k,即0()k f x '=； ③利用点斜式写出切线方程并化简.变式练习：1.（2009江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-2.已知函数3()f x x =的切线的斜率等于1，则切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定3.(11年全国理)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．14．曲线2y x =在点P 处的切线斜率为1，则点P 的坐标为_________。
导数的几何意义教案及说明
导数的几何意义教案及说明教案章节：一、导数的定义；二、导数的计算；三、导数的应用；四、导数与曲线的切线；五、导数与函数的单调性一、导数的定义1. 教学目标：理解导数的定义，掌握导数的几何意义。
2. 教学内容：引入导数的概念，解释导数的几何意义，举例说明导数表示曲线的切线斜率。
3. 教学步骤：a. 引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
b. 解释导数的几何意义，即导数表示曲线的切线斜率。
c. 举例说明导数表示曲线的切线斜率，通过图形演示导数的变化。
4. 教学练习：a. 练习计算函数在某一点的导数。
b. 练习根据导数的几何意义，确定曲线的切线斜率。
二、导数的计算1. 教学目标：掌握导数的计算方法，能够计算常见函数的导数。
2. 教学内容：介绍导数的计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。
3. 教学步骤：a. 介绍导数的计算方法，包括常数函数的导数为0，幂函数的导数按幂次降次，指数函数的导数为自身，对数函数的导数为1/x。
b. 举例说明常见函数的导数计算，包括正弦函数、余弦函数、绝对值函数等。
4. 教学练习：a. 练习计算常见函数的导数。
b. 练习根据导数的计算结果，分析函数的单调性。
三、导数的应用1. 教学目标：理解导数在实际问题中的应用，掌握导数的基本应用方法。
2. 教学内容：介绍导数在实际问题中的应用，包括速度、加速度、优化问题等。
3. 教学步骤：a. 介绍导数在速度和加速度中的应用，解释速度是位置关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
b. 举例说明导数在优化问题中的应用，通过导数找到函数的最大值和最小值。
4. 教学练习：a. 练习根据导数计算速度和加速度。
b. 练习使用导数解决优化问题。
四、导数与曲线的切线1. 教学目标：理解导数与曲线的切线的关系，掌握求解切线方程的方法。
2. 教学内容：解释导数与曲线的切线的关系，介绍求解切线方程的方法。
3. 教学步骤：a. 解释导数与曲线的切线的关系，即导数表示曲线的切线斜率。
导数的几何意义教案修改
导数的几何意义教案修改一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 掌握导数的计算方法3. 能够运用导数解决实际问题二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：导数的定义、几何意义和计算方法2. 教学难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用四、教学方法1. 讲授法：讲解导数的定义、几何意义和计算方法2. 案例分析法：分析导数在实际问题中的应用3. 互动讨论法：引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的思考能力五、教学过程1. 导入：通过回顾函数的图像，引导学生思考函数在某一点的切线斜率与函数值的关系，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解导数的定义：介绍导数的定义，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
3. 讲解导数的几何意义：通过图像解释导数表示函数在某一点的切线斜率，引导学生理解导数的几何意义。
4. 讲解导数的计算方法：介绍导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算和复合函数的导数。
5. 案例分析：分析导数在实际问题中的应用，如速度、加速度和优化问题。
6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固导数的定义、几何意义和计算方法。
教案修改建议：1. 在讲解导数的定义时，可以增加一些实际例子，帮助学生更好地理解导数的概念。
2. 在讲解导数的几何意义时，可以利用多媒体工具展示函数图像和切线，使学生更直观地理解导数的几何意义。
3. 在案例分析环节，可以增加一些与生活密切相关的实际问题，激发学生的学习兴趣和主动性。
4. 在课堂练习环节，可以增加一些具有挑战性的题目，培养学生的思考能力和解决问题的能力。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对导数定义、几何意义和计算方法的掌握情况。
2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生对导数知识的应用能力。
3. 课后作业：布置与导数相关的课后作业，要求学生在规定时间内完成，以巩固所学知识。
导数的几何意义教案70278
导数的几何意义教案70278教案：导数的几何意义一、教学目标：了解导数的几何意义；掌握导数的定义；理解导数与函数的变化率的关系；能够利用导数解决几何问题。
二、教学内容：1.导数的定义2.导数与函数的变化率的关系3.几何问题中的导数应用三、教学过程：第一步：导入导数的概念（10分钟）1.引导学生回顾函数的变化率及其意义。
2.提问：在几何中，如何计算图像的切线的斜率呢？第二步：导数的定义（20分钟）1.引导学生观察并思考曲线上其中一点的切线问题。
2.引导学生找到切线的斜率与函数的变化率之间的关系。
3.引导学生运用极限的思想，得出导数的定义。
4.指导学生通过求导的方法计算导数，并讲解求导法则。
第三步：导数与函数的变化率的关系（30分钟）1.引导学生观察并思考函数的导数与函数的变化率之间的关系。
2.引导学生发现当函数的导数为正时，函数递增；当导数为负时，函数递减；当导数为零时，函数取极值。
3.结合具体函数的图像，让学生理解导数与函数的变化率之间的关系。
第四步：几何问题中的导数应用（30分钟）1.通过具体实例，引导学生利用导数解决几何问题，如判断曲线上其中一点的凹凸性，求切线与曲线的交点等。
2.引导学生使用导数求解极值问题，并指导他们如何判别极值的种类。
3.给予学生充分的练习时间，并进行评价和讨论。
四、教学资源：PPT课件、练习题五、教学评价：1.教师观察学生的学习状态，及时给予指导和帮助。
2.利用课堂讨论、小组合作等形式，促进学生的主动学习和思考。
3.针对学生练习题的答案和思路，进行评价和反馈。
六、教学反思：本节课通过引导学生观察和思考，使他们逐步理解导数的定义和几何意义，并能够应用导数解决几何问题。
但是，在给予学生练习的过程中，遇到了一些学生理解困难的情况，导致课堂进展较慢。
因此，在今后的教学中，可以设置更多的例题和练习，帮助学生深入理解导数的几何意义，提高他们的应用能力。
导数的几何意义教案(后附教学反思)
导数的几何意义教案（后附教学反思）永嘉中学 数学组 周瑛 08.4.13【教学目标】知识与技能目标：（1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线的斜率。
（数形结合），即： ()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim 0000/＝切线的斜率 (2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。
情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。
培养学生学数学，用数学的意识。
【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。
【课型】探究课【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义【教学过程】（一） 课题引入，类比探讨：让学生回忆导数的概念及其本质。
（承上启下，自然过渡）。
师：导数的本质是什么？写出它的表达式。
（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即： ()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim 0000/ （注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？（教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。
要研究“形”，自然要结合“数”） 生1：研究导数的代数表达式。
导数的几何意义教案(后附教学反思
导数的几何意义教案（后附教学反思）一、教学目标1. 让学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义。
2. 能够运用导数求解曲线的切线斜率。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数与切线斜率的关系4. 求解曲线的切线斜率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，求解曲线的切线斜率。
2. 难点：导数的几何意义的理解，求解曲线的切线斜率的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、案例分析法、互动讨论法等。
2. 通过图形演示、实例分析，引导学生直观理解导数的几何意义。
3. 以学生为主体，鼓励学生主动探究、积极参与，培养学生的动手能力和思考能力。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何描述曲线的变化率。
2. 讲解导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义，强调导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示的是曲线在某一点的切线斜率。
引导学生直观理解导数的几何意义。
4. 导数与切线斜率的关系：讲解导数与切线斜率的关系，引导学生掌握求解曲线的切线斜率的方法。
5. 应用实例：分析实际问题，运用导数求解曲线的切线斜率，巩固所学知识。
6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：1. 讲解导数的定义时，要注重极限思想的理解，引导学生明白导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
2. 通过图形演示，让学生直观地理解导数的几何意义，强化空间想象能力。
3. 结合实际问题，让学生学会运用导数求解曲线的切线斜率，提高学生的应用能力。
4. 课堂练习环节，要注意引导学生主动思考，培养学生的解决问题能力。
5. 教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。
《导数的几何意义》教案及说明
◆ 教 案导数的几何意义教 材:人教A 版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修1-1 授课教师:【教学目标】知识与技能目标：本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。
(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。
(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数)(x f 在0x x =处的导数0()f x '的几何意义，使学生认识到导数0()f x '就是函数)(x f 的图象在0x x =处的切线的斜率。
即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝曲线在0x x =处切线的斜率在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。
在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法目标：(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。
(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。
(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。
情感、态度、价值观：(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。
沪教版高中数学导数教案
沪教版高中数学导数教案
一、导数的定义和几何意义
导数的定义：设函数y=f(x)在点x处可导，记为f'(x)，其导数定义为：
f'(x)=lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h
几何意义：导数f'(x)在点x处的值表示函数在该点切线的斜率，即函数在该点的变化率。
二、导数的计算方法
1. 导数的基本运算法则：
（1）常数函数的导数为零：(k)'=0
（2）幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)
（3）幂函数的导数求导法则：(x^a)'=ax^(a-1)
（4）指数函数的导数：(e^x)'=e^x
（5）对数函数的导数：(log_a(x))'=(1/x)log_a(e)
2. 导数的应用：求函数的极值点和函数的变化趋势
三、导数的图形表示
1. 函数图像和导数图像的关系
2. 导数图像在x轴上的特征
四、导数的应用实例
1. 求函数在某点的切线斜率
2. 求函数的极值点和拐点
3. 求函数的增减性和凹凸性
五、导数的解析逼近
1. 泰勒公式的推导和应用
2. 拟合曲线和真实曲线的比较
六、课堂实践
1. 课堂小测验：计算函数在某点的导数值
2. 教师示范：演示如何求函数的极值点和拐点
3. 学生练习：让学生自主练习导数的应用题目
七、课后作业
1. 完成课堂练习题目
2. 阅读相关教材，总结导数的计算方法和应用参考资料：沪教版高中数学教材《数学导数》。
2022年《导数的概念及其几何意义》参考优秀教案
导数的概念及其几何意义教学目标：1．导数的概念及几何意义；2．求导的根本方法；3．导数的应用.教学重点：导数的综合应用；教学难点：导数的综合应用.一.知识梳理1．导数的概念及几何意义.2．求导的根本方法①定义法：=②公式法：〔c 为常数〕; = (n∈N) ; =3．导数的应用①求曲线切线的斜率及方程；②研究函数的单调性、极值、最值；③研究函数的图象形态、性状；④导数在不等式、方程根的分布〔个数〕、解析几何等问题中的综合应用．二．根底训练1.函数有极值的充要条件是( )A. B. <0 D.2.函数在闭区间上的最大值、最小值分别是〔〕，-1 ，-17 ，-17 ，-19>3,那么方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有A 0个根B 1个根C 2个根D 3个根4. 设函数y=f(x)在其定义域上可导,假设的图象如下图,以下判断:①f(x)在(-2,0)上是减函数;②x=-1时, f(x)取得极小值;③x=1时, f(x)取得极小值;④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.其中正确的选项是A①②B②③C③④D②③④5. 函数f(x) =-x3+3x2+ax+c在(-∞,1]上是单调减函数,那么a的最大值是A -3 B-1 C1 D36．设t≠0，点P(t，0)是函数f(x)=x3+ax与y=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．(I)用t表示a，b，c；(Ⅱ)假设函数y=f(x)-g(x)在(-l，3)上单调递减，求t的取值范围．三．典型例题例1.设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a．〔I〕求f(x)的极值；〔Ⅱ〕当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点．例2f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l，x2∈[-1，1]，且x1≠x2．1)求证：|f(x1)-f(x2)|< 2|x1-x2|；2)假设0<x l<x2≤1，求证：|f(x1)-f(x2)|<1．例3抛物线和，如果直线L同时是和的切线，称L是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
导数的几何意义教案
导数的几何意义教案一、教学目标：1.知识与能力目标：*了解导数的定义和几何意义。
*了解导数与函数图像的关系，掌握导数的图像与函数图像之间的变化规律。
*了解导数的增减性和边缘点的求解方法。
2.过程与方法目标：*采用合作学习和探究学习的方法，引导学生主动参与导数的几何意义的探索。
*提供大量的实例和练习，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
*注重培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
3.情感态度目标：*培养学生主动学习的兴趣，激发学生对数学的好奇心。
*培养学生的观察力和耐心，培养他们发现问题、分析问题和解决问题的能力。
二、教学重难点：1.导数的定义和几何意义。
2.导数与函数图像的关系。
3.导数的增减性和边缘点的求解方法。
三、教学过程：1.导入（5分钟）*老师出示一段直线的图像，问学生是否了解这个图像的特点。
*学生回答后，引导学生思考直线的斜率与直线图像之间的关系。
2.导数的定义和几何意义（15分钟）*通过图示和实例，教师解释导数的定义。
例如，可以选择一条曲线，计算不同点处的斜率并观察其变化规律。
*学生通过思考和讨论，总结出导数的几何意义是刻画函数图像上每一点处的变化率。
3.导数与函数图像的关系（20分钟）*引导学生观察函数图像与导数图像之间的变化规律。
通过对比函数图像和导数图像的变化趋势，学生可以发现二者之间的关系。
*通过实例和图示，教师解释导数图像中的波动与函数图像中的拐点、极值和凹凸点之间的对应关系。
4.导数的增减性和边缘点的求解方法（20分钟）*引导学生认识到导数的正负与函数的增减关系。
即导数大于零时，函数递增；导数小于零时，函数递减。
*引导学生通过求导数的方法来求函数的极值和凹凸点，即导数等于零和导数不存在的点。
*通过实例和练习，让学生掌握求解边缘点的方法和技巧。
5.总结与拓展（10分钟）*学生总结导数的几何意义和应用，通过小组汇报的形式分享自己的思考和体会。
*教师巩固学生的理解，提问一些综合性的问题，进行拓展讨论。
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导数的几何意义教案导数的几何意义教案曾垂乐【教学目标】 知识与技能目标:（1）使学生掌握函数f （x ）在x X 0处的导数f /X o的几何意义就是函数 住）的图像在x X 0处的切线的斜率。
（数形结合），即:（2）会利用导数的几何意义解释实际生活问题， 体会“以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探 索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决 问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力， 应用能力和创新能力的目的。
【教学手段】采用计算机（Flash,Powerpoint ）, 实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观 性，有效提高教学效率和教学质量。
【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲” 的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义f /X olX moX0 X f （X0）=切线的斜率X【教学过程】（一）作业点评，承上启下：问题：在高台跳水运动中，t 秒（s ）时运动员相 对于水面的高度是h （t ） 4.9t 26.5t 10 （单位:m ），求 运动员在t 1s 时的瞬时速度，并解释此时的运动 状态；在t 0.5s时呢？教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释t 1s， t 0.5s 时运动员的运动状态。
（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接 过渡）（二）课题引入，类比探讨：由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数 的本质。
•问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达 式。
学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出： 导数f，（X 0）的本质是函数f （x ）在x x o处的瞬时变化 率 ，即：（说明：教师不能代替学生的思维活动， 学生将f /X of X o X f(X o )大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”，感知导数的几何意义奠定基础）•问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。
要研究“形”，自然要结合“数”：即：导数的代数表达式，并回忆求导数r（x°）的步骤。
•问（三）求导数f/（X o）的步骤有哪几步?教师引导学生回答：第一步：求平均变化率~x）f（X0）；X第二步：当X趋近于0时，平均变化率f（X0 X）f（X0）无限趋近于的常数就是f Z（X。
（回归Xo）本质，数形结合）教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：•问(四)：第一步：平均变化率f(x° x) f(x°)的x几何意义是什么？请在函数图像中画出来；学生动手活动：见“学生动手实践”。
由学生乙回答：平均变化率_x) f(xo)的几何意x义是割线AB的斜率。
A(x o, f(x o)), B(x o x, f(x o x))。
教师提醒学生A、B 两点的坐标必须写清楚。
•问(五)：第二步：x o时，割线AB有什么变化？请画出来。
学生动手活动：见“学生动手实践”。
教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：x o，B(X o X,f(X o x)) A(X o,f(X o)),当X o，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在x x o处的切线，请把它画出来。
学生动手活动：见“学生动手实践”。
教师展示学生作品，引导学生发现，并说出：(形) x o，割线AB切线AD，则割线AB的斜率切线AD的斜率由数形结合，得f/x o lim o fXo X f(Xo)二切线AD X 的斜率所以，函数f(x)在X X o处的导数f Z X O的几何意义就是函数f(x)的图像在X x o处的切线AD的斜率。
(数形结合)。
(说明：动手实践，探索发现。
使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义"的知识结构，准确理解“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。
)(三)动画演示，总结归纳1•演示Flash动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。
2•教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示Powerpoint动画。
初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。
这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。
圆是一种特殊的曲线。
这种定义并不适用于一般曲线3.根据导数的几何意义，在点P附近，曲线f（x）可以用在点P处的切线近似代替，这是微积分中重要的思想方法一一以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。
（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。
（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义” 形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。
）（四）训练巩固、加强理解：1．在函数h（t） 4.9t 2 6.5t 10的图像上，（1）用图形来体现导数h/（1） 3.3，h/（0.5） 1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。
（2）请描述、比较曲线h（t）在t0,t l,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在t3,t4 附近呢？用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。
）2.如图表示人体血管中的药物浓度c f（t）（单位:mg/mL ）随时间t （单位：min ）变化的函数图像，根据图像，估计t 0.2,04 0.6,0.8 （min ）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。
（精确到0.1）c（1-------L I1，一.1（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。
）（五）抽象概括，归纳小结：1.抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念：f/X o是确定的数（静态），f'x是X的函数（动（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从 特殊到一般的辩证思想 2 •归纳小结：由学生进行开放式小结：（1）函数f （x ）在x X o 处的导数f /x o的几何意义就 是函数f （x ）的图像在x X o 处的切线AD 的斜率。
（数形结合）,即:f X o X f （X o ） x （2）利用导数的几何意义解释实际生活问题， 体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。
（3 ）导函数（简称“导数”）的概念。
f /x lim ° x 0（六）作业布置，分层要求：1 •习题 P10A5,6.B2,3.2.如图（函数图像参见“学生动手实践”，此略） 态）由 f / x olim "x f(x o ) X 0x （特殊一一一般）/x l 'm o f x x f(x) x （静态 动态）=切线AD 的斜率/ x 0 limx 0 x f(x)x是利用信息技术画出的函数r(V) 3 ：V(0 V 5)的图像，请根据图像，估计V 061.2时，气球的瞬时膨3 .请给出求函数y f(x)在x x。
处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。
(探索：若把3 .“在点(X o，f(X o))处”改为“过点(X o,f(X。
))”，算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。
)学生动手实践提问：1 .导数f/(X0)的本质是什么？请写数学表达式。
导数的本质是函数f(x)在 ____________ 处的—即：_______________________________平均变化率f(X0 x) f(X0)的2 •函数f(x)X几何意义是什么，请在函数图像中画出来。
f (X o)O X o X3.导数f/(X o)的几何意义是什么？导数f/(X o)的几何意义是________________________ 练习1 .在函数h(t) 4.9t2 6.5t 10的图像上，(1)说说h/（1） 3.3 , h/（0.5） 1.6的几何意义。
（2）请描述、比较曲线h（t）在t°,t i,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。
在t3,t4附近呢？(1)2.如图表示人体血管中的药物浓度c f（t）（单位:mg/mL ）随时间t （单位：min ）变化的函数图像，根据图像，估计t 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 （min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1），把数据用表格的形式列出抽象概括:归纳小结:附：动态直观消除神秘，启发点拨贯通曲直——《导数的几何意义》课例点评本节内容是在学习了 “变化率问题、 导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义。
它能过直观具体的形象帮助学生消除对极限的 神秘感， 深刻理解导数的内涵和意义， 形成对于 变量与常量f / X olim f X o x f(X o ) X之间相互联系与转化的认识，感受和体验辩证思维活动的过程，它对于学生深化数形结合认识，了解辩证思维的方式具有十分典型和重要的功能。
本课的设计和教学较好地反映了以上意图，较好地体现出高中数学课程标准所倡导的教学理念，主要特色如下：1．教学思路清晰，学习重点突出本节课围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义” 和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。
首先，教师从点评简单的作业“求高台跳水运动中某时刻的瞬时速度并描述该时刻的运动状态”入手，复习导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。
完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。
整节课的教学思路清晰，突出了对主干知识的深入研讨。
虽然活动的每一个环节和片断基本上以教材内容为主线展开，但每一个知识、每一个发现，教师总是设法由学生自己得出，教师只是在关键处加以引导，尤其是，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，充分体现出学生才是学习的主角这一新课程理念。