因式分解讲义doc资料

环球雅思学科教师辅导教案

(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

(2 )取相同的字母，字母的指数取较低的；

(3 )取相同的多项式，多项式的指数取较低的

(4 )所有这些因式的乘积即为公因式•

4、注意事项：

多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。但对整系数的多项式，其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。公因式可以是单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。题型展示：

1、将下列各式分解因式：

(1)3a(x y)-2b(x y);

(2)12(m n)218(m n)3 4;

(3)3(2x y)6( y 2x)3;

(4) 1 2 a b(2P

3 2 2 2 q) . ab (q p )

4 8

2、下列分解因式结果正确的是()

A. 6(x 2) x(2 x) (x 2)(6 x)

B. x3 2x2 x x(x22x)

2 2

C. a(a b) ab(a b) a(a b)

D. 3x n 6xn 3xn(x 2) 提高练习

1、如果b-a=—6, ab=7，那么a2b ab2的值是()

A.42

B. —42

C.13

D. —13

3 2 2

2、若4x —6x =2x(2 x+k)，贝U k= ______ .

3.2( a—b)3—4(b—a)2=2(a—b)2( ________ ).

4.36 X 29—12X 33=

5、分解因式

2 2

⑴(x y)(x y) (x y) ⑵8a(x y) 4b(y x)

6. 计算与求值

29X 20.03+72 X 20.03+13 X 20.03 —14X 20.03.

7、.先化简，再求值

1 1

a(8 —a)+ b(a—8) —c(8 —a)，其中a=1, b= , c=.

2 2

1

8、已知2x y - , xy 2，求2x4y3 x3y4的值.

8

方法二•公式法

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式

完全平方公式

立方和、立方差公式

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

F面我们就来学习用公式法进行因式分解

题型展示:

例1.已知：a 1m 1，b 1m

2 2

1

2，C 2m

J原式(a b c)

2

1 1 1

(m 1) ( m 2) ( m 3)

2 2 2

说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2.已知a b c 0，a3 b3 c30

求证：la5b5c50

证明：a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)

匚把a b c 0, a3 b3 c30代入上式,

可得l abc 0，，即la 01 或lb 01 或lc 0| 若la 01，则

［b c I，

a5b5c50

若lb―0或［c—0，同理也有a5b5c5

说明：利用补充公式确定a, b, c的值，命题得证。

求a22ab b22ac c22bc 的值。

2

例3.若x3 y3 27, x2 xy y29，求x2 y2的值。

解：x3 y3 (x y)(x2 xy y2) 27

2 2

且x xy y 9

2 2

x y 3, x 2xy y 9 (1)

2 2

又x xy y 9 (2)

两式相减得xy 0

2 2

所以x y 9

说明：按常规需求出x, y的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

常见题型:

3 ▲ 2

例1 ：因式分解：x 4xy

3 2 2 2

解: |x 4xy x(x 4y2 ) x(x 2y)(x 2y)

说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

3 2 2 3

提高练习

1. 利用提公因式法简化计算过程

987 987 987 987 例：计算123 -------- 268 ----------- 456 ---------- 521 ----------

1368 1368 1368 1368

2. 分解因式：

（1）4m2n312m3n22mnl

2n 2 rTH n n 1 ‘ 亠，」

(2)|a x abx acx adx (n 为正整数)

(3)a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)2

3•计算：|( 2)11 ( 2)101的结果是( )

A•西 B.诩 C. 03 D. 口

方法三•分组分解法

【知识精读】

把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行•分组时要用到添括号：括号前是“ +”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

题型展示：

I 2 2 2~

例1.分解因式：m (n 1) 4mn n 1

解：m2( n21) 4mn n2 1

""2~2 2 2~

m n m 4mn n 1

2 2 2 2

(m n 2mn 1) (m 2mn n )

(mn 1)2(m n)2

(mn m n 1)( m n m n 1)

说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平

方和平方差公式。

例2.已知：|a2b21, c2d21,且ac bd 0，求ab+cd 的值。

解：ab+cd=ab 1 cd 1