测地线方程求解
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• 一个对称性意味着沿着一条测地线有一个 守恒量，由拉格朗日方程，计算直接由测 地线方程也可
• 常常Biblioteka Baidu成为动量形式
第11点：利用运动常数
零测地线
• 5.5节，平直时空运动方程t=r, • 四速度定义 • 仿射参数定义，常常就是t，at+b也是,但是t的非线性函数不是 • 仿射变换：线性＋平移 • 零测地线－弯曲时空u*u=0，一个方程不足以确定四个未知函数 • 1。等效原理：在LIF中应该是平直时空的零测地线方程 • 2。在任意坐标系中成立 • 因此，弯曲时空零测地线方程用仿射参数（此即仿射参数定义）表达，
课程安排
• 复习内容：测地线方程 • 新内容：测地线方程求解 • 下次课：续、Schwarzschild情况 • 调查表
复习、回顾、总结 重点
为什么3个重复指标是错误的？
• 对照
学习内容
测地线内容
• 第零：测地线的意义是什么？ • 第一：怎么得到测地线方程？ • 第二：如何求解测地线方程？ • 第三：得到后如何利用测地线解？
• 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是
– 讲课不够清楚？ – 缺少提问的机会？ – 你事先没有准备？ – 缺乏课堂讨论？ – 其他？
第五点：测地线方程求解 初始条件
测地线方程
• 二阶常微分方程，对比牛顿和狭义相对论 惯性运动方程
• 一组4个，相互耦合，二阶常微分方程组， 求解出4个x(tau)函数
构造自由下落系
• 和牛顿和狭义相对论中惯性系的构造类似 • 1.选择沿某一条测地线运动的自由测试粒子 • 2.沿着测地线的固有时为时间坐标，测试粒子的位
置为空间坐标的原点(像构造黎曼法坐标一样，以 这个粒子（观者）的标准坐标基为坐标基，沿这 条测地线方向的单位矢量n=(1,0,0,0)=u,t=tau*n) • 3.在某个固有时时刻，定位三个陀螺仪在三个正交 方向上 • 4.在以后的时刻，用陀螺仪确定的方向构造空间坐 标，三个空间坐标标架不转动，像构造黎曼法坐 标一样赋予坐标x^i=s*n^i，
黎曼法坐标
• 黎曼法坐标：标准正交基＋测地线 • 构成了P点处的一个LIF • 1. 因为是标准正交基，在P点处 • 2. 由测地线方程，在P点处 • 对所有单位矢量n成立，由克氏符号与度规
关系 • 例8.8
自由下落系FFF
• 更进一步，在足够短时间内，一个足够小 的自由下落实验室内，惯性运动
• 最接近牛顿和狭义相对论力学的惯性系 • 例如太空站、无拖曳卫星、矿井 • 沿一条测地线上所有点的克氏符号＝0 • =沿一条测地线上所有点的一个LIF • 但是仅在定义FFF的测地线上克氏符号为零
类似于类时测地线方程，类空测地线方程tau->s • t是仿射参数，则at+b也是
利用测地线构造LIF的坐标系
• 1.在时空中任意一点P！ • 2.选取一组标准正交基，例如某个观者在P处的
实验室的标准正交基，这样就保证了LIF条件一 • 3.取从P点出发的某个方向上一个单位矢量n，在
n的方向发出一条测地线，类空x=sn,类时x=tn,类 零x=lambda*n • 4.在P点处的所有方向上重复3 • 5.这个坐标系唯一地标记了距离P点足够近(测地 线没有交叉，否则同一点有不同坐标值)的这些时 空点
第9点：对称性=》守恒律 守恒量、运动常数
第10点：用Killing矢量 表达时空对称性
对称性给出守恒律
• 度规中不出现的坐标－循环坐标（可遗 ignorable）－拉氏量中不出现的坐标，
• 平移变换x->x+Const不改变度规 • Killing矢量，在任一方程！
– 不依赖坐标系——矢量表征对称性
目标：类似三维牛顿方程
第四点：仿射联络or克氏符
名称由来 LIF条件2
对称性 曲线坐标
LIF的第二个条件的运动学意义
• LIF中，度规的一阶导数＝0，＝》LIF中， 所有克氏符号＝0，＝》自由粒子运动方程 为平直时空中的
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
– 如果不是，请问哪些你没学到？ – 如果不确定，请解释原因。
第一点（不要求掌握） 怎么得到测地线方程？
第1种：局域直线 第2种：弧长稳定值
第2种途径：变分原理
示范：运用指标法则书写公式
仿射参数
• 拉氏量=常数，但对路径x(τ)依赖
– 路径参数τ – 要利用到常数这一点！——仿射参数！
• 若不是仿射参数
第二点：测地线方程 协变形式
第三点：测地线方程 逆变形式
• 初始条件：初始位置和初始四速度，定解
第六点：测地线方程求解 降阶
求解测地线方程－对称性和守恒律
• 任意度规下都有一个天然的初积分－－四 速度归一化，即线元
– 自由度 – 习题8.6
• 类似牛顿力学，守恒律给出运动方程的初 积分（运动常数），降阶到一阶常微分
第7点：测地线方程求解 循环坐标
第8点：对称性=变换不变性
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
– 如果不是，请问哪些你没学到？ – 如果不确定，请解释原因。
• 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是
– 讲课不够清楚？ – 缺少提问的机会？ – 你事先没有准备？ – 缺乏课堂讨论？ – 其他？
• 常常Biblioteka Baidu成为动量形式
第11点：利用运动常数
零测地线
• 5.5节，平直时空运动方程t=r, • 四速度定义 • 仿射参数定义，常常就是t，at+b也是,但是t的非线性函数不是 • 仿射变换：线性＋平移 • 零测地线－弯曲时空u*u=0，一个方程不足以确定四个未知函数 • 1。等效原理：在LIF中应该是平直时空的零测地线方程 • 2。在任意坐标系中成立 • 因此，弯曲时空零测地线方程用仿射参数（此即仿射参数定义）表达，
课程安排
• 复习内容：测地线方程 • 新内容：测地线方程求解 • 下次课：续、Schwarzschild情况 • 调查表
复习、回顾、总结 重点
为什么3个重复指标是错误的？
• 对照
学习内容
测地线内容
• 第零：测地线的意义是什么？ • 第一：怎么得到测地线方程？ • 第二：如何求解测地线方程？ • 第三：得到后如何利用测地线解？
• 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是
– 讲课不够清楚？ – 缺少提问的机会？ – 你事先没有准备？ – 缺乏课堂讨论？ – 其他？
第五点：测地线方程求解 初始条件
测地线方程
• 二阶常微分方程，对比牛顿和狭义相对论 惯性运动方程
• 一组4个，相互耦合，二阶常微分方程组， 求解出4个x(tau)函数
构造自由下落系
• 和牛顿和狭义相对论中惯性系的构造类似 • 1.选择沿某一条测地线运动的自由测试粒子 • 2.沿着测地线的固有时为时间坐标，测试粒子的位
置为空间坐标的原点(像构造黎曼法坐标一样，以 这个粒子（观者）的标准坐标基为坐标基，沿这 条测地线方向的单位矢量n=(1,0,0,0)=u,t=tau*n) • 3.在某个固有时时刻，定位三个陀螺仪在三个正交 方向上 • 4.在以后的时刻，用陀螺仪确定的方向构造空间坐 标，三个空间坐标标架不转动，像构造黎曼法坐 标一样赋予坐标x^i=s*n^i，
黎曼法坐标
• 黎曼法坐标：标准正交基＋测地线 • 构成了P点处的一个LIF • 1. 因为是标准正交基，在P点处 • 2. 由测地线方程，在P点处 • 对所有单位矢量n成立，由克氏符号与度规
关系 • 例8.8
自由下落系FFF
• 更进一步，在足够短时间内，一个足够小 的自由下落实验室内，惯性运动
• 最接近牛顿和狭义相对论力学的惯性系 • 例如太空站、无拖曳卫星、矿井 • 沿一条测地线上所有点的克氏符号＝0 • =沿一条测地线上所有点的一个LIF • 但是仅在定义FFF的测地线上克氏符号为零
类似于类时测地线方程，类空测地线方程tau->s • t是仿射参数，则at+b也是
利用测地线构造LIF的坐标系
• 1.在时空中任意一点P！ • 2.选取一组标准正交基，例如某个观者在P处的
实验室的标准正交基，这样就保证了LIF条件一 • 3.取从P点出发的某个方向上一个单位矢量n，在
n的方向发出一条测地线，类空x=sn,类时x=tn,类 零x=lambda*n • 4.在P点处的所有方向上重复3 • 5.这个坐标系唯一地标记了距离P点足够近(测地 线没有交叉，否则同一点有不同坐标值)的这些时 空点
第9点：对称性=》守恒律 守恒量、运动常数
第10点：用Killing矢量 表达时空对称性
对称性给出守恒律
• 度规中不出现的坐标－循环坐标（可遗 ignorable）－拉氏量中不出现的坐标，
• 平移变换x->x+Const不改变度规 • Killing矢量，在任一方程！
– 不依赖坐标系——矢量表征对称性
目标：类似三维牛顿方程
第四点：仿射联络or克氏符
名称由来 LIF条件2
对称性 曲线坐标
LIF的第二个条件的运动学意义
• LIF中，度规的一阶导数＝0，＝》LIF中， 所有克氏符号＝0，＝》自由粒子运动方程 为平直时空中的
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
– 如果不是，请问哪些你没学到？ – 如果不确定，请解释原因。
第一点（不要求掌握） 怎么得到测地线方程？
第1种：局域直线 第2种：弧长稳定值
第2种途径：变分原理
示范：运用指标法则书写公式
仿射参数
• 拉氏量=常数，但对路径x(τ)依赖
– 路径参数τ – 要利用到常数这一点！——仿射参数！
• 若不是仿射参数
第二点：测地线方程 协变形式
第三点：测地线方程 逆变形式
• 初始条件：初始位置和初始四速度，定解
第六点：测地线方程求解 降阶
求解测地线方程－对称性和守恒律
• 任意度规下都有一个天然的初积分－－四 速度归一化，即线元
– 自由度 – 习题8.6
• 类似牛顿力学，守恒律给出运动方程的初 积分（运动常数），降阶到一阶常微分
第7点：测地线方程求解 循环坐标
第8点：对称性=变换不变性
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
– 如果不是，请问哪些你没学到？ – 如果不确定，请解释原因。
• 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是
– 讲课不够清楚？ – 缺少提问的机会？ – 你事先没有准备？ – 缺乏课堂讨论？ – 其他？